2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題及參考答案

2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題及參考答案

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/■（x）=（2"+2）lnx+2ax?+5.設(shè)若對(duì)任意不相等的正數(shù)再，/，恒有

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（—3,—1）B.（—2,—1）

C.（-co,-3]D.（-oo,-2]

2.在一個(gè)數(shù)列中，如果V/eN*，都有a/“+M,+2=左（左為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，上叫做這個(gè)數(shù)列的

公積.已知數(shù)列｛q｝是等積數(shù)列，且4=1,%=2,公積為8,則％+4+…+4020=（）

A.4711B.4712C.4713D.4715

3.已知廠為拋物線V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上，且|A3=5,過(guò)點(diǎn)口的動(dòng)直線/與拋物線瓦C交于兩點(diǎn)，。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為給出下列四個(gè)命題：

①在拋物線上滿足條件的點(diǎn)A僅有一個(gè)；

②若P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，貝!||/么|+歸。|的最小值為2而；

③無(wú)論過(guò)點(diǎn)尸的直線/在什么位置，總有AOMB=NOMC；

④若點(diǎn)。在拋物線準(zhǔn)線上的射影為。，則三點(diǎn)3、。、。在同一條直線上.

其中所有正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.將一張邊長(zhǎng)為12cm的紙片按如圖（1）所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)

有底的正四棱錐模型，如圖（2）放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖（3）所示，則正四棱錐的體積是（）

由人△

n（n圖⑵m（3）

B.…D.…

A.C.

3

1-X

5.函數(shù)〃x)=ln的大致圖像為（)

1+x

sinB—cosAsinC,SABC=6,尸為線段AB上的一點(diǎn)，且

CACB

CP=x則工+工的最小值為（）

k同%y

7g4

A.----1-----B.12C.

123I°方￥

7.已知abRR,3+ai=b-(2a-l)z,則（)

A.b=3aB.6=6aC.b=9aD.b=12a

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n的值為（

A.1B.2

C.3D.4

9.閱讀下側(cè)程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為3i，則①處應(yīng)填的數(shù)字為

10.已知集合“={》|/=1}.N為自然數(shù)集，則下列表示不正確的是()

A.leMB.Af={-1,1}C.D.M匚N

11.下列函數(shù)中，在定義域上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?,+8)的是()

A.y=|lg(x+l)|B.y=x2C.y=2"D.y=In|x|

X

12.己知定義在R上的奇函數(shù)/(x),其導(dǎo)函數(shù)為/(x),當(dāng)x?0時(shí)，恒有§/'(x)+/(x)>0.則不等式

x37(x)-(1+2x)3/(I+2x)<0的解集為().

A.{x|-3<%<-1}B.{x|-l<x<——}

C.｛%[x<—3或x>-l｝D.或x>-g｝

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.AABC的三個(gè)內(nèi)角4B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知26cosA=2c+氐，則/B=.

14.已知函數(shù)/(x)=/+^+4X2+8X，-(X<,若函數(shù)g(x)=d〃x)+l有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

%2+2%-1,x<-2,%>0

是.

15.若復(fù)數(shù)z=l—3i(i是虛數(shù)單位)，貝Uz4-10)=

16.已知函數(shù)/(xh-V+sinx,若/(a)=M,則/(—a)=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)在AABC中，角4，B,C所對(duì)的邊分別是。，b,c,且2a—c=26cosC.

⑴求sin(若C+B|的值；

(2)若人=如，求c—。的取值范圍.

18.(12分)已知數(shù)列｛%｝滿足對(duì)任意〃eN*都有2a“+i=a“+a〃+2,其前"項(xiàng)和為S"，且87=49,%是由與%3的等

比中項(xiàng)，4V4.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式4;

(2)已知數(shù)列也｝滿足a=2%+i,c=anbn,設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為求組3大于1000的最小的正整數(shù)九

on-5

的值.

19.(12分)某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于

藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計(jì)，可將該禮品看成是由圓。及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊5C上的高所在直線AO

JT

旋轉(zhuǎn)180°而成，如圖2.已知圓。的半徑為10an,設(shè)/849=。,0<。<彳，圓錐的側(cè)面積為Sc".

(1)求S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式；

(2)為了達(dá)到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時(shí)腰A3的長(zhǎng)度.

!A

E1圖2

22p

20.(12分)已知橢圓M：T+￡=l(a〉〃〉0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)40,—2),離心率為］

(1)求橢圓M的方程;

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(O,D且斜率存在的直線/交橢圓于2N兩點(diǎn)，點(diǎn)3與點(diǎn)Q關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.連接求證:

存在實(shí)數(shù)；I,使得左.=幾^成立.

21.(12分)設(shè)函數(shù)/"(x)=x-Lg(x)=rlnx,其中xw(0,1),，為正實(shí)數(shù).

X

(1)若/(%)的圖象總在函數(shù)g(x)的圖象的下方，求實(shí)數(shù)?的取值范圍；

(2)設(shè)H(x)=(lnx—/+1)1+卜2_1)(1」1,證明：對(duì)任意尤40,1),都有〃(力＞0.

22.(10分)如圖，三棱柱ABC—4用￡中，側(cè)面為菱形，ACLABl,AB=BC.

(1)求證：平面AB。；

(2)若AB,與C,NC34=60°,求二面角與-明-G的余弦值?

參考答案

、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

求解/（尤）的導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，對(duì)任意不相等的正數(shù)玉,馬，構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.

【詳解】

/（X）的定義域?yàn)椋?,+8），f'（x\=即土2+4以=2（2加+。+1）,

XX

當(dāng)QV—1時(shí)，/（%）<0,故/（X）在（。,+8）單調(diào)遞減；

不妨設(shè)再〈％,而av-1,知/（X）在（0,+8）單調(diào)遞減，

從而對(duì)任意占、%2e（0,+co）,恒有/（?）―/（/）=8,

%-%

即|/（再）-/（%2）|>8|再一

〃玉）-〃工2）28（巧-%），/（%）+8叫>/（^2）+8X2,

令g（*）=〃x）+8%，貝Ug〈x）=網(wǎng)±2+4G+8,原不等式等價(jià)于g（x）在（0,+。）單調(diào)遞減，即

JC

6Z+1_.?

-------F26IX+4<0,

從而4<41="1）2因?yàn)椋?x—l）2_

2/+12X2+12X2+1

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-0-2]

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問(wèn)題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡(jiǎn)后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問(wèn)題，屬于一般性題目.

2、B

【解析】

計(jì)算出名的值，推導(dǎo)出4+3=%（〃eN*）,再由2020=3x673+1,結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列｛4｝的前2020項(xiàng)

和.

【詳解】

8,

由題意可知+14+2=8,則對(duì)任意的〃eN*，4/0，則2a3=8,，%=----=4,

由anan+ian+2=8,得％+。+2%+3=8，/.=?！?1%+24+3，,二4+3=%，

2020=3x673+1,因此，tZj+tz9H-----=673(q+a。+/)+?=673x7+1=4712.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等

題.

3、C

【解析】

①：由拋物線的定義可知愣同=。+1=5,從而可求A的坐標(biāo)；②：做A關(guān)于準(zhǔn)線x=—1的對(duì)稱點(diǎn)為A',通過(guò)分析

可知當(dāng)A',尸,O三點(diǎn)共線時(shí)|B4|+|PO|取最小值，由兩點(diǎn)間的距離公式，可求此時(shí)最小值|4。|；③：設(shè)出直線/方程,

聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可知焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可求左+左MC=0,從而可判斷出NOMB/OMC

的關(guān)系；④：計(jì)算直線8,03的斜率之差，可得兩直線斜率相等，進(jìn)而可判斷三點(diǎn)3、。、。在同一條直線上.

【詳解】

解：對(duì)于①，設(shè)4(。力)，由拋物線的方程得/(1,0),貝U|AE|=a+l=5,故a=4,

所以4(4,4)或(4,-4),所以滿足條件的點(diǎn)A有二個(gè)，故①不正確；

對(duì)于②，不妨設(shè)4(4,4),則A關(guān)于準(zhǔn)線x=—l的對(duì)稱點(diǎn)為4(—6,4),

H\PA\+\OP\=\PA'\+\OP\>|A'O|=V52=2而,

當(dāng)且僅當(dāng)A',尸,O三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故②正確；

對(duì)于③，由題意知，M(-l,0),且/的斜率不為0,則設(shè)/方程為：x=wy+l(m^0),

設(shè),與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立直線與拋物線的方程為，

x=my+1。

<2"，整理得y~—4根>一4=0,貝1|%+%=4私乂%=-4,所以

Iy=4x

222

Xj+x2=4m+2,xYx2=(myl+l)(my9+1)=-4m+4m+1=1

：

刖“+kX?_%(々+1)+為(3+1)_2%+2%+2切1%

、MBMC%+]x2+1(Xj+1)(X2+1)Xx+X2+X1X2+1

2XA777—2^/7X4

=-3-------------=0.故MB,的傾斜角互補(bǔ)，所以NQWB=NOMC,故③正確.

4m2+2+1+1

對(duì)于④，由題意知。(一1,%),由③知，%+%=4血,%%=-4

則自B=&=—，左0￡)=-丁2，由上OB-"攵0?=—+，2=--也2=0,

占％%%

知喘=%，即三點(diǎn)5、。、。在同一條直線上，故④正確.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了拋物線的性質(zhì)，考查了直線方程，考查了兩點(diǎn)的

斜率公式.本題的難點(diǎn)在于第二個(gè)命題，結(jié)合初中的“飲馬問(wèn)題”分析出何時(shí)取最小值.

4、B

【解析】

設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為。，高為h,則/?=@a，故由題設(shè)可得，a+a=12xY2na=4應(yīng)，所以四棱錐的

222

體積V=；(4亞『x5xd應(yīng)=8^6。m3,應(yīng)選答案民

5、D

【解析】

通過(guò)取特殊值逐項(xiàng)排除即可得到正確結(jié)果.

【詳解】

函數(shù)〃x)=ln￡的定義域?yàn)閧x|xw±l},當(dāng)x=g時(shí)，/(1)=-ln3<0,排除B和C；

當(dāng)x=—2時(shí)，/(-2)=ln3>0,排除A.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項(xiàng)是基本手段，屬中檔題.

6、A

【解析】

JT

在LABC中，設(shè)AB=c,5C=a,AC=Z?,結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡(jiǎn)可求cosC=0,可得C=5,

再由已知條件求得a=4,b=3,c=5,考慮建立以AC所在的直線為x軸，以所在的直線為V軸建立直角坐標(biāo)

11

系，根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得4x+3y=12,然后利用基本不等式可求得一+一的最小值.

xy

【詳解】

在匕ABC中，設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,

sinB=cosAsinC,即sin(A+C)=cosAsinC,即sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC,/.sinAcosC=0,

71

0<A<TT,/.sinA>0,/.COsC=0,0<C<?,：.C=一

2

IbesinA4Q

AB-AC=9，即仍cosA=9,X5=—bcsinA=6,/.tanA=----------,

ARC2becosA3b

q=3(o=4i___________

22

SABC=3"=6則"=12,所以，\b3，解得人..-.c=^a+b=5-

[ab=12年3

以AC所在的直線為X軸，以8C所在的直線為y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則。(0,0)、4(3,0)、3(0,4),

P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)彳使得AP=AAB=2(-3,4)=(-32,42)(0<2<1),

:.CP=CA+CB=(3-3A,42),

CACB

設(shè)6=【國(guó)則同=同=1,二1(1,0)，e2=(0,1)，

Cf昌+ygx=3—32

=xe,+ye2=(x,y),,消去;I得4x+3y=12,;.±+2=l,

CACBy=4A34

(11)區(qū).上+工=

所以，—+—=—+—^+i+ii-2

xyy八343y4x12

當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，等號(hào)成立,

2-

因此，一1+一1的最小值為J3火+，7.

%y312

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問(wèn)題,

CA

解題的關(guān)鍵是理解可是一個(gè)單位向量，從而可用x、y表示。尸，建立工、y與參數(shù)的關(guān)系，解決本題的第二個(gè)關(guān)

1cAi

鍵點(diǎn)在于由x=3-34,y=42發(fā)現(xiàn)4x+3y=12為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值，考查計(jì)算能力，屬

于難題.

7、C

【解析】

兩復(fù)數(shù)相等，實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.

【詳解】

由3+以=b—（2a-l）z,

b—9a.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】

列出循環(huán)的每一步，進(jìn)而可求得輸出的九值.

【詳解】

根據(jù)程序框圖，執(zhí)行循環(huán)前：a=0,b=0,n=Q,

執(zhí)行第一次循環(huán)時(shí)：a=l,b=2,所以：92+82<40不成立.

繼續(xù)進(jìn)行循環(huán)，…，

當(dāng)。=4,6=8時(shí)，6?+2?=40成立，”=1,

由于a25不成立，執(zhí)行下一次循環(huán)，

a=5,b=10,52+。2<40成立，71=2,aN5成立，輸出的〃的值為2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型.

9、B

【解析】

考點(diǎn)：程序框圖.

分析：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)求S的值，我

們用表格列出程序運(yùn)行過(guò)程中各變量的值的變化情況，不難給出答案.

解：程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的值如下表示：

Si是否繼續(xù)循環(huán)

循環(huán)前11/

第一圈32是

第二圈73是

第三圈154是

第四圈315否

故最后當(dāng)i<5時(shí)退出，

故選B.

10、D

【解析】

集合〃={2*=1}={_1』.N為自然數(shù)集，由此能求出結(jié)果.

【詳解】

解：集合M={%|%2=1}={_1,1}.N為自然數(shù)集,

在A中，le",正確；

在B中，"={—11},正確；

在C中，0cM,正確；

在D中，加■不是N的子集，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

分別作出各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于A,y=|ig(x+i)|圖象如下圖所示:

則函數(shù)》=旭5+1)|在定義域上不單調(diào)，a錯(cuò)誤;

則y=4在定義域上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?,+8),3正確;

對(duì)于C,y=2*的圖象如下圖所示：

則函數(shù)y=2,單調(diào)遞增，但值域?yàn)?0,+“)，C錯(cuò)誤;

對(duì)于。，y=1川］|的圖象如下圖所示：

則函數(shù)y=ln|x|在定義域上不單調(diào)，。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】

先通過(guò)二/'(x)+/co>o得到原函數(shù)g(x)=x"x)為增函數(shù)且為偶函數(shù),再利用到V軸距離求解不等式即可.

33

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x3[。),

則g'(X)=//(x)+51(X)=X2(X)+/(X)]

由題可知：/'(x)+/(x)〉O,所以g(x)=x3]))在X?O時(shí)為增函數(shù);

由V為奇函數(shù)，/(%)為奇函數(shù)，所以g(x)=>[(x)為偶函數(shù);

又%7(x)-(1+2x)3/(I+2x)<0,即d/(x)<(1+2x)3/(I+2x)

即g(x)<g(l+2x)

又g(x)為開(kāi)口向上的偶函數(shù)

所以|x|<|l+2x|,解得x<—1或x〉—；

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、150°

【解析】

利用正弦定理邊化角可得ZsinAcosB+J^sinAuO，從而可得cosB=，進(jìn)而求解.

2

【詳解】

由2Z?cosA=2。+百〃，

由正弦定理可得2sinBcosA=2sinC+J^sinA,

即2sin3cos4=2sin（A+B）+&sinA,

整理可得2sinAcosB+J^sinA=0，

又因?yàn)閟inAwO,所以cos5=旦

2

因?yàn)?<5<180，

所以5=150，

故答案為：150°

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

由題意首先研究函數(shù)y=,(x)|的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于a的不等式，求解不等式即可確定實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)—1<x<0時(shí)，函數(shù)《X)=Y+2%在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增,

很明顯《X)e(TO)，且存在唯一的實(shí)數(shù)網(wǎng)滿足小內(nèi))=-g,

當(dāng)—1W/<O時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=/在區(qū)間-L-g上單調(diào)遞減，在區(qū)間-g,0上單調(diào)遞增，

91

結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)y=廠+2x+,在區(qū)間(-1,%)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(七,0)上單調(diào)遞增，且當(dāng)

4x2+8x

21

x=M時(shí)，y=x+2x+----=1,

4x2+8x

考查函數(shù)y=,+2x—I］在區(qū)間(0,+a)上的性質(zhì)，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=,+2x—I］在區(qū)間(o,0-1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(后-1,+8)上單調(diào)遞增,

函數(shù)g(x)=4/(刈+1有6個(gè)零點(diǎn),即方程4/(刈+1=0有6個(gè)根,

也就是If(x)|=—!有6個(gè)根，即y=|/(%)I與y=—!有6個(gè)不同交點(diǎn)，

aa

注意到函數(shù)y=三+2x關(guān)于直線尤=—1對(duì)稱，則函數(shù)y=|/(x)|關(guān)于直線x=—1對(duì)稱,

a45

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍是一1，一

故答案為一L—

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)

生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

15、35

【解析】

直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】

z=l+3z，z(z-10)=(l-3z)(l+3z-10)=30i.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則的應(yīng)用.

16、-M

【解析】

根據(jù)題意，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)/(九)的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(無(wú)X-x'+sinx,其定義域?yàn)镽,

所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又/(-x)=_(-xy+sin(—%)=—(尤3+sinx)=-/(x),

所以函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，因?yàn)?/p>

所以/(—a)=—

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力；熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中

檔題、?？碱}型.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、⑴冬⑵卜點(diǎn)⑹

【解析】

(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得cos5,進(jìn)而求得3和A+C,代入求得結(jié)果；

(2)利用正弦定理可將c—a表示為2sinC—2sinA,利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為2sin1C-,

根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合。的范圍可求得結(jié)果.

【詳解】

(1)由正弦定理可得：2sinA—sinC=2sin5cos，C

A+B+C=7i/.sinA=sin(B+C)

2sin+C)—sinC=2sinBcosC+2cosBsin(7—sinC=2sinBcosC

即2cos5sinC=sinC

Ce(O,TT)..sinCwOCOSJB=-1

Be(O,^)=y:.A+C=^-

.(A+C八.2兀上

sin--------\-B=sin——二——

I2)32

rr.ac_b_A/3_

(2)由(1)知：sinB=sin—=——sinAsinCsinB^3

32

~2

:.c=2sinC9a=2sinA

/.c—<2=2sinC—2sinA=2sinC—2sin（B+C）=2sinC—2sinBcosC—2cosBsinC

=2sinC-^/3cosC-sinC=sinC-A/3COSC=2sin^C-^

…八2?八八2萬(wàn)n（n

QA+C=—..0<C<—..CG,一

333I3

2sin〔C—g1e[-6,6）,即c—a的取值范圍為卜退,退）

【點(diǎn)睛】

本題考查解三角形知識(shí)的相關(guān)應(yīng)用，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應(yīng)用、與三角

函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問(wèn)題；求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問(wèn)題,

進(jìn)而利用正弦型函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.

18、（1）an=2n-l（2）4

【解析】

⑴利用2a“+i=%+a“+2判斷｛4｝是等差數(shù)列，利用S7=49,求出%=7,利用等比中項(xiàng)建立方程，求出公差可得.

（2）利用｛4｝的通項(xiàng)公式?！?，求出d=22"=4",c“=（2〃—>4",用錯(cuò)位相減法求出看=?+包『乂4華，最后

建立不等式求出最小的正整數(shù).

【詳解】

解：（1）任意〃eN*都有2。“+1=?！??！?2，

二數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

?/87=49,/.7g=49,「.a=n,

又，生是生與％3的等比中項(xiàng)，%<%，設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d，且d>0,

貝式7—dp=（7—3d）（7+9d）,解得d=2,

q=7—3d=1,

/.ctn=1+2（幾一1）=2〃-1；

（2）由題意可知d=2?"=4",c'=（2〃一1卜平，

12

.-.7；!=1X4+3X4+?+（?〃—1①，

23

47；!=21X4+^X4+?+(n-)x向②，

①-②得：-37；,=4+2X42+2X43+?--+2X4,!-(2H-1)X4,1+1,

:.T=也+&±4向，

"99

.9。-2°_《Hi_^2n+2

6n-5

由叱-20>1000得，22n+2>1000-

6n-5

/.2〃+2210,

:.n>4,

「?滿足條件的最小的正整數(shù)〃的值為4.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前九項(xiàng)和公式及錯(cuò)位相減法求和.(1)解決等差數(shù)列通項(xiàng)的思路(1)在等差數(shù)列｛凡｝

中，％、d是最基本的兩個(gè)量，一般可設(shè)出四和d,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前九項(xiàng)和公式列方程(組)求解即可.(2)

錯(cuò)位相減法求和的方法：如果數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛。"女｝的前〃項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相

減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列｛2｝的公比，然后作差求解；在寫“S.”與“qS“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將

兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“S，,-qSj的表達(dá)式

19、(1)S=400兀sin6cos26，(0<0<-)(2)側(cè)面積S取得最大值時(shí)，等腰三角形的腰的長(zhǎng)度為竺園cm

23

【解析】

JT

試題分析：(1)由條件，AB=20cos^,BD=20cos^-sin^,所以S=400?sinecos2。，(0<^<—)；(2)

S=400萬(wàn)sin氏<”2。=400Hsine—sin3g)^x=sin。，所以得〃無(wú))=》一/，通過(guò)求導(dǎo)分析，得“力在％=#

時(shí)取得極大值，也是最大值.

試題解析：

B

(1)設(shè)B］交BC于點(diǎn)D,過(guò)Ci作垂足為E,

在AAOE中，AE=lOcos。，AB=2AE=20cos^,

在AABD中，BD=AB-sin^=20cos^-sin^,

JI

所以S=400^sin0cos20，(0<^<—)

(2)要使側(cè)面積最大，由(1)得：

S=4007rsin6^cos2^=400萬(wàn)卜ine-sin3?)

☆x=sin6,所以得了(%)=無(wú)一%3,

由/'(x)=l—3f=o得：%=乎

時(shí)，r(%)>o,當(dāng)rW<o

所以/(%)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減,

所以/(%)在x=￥時(shí)取得極大值，也是最大值;

所以當(dāng)sin。=立時(shí)，側(cè)面積S取得最大值,

3

此時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)AB=2Ocos0=20Vl-sin2^=20

答：側(cè)面積S取得最大值時(shí)，等腰三角形的腰A5的長(zhǎng)度為空

3

22

20、(1)—+^-=1(2)證明見(jiàn)解析

64

【解析】

（1）由點(diǎn)A（0,—2）可得沙=2,由6=工=走，根據(jù)a?—。2=〃即可求解;

a3

y=kx+l

（2）設(shè)直線/的方程為丁=辰+1,聯(lián)立Ix2y2可得（2+3左2）f+6日—9=0,設(shè)Q（XQ1）,N（X,,%）,由韋達(dá)定

—+—=1

I64

6k9

理可得石+羽=------7，x/2=----------7,再根據(jù)直線的斜率公式求得左AQ?陽(yáng)N；由點(diǎn)6與點(diǎn)。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可設(shè)

2+3k~2+3k~

3（一和一%）,可求得心。^■AB，,即可求證.

【詳解】

解：（1）由題意可知b=2,e=$=W,

a3

又a?一c?=",得a=A/6,c=^2,

22

所以橢圓M的方程為士+匕=1

64

（2）證明：設(shè)直線/的方程為丁=丘+1,

y=kx+1

2

聯(lián)立《Xy2，可得（2+3左2）%2+6求—9=0,

—+—=1

164

設(shè)。（%，%）以（%2，為），

.6k9

則nl有X+九2=------7，尤1兀2=-------7,

122+3左2122+3左2

7y+27必+2

因?yàn)樽驛Q=，左4V=，

玉x2

所以.仁V=生生.比也="*2+33+%）+9=左2+2/_2—3k2=-2,

玉X?工1%2

7-必+2

又因?yàn)辄c(diǎn)6與點(diǎn)。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以3（一和一％）,即怎B—,

一再

則有kAQ-kAB=A±Z.ZA±Z=1Z2L；由點(diǎn)Q在橢圓c：《+厘=1上，得4—%2=1石2,所以KB=--，

再一%]一%]6433

L=-AQ?L=3

所以/一丁石一下一，即&N=3&B，

3

所以存在實(shí)數(shù)X=3,使頻N=^kAB成立

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線的斜率公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.

21、(1)(0,2](2)證明見(jiàn)解析

【解析】

⑴據(jù)題意可得E(x)=/(x)-g(x)=x-L-lnx<0在區(qū)間(0,1)上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求

xr2_1X2_1

出滿足不等式的f的取值范圍；(2)不等式整理為」e——<-―由(1)可知當(dāng)/=2時(shí)，-一->2,利用導(dǎo)數(shù)判

xex-x+1xlnxxlnx

斷函數(shù)一-—的單調(diào)性從而證明一--<2在區(qū)間(0,1)上成立，從而證明對(duì)任意xe(0,1),都有H(x)>0.

xcx-x+1xcx-x+1''

【詳解】

(1)解：因?yàn)楹瘮?shù)/(九)的圖象恒在g(x)的圖象的下方，

所以;'(%)—g(x)=x—1—〃nx<。在區(qū)間(0,1)上恒成立.

設(shè)廠(%)二%一工一〃nx,其中%￡(0,1),

所以嚴(yán)(x)=l+!—工=匚4掃，其中A=/一4，t>0.

XXX

①當(dāng)4,,0,即0＜友2時(shí)，F(xiàn)(x)..O,

所以函數(shù)歹(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(%)<F(l)=0,

故/(x)-g(x)<。成立，滿足題意.

②當(dāng)產(chǎn)—4>0，即/>2時(shí)，設(shè)。(%)=三一比+1(0<]<1),

則。⑴圖象的對(duì)稱軸x=；〉l,6?(0)=1,。⑴=2一<0,

所以6(%)在(0,1)上存在唯一實(shí)根，設(shè)為的,則。(力<0,F(x)<0,

所以廠(工)在(罰,1)上單調(diào)遞減，此時(shí)/(%)〉/(1)=0,不合題意.

綜上可得，實(shí)數(shù)f的取值范圍是(0,2].

(2)證明：由題意得H(x)=e*lnx

因?yàn)楫?dāng)xe(O,l)時(shí)，xe'—x+l>0，lnx<0,

g、i，、(x2-l)(xel-x+1)e*x2-1

所以H(x)>0oeXlnx>--------------------0~;------;<——?

v7xxe-x+1xinx

令h(x)=ex-x-l(O<x<l),則/zr(x)=ex-l>0,

所以/<%)在(0,1)上單調(diào)遞增，可力〉/2(0)=0,即e，>x+l，

XX

所以xex-x+l>x(x+1)-1+1=X2+1,從而----------<—-——.

xex-x+1x+1

由(1)知當(dāng)t=2時(shí)，x—工―21nx<0在xe(O,l)上恒成立，整理得三二1〉2.

xxlnx

令m(x)=——(0(尤<1),則要證H(x)>0,只需證m(x)<2.

因?yàn)闄C(jī)(力=后~￡>0,所以加(九)在(0,1)上單調(diào)遞增，

[x+1J''

所以7〃(x)<m⑴=/<2,即加(％)<2在(0,1)上恒成立.

綜上可得，對(duì)任意％e(0,1),都有H(x)>0成立.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性與求函數(shù)最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.

22、(1)見(jiàn)解析(2)-

7

【解析】

(1)根據(jù)菱形性質(zhì)可知，51C,結(jié)合AC1A8]可得。4=。。=。4,進(jìn)而可證明三A3OC,即

Be11OA,即可由線面垂直的判定定理證明BQ1平面AB。；

(2)結(jié)合(1)可證明0Ao5。4兩兩互相垂直.即以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閄軸正方向，|08|為單位長(zhǎng)度,

建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面與的和平面C]AA的法向量，即可求得二面角四-A4-&的

余弦值.

【詳解】

(1)證明：設(shè)3clBC=O,連接。4,如下圖所示:

?.?側(cè)面54GC為菱形,

ABCX1BXC,且。為用C及Bq的中點(diǎn)，

又AC1A8],則AC43]為直角三角形，

：.OA=OC=OBl,

又AB=BC,

:.ABOA=ABOC,(SSS)

.-.OA±OB,即

而OA,B?為平面AB?內(nèi)的兩條相交直線,

BQ，平面A31G.

(2)AB上B[C,BQ工BQ,ABcBQ=B

.?.4C_L平面ABO,

QAOu平面ABO,

BXC1AO,即Q4_LO%

從而OA,OB,OBl兩兩互相垂直.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，05的方向?yàn)閤軸正方向，|03|為單位長(zhǎng)度，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-孫z

NCBB[=60°,

???ACBB]為等邊三角形,

AB=BC,

?，-A(0,0,^(0,~~~,0),C(0,-,0)，

.?.A耳=[o,g,—今],朋=34=1—1，4,O]AG=AC=[o「￥，-

人人J〃?的=0z)=o

設(shè)平面耳的法向量為〃=(x,y,z),則「八，即《「，

n-AA.=0J3

1"-x+—y=Q

[3?

可取〃=(1,6,百)，

_..m-AC=0

設(shè)平面。[叫的法向量為加，貝葉??.

m-AAj=0

同理可取m=(1,一道)

n-m11

■/cos<n,m>=?-----r=p-=——=r=—,

/i-|m|xV?7

由圖示可知二面角B.-M-Q為銳二面角，

二面角片—A4—G的余弦值為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面垂直的判定方法，利用空間向量方法求二面角夾角的余弦值,注意建系時(shí)先證明三條兩兩垂直的直線,

屬于中檔題.

2024年上海高考數(shù)學(xué)試題及答案

2024年上海市高考數(shù)學(xué)試卷

2024.06

填空題(本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7~12題每題5分)

1.設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合/={2,4},求，=

2,已知小)=產(chǎn)X>°,/(3)=________

1,x<0

3.已知xeR,則不等式x?-2x-3<0的解集為

4.已知/(x)=x3+a(xeR),且/(x)是奇函數(shù)，則°=

5.已知AeR,￡=(2,5),b=(6,k),且￡〃譏則左的值為

6.在(x+1)"的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32,則X2項(xiàng)的系數(shù)為

7.已知拋物線/=4x上有一點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為9,那么點(diǎn)尸到x軸的距離為

8.某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有A、B、C3種題庫(kù)，4題庫(kù)有5000道題，B題庫(kù)有4000道題,

C題庫(kù)有3000道題，小申已完成所有題，已知他回答《題庫(kù)的正確率是0.92,8題庫(kù)的正

確率是0.86,C題庫(kù)的正確率是0.72.現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是

2

9.已知虛數(shù)z,其實(shí)部為1,且z+—=m(meR),則實(shí)數(shù)加為

z

10.設(shè)集合4中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，

則集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為

11.已知點(diǎn)3在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)。在點(diǎn)C的正東方向，BC=CD,存在點(diǎn)4滿足

ZBAC=\6.5°,ND4c=37。，則乙BC4=(精確到0.1度)

12.無(wú)窮等比數(shù)列{0“}滿足首項(xiàng)％>0,q>\,記/“={x-y|x,y?