2024-2025學年高中數(shù)學第五章三角函數(shù)第7節(jié)三角函數(shù)的應用課時同步練習含解析新人教A版必修第一冊

第五章三角函數(shù)第7節(jié)三角函數(shù)的應用基礎鞏固1．（2024·浙江高一課時練習）已知某人的血壓滿意函數(shù)解析式，其中為血壓，為時間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為（）A．60 B．70 C．80 D．90【答案】C【解析】解：由題意得函數(shù)的周期為，所以頻率，所以此人每分鐘心跳的次數(shù)為80．2．（2024·湖南月考）某藝術展覽館在開館時間段（9：00—16：00）的參觀人數(shù)（單位：千）隨時間（單位：時）的改變近似滿意函數(shù)關系，且下午兩點整參觀人數(shù)為7千，則開館中參觀人數(shù)的最大值為（）A．1萬 B．9千 C．8千 D．7千【答案】B【解析】下午兩點整即，當時，.即，∴，∵當時，，∴當時，取得最大值，且最大值為.3．（2024·湖北襄陽·高一期末）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．已知大正方形邊長為10，小正方形邊長為2.設較小直角邊a所對的角為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，所以，解得或（舍去），故，所以，故選：B4．（2024·全國高一課時練習）如圖所示，單擺從某點起先來回搖擺，離開平衡位置的弧長與時間的函數(shù)關系式為，那么單擺來回搖擺一次所需的時間為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】單擺來回搖擺一次，即完成一個周期，因為的最小正周期，所以單擺來回搖擺一次所需的時間為，故選D.5．（2024·全國高一課時練習）據(jù)市場調查，某種商品一年內每件出廠價在7千元的基礎上，按月呈的模型波動（x為月份），已知3月份達到最高價9千元，7月份價格最低為5千元，依據(jù)以上條件可確定的解析式為()A．B．C．D．【答案】A【解析】因為3月份達到最高價9千元，7月份價格最低為5千元，所以半周期，故，所以，又，所以，所以，當時，，，.，故選A.6．（2024·沙坪壩·重慶南開中學高三月考（文））水車在古代是進行澆灌引水的工具，是人類的一項古老的獨創(chuàng)，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點動身，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時60秒，經(jīng)過t秒后，水斗旋轉到點，其縱坐標滿意，，則函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】易知，因旋轉一周用時60秒，即，又由題意知∴，又∴7．（2024·哈爾濱市第三十二中學校高一期末）如圖，在熱氣球C正前方有一高為m的建筑物AB，在建筑物底部A測得C的仰角為60°，同時在C處測得建筑物頂部B的俯角為30°，則此時熱氣球的高度CD為（）A．m B．m C．m D．m【答案】D【解析】由題意，∠BCA=∠BAC=30°，∴AB=BC=m，AC=m，△ADC中，CD=ACsin60°=m8．（2024·浙江高一課時練習）如圖，為了探討鐘表與三角函數(shù)的關系，建立如圖所示的坐標系，設秒針尖位置P(x，y).若初始位置為P0，當秒針從P0(注：此時t＝0)正常起先走時，那么點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)關系式為（）A．y＝sin B．y＝sinC．y＝sin D．y＝sin【答案】C【解析】由題意可得，初始位置為P0，不妨設初相為，故可得，，則.解除B、D.又函數(shù)周期是60(秒)且秒針按順時針旋轉，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－.故滿意題意的函數(shù)解析式為：.9．（2024·浙江高一課時練習）一觀覽車的主架示意圖如圖所示，其中O為輪軸的中心，距地面32m(即OM長)，巨輪的半徑長為30m，AM＝BP＝2m，巨輪逆時針旋轉且每12分鐘轉動一圈.若點M為吊艙P的初始位置，經(jīng)過t分鐘，該吊艙P距離地面的高度為h(t)m，則h(t)等于（）A．30sin＋30 B．30sin＋30C．30sin＋32 D．30sin【答案】B【解析】過點O作地面的平行線作為x軸，過點O作x軸的垂線作為y軸，過點B作x軸的垂線BN交x軸于N點，如圖，點A在圓O上逆時針運動的角速度是，所以t分鐘轉過的弧度數(shù)為t.設θ＝t，當θ>時，∠BON＝θ－，h＝OA＋BN＝30＋30sin，當0<θ<時，上述關系式也適合.故h＝30＋30sin＝30sin＋30.10．（2024·韶關市第一中學高一期末）如圖，圓的半徑為，是圓上的定點，是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為，將點到直線的距離表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖：過作于，則由題意可得：，，在中，，所以，∴.11．（2024·河北新華·石家莊新世紀外國語學校高一期中）如圖，某中學數(shù)學愛好小組要測量底部不能到達的某鐵塔的高度（如圖），鐵塔垂直于水平面，在塔的同一側且與塔底部在同一水平面上選擇兩觀測點，且在兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為,并測得，兩地相距600m，則鐵塔的高度是（）A．300m B．600m C．m D．【答案】B【解析】解:設,由圖利用直角三角形的性質可得:.在中,由余弦定理可得:化為:,解得.12．（2024·四川高三其他（文））為迎接大運會的到來，學校確定在半徑為的半圓形空地的內部修建一矩形觀賽場地，如圖所示，則觀賽場地的面積最大值為（）A．400 B．C．600 D．800【答案】D【解析】如圖連接，設，則，所以因為，所以，所以，所以，當時13．（2024·安徽肥東·高三月考（理））如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形，是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于的小路．已知某人從沿走到用了2分鐘，從沿著走到用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑的長度為A． B． C． D．【答案】B【解析】設該扇形的半徑為r米，連接CO．由題意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在△CDO中，，即，，解得（米）．14．（2024·渝中·重慶巴蜀中學月考（文））如圖，重慶快樂谷的摩天輪被稱為“重慶之眼”，其旋轉半徑為50米，最高點距離地面120米，開啟后按逆時針方向旋轉，旋轉一周大約18分鐘.將摩天輪看成圓面，在該平面內，以過摩天輪的圓心且垂直于地平面的直線為y軸，該直線與地平面的交點為坐標原點建立平面直角坐標系，某人在最低點的位置坐上摩天輪的座艙，摩天輪起先啟動，并記該時刻為，則此人距離地面的高度與摩天輪運行時間t（單位：分鐘）的函數(shù)關系式為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知，，，，當時，，，15．（2024·九龍坡·重慶市育才中學高三開學考試（理））第24屆國際數(shù)學家大會會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎進行設計的.如圖所示，會標是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.假如小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依據(jù)幾何關系可知，圖中直角三角形的兩條直角邊長相差為1，故可設直角三角形的兩直角邊長為，由勾股定理可得：，解得.故可得，16．（2024·河南焦作·高一期中）如圖為始終徑為m的水輪,水輪圓心距水面m,已知水輪每分鐘轉2圈,水輪上的點到水面的距離（m）與時間（s）滿意關系是表示表示在水面下,則有（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可知為水輪的半徑3,又水輪每分鐘轉2圈,故該函數(shù)的最小正周期為,所以.17．（多選題）（2024·全國高一課時練習）如圖是某市夏季某一天的溫度改變曲線，若該曲線近似地滿意函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．該函數(shù)的周期是16B．該函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線C．該函數(shù)的解析式是D．這一天的函數(shù)關系式也適用于其次天E.該市這一天中午12時天氣的溫度大約是27℃【答案】ABE【解析】由題意以及函數(shù)的圖象可知，，，∴，.∵，∴，A正確；∵，∴，∴，∵圖象經(jīng)過點，∴，∴，∴可以取，∴，B正確，C錯；這一天的函效關系式只適用于當天，其次天這個關系式不肯定適用，∴D錯；當時，，故E正確.綜上，ABE正確.18．（多選題）（2024·福建高三月考（理））如圖，一個水輪的半徑為，水輪軸心距離水面的高度為，已知水輪按逆時針勻速轉動，每分鐘轉動圈，當水輪上點從水中出現(xiàn)時的起始(圖中點)起先計時，記為點距離水面的高度關于時間的函數(shù)，則下列結論正確的是()A．B．C．若，則D．不論為何值，是定值【答案】BD【解析】如圖，以水輪所在面為坐標平面，以水輪的軸心為坐標原點，軸和軸分別平行和垂直于水面建立平面直角坐標系，依題意得在內所轉過的角度為，則.則點的縱坐標為，點距離水面的高度關于時間的函數(shù)；，選項A錯誤；，，，選項B正確；由得，解得，選項C錯誤；由綻開整理得為定值，選項D正確；19．（多選題）（2024·全國高一課時練習）如圖所示的是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是（）A．該質點的運動周期為0.7sB．該質點的振幅為5C．該質點在0.1s和0.5s時運動速度為零D．該質點的運動周期為0.8sE.該質點在0.3s和0.7s時運動速度為零【答案】BCD【解析】由題圖可知，振動周期為，故A錯，D正確；該質點的振幅為5，B正確；由簡諧運動的特點知，質點處于平衡位置時的速度最大，即在0.3s和0.7s時運動速度最大，在0.1s和0.5s時運動速度為零，故C正確，E錯.綜上，BCD正確.20．（多選題）（2024·江蘇蘇州·高三開學考試）水車在古代是進行澆灌引水的工具，亦稱“水轉簡車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車獨創(chuàng)于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項古老的獨創(chuàng)，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點動身，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時120秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉到點，設點的坐標為，其縱坐標滿意（，，），則下列敘述正確的是（）.A．B．當時，函數(shù)單調遞增C．當時，的最大值為D．當時，.【答案】AD【解析】解：由題意，，，所以；又點代入可得，解得；又，所以．正確；所以，當，時，，，所以函數(shù)先增后減，錯誤；，時，點到軸的距離的最大值為6，錯誤；當時，，的縱坐標為，橫坐標為，所以，正確．拓展提升1．如圖，是以原點為圓心的單位圓上的兩個動點,若它們同時從點動身，沿逆時針方向作勻角速度運動,其角速度分別為（單位：弧度/秒），為線段的中點，記經(jīng)過秒后(其中)，(I)求的函數(shù)解析式；(II)將圖象上的各點均向右平移2個單位長度，得到的圖象，求函數(shù)的單調遞減區(qū)間．【解析】解：（Ⅰ）依題意可知∠POAx，∠QOAx．∵|OP|＝|OQ|＝1，∴|OM|＝|OQ|?cos∠MOQ＝cos∠MOQ，∴∠MOQx，∴f（x）＝|OM|＝cosx（0≤x≤6），即f（x）＝cosx，（0≤x≤6）．（Ⅱ）依題意可知g（x）＝cos（x﹣2）＝cos（x）（2≤x≤8），由2kπx2kπ+π，得24k+2≤x≤24k+14，故函數(shù)y＝g（x）在[2，8]上的單調遞減區(qū)間為[2，8]．2．（2024·全國課時練習）一條河的兩岸平行，河的寬度，一般船從河岸邊的A處動身到河對岸.已知船在靜水中的速度的大小為，水流速度的大小為.假如要使船行駛的時間最短，那么船行駛的距離與合速度的大小的比值必需最小.此時我們分三種狀況探討：（1）當船逆流行駛，與水流成鈍角時；（2）當船順流行駛，與水流成銳角時；（3）當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時.請同學們計算上面三種狀況下船行駛的時間，推斷是否當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時所用時間最短.【解析】解：設與的夾角為，船行駛的時間為t,.（1）當為鈍角時，；（2）當為銳角時，；（3）當為直角時，；當為鈍角時，，當為銳角時，.所以當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時，所用時間最短.3．（如右圖）半徑為1，圓心角為的扇形，點是扇形弧上的動點，設．（1）用表示平行四邊形的面積；（2）求平行四邊形面積的最大值．【解析】由題意得：在中，設，由正弦定理得所以，當時達最大值即，當平行四邊形面積達到最大值．4．（2024·上海市川沙中學高一期末）某輪船以海里/小時的速度航行，在點測得海面上油井在南偏東60度．輪船從處向北航行30分鐘后到達處，測得油井在南偏東15度，且海里．輪船以相同的速度改為向東北方向再航行60分鐘后到達點．（1）求