《向量的數(shù)量積》同步學案(教師版)

高中數(shù)學精編資源2/2《向量的數(shù)量積》同步學案情境導入如圖,一個物體在力F的作用下產生位移s,所做的功是多少?功是怎樣的量?自主學習自學導引1.已知兩個非零向量a,b,O是平面上的任意一點,作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ2.如果a與b的夾角是π2,我們說a與b______,記作3.向量的數(shù)量積.(1)定義:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量______叫做向量a與b的數(shù)量積(或內積),記作a?b,即(2)規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為______.4.如圖(1),設a,b是兩個非零向量,AB=a,CD=b,我們考慮如下的變換:過AB的起點A和終點B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到A1如圖(2),我們可以在平面內任取一點O,作OM=a,ON=b.過點M作直線ON的垂線,垂足為M1,則5.向量數(shù)量積的性質.設a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與(1)a?(2)a⊥(3)當a與b同向時,a?b=______;當a與b反向時,a?b=______.特別地(4)|a答案1.夾角[0,2.垂直a3.(1)|a4.投影 投影向量 O5.(1)|(2)0(3)|a‖b| -|(4)|預習測評1.若|m|=4,|n|=6,mA.12 B.122 C.-122 2.已知|a|=9,|b|=62,A.45° B.135° C.120° 3.|a|=2,|b|=4,設e是與b方向相同的單位向量,向量a與向量b的夾角為120A.-3e B.-2e C.2e 答案1.B解析:m?2.B解析:因為cosθ=a?b|a‖3.D解析:向量a在向量b上的投影向量是a新知探究探究點1向量的數(shù)量積的概念知識詳解1.兩個非零向量的數(shù)量積.已知條件向量a,b是非零向量,定義數(shù)量|a‖b|cosθ叫做向量a與記法a2.零向量與任一向量的數(shù)量積.規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.[特別提示]1.向量的數(shù)量積,不能表示為或.2.兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量,而不是向量,其大小與兩個向量的長度及其夾角都有關,符號由夾角的余弦值的符號決定.設兩個非零向量a與b的夾角為θ,則當θ=0°時,當θ為銳角時,cosθ>當θ為針角時,cosθ<當θ為直角時,cosθ=當θ=180°時,典例探究例1已知|a|=6,|b|=5,當:(1)a//b;(2)a⊥b;(3)a解析根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解.答案(1)a//b,若a與b同向,則若a與b反向,則θ=180(2)a⊥b,則a與b的夾角為(3)a與b的夾角為60°方法技巧:對比向量的線性運算,向量線性運算的結果是一個向量,而兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量,而且這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關,它的符號由夾角的余弦值確定.當a≠0,b≠0,0°≤θ<90°時,數(shù)量積為正;當a≠0變式訓練1判斷下列各命題是否正確,并簡要說明理由.(1)a,b為非零向量,(2)若a≠0,a答案(1)因為a?b=|a‖b|cosθ,其中θ是a與b的夾角,所以由a?b=±|a|?|b|及(2)若a≠0,a?b=a?c,由數(shù)量積公式,只能得到|b|cosα=|c|cosβ,其中α探究點2關于投影向量的問題知識詳解1.投影向量的概念.如圖,設a,b是兩個非零向量,AB=a,CD=b,我們考慮如下的變換:過AB的起點A和終點B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到A1B2.投影向量的求法.(1)設e是與a方向相同的單位向量,a與b的夾角為θ,則向量b在向量a方向上的投影向量為|b(2)設e是與b方向相同的單位向量,a與b的夾角為θ,則向量a在向量b上的投影向量為|a典例探究例2設e是與b方向相同的單位向量,已知|a|=3,|b|=5,且a與b的夾角為45A.322e B.3e C.4e解析向量a在向量b上的投影向量為|a答案A變式訓練2已知|a|=2,|b|=10,a與b的夾角θ=120°,設e1是與a方向相同的單位向量,則向量b在向量a上的投影向量是______;答案-5e解析向量b在向量a上的投影向量為|b|cosθe1=10×探究點3向量數(shù)量積的性質知識詳解1.設a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與(1)a?(2)a⊥(3)當a與b同向時,a?b=|a‖b|;當a與b反向時,(4)|a[特別提示]1.在實數(shù)運算中,若ab=0,則a與b中至少有一個為0.而在向量數(shù)量積的運算中,不能從a?b=0推出a=0或(1)a=0,b=0;(2)a=02.在實數(shù)運算中,若a,b∈R,則|ab|=|a|?|b|.但對于向量a典例探究例3給出以下命題:①a?0=0;②0?a=0;③0-AB=BA;④|a?b|=|a‖b|;⑤若a≠0其中正確命題的序號是______.解析上述7個命題中只有③⑦正確.對于①,兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),應有a?0=0;對于②,應有0?a=0;對于④,由向量的數(shù)量積定義,得|a?b|=|a‖b|?cosθ|≤|a‖b|,這里θ是a與b的夾角,只有θ=0或θ=π時,答案③⑦變式訓練3給出下面的關系式:①0?a=0;②a?b=b?a;③A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C解析:顯然①②③正確;|a?b|?a?b,故④錯誤;(a?b)2= 易錯易混解讀例如圖,在?ABCD中,|AB|=2,|AD|=4,∠DAB=60°.設錯解因為BC與AD相等,所以|BC|=4.又因為∠ABC等于120°,所以BC在AB錯因分析向量BC與向量AB的夾角不是∠ABC,而是∠DAB,所以向量BC與向量AB的夾角應該是60°正解因為BC與AD相等,又因為∠DAB=60°,所以BC在AB上的投影向量即為AD在AB上的投影向量,即為糾錯心得關于求投影向量的問題,一定要找清楚兩向量之間的夾角,以及所求的是誰在誰上的投影向量,明確了這兩點,就不會弄錯數(shù)據(jù).課堂檢測1.若向量a,b滿足|a|=|b|=A.12 B.32 C.1+32.已知|a|=8,|b|=4,a與b的夾角為120°,設eA.4e B.-4e C.2e 3.如果向量a,b滿足|a|=2,a?b=3,A.13 B.33 C.3 4.在ΔABC中,AB=aA.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定5.已知|b|=3,與b方向相同的單位向量為e,向量a在向量b上的投影向量