2024-2025學年高中數(shù)學第一章常用邏輯用語1.1命題及其關系1.1.1命題作業(yè)含解析新人教A版選修1-1

PAGE第一章1.11.1.1A級基礎鞏固一、選擇題1．下列語句是命題的是(B)A．2020是一個大數(shù)B．若兩條直線平行，則這兩條直線沒有公共點C．對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？D．a≤2020[解析]A、D錯，它們不能推斷真假，所以不是命題；C錯，C不是陳述句；B正確，B是陳述句，且能推斷真假．2．語句“若a>1，則函數(shù)f(x)＝ax是增函數(shù)”(B)A．不是命題B．是真命題C．是假命題D．是命題，但真假與x的取值有關[解析]當a>1時，指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax是增函數(shù)，故“若a>1，則函數(shù)f(x)＝ax是增函數(shù)”是真命題．3．下列語句中，不能成為命題的是(B)A．5>12B．x>0C．已知a、b是平面對量，若a⊥b，則a·b＝0D．三角形的三條中線交于一點[解析]A是假命題；C、D是真命題，B中含變量x，未指定x的取值范圍，無法推斷真假，故不是命題．4．命題“6的倍數(shù)既能被2整除，又能被3整除”的結論是(C)A．這個數(shù)能被2整除B．這個數(shù)能被3整除C．這個數(shù)既能被2整除，也能被3整除D．這個數(shù)是6的倍數(shù)[解析]將命題改為“若p，則q”的形式：若一個數(shù)是6的倍數(shù)，則這個數(shù)既能被2整除，也能被3整除．5．(2024·山東濰坊高二期末)已知a，b，m∈R，則下列說法正確的是(D)A．若a>b，則eq\r(a)>eq\r(b)B．若a<b，則am2<bm2C．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，則a>bD．若a3>b3，則a>b[解析]選項A中，a>b得不出eq\r(a)>eq\r(b)，比如，a＝4，b＝－2時；選項B中，m＝0時，a<b得不出am2<bm2；選項C中，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)得不出a>b，比如，a＝－2，b＝4；選項D中，∵y＝x3是增函數(shù)，∴a3>b3得出a>b.故選D．6．給定下列命題：①若k>0，則方程x2＋2x－k＝0有實數(shù)根；②若a>b>0，c>d>0，則ac>bd；③對角線相等的四邊形是矩形；④若xy＝0，則x、y中至少有一個為0.其中是真命題的是(B)A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④[解析]①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①為真命題；②由不等式的乘法性質知命題正確，所以②為真命題；③如等腰梯形對角線相等，不是矩形，所以③是假命題；④由等式性質知命題正確，所以④是真命題，故選B．二、填空題7．給出下列命題①若ac＝bc，則a＝b；②方程x2－x＋1＝0有兩個實數(shù)根；③對于實數(shù)x，若x－2＝0，則(x－2)(x＋1)＝0；④若p>0，則p2>p；⑤正方形不是菱形．其中真命題是__③__，假命題是__①②④⑤__.[解析]c＝0時，①錯；方程x2－x＋1＝0的判別式Δ＝－3<0，∴方程x2－x＋1＝0無實根；p＝0.5>0，但p2>p不成立；正方形的四條邊相等，是菱形．因此①②④⑤都是假命題．對于③，若x－2＝0，則x＝2，∴(x－2)(x＋1)＝0，故正確．8．(2024·北京文，11)能說明“若a＞b，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)”為假命題的一組a，b的值依次為__1，－1(答案不惟一)__.[解析]只要保證a為正b為負即可滿意要求．當a＞0＞b時，eq\f(1,a)＞0＞eq\f(1,b).三、解答題9．推斷下列語句是否為命題，并說明理由．(1)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？(2)x>eq\r(2)；(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；(4)請把窗戶關上；(5)8>7；(6)這是一棵大樹．[解析](1)是疑問句，所以不是命題．(2)(6)不能推斷真假，不是命題．(3)(5)是陳述句且能推斷真假，是命題．(4)是祈使句，不是陳述句，所以不是命題．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思．”這是唐代詩人王維的《相思》詩，在這4句詩中，可作為命題的是(A)A．紅豆生南國 B．春來發(fā)幾枝C．愿君多采擷 D．此物最相思[解析]A為可推斷真假的陳述句，所以是命題；而B為疑問句，C為祈使句，D為感嘆句，所以均不是命題．2．有下列命題：①若xy＝0，則|x|＋|y|＝0；②若a>b，c≠0，則ac>bc；③矩形的對角線相互垂直．其中真命題共有(A)A．0個 B．1個C．2個 D．3個[解析]①中，當x＝1，y＝0時，xy＝0，|x|＋|y|＝1，故①錯誤；②中，若a＝2，b＝1，c＝－1，則ac＝－2，bc＝－1，ac<bc，故②錯誤；③中，矩形對角線相等但不垂直，故③錯誤．3．在下列給出的命題中，全部正確命題的個數(shù)為(C)①函數(shù)y＝x2－3x＋1的圖象關于x＝eq\f(3,2)對稱；②若實數(shù)x，y滿意x2＋y2＝1，則eq\f(y,x＋2)的最大值為eq\f(\r(3),3)；③若△ABC為銳角三角形，則sinA>cosB．A．1個 B．2個C．3個 D．0個[解析]①由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(5,4)知①正確，②eq\f(y,x＋2)表示平面直角坐標系中(x，y)與(－2,0)兩點所在直線的斜率，由數(shù)形結合知②正確，③由三角形中的性質知③正確，故應選C．4．(多選題)下列命題中的真命題是(ACD)A．若log2x<2，則0<x<4B．若a與b共線，則a與b的夾角為0°C．已知非零數(shù)列{an}滿意an＋1－2an＝0，則該數(shù)列為等比數(shù)列D．點(π，0)是函數(shù)y＝sinx圖象上一點[解析]B中當a與b共線，但方向相反時，a與b的夾角為180°，所以B是假命題．∴選ACD．5．(多選題)已知l，m，n是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，那么下列命題不正確的是(ABC)A．若l⊥m，l⊥n，m?α且n?α，則l⊥αB．若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，則m⊥αC．若m∥β，n∥β，m?α且n?α，則α∥βD．若α∥β，l⊥α，m∥l且n?β，則m⊥n[解析]對于A需直線m與n相交，對于B需直線m?β，對于C需直線m，n相交，所以A，B，C都不正確，故選ABC．二、填空題6．設a、b、c是空間的三條直線，下面給出四個命題：①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；②若a、b是異面直線，b、c是異面直線，則a、c也是異面直線；③若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面．其中真命題的個數(shù)是__0__.[解析]∵垂直于同始終線的兩條直線不肯定平行，∴命題①不正確；∵與同始終線均異面的兩條直線的位置關系可以共面，也可以異面，∴命題②不正確；∵與同始終線均相交的兩條直線在空間中可以相交，也可以平行或異面，∴命題③不正確；∵當兩平面的相交直線為直線b時，兩平面內分別可以作出直線a與c，即直線a與c不肯定共面，∴命題④不正確．綜上所述，真命題的個數(shù)為0.7．下列語句：①mx2－x＋1＝0是一元二次方程；②你是中學生嗎？③相互包含的兩個集合相等；④全等三角形的面積相等；⑤拋物線x2－mx－1＝0與x軸至少有一個交點；⑥又大又圓的紅蘋果真招人喜愛！其中是真命題的序號為__③④⑤__.[解析]由命題的定義可知①③④⑤是命題．①中當m＝0時，方程mx2－x＋1＝0不是一元二次方程，故為假命題；③④是真命題；⑤中Δ＝m2＋4>0，所以拋物線x2－mx－1＝0與x軸有兩個交點，故為真命題．三、解答題8．在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，則△ABC是什么三角形．[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<0，∴∠