2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.1.1簡單隨機(jī)抽樣學(xué)案含解析新人教A版必修3

PAGE其次章統(tǒng)計(jì)2.1隨機(jī)抽樣2．1.1簡潔隨機(jī)抽樣[目標(biāo)]1.理解簡潔隨機(jī)抽樣的概念；2.駕馭常見的兩種簡潔隨機(jī)抽樣的方法；3.能合理地從實(shí)際問題的總體中抽取樣本．[重點(diǎn)]用簡潔隨機(jī)抽樣方法(抽簽法和隨機(jī)數(shù)法)從總體中抽取樣本的方法和步驟．[難點(diǎn)]運(yùn)用簡潔隨機(jī)抽樣方法解決實(shí)際問題．學(xué)問點(diǎn)一簡潔隨機(jī)抽樣的概念[填一填]一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，假如每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡潔隨機(jī)抽樣．[答一答]1．現(xiàn)有甲、乙兩位同學(xué)對同一個總體用簡潔隨機(jī)抽樣的方法抽樣，那么他們抽取的樣本肯定一樣嗎？提示：這兩位同學(xué)抽出來的樣本不肯定一樣．因?yàn)閷τ谝淮魏啙嶋S機(jī)抽樣來說，抽出來的樣本是確定的，而這兩位同學(xué)分別抽取時，各個個體是否入樣帶有隨機(jī)性，且個體間無固定間距．2．利用簡潔隨機(jī)抽樣，從一個含有N個個體的總體中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，每個個體入樣的可能性是多少？提示：簡潔隨機(jī)抽樣每一次抽取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，均為eq\f(n,N).3．依據(jù)簡潔隨機(jī)抽樣的定義，簡潔隨機(jī)抽樣有哪些特征？提示：簡潔隨機(jī)抽樣的特征是：個體有限、逐個抽取、不放回、等可能．學(xué)問點(diǎn)二簡潔隨機(jī)抽樣的方法[填一填]1．抽簽法一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌勻稱后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本．2．隨機(jī)數(shù)法利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣．[答一答]4．抽取一個號簽，記錄其編號后放入容器中，再次抽取記錄，連續(xù)n次后得到號簽上的號碼對應(yīng)的個體，這些個體組成樣本，這種抽樣方法是抽簽法嗎？提示：不是．因?yàn)槌楹灧ㄊ侵饌€不放回抽取，目的是保證抽取的號簽不會重復(fù)，而這里記錄編號后又放回容器中，所以不是抽簽法．5．抽簽法的一般步驟是什么？提示：(1)將總體中個體編號1～N.(2)將全部編號1～N寫在形態(tài)、大小相同的號簽上．(3)將號簽放在一個不透亮的容器中，攪拌勻稱．(4)從容器中每次抽取一個號簽，并記錄其編號，連續(xù)抽取n次．(5)從總體中將與抽取到的號簽的編號相一樣的個體取出．6．抽簽法與隨機(jī)數(shù)法有哪些相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？提示：相同點(diǎn)：①抽簽法和隨機(jī)數(shù)法都是簡潔隨機(jī)抽樣的方法，并且要求被抽取樣本的總體的個數(shù)有限；②抽簽法和隨機(jī)數(shù)法都是從總體中逐個地進(jìn)行抽取，都是不放回抽樣．不同點(diǎn)：①抽簽法相對于隨機(jī)數(shù)法簡潔；②隨機(jī)數(shù)法更適用于總體中的個體數(shù)較多的時候，而抽簽法適用于總體中的個體數(shù)相對較少的狀況，所以當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時，應(yīng)當(dāng)選用隨機(jī)數(shù)法，這樣可以節(jié)約制作號簽的成本．類型一簡潔隨機(jī)抽樣的概念[例1](1)某校今年有1901名同學(xué)參與高考，從中隨機(jī)抽取50名同學(xué)的總成果進(jìn)行分析，在這個調(diào)查中，下列敘述錯誤的是()A．總體是：1901名同學(xué)的總成果B．個體是：每一名同學(xué)C．樣本是：50名同學(xué)的總成果D．樣本容量是：50(2)下面的抽樣方法是簡潔隨機(jī)抽樣嗎？為什么？①某連隊(duì)從200名黨員官兵中，選擇出50名最優(yōu)秀的官兵趕赴青海參與抗震救災(zāi)工作．②一彩民選號，從裝有36個大小、形態(tài)都相同的號簽的盒子中無放回地抽出6個號簽．③箱子里共有100個零件，從中選出10個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，在抽樣操作中，從中隨意取出1個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后，再把它放回箱子里．[解析](1)據(jù)題意總體是指1901名同學(xué)的總成果，樣本是指抽取的50名同學(xué)的總成果，個體是指每一名同學(xué)的高考總成果，樣本容量是50，故B錯誤．(2)解：①不是簡潔隨機(jī)抽樣．因?yàn)?0名官兵是從中挑出來的，是最優(yōu)秀的，每個個體被抽到的機(jī)會不同，不符合簡潔隨機(jī)抽樣中“等機(jī)會抽樣”的要求．②是簡潔隨機(jī)抽樣．因?yàn)榭傮w中的個體數(shù)是有限的，并且是從總體中逐個進(jìn)行抽取的，是不放回、等機(jī)會的抽樣．③不是簡潔隨機(jī)抽樣．因?yàn)樗怯蟹呕爻闃樱甗答案](1)B(2)見解析要推斷所給的抽樣方法是否是簡潔隨機(jī)抽樣，關(guān)鍵是看它們是否符合簡潔隨機(jī)抽樣的定義，即簡潔隨機(jī)抽樣的四個特點(diǎn)：1總體的個數(shù)有限；2逐個抽?。?是不放回的抽??；4保證每個個體被抽到的可能性是相同的.[變式訓(xùn)練1]下面的抽樣方法是簡潔隨機(jī)抽樣的是(4)．(1)某班有40名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參與?；@球賽；(2)從無限多個個體中抽取50個個體作樣本；(3)一兒童從玩具箱中的20件玩具中隨意拿出一件來玩，玩后放回再拿出一件，連續(xù)玩了5件；(4)從2000個燈泡中逐個抽取20個進(jìn)行質(zhì)量檢查．解析：(1)不是簡潔隨機(jī)抽樣，因?yàn)檫@不是等可能抽樣；(2)不是簡潔隨機(jī)抽樣，因?yàn)榭傮w不是有限個；(3)不是簡潔隨機(jī)抽樣，因?yàn)樗怯蟹呕爻闃樱?4)滿意簡潔隨機(jī)抽樣的四個特征，故是簡潔隨機(jī)抽樣．類型二簡潔隨機(jī)抽樣的應(yīng)用命題視角1：抽簽法的應(yīng)用[例2]某班40名同學(xué)，隨機(jī)抽取10名同學(xué)參與某項(xiàng)活動，請寫出采納抽簽法抽取的過程．[分析]依據(jù)抽簽法的一般步驟來寫．[解]第一步，對這40個學(xué)生進(jìn)行編號，編號分別為1,2，…，40.其次步，將號碼寫在形態(tài)、大小相同的號簽上．第三步，將號簽放在一個不透亮的箱中，并攪拌勻稱．第四步，從箱中每次抽取1個號簽，連續(xù)抽取10次．第五步，將與號簽上的號碼對應(yīng)的同學(xué)選出即得樣本．一個抽樣能否用抽簽法，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是制簽是否便利，二是號簽是否簡潔被攪勻.在適用此法時，肯定要留意“放入不透亮容器，并充分?jǐn)噭颉?[變式訓(xùn)練2]現(xiàn)要從20名學(xué)生中抽取5名進(jìn)行閱卷調(diào)查，寫出抽取樣本的過程．解：①先將20名學(xué)生進(jìn)行編號，從1編到20；②把號碼寫在形態(tài)、大小均相同的號簽上；③將號簽放在一個不透亮的箱子中進(jìn)行充分?jǐn)嚢?，力求勻稱，然后從箱子中抽取5個號簽，這5個號簽上的號碼對應(yīng)的學(xué)生，即為所求的樣本．命題視角2：隨機(jī)數(shù)表法的應(yīng)用[例3]從一個含有40個個體的總體中抽取一個容量為7的樣本，將個體依次隨機(jī)編號為01,02，…，40，從隨機(jī)數(shù)表的第6行第8列起先，依次向右，到最終一列轉(zhuǎn)下一行最左一列起先，直到取足樣本，則獲得的第4個樣本編號為()(下面節(jié)選了隨機(jī)數(shù)表第6行和第7行)第6行844217563107235506827704744359763063502583921206第7行630163785916955667199810507175128673580744395238A．06 B．10C．25 D．35[解析]找到第6行第8列的數(shù)起先向右讀，第一個數(shù)是63，不成立，其次個數(shù)是10，成立，第三個數(shù)是72，不成立，第四個數(shù)是35，成立，第五個數(shù)是50，不成立，這樣依次讀出結(jié)果，68,27,70,47,44,35,97,63,06，合適的數(shù)是27,35,06，其中35前面已經(jīng)出現(xiàn)，應(yīng)舍掉，故第四個數(shù)是06.[答案]A1隨機(jī)數(shù)表法選定初始數(shù)字讀數(shù)方向，向左、向右、向上或向下都可以，方向可能導(dǎo)致結(jié)果不同，但并不影響樣本的公允性.2隨機(jī)數(shù)表法適用于總體個數(shù)較多，但樣本容量較小的狀況.[變式訓(xùn)練3]一個學(xué)生在一次理科綜合學(xué)科競賽中要回答的8道題是這樣產(chǎn)生的：從15道物理題中隨機(jī)抽取3道；從20道化學(xué)題中隨機(jī)抽取3道；從12道生物題中隨機(jī)抽取2道．請選用隨機(jī)數(shù)表法探討這個學(xué)生所要回答的三門學(xué)科的題的序號．解：第一步，將物理、化學(xué)、生物題的編號依次地改成01,02，…，47；其次步，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個數(shù)作為起先，任選一個方向作為讀數(shù)方向，例如選出第10行第2列的數(shù)7，向右讀；第三步，從選定的數(shù)7起先向右讀，每次讀取兩位，凡不在01～47中的數(shù)跳過去不讀，前面已經(jīng)讀過的也跳過去不讀，從01～15中選3個號碼，從16～35中選3個號碼，從36～47中選2個號碼，依次可得到08,24,40,44,29,05,28,14；第四步，對應(yīng)以上編號找出所要回答的問題的序號，物理題的序號為：5,8,14；化學(xué)題的序號為：24,28,29；生物題的序號為：40,44.類型三簡潔隨機(jī)抽樣的等可能性[例4]一個布袋中有10個同樣質(zhì)地的小球，從中不放回地依次抽取3個小球，則某一特定小球被抽到的可能性是________，第三次抽取時，剩余每個小球被抽到的可能性是________．[解析]因?yàn)楹啙嶋S機(jī)抽樣過程中每個個體被抽到的可能性均為eq\f(n,N)，所以第一個空填eq\f(3,10).因本題中的抽樣是不放回抽樣，所以第一次抽取時，每個小球被抽到的可能性為eq\f(1,10)，其次次抽取時，剩余9個小球，每個小球被抽到的可能性為eq\f(1,9)，第三次抽取時，剩余8個小球，每個小球被抽到的可能性為eq\f(1,8).[答案]eq\f(3,10)eq\f(1,8)在整個抽樣過程中，各個個體被抽取的機(jī)會都相等，從而保證了這種抽樣方法的公允性.[變式訓(xùn)練4]某地有2000人參與自學(xué)考試，為了了解他們的成果，從中抽取一個樣本，若每個考生被抽到的概率都是0.04，則這個樣本的容量是80.解析：設(shè)樣本容量為n，依據(jù)簡潔隨機(jī)抽樣，得eq\f(n,2000)＝0.04，解得n＝80.1．為了了解一批零件的長度，抽測了其中200個零件的長度，在這個問題中，200個零件的長度是(C)A．總體 B．個體C．總體的一個樣本 D．樣本容量解析：200個零件的長度是從總體中抽出的個體組成的集合，是總體的一個樣本．故選C.2．抽簽法中確保樣本代表性的關(guān)鍵是(B)A．制簽 B．?dāng)嚢鑴蚍QC．逐一抽取 D．抽取不放回3．從10個籃球中任取一個，檢驗(yàn)其質(zhì)量，則應(yīng)采納的抽樣方法為簡潔隨機(jī)抽樣．4．用隨機(jī)數(shù)法從100名學(xué)生(男生35人)中抽選20人進(jìn)行評教，某男學(xué)生被抽到的可能性是0.2.解析：隨機(jī)抽樣中每個個體被抽到的可能性相同為eq\f(20,100)＝0.2.5．下面的抽樣方法是簡潔隨機(jī)抽樣嗎？為什么？(1)從多數(shù)個個體中抽取20個個體作為樣本．(2)從50臺冰箱中一次性抽取5臺冰箱進(jìn)行質(zhì)量檢查．(3)某班有40名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參與學(xué)校組織的籃球賽．(4)一彩民選號，從裝有36個大小、形態(tài)都相同的號簽的盒子中無放回地抽出6個號簽．解：(1)不是簡潔隨機(jī)抽樣．因?yàn)榭傮w的個數(shù)是無限的，而不是有限的．(2)不是簡潔隨機(jī)抽樣．雖然“一次性”抽取和“逐個”抽取不影響個體被抽到的可能性，但簡潔隨機(jī)抽樣的定義要求的是“逐個抽取”．(3)不是簡潔隨機(jī)抽樣．因?yàn)槭侵付?名同學(xué)參與競賽，每個個體被抽到的可能性是不同的，不是等可能抽樣．(4)是簡潔隨機(jī)抽樣．因?yàn)榭傮w中的個體數(shù)是有限的，并且是從總體中逐個進(jìn)行抽取的，是不放回、等可能地進(jìn)行抽樣．—