廣西壯族自治區(qū)河池市十校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2024年秋季學(xué)期高二年級(jí)校聯(lián)體第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求解.【詳解】．故選：C2.已知直線，，則與的距離為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平行線間的距離公式求解即可.【詳解】由題意得，與的距離．故選：C．3.若橢圓焦點(diǎn)在軸上且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,2，，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意得橢圓焦點(diǎn)在x軸上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,2，所以，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．4.已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，，，，．故選：A．5.已知直線平分圓C：的周長(zhǎng)，則a＝（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)在直線上求出值.【詳解】圓C：的圓心，由直線平分圓C：的周長(zhǎng)，得直線過(guò)圓C的圓心，即，所以．故選：A6.已知拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由拋物線方程寫(xiě)出準(zhǔn)線方程，求得雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得值，即得其方程，繼而得到漸近線方程.【詳解】因的準(zhǔn)線為，由題意，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則有，解得，故雙曲線方程為，其漸近線方程為，即．故選：D．7.在直四棱柱中，底面ABCD為等腰梯形，，，，E為棱的中點(diǎn)，則與平面的夾角余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得與平面的夾角的正弦值，再轉(zhuǎn)化為余弦值.【詳解】底面ABCD為等腰梯形，，，，如圖，在底面ABCD中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，兩式相減可得，令，解得，，則平面的一個(gè)法向量為，，則到平面的夾角正弦值，.故選：B8.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，A，B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，并且，則的面積等于（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】連接，，，，由條件證明四邊形為矩形，利用勾股定理和雙曲線定義式聯(lián)立求出的值，代入三角形面積公式即得.【詳解】由雙曲線對(duì)稱(chēng)性可知，A，B，O三點(diǎn)共線，連接，，，，由可得,因，故四邊形為矩形，則，，由雙曲線C：可得，，則，于是，則①，又②，由，解得，故．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線傾斜角為B.當(dāng)時(shí)，C.若，則D.直線始終過(guò)定點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】由直線方程得斜率，從而求得傾斜角判斷A，根據(jù)直線垂直或平行的條件求得參數(shù)值判斷BC，把方程作為參數(shù)的恒等式求解得定點(diǎn)坐標(biāo)判斷D．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線，故斜率，則傾斜角為，A正確.對(duì)于B，等價(jià)于，解得，故B正確.對(duì)于C，若，且，故，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，，令，得，解得，，故恒過(guò)，D正確.故選：ABD．10.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，是上的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）A.的面積是定值B.與同向的單位向量是C.與夾角的余弦值為D.平面的一個(gè)法向量是【答案】BC【解析】【分析】由可判斷A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得與同向的單位向量可判斷B選項(xiàng)，求得，利用空間向量夾角公式可求得與夾角的余弦值判斷C；可利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：在上且，到AC的距離等于到AC的距離，則為定值1，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，對(duì)于B選項(xiàng)：，與同向的單位向量為，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：，，則，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：由，，設(shè)，則，，即不垂直，不垂直，不是平面的一個(gè)法向量，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC．11.已知橢圓，，分別為它左右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）A.存在4個(gè)點(diǎn)，使得B.直線與直線斜率乘積為定值C.有最小值D.的取值范圍為【答案】AD【解析】【分析】設(shè)為橢圓上頂點(diǎn)，利用橢圓的性質(zhì)可求得，可判斷A；設(shè)Mx,y，計(jì)算可得的值可判斷B；由題意可得，利用基本不等式中1的代換可求得的最小值判斷C；利用數(shù)形結(jié)合可求得的最值，進(jìn)而可求得的取值范圍判斷D.【詳解】對(duì)于A中，由橢圓，可得，，，設(shè)為橢圓的上頂點(diǎn)，且，可得，所以，故在第一象限有點(diǎn)，使得，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性四個(gè)象限各有一個(gè)點(diǎn)符合題意，故存在4個(gè)點(diǎn)，使得，所以A正確；對(duì)于B中，設(shè)Mx,y，則，且，可得，則為定值，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C中，由橢圓的定義，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D中，由點(diǎn)在橢圓外，設(shè)直線，與橢圓相交于，，如圖所示，則，因?yàn)椋?，可得，即，所以，所以，所以D正確．故選：AD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于C，關(guān)鍵利用橢圓的定義得，進(jìn)而利用基本不等式1的代換求得最小值，對(duì)于D，求圓錐曲線中兩線段和的最值，常常利用數(shù)形結(jié)合求得最值，其中常用到圓錐曲線的定義.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，則直線的縱截距為_(kāi)_______________．【答案】1【解析】【分析】求得直線的斜率，進(jìn)而可求得直線的方程，令，可求得縱截距.【詳解】由題意知，斜率為，則直線方程為，令即，，所以直線的縱截距為1．故答案為：1．13.已知圓與直線相切，則_________．【答案】【解析】【分析】先將圓的一般方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】由已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑為，依題意，.故答案為：.14.雙曲線C：的離心率為_(kāi)_______________．【答案】2或【解析】【分析】分或兩種情況計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)，所以；當(dāng)，，故答案為：2或．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的頂點(diǎn)分別為．（1）求邊的中線所在直線的方程；（2）求邊的垂直平分線所在直線的方程．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）求出的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出的斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式可得直線方程；（2）求出的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出的斜率，進(jìn)而由垂直可得垂直平分線的斜率，由點(diǎn)斜式可得直線方程；【小問(wèn)1詳解】設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，所以，邊的中線過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)，所以，所以所在直線方程為，即；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈男甭?，所以的垂直平分線的斜率，所以的垂直平分線所在直線的方程為，即．16.已知橢圓C：，M為橢圓上一點(diǎn)，，分別為它的左右焦點(diǎn)，M到，距離之和為4，離心率．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l：與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的長(zhǎng)以及三角形AOB面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可.（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線距離公式求解即得.【小問(wèn)1詳解】依題意，，則，由離心率，得，得，所以橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由消去得，解得，則弦長(zhǎng)；原點(diǎn)O到直線l：距離為：，所以三角形AOB面積：17.如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，且，，，為中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先證平面，建立空間直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)到面的距離公式求解即可；（2）由面面角的向量求法求解角的余弦值，即可求解正弦值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)與交點(diǎn)為，連接，則，所以平面，所以，，三條直線兩兩互相垂直，以，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知，，則，，，，，E0,0,1，，，設(shè)平面EAD的法向量為，，可取，又，則點(diǎn)C到平面EAD的距離：；【小問(wèn)2詳解】，，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，可取，所以，所以平面PBC與平面EAD夾角的余弦值為，所以平面PBC與平面EAD夾角的正弦值為.18.已知圓，圓．（1）證明兩圓相交，并求兩圓公共弦長(zhǎng)；（2）已知過(guò)點(diǎn)0,1的直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的斜率．【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）或．【解析】【分析】（1）確定兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和差的關(guān)系確定兩圓的位置關(guān)系；兩圓方程相減，可得公共弦所在的直線方程，根據(jù)“幾何法”可求兩圓的公共弦長(zhǎng).（2）先討論直線斜率不存在的情況，再研究直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線，代入圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，，進(jìn)而表示出，由就是可求的值.【小問(wèn)1詳解】如圖：圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑，圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，由，所以?xún)蓤A相交，兩圓方程作差得．即公共弦所在直線的方程為．圓的圓心到公共弦所在直線的距離為：，所以公共弦長(zhǎng)為：.【小問(wèn)2詳解】由題可知，設(shè)Ax1,①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與交點(diǎn)在y軸上，顯然不滿足題意.②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為：，將代入，得，整理得，，，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，，．由可得，化簡(jiǎn)得，即，解得或．19.設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)F到圓E：上一點(diǎn)的距離的最大值為2．（1）求拋物線C的方程；（2）已知，是雙曲線左