2024-2025學年新教材高中物理第3章萬有引力定律章末綜合提升學案粵教版必修第二冊

PAGE8-第3章萬有引力定律[鞏固層·學問整合][提升層·實力強化]天體運動規(guī)律的“一”、“二”、“三”分析處理天體運動問題，要抓住“一個模型”、應(yīng)用“兩個思路”、區(qū)分“三個不同”。1．一個模型無論是自然天體(如行星、月球等)，還是人造天體(如人造衛(wèi)星、空間站等)，只要天體的運動軌跡為圓形，就可將其簡化為質(zhì)點的勻速圓周運動。2．兩個思路(1)全部做圓周運動的天體，所需的向心力都來自萬有引力。因此，向心力等于萬有引力，據(jù)此所列方程是探討天體運動的基本關(guān)系式，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma(2)不考慮地球或天體自轉(zhuǎn)影響時，物體在地球或天體表面受到的萬有引力約等于物體的重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，變形得GM＝gR2，此式通常稱為“黃金代換式”。3．三個不同(1)不同公式中r的含義不同。在萬有引力定律公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(F＝G\f(m1m2,r2)))中，r的含義是兩質(zhì)點間的距離；在向心力公式(F＝meq\f(v2,r)＝mω2r)中，r的含義是質(zhì)點運動的軌道半徑。當一個天體繞另一個天體做勻速圓周運動時，兩式中的r相等。(2)運行速度、放射速度和宇宙速度的含義不同。三種速度的比較，如下表所示比較項概念大小影響因素運行速度衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的速度v＝eq\r(\f(GM,r))軌道半徑r越大，v越小放射速度在地面上放射衛(wèi)星的速度大于或等于7.衛(wèi)星的放射高度越高，放射速度越大宇宙速度實現(xiàn)某種效果所需的最小衛(wèi)星放射速度7.9km/s11.16.不同衛(wèi)星放射要求不同(3)衛(wèi)星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動的向心加速度a′的含義不同。①繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星的向心加速度a，由Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2)，其中r為衛(wèi)星的軌道半徑。②若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度為g＝eq\f(GM,R2)，其中R為地球的半徑。③地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動的向心加速度a′＝ω2Rcosθ，其中ω、R分別是地球的自轉(zhuǎn)角速度和半徑，θ是物體所在位置的緯度值?！纠?】(多選)已知地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球同步衛(wèi)星質(zhì)量為m，引力常量為G，有關(guān)同步衛(wèi)星，下列表述正確的是()A．衛(wèi)星距地面的高度為eq\r(3,\f(GMT2,4π2))B．衛(wèi)星的運行速度小于第一宇宙速度C．衛(wèi)星運行時受到的向心力大小為Geq\f(Mm,R2)D．衛(wèi)星運行的向心加速度小于地球表面的重力加速度BD[對同步衛(wèi)星由萬有引力供應(yīng)向心力Geq\f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)eq\f(4π2,T2)，所以h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R，A錯誤；第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，B正確；同步衛(wèi)星運動的向心力等于萬有引力，應(yīng)為F＝eq\f(GMm,R＋h2)，C錯誤；同步衛(wèi)星的向心加速度為a同＝eq\f(GM,R＋h2)，地球表面的重力加速度a表＝eq\f(GM,R2)，知a表>a同，D正確。][一語通關(guān)]解決天體運動的基本思路解決天體運動問題的思路1．將天體運動視為勻速圓周運動。2．萬有引力供應(yīng)向心力，依據(jù)已知條件敏捷選擇合適的表達式，eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r。3．關(guān)于地球衛(wèi)星的問題，有時還會應(yīng)用GM＝gR2做代換。雙星問題1.雙星眾多的天體中假如有兩顆恒星，它們靠得較近，在萬有引力作用下圍著它們連線上的某一點共同轉(zhuǎn)動，這樣的兩顆恒星稱為雙星。2．雙星問題特點如圖所示為質(zhì)量分別是m1和m2的兩顆相距較近的恒星。它們間的距離為L。此雙星問題的特點是：(1)兩星的運行軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點；(2)兩星的向心力大小相等，由它們之間的萬有引力供應(yīng)；(3)兩星的運動周期、角速度相同；(4)兩星的運動半徑之和等于它們之間的距離，即r1＋r2＝L。3．雙星問題的處理方法雙星間的萬有引力供應(yīng)了它們做圓周運動的向心力，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，由此得出：(1)m1r1＝m2r2，即某恒星的運動半徑與其質(zhì)量成反比。(2)由于ω＝eq\f(2π,T)，r1＋r2＝L，所以兩恒星的質(zhì)量之和m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)?！纠?】宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不會因萬有引力的作用吸引到一起。(1)試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質(zhì)量的反比。(2)設(shè)兩者的質(zhì)量分別為m1和m2，兩者相距L，試寫出它們角速度的表達式。[解析](1)證明：兩天體繞同一點做勻速圓周運動的角速度ω肯定相同。它們做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力供應(yīng)，所以兩天體與它們的圓心總是在一條直線上。設(shè)兩者的圓心為O點，軌道半徑分別為R1和R2，如圖所示。對兩天體，由萬有引力定律可分別列出Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2R1 ①Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2R2 ②所以eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，所以eq\f(v1,v2)＝eq\f(R1ω,R2ω)＝eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，即它們的軌道半徑、線速度之比都等于質(zhì)量的反比。(2)由①②兩式相加得Geq\f(m1＋m2,L2)＝ω2(R1＋R2) ③因為R1＋R2＝L，所以ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3))。[答案](1)見解析(2)ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3))[一語通關(guān)]雙星問題的處理方法及兩個結(jié)論1．處理方法：雙星間的萬有引力供應(yīng)了它們做圓周運動的向心力。即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2。2．雙星的兩個結(jié)論(1)運動半徑：與質(zhì)量成反比，即eq\f(r1,r2)＝eq\f(m2,m1)。(2)質(zhì)量之和：m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)。eq\o([跟進訓(xùn)練])1．如圖所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動?，F(xiàn)測得兩顆星之間的距離為L，質(zhì)量之比為m1∶m2＝3∶2，下列說法中正確的是()A．m1、m2做圓周運動的線速度之比為3∶2B．m1、m2做圓周運動的角速度之比為3∶2C．m1做圓周運動的半徑為eq\f(2,5)LD．m2做圓周運動的半徑為eq\f(2,5)LC[設(shè)雙星m1、m2距轉(zhuǎn)動中心O的距離分別為r1、r2，雙星繞O點轉(zhuǎn)動的角速度為ω，據(jù)萬有引力定律和牛頓其次定律得Geq\f(m1m2,L2)＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2所以可解得r1＝eq\f(2,5)L，r2＝eq\f(3,5)Lm1、m2做圓周運動的線速度分別為v1＝r1ω，v2＝r2ω，故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3。綜上所述，選項C正確。]衛(wèi)星(宇宙飛船)的變軌問題1.衛(wèi)星的變軌問題衛(wèi)星變軌時，先是線速度v發(fā)生變更導(dǎo)致須要的向心力發(fā)生變更，進而使軌道半徑r發(fā)生變更。(1)當衛(wèi)星減速時，衛(wèi)星所需的向心力F向＝meq\f(v2,r)減小，萬有引力大于所需的向心力，衛(wèi)星將做近心運動，向低軌道變遷。(2)當衛(wèi)星加速時，衛(wèi)星所需的向心力F向＝meq\f(v2,r)增大，萬有引力不足以供應(yīng)衛(wèi)星所需的向心力，衛(wèi)星將做離心運動，向高軌道變遷。以上兩點是比較橢圓和圓軌道切點速度的依據(jù)。2．飛船對接問題(1)低軌道飛船與高軌道空間站對接如圖甲所示，低軌道飛船通過合理地加速，沿橢圓軌道(做離心運動)追上高軌道空間站與其完成對接。甲乙(2)同一軌道飛船與空間站對接如圖乙所示，后面的飛船先減速降低高度，再加速提上升度，通過適當限制，使飛船追上空間站時恰好具有相同的速度。3．衛(wèi)星軌道的突變：由于技術(shù)上的須要，有時要在適當?shù)奈恢枚虝r間內(nèi)啟動飛行器上的發(fā)動機，使飛行器軌道發(fā)生突變，使其進入預(yù)定的軌道。如圖所示，放射同步衛(wèi)星時，可以分多過程完成：(1)先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道Ⅰ。(2)使其繞地球做勻速圓周運動，速率為v1，變軌時在P點點火加速，短時間內(nèi)將速率由v1增加到v2，使衛(wèi)星進入橢圓形的轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ。(3)衛(wèi)星運行到遠地點Q時的速率為v3，此時進行其次次點火加速，在短時間內(nèi)將速率由v3增加到v4，使衛(wèi)星進入同步軌道Ⅲ，繞地球做勻速圓周運動?！纠?】(多選)放射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星放射至近地圓軌道1，然后點火，使其沿橢圓軌道2運動，最終再次點火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，如圖所示。當衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運動時，以下說法正確的是()A．衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率B．衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度C．衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點時的加速度大小大于它在軌道2上經(jīng)過Q點時的加速度大小D．衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點時的加速度大小等于它在軌道3上經(jīng)過P點時的加速度大小思路點撥：(1)不同的圓周運動軌道由v＝eq\r(\f(GM,r))、ω＝eq\r(\f(GM,r3))比較速率、角速度大小。(2)由a＝eq\f(GM,r2)比較衛(wèi)星加速度大小。BD[由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，因為r3＞r1，所以v3＜v1，A錯誤；由Geq\f(Mm,r2)＝mrω2，得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，因為r3＞r1，所以ω3＜ω1，B正確；衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點時的加速度為地球引力產(chǎn)生的，在軌道2上經(jīng)過Q點時，也只有地球引力產(chǎn)生加速度，故兩者大小應(yīng)相等，C錯誤；同理，衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點時的加速度大小等于它在軌道3上經(jīng)過P點時的加速度大小，D正確。][一語通關(guān)]衛(wèi)星變軌問題的分析技巧1．依據(jù)引力與須要的向心力的關(guān)系分析(1)當衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動時，萬有引力供應(yīng)向心力，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，由此可見軌道半徑r越大，線速度v越小。(2)當由于某緣由速度v突然變更時，若速度v減小，則F＞meq\f(v2,r)，衛(wèi)星將做近心運動，軌跡為橢圓；若速度v增大，則F＜meq\f(v2,r)，衛(wèi)星將做離心運動，軌跡為橢圓，此時可用開普勒三定律分析其運動。2．衛(wèi)星到達橢圓軌道與圓軌道的切點時，衛(wèi)星受到的萬有引力相同，所以加速度相同。eq\o([跟進訓(xùn)練])2．宇宙飛船和空間站在同一軌道上運動，若飛船想與前面的空間站對接，飛船為了追上軌道空間站，可實行的方法是()A．飛船加速直到追上空間站，完成對接B．飛船從原軌道減速至一個較低軌道，再加速追上空間站完成對接C．飛船加速至一個較高軌道再減速追上空間站完成對接D．無論飛船實行何種措施，均不能與空間站對接B[由于宇宙飛船做圓周運動的向心力是地球?qū)ζ涫┘拥娜f有引力，由牛頓其次定律有eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)，得v＝eq\r(\f(GM,R))，想追上同軌道上的空間站，干脆加速會導(dǎo)致飛船軌道半徑增大，由上式知飛船在一個新軌道上運行時速度比空間站的速度小，無法對接，故A錯；飛船若先減速，它的軌道半徑減小，但速度增大了，故在低軌道上飛船可接近或超過空間站，如圖所示。當飛船運動到合適的位置后再加速，則其軌道半徑增大，同時速度減小，當剛好運動到空間站所在軌道時停止加速，則飛船的速度剛好等于空間站的速度，可完成對接；若飛船先加速到一個較高軌道，其速度小于空間站速度，此時空間站比飛船運動快，當二者相對運動一周后，使飛船減速，軌道半徑減小又使飛船速度增大，仍可追上空間站，但這種方法易造成飛船與空間站碰撞，不是最好的方法，且空間站追飛船不合題意，綜上所述，方法應(yīng)選B。][培育層·素養(yǎng)升華]北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(英文名稱：BeiDouNavigationSatelliteSystem，簡稱BDS)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，也是繼GPS、GLONASS之后的第三個成熟的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)。北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)和美國GPS、俄羅斯GLONASS、歐盟GALILEO，是聯(lián)合國衛(wèi)星導(dǎo)航委員會已認定的供應(yīng)商。北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由空間段、地面段和用戶段三部分組成，可在全球范圍內(nèi)全天候、全天時為各類用戶供應(yīng)高精度、高牢靠定位、導(dǎo)航、授時服務(wù)，并具短報文通信實力，已經(jīng)初步具備區(qū)域?qū)Ш?、定位和授時實力，定位精度10米，測速精度0.2米/秒，授時精度10納秒。2020年7月31日上午，北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航正式開通。[設(shè)問探究]1．北斗導(dǎo)航系統(tǒng)中有幾顆地球同步衛(wèi)星，而GPS導(dǎo)航系統(tǒng)由周期為12h的衛(wèi)星群組成，兩者相比，誰的軌道半徑大？誰的線速度大？2．北斗導(dǎo)航系統(tǒng)中離地球越近的衛(wèi)星所受的引力越大嗎？提示：1.由周期大的軌道半徑大知，北斗導(dǎo)航同步衛(wèi)星的軌道半徑大，又由v＝eq\r(\f(GM,r))知GPS導(dǎo)航衛(wèi)星的線速度大。2．不肯定，因衛(wèi)星的質(zhì)量不確定。[深度思索]1．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)是我國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，截止到2024年6月，我國已勝利放射了46顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，并勝利實現(xiàn)組網(wǎng)。其中A、B兩顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，SA、SB表示兩衛(wèi)星與地心的連線在單位時間內(nèi)掃過的面積，vA、vB表示兩衛(wèi)星運行的速率。下列關(guān)系式正確的是()A．SA＝SB B．eq\f(SA,SB)＝eq\f(vB,vA)C．eq\f(SA,SB)＝eq\f(vA,vB) D．無法確定B[衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，則有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)，由于S＝eq\f(πr2,T)