2022-2023學年山東省濟南市章丘區(qū)九年級上學期數(shù)學期中試題及答案

2022-2023學年山東省濟南市章丘區(qū)九年級上學期數(shù)學期中試題及答案本試題分選擇題和非選擇題兩部分．選擇題部分共2頁，滿分為40分：非選擇題部分共6頁，滿分為110分．本試題共8頁，滿分為150分．考試時間120分鐘．本考試不允許使用計算器．（選擇題部分共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出四個選項中，只有一項符合題目要求）1.下列判斷中不正確的是（）A.四個角相等的四邊形是矩形 B.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形【答案】B【解析】【分析】由矩形的判定可判斷A，由正方形的判定可判斷B，由菱形的判定可判斷C，由平行四邊形的判定可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：四個角相等的四邊形是矩形，判斷正確，故A不符合題意；對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故原判斷不準確，故B符合題意；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，判斷正確，故C不符合題意；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，判斷正確，故D不符合題意；故選B【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定，矩形，菱形，正方形的判定，掌握“特殊四邊形的判定方法”是解本題的關鍵．2.不解方程，判斷方程2x2﹣4x﹣1＝0的根的情況是（）A.沒有實數(shù)根 B.有兩個相等實數(shù)根C.有兩個不相等實數(shù)根 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】把a=2，b=-4，c=-1代入判別式Δ=b2-4ac進行計算，然后根據(jù)計算結果判斷方程根的情況．【詳解】解：∵a=2，b=-4，c=-1，∴Δ=b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式Δ=b2-4ac．當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．3.若，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可設，，代入原式，計算化簡即可．【詳解】∵，∴設，，將，，代入中得：，故選：A．【點睛】本題考查了分式的基本性質，運用分式基本性質進行正確運算是解題的關鍵．4.某學校組織學生到社區(qū)開展公益宣傳活動，成立了“垃圾分類”“文明出行”“低碳環(huán)保”三個宣傳隊，如果小華和小麗每人隨機選擇參加其中一個宣傳隊，則她們恰好選到同一個宣傳隊的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，用列表法求出概率即可．【詳解】根據(jù)題意，設三個宣傳隊分別為列表如下：小華\小麗總共由9種等可能情況，她們恰好選擇同一個宣傳隊的情況有3種，則她們恰好選到同一個宣傳隊的概率是．故選C【點睛】本題考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解題的關鍵．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果數(shù)，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5.如圖，DE∥BC，且：：，，則的長為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平行線分線段成比例定理得，即可得出結論．【詳解】解：，，即，解得：，故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．6.某省加快新舊動能轉換，促進企業(yè)創(chuàng)新發(fā)展．某企業(yè)一月份的營業(yè)額是1000萬元，月平均增長率相同，第一季度的總營業(yè)額是3990萬元．若設月平均增長率是x，那么可列出的方程是（）A.1000（1+x）2＝3990B.1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990C.1000（1+2x）＝3990D.1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990【答案】B【解析】【分析】設月平均增長的百分率是x，則該超市二月份的營業(yè)額為100（1+x）萬元，三月份的營業(yè)額為100（1+x）2萬元，根據(jù)該超市第一季度的總營業(yè)額是3990萬元，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設月平均增長的百分率是x，則該超市二月份的營業(yè)額為100（1+x）萬元，三月份的營業(yè)額為100（1+x）2萬元，依題意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990．故選B．【點睛】此題主要考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是熟知增長率問題的求解.7.如圖，在菱形中，對角線，分別為16和12，于點，則（）A. B. C.10 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質和面積公式，即可求出的值．【詳解】∵四邊形是菱形∴且平分對角線又∵，∴AO=8,BO=6,∴∵菱形的面積等于對角線乘積的一半，等于底乘高∴∴故選：A．

【點睛】本題考查菱形的性質和面積公式，熟練掌握菱形的性質和面積公式是解題的關鍵．8.下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)勾股定理，AB=，BC=，AC=，所以△ABC的三邊之比為=，A、三角形的三邊分別為2，，，三邊之比為2：=，故本選項錯誤，不符合題意;B、三角形的三邊分別為2，4，，三邊之比為2：4：2=1：2：，故本選項正確，符合題意；C、三角形的三邊分別為2，3，，三邊之比為2：3：，故本選項錯誤，不符合題意；D、三角形的三邊分別為，，4，三邊之比為：4，故本選項錯誤，不符合題意．故選：B．9.如圖，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上，若四邊形EGFH是菱形．則AE的長是（）A.15 B.20 C. D.【答案】A【解析】【分析】連接EF交AC于點O，連接CE，證明△CFO≌△AEO，可得CF＝AE，再根據(jù)勾股定理可得CE的長，進而可得結論．【詳解】解：如圖，連接EF交AC于點O，連接CE，∵四邊形EGFH是菱形，∴EF⊥GH，OE＝OF，DCAB，∴CF＝CE，，在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（AAS），∴CF＝AE，∴CE＝AE，∴BE＝AB?AE＝24?CE，在Rt△CEB中，根據(jù)勾股定理，得，∴，解得CE＝15，∴AE＝15，故選：A．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，菱形的性質，全等三角形的判定和性質以及勾股定理，解決本題的關鍵是證明△CFO≌△AEO，求出CF＝AE．10.如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將AB沿AE翻折，使點B落在處，AE為折痕，再將EC沿EF翻折，使點C恰好落在線段上的點處，EF為折痕，連接．若，則的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，設，用表示、，再證明，由勾股定理解題，通過進行等量代換，列出一元二次方程，利用因式分解法便可求得的值，再進一步解得，即可解題．【詳解】連接，設，則，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，當時，，，∴EC當時，，，，，故答案為：B．【點睛】本題考查矩形的性質、折疊的性質、勾股定理、因式分解法解一元二次方程等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．（非選擇題部分共110分）二．填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11.關于的一元二次方程的一個根是2，則另一個根是__________．【答案】-3【解析】【分析】由題意可把x=2代入一元二次方程進行求解a的值，然后再進行求解方程的另一個根．【詳解】解：由題意把x=2代入一元二次方程得：，解得：，∴原方程為，解方程得：，∴方程的另一個根為-3；故答案為-3．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解及其解法，熟練掌握一元二次方程的解及其解法是解題的關鍵．12.如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，∠AOB＝60°，AC＝2，則邊BC長為________．【答案】【解析】【分析】先證明△AOB是等邊三角形，得∠BAC＝60°，后運用sin60°=計算即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=BO，∵∠AOB＝60°，AC＝2，∴△AOB是等邊三角形，∠BAC＝60°，∴sin60°=∴BC=ACsin60°==，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握等邊三角形的判定和性質，靈活運用特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．13.梭梭樹因其頑強的生命力和防風固沙的作用，被稱為“沙漠植被之王”．新疆北部某沙漠2020年有16萬畝梭梭樹，經過兩年的人工種植和自然繁殖，2022年達到25萬畝，求這兩年的平均增長率_____．【答案】25%【解析】【分析】設這兩年的平均增長率為x，利用新疆北部某沙漠2022年梭梭樹的種植面積＝新疆北部某沙漠2020年梭梭樹的種植面積×，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】解：設這兩年的平均增長率為x，依題意得：，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝-2.25（不符合題意，舍去），∴這兩年的平均增長率為25%．故答案為：25%．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．14.若關于的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】且##k≠-2且k≥-3【解析】【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：Δ=4+4（k+2）≥0，∴解得：k≥-3，∵k+2≠0，∴k≥-3且k≠-2，故答案為：且．【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用根的判別式，本題屬于基礎題型．15.如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O，過點A作AH⊥BC于點H，連接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，則OH的長為______________.【答案】3【解析】【分析】由四邊形ABCD是菱形，OB=4，根據(jù)菱形性質可得BD=8，在根據(jù)菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半求得AC=6，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求得OH的長.【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，OB=4，∴OA=OC，BD=2OB=8；∵S菱形ABCD=24，∴AC=6；∵AH⊥BC，OA=OC，∴OH=AC=3.故答案為3.【點睛】本題考查了菱形的性質及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半的性質，根據(jù)菱形的面積公式（菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半）求得AC=6是解題的關鍵.16.如圖，點F，G分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，E為AB中點，連結ED，正方形FGQP的邊PQ恰好在DE上，記正方形ABCD面積為，正方形FPQG面積為，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，設，，根據(jù)正切，求得，根據(jù)，求得，之比，即可求得面積比．【詳解】四邊形，F(xiàn)GQP是正方形，，，，E為AB中點，，，設，，則，，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形，正方形的性質，求得，的比值是解題的關鍵．17.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)直接開平方法可進行求解；（2）根據(jù)公式法可進行求解方程．【小問1詳解】∵∴∴，∴，【小問2詳解】∵，，，∴，∴，∴，【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．18.如圖，、相交于點，連接、，且，，，，求的長．【答案】【解析】【分析】先證明得，從而即可求解．【詳解】解：，，，，，的長為．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．19.如圖，點，分別在菱形的邊，上，且．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質得出，，結合已知條件，證明，根據(jù)全等三角形的性質即可求解．【詳解】∵四邊形是菱形，∴，，又∵，∴．∴．【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的性質與判定定理，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．20.如圖，在一塊長13m，寬7m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路分別與矩形的一條邊平行），剩余部分栽種花草，若栽種花草的面積是，則道路的寬應設計為多少m?【答案】【解析】【分析】先把兩條小路平移靠長方形的邊，設小路的寬應為米，則空白部分長方形的長為，寬為，再利用栽種花草的面積是，列方程，解方程并檢驗即可【詳解】如圖，把兩條垂直的小路通過平移得到如下圖形，設小路的寬應為米，則空白部分長方形的長為m，寬為m，則整理得：解得：，，經檢驗：不符合題意，∴，答：小路的寬應為1米【點睛】本題考查的是一元二次方程的應用，掌握“利用平移的性質與利用一元二次方程解決圖形面積問題”是解本題的關鍵21.如圖，O為矩形ABCD對角線AC的中點，EF⊥AC于點O，交AD，BC于點E，F(xiàn)，連接AF，CE．（1）求證：四邊形AECF為菱形；（2）若AB=2，BC=4，求AE的長．【答案】（1）見解析（2）2.5【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質可知AD//BC，則，再根據(jù)，，證得，得出，再根據(jù)平行四邊形的判定和菱形的判定得出結論；（2）設，則，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理列方程求出x，即可得到答案．【小問1詳解】證明：四邊形是矩形，，，點是矩形的對角線的中點，，，（AAS），，，四邊形是平行四邊形，，四邊形為菱形；【小問2詳解】解：四邊形是菱形，，設，則，在Rt△ABF中，，根據(jù)勾股定理得，，即，解得：，，．【點睛】本題考查了菱形的判定，矩形的性質，勾股定理以及全等三角形的判定和性質等知識，熟記矩形的性質：①平行四邊形的性質矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等．22.如圖，正方形中，E，F(xiàn)分別是邊，上的點，，，連接并延長交的延長線于點G．（1）求證：；（2）若正方形的邊長為6，求的長．【答案】（1）見解析（2）15【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質及相似三角形的判定定理證明即可；（2）由正方形及平行線的性質可得，再由對頂角相等，可得，利用相似三角形的對應邊成比例即可得．【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴，∴，∵，，∴，又∵，正方形的邊長為6，∴，，∴，∴．【點睛】此題主要考查正方形的性質及相似三角形的判定和性質，熟練運用相似三角形的判定和性質是解題關鍵．23.某中學在藝術節(jié)期間向全校學生征集書畫作品，美術王老師從全校隨機抽取了四個班級記作A、B、C、D，對征集到的作品的數(shù)量進行了分析統(tǒng)計，制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．（1）王老師抽查的四個班級共征集到作品多少件？（2）請把圖2的條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）若全校參展作品中有四名同學獲得一等獎，其中有二名男生、二名女生．現(xiàn)在要在其中抽兩名同學去參加學?？偨Y表彰座談會，請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率．【答案】（1）12件；（2）作圖見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖算出C班作品數(shù)量占整體的份數(shù)，然后再計算整體件數(shù)即可；（2）由第一問知道作品總件數(shù)，算出B班件數(shù)，畫圖即可；（3）畫出表格或樹狀圖，然后計算概率即可【詳解】解：（1）（件）（2）12-2-5-2=3，補充作圖如下：（3）列表如下：由列表知，共有12種等可能結果，其中抽到一男一女的情況有8種，所以恰好抽到一男生一女生的概率為【點睛】本題考查數(shù)據(jù)的收集處理，用列表和樹狀圖計算概率等知識點，牢記相關內容是解題關鍵，24.如圖，，，，．點P從點C出發(fā)，以的速度沿向點A勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以的速度沿向點C勻速運動，設點P、Q運動時間為t，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止．（1）求經過幾秒后，的面積等于？（2）經過幾秒，與相似？（3）①是否存在t，使得的面積等于？若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由；②設四邊形的面積為S，請直接寫出S的最大值或最小值．【答案】（1）秒（2）秒，或秒（3）①不存在，理由見解析；②的最小值是【解析】【分析】（1）根據(jù)的面積等于，建立方程求解，即可得出答案（2）分和，得出比例式，建立方程求解，即可得出結果（3）①假設存在t，利用的面積等于，建立方程，判斷方程得方程無實數(shù)根，即可得出結論；②先得出，即可求出答案小問1詳解】解：由題意知，，，∵，，∴，，∵的面積等于，∴∴，即∴即經過秒后，的面積等于【小問2詳解】∵，∴①當時，∴，解得：；②當時，∴，解得：；由①②可得：當經過秒或秒與相似【小問3詳解】①不存在，理由:假設存在t，使得面積等于，∴∴，∴，而，∴此方程無實數(shù)根，∴不存在t，使得面積等于②設四邊形的面積為∴∴當時，S有最小值，最小值【點睛】此題是相似三角形形綜合題，主要考查了直角三角形的面積公式，相似三角形的判定和性質，二次函數(shù)的應用，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵25.如圖1四邊形和四邊形有公共頂點A（1）如圖2，若四邊形和四邊形都是正方形，當正方形繞點A逆時針旋轉角（）時，BM和DN的數(shù)量關系是______，位置關系是______；（2）如圖3，若四邊形和四邊形都是矩形，且，判斷和的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，若，，矩形繞點A逆時針旋轉角（），當時，求線段的長．【答案】（1）相等，垂直；（2）數(shù)量關系：；位置關系：．（3）3，或【解析】【分析】（1）先證明得到和的數(shù)量關系，同時得到．然后延長交、于點E、F，在和中用三角形內角和公式即可得到和的位置關系；（2）由已知條件可推出，得到和的數(shù)量關系，同時得到．然后使用同(1)中相同的方法可得到和的位置關系；（3）當時，由已知條件可證得以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，此時存在兩種位置情況，故進行分類討論：①當位于上方時，由平行四邊形的性質可推出，再利用小問(2)的結論可求出的長；②當位于下方時，由平行四邊形的性質可推出，且能證明B、N、P在同一直線上，因此可在中使用勾股定理求出BM的長，再利用小問(2)的結論可求出的長．【小問1詳解】相等，垂直．理由如下：如圖：∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，，∴，即：，∴，∴，．延長交、于點E、F，在和中，∵，，且，∴