《向量的線性運算》同步學案(教師版)

高中數(shù)學精編資源2/2《向量的線性運算》同步學案情境導入質點從點O出發(fā)做勻速直線運動,若經過1s的位移對應的向量用a表示,那么在同方向上經過6s的位移對應的向量怎樣表示?自學導引1.向量的數(shù)乘.一般地,我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個這種運算叫做向量的,記作,其長度與方向規(guī)定如下:(1)|λ(2)λa的方向由(1)可知,當λ=0時,λ由(1)(2)可知,(-2.向量數(shù)乘的運算律.(1)λ((2)(λ+μ(3)λ(特別地,有(-λ)aλ(答案1.向量數(shù)乘λa(1)|λ||a|(2)λ>02.(1)(λμ)a(2)λa+μa(3)λ預習測評1.設a是非零向量,λ是非零實數(shù),則下列結論中正確的是()A.a與λaB.a與-λaC.a與λ2D.|2.已知m,n是實數(shù),a,b(1)m((2)(m-n(3)若ma=mb,(4)若ma=na,A.(1)(4)B.(1)(2)C.(1)(3)D.(3)(4)3.在ΔABC中,點P是AB上一點,且CP=23CA+13A.1B.2C.1D.54.如圖,向量OA,OB,OC的終點在同一直線上,且AC=-3A.r=-12p+325.(1)(-(2)3(a答案1.C解析:只有當λ>0時,a與λa的方向相同,a與-λa的方向相反,且|λa|=λ|a|2.B解析:(1)和(2)正確;(3)中,若m=0,則不能推出a=b,錯誤;(4)中,若a=0,3.A解析:由題意可得AP=CP-CA4.A解析:∵AC5.(1)8(2)-新知探究探究點1向量的數(shù)乘的定義知識詳解一般地,規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,其長度與方向規(guī)定如下(1)|λ(2)當λ>0時,λa的方向與a的方向相同;當λ<0時,λa由(1)可知,當λ=0時,λ由(1)(2)可知,(-1)a[特別提示]從兩個角度看向量的數(shù)乘:(1)代數(shù)角度：λ是實數(shù),a是向量,它們的積仍是向量;另外,λa=0的條件是λ=(2)幾何角度:對于向量的長度而言,①當|λ|>1時,有|λa|>|a|,這意味著表示向量②當0<|λ|<1時,有|λa|<|a典例探究例1已知λ,μ∈R,且a≠0(1)λ<0時,λa的方向與a(2)λ>0時,λa的方向與a(3)λ=0時,λa與a(4)λμ>0時,λa的方向與μ(5)λμ<0時,λa的方向與μA.2個B.3個C.4個D.5個解析:根據(jù)實數(shù)λ與向量a的積λa的方向的規(guī)定,易知(1)(2)都是正確的;對于(3),當λ=0時,λa=0,0與a是共線向量,故(3)正確;對于(4),由λμ>0可得λ,μ同為正或同為負,所以λa和μa或者都與a同向,或者都與a反向,所以λa與μa是同向的,故(4)正確;對于(5),由λμ<0可得λ,μ異號,所以λa和μa中,一個與答案:D歸納總結:λ的正負決定向量λa的方向,λ的大小決定λa變式訓練1設a是非零向量,λ是非零實數(shù),下列結論中正確的是()A.a的方向與-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a| C.|答案:D解析:對于A,∵a是非零向量,λ是非零實數(shù),∴a的方向與-λa的方向相反或相同,A錯誤;對于B,當|λ|<1時,|-λa|<|a|,B錯誤;探究點2向量數(shù)乘的運算律知識詳解1.設λ,μ為實數(shù)(1)λ((2)(λ+μ(3)λ(特別地,(-λλ(2.向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量a,b,以及任意實數(shù)λ,μ典例探究例2計算:(1)(-(2)2(a(3)(x+y解析:利用向量的數(shù)乘的運算律進行計算.注意在去括號時,如果括號前是負號,則括號內各項前面的符號都要變號.答案:(1)原式=((2)原式=2(3)原式=[(方法技巧:向量的數(shù)乘與數(shù)乘數(shù)不同,前者結果是一個向量,后者結果是一個數(shù),λ>0時,λa與a同向;λ<0時,λa與a反向;λ=0時,λa=0,故λa與變式訓練2化簡:14答案:1===-易錯易混解讀例設向量a=3i+2j,b錯解:原式===-=-=-==-13錯因分析:向量的線性運算類似多項式的運算,在去、添括號時尤其要注意括號內各項符號的變化.在第一步去原式的括號時,第二個括號前面是負號,因此在去括號時,括號內各項都要變號,但這里的“-23b”沒有變號,這是錯誤一.在倒數(shù)第二步中,針對向量j的系數(shù)進行添括號時,括號前面是負號,因此括號內的各項都應該變號,但“-13正解:原式===-=-=-==-糾錯心得:在進行向量的線性運算時,可以類比多項式的計算,尤其要注意去、添括號時括號內相應各項前面符號的變化情況.課堂檢測1.化簡131A.2a-b B.2b-2.在ΔABC中,如果AD,BE分別為BC,AC邊上的中線,且A.23a+43b B.3.在三棱錐O-ABC中,OA=a,OB=b,A.-a+1