2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.2.4二面角課后提升訓(xùn)練含解析新人教B版選擇性必修第一冊

1.2.4二面角課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.已知ABCD是正方形,E是AB的中點(diǎn),將△DAE和△CBE分別沿DE,CE折起,使AE與BE重合,A,B兩點(diǎn)重合后記為點(diǎn)P,那么二面角P-CD-E的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°答案A2.如圖,設(shè)AB為圓錐PO的底面直徑,PA為母線,點(diǎn)C在底面圓周上,若△PAB是邊長為2的正三角形,且CO⊥AB,則二面角P-AC-B的正弦值是()A.6 B.427 C.77 D解析如圖,取AC的中點(diǎn)D,連接OD,PD,∵PO⊥底面,∴PO⊥AC,∵OA=OC,D為AC的中點(diǎn),∴OD⊥AC,又PO∩OD=O,∴AC⊥平面POD,則AC⊥PD,∴∠PDO為二面角P-AC-B的平面角.∵△PAB是邊長為2的正三角形,∴PO=3,OA=OC=1,OD=22,則PD=(∴sin∠PDO=POPD故選B.答案B3.正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,則平面PAB與平面PCD所成的角為()A.30° B.45° C.60° D.90°解析如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=AB=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于是AD=(0,1,0),取PD的中點(diǎn)E,則E0,12,1∴AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的法向量,AE是平面∴cos<AD,AE>=∴平面PAB與平面PCD所成的角為45°.答案B4.請依據(jù)所給的圖形,把空白之處填寫完整.(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理(請用符號語言作答).如圖①,已知:a∥α,,

求證:.

(2)平面與平面垂直的性質(zhì)定理的證明.如圖②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,,,

求證:AB⊥β.證明:在β內(nèi)引直線,垂足為B,則是二面角的平面角,由α⊥β,知,又AB⊥CD,BE和CD是β內(nèi)的兩條直線,所以AB⊥β.

解(1)已知:a∥α,a?β,α∩β=b,求證:a∥b.故答案為a?β,α∩β=b;a∥b.(2)如圖②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,AB?α,AB⊥CD,求證:AB⊥β.證明:在β內(nèi)引直線BE⊥CD,垂足為B,則∠ABE是二面角α-CD-β的平面角,由α⊥β,知AB⊥BE,又AB⊥CD,BE和CD是β內(nèi)的兩條相交直線,所以AB⊥β.故答案為AB?α,AB⊥CD,BE⊥CD,∠ABE,α-CD-β,AB⊥BE,相交.5.已知正△ABC與正△BCD所在平面垂直,則二面角A-BD-C的正弦值為.

解析取BC中點(diǎn)O,連接AO,DO,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)BC=1,則A0,0,32,B0,-12,0,D32,0,0.所以O(shè)A=0,0,32,BA=0,12,32,BD=32,由于OA=0,0,32為平面BCD的一個(gè)法向量,設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,z),則n·BA取x=1,則y=-3,z=1,所以n=(1,-3,1),所以cos<n,OA>=55,所以sin<n,OA>=2答案26.在空間中,已知平面α過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0,a)(a>0),假如平面α與平面xOy所成的角為45°,則a=.

解析平面xOy的法向量n=(0,0,1),設(shè)平面α的法向量為u=(x,y,z),則-即3x=4y=az,取z=1,則u=a3,a4而cos<n,u>=1a29+∴a=125答案127.如圖所示,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,點(diǎn)F為PC的中點(diǎn),求二面角C-BF-D的正切值.解如圖所示,設(shè)AC與BD交于O,連接OF,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)PA=AD=AC=1,則BD=3,所以O(shè)(0,0,0),B32,0,0,F0,0,12,C0,12,0,OC=0,12,0,易知OC為平面BDF的一個(gè)法向量.由BC=-32,12,0,FB=32,0,-12,可得平面BCF的一個(gè)法向量為n=(1,3,3),所以cos<n,OC>=217,sin<n,OC>=277,所以tan8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)證明:PA⊥BD;(2)設(shè)PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.(1)證明因?yàn)椤螪AB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=3AD.從而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)解如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),AD的長為單位長,射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,3,0),P(0,0,1).AB=(-1,3,0),PB=(0,3,-1),BC=(-1,0,0).設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z),則n因此可取n=(3,1,3).設(shè)平面PBC的法向量為m=(a,b,c),則m可取m=(0,-1,-3),cos<m,n>=-427由圖形知二面角A-PB-C大小為鈍角,故二面角A-PB-C的余弦值為-279.正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長等于2,E,F分別是B'D',AC的中點(diǎn).求:(1)直線AB'和平面ACD'所成角的正弦值;(2)二面角B'-CD'-A的余弦值.解如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,∵正方體的棱長等于2,E,F分別是B'D',AC的中點(diǎn),∴A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D'(0,0,2),B'(2,2,2),E(1,1,2),F(1,1,0).(1)AD'=(-2,0,2),AC=(-2,2,0),AB'=(0,2,2),設(shè)n=(x',y',z')是平面則由nz取x'=1,得平面ACD'的一個(gè)法向量n=(1,1,1),設(shè)直線AB'和平面ACD'所成角的大小為θ,則sinθ=|n∴直線AB'和平面ACD'所成角的正弦值是63(2)D'B'=(2,2,0),D'設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面B'CD'的一個(gè)法向量,則由m·D'B'=0,m·D'C由cosθ=n·由圖形知二面角B'-CD'-A的大小為銳角.故二面角B'-CD'-A的余弦值是13實(shí)力提升練1.二面角的棱上有A,B兩點(diǎn),直線AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,則該二面角的大小為()A.150° B.45° C.60° D.120°解析由條件知,CA·AB=0,ABCD=∴|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2AB·=62+42+82+2×6×8cos<CA,=(217)2,∴cos<CA,BD>=-12,即<∴二面角的大小為60°,故選C.答案C2.設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形,側(cè)棱長均相等,P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)).記直線PB與直線AC所成的角為α,直線PB與平面ABC所成的角為β,二面角P-AC-B的平面角為γ,則()A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γC.β<α,γ<α D.α<β,γ<β解析如圖G為AC中點(diǎn),點(diǎn)V在底面ABC上的投影為點(diǎn)O,則點(diǎn)P在底面ABC上的投影點(diǎn)D在線段AO上,過點(diǎn)D作DE垂直AE,易得PE∥VG,過點(diǎn)P作PF∥AC交VG于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DH∥AC,交BG于點(diǎn)H,則α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,所以cosα=PFPB=EGPB=DHPB<BDPB=cosβ,所以α>β,因?yàn)閠anγ=答案B3.如圖,將菱形ABCD沿對角線BD折起,使得C點(diǎn)至C',E點(diǎn)在線段AC'上,若二面角A-BD-E與二面角E-BD-C'的大小分別為30°和45°,則AEEC'=(A.12 B.66 C.22解析取BD的中點(diǎn)O,連接AO,EO,C'O,∵菱形ABCD沿對角線BD折起,使得C點(diǎn)至C',E點(diǎn)在線段AC'上,∴C'O⊥BD,AO⊥BD,OC'=OA,∴BD⊥平面AOC',∴EO⊥BD,∵二面角A-BD-E與二面角E-BD-C'的大小分別為30°和45°,∴∠AOE=30°,∠EOC'=45°,∵OC'=OA,∴∠OC'E=∠OAE,由正弦定理得OEsinOEsin∴EC'∴AEEC故選C.答案C4.如圖所示,將邊長為a的正三角形ABC,沿BC邊上的高線AD將△ABC折起.若折起后B,C'間距離為a2,則二面角B-AD-C'的大小為.答案60°5.如圖,在矩形ABCD中,E為線段BC上一動(dòng)點(diǎn),現(xiàn)將△ABE沿AE折起得到△AB'E,當(dāng)二面角B'-AE-D的平面角為120°,點(diǎn)B'在平面ABC上的投影為K,當(dāng)E從B運(yùn)動(dòng)到C,則點(diǎn)K所形成軌跡是.

解析過K作KO⊥AE,連接OB',∵二面角B'-AE-D的平面角為120°,∴∠B'OK=60°,∴KO=12B'O從而原問題就轉(zhuǎn)化為B'O⊥AE,K為B'O中點(diǎn),求K的軌跡長度,如下圖,∵B'O⊥AE,∴O在以AB'為直徑的圓上,取AB'中點(diǎn)J,則JK⊥B'K,所以K點(diǎn)的軌跡是以B'J為直徑的圓上的一段弧.答案一段圓弧6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,四邊形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中點(diǎn).若二面角P-AC-E的余弦值為33,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值解如圖,作CF∥DA,交AB于點(diǎn)F,以C為原點(diǎn),CF,CD,CP分別為x軸、則C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).設(shè)P(0,0,a)(a>0),則E12,-12,CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE=12,-12,取m=(1,-1,0),則m·CA=m·CP=0,所以m為平面PAC的一個(gè)法向量.設(shè)n=(x,y,z)為平面EAC的一個(gè)法向量,則n·CA=0可得n=(a,-a,-2),依題意,|cos<m,n>|=|m則a=1(負(fù)值舍去).于是n=(1,-1,-2),PA=(1,1,-1).設(shè)直線PA與平面EAC所成的角為θ,則sinθ=|cos<PA,n>|=23即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為237.如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,平面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.(1)證明:平面ABEF⊥平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.(1)證明由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC,又AF?平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)解過D作DG⊥EF,垂足為G,由(1)知DG⊥平面ABEF.以G為坐標(biāo)原點(diǎn),GF的方向?yàn)閤軸正方向,|GF|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由(1)知∠DFE為二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,則DF=2,DG=3,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,3).由已知AB∥EF,所以AB∥平面EFDC,又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF,由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF為二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°,從而可得C(-2,0,3).所以EC=(1,0,3),EB=(0,4,0),AC=(-3,-4,3),AB=(-4,0,0).設(shè)n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,則n即x+3z=0,4y=0,所以可取n=(3,0,-3).設(shè)m=(x1,同理可取m=(0,3,4),則cos<n,m>=n·m|由圖形知二面角E-BC-A為鈍角,故二面角E-BC-A的余弦值為-2198.如圖,在四棱錐E-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,BE=BC,AE⊥BE,M為CE上一點(diǎn),且BM⊥面ACE.(1)求證:AE⊥BC;(2)若點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn),求證:MN∥面ADE;(3)若BE=4,CE=42,且二面角A-BC-E的大小為45°,求三棱錐C-ABE的體積.(1)證明∵BM⊥平面ACE,AE?平面ACE,∴BM⊥AE.∵AE⊥BE,BM∩BE=B,∴AE⊥平面BCE.∵BC?平面BCE,∴AE⊥BC.(2)證明取DE中點(diǎn)P,連接PM,AP,∵BC=BE,BM⊥AE,∴M為CE的中點(diǎn),∴MP∥12DC∥AN,且MP=AN∴APMN為平行四邊形,∴MN∥AP.∵M(jìn)N?平面ADE,AP?平面ADE,∴MN∥平面ADE.(3)解由BE=BC=4,CE=42得BC⊥BE.∵BC⊥AE,AE∩BE=E,∴BC⊥平面ABE.∴∠ABE為二面角A-BC-E的平面角.∴∠ABE=45°.∴AE=BE=4.∴三棱錐C-ABE的體積13×12×42×9.如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點(diǎn)E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)證明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.(1)證明由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE?平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1=90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°,故AE=AB,AA1=2AB.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA的方向?yàn)閤軸正方向,|DA|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),CB=(1,0,0),CE=(1,-1,1),CC1=設(shè)平面EBC的法向量為n=(x,y,z),則CB所以可取n=(0,-1,-1).設(shè)平面ECC1的法向量為m=(x,y,z),則C所以可取m=(1,1,0).于是cos<n,m>=n·m|所以,二面角B-EC-C1的正弦值為3210.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D中,已知上下兩底面為正方形,且邊長均為1,側(cè)棱AA1=2,E為BC中點(diǎn),F為CD中點(diǎn),G為BB1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)確定G點(diǎn)的位置,使得D1E⊥平面AFG;(2)當(dāng)D1E⊥平面AFG時(shí),求二面角G-AF-E的平面角的余弦值.解(1)如圖,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2).因?yàn)镋為BC中點(diǎn),F為CD中點(diǎn),所以E12,1,0,F0,12,0.由題意得D1E⊥AF,D1E⊥AG,設(shè)G(1,1,t).又D1E=12,1,-2,AF=-1,12,0,AG=(0,1,t).因?yàn)镈1E⊥平面AFG,則D得1-2t=0,t=12.∴BG=1即G為BB1的四等分點(diǎn).(2)由題意知,平面AFE的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),設(shè)平面AFG的法向量n=(x,y,z).則AF·n=0,AG·n=0,得-∴cos<m,n>=m·由圖形知二面角G-AF-E的大小為銳角.∴二面角G-AF-E的平面角的余弦值為421素養(yǎng)培優(yōu)練1.如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),直線PC⊥平面ABC,E,F分別是PA,PC的中點(diǎn).(1)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試推斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明;(2)設(shè)(1)中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且點(diǎn)Q滿意DQ=12CP,記直線PQ與平面ABC所成的角為θ,異面直線PQ與EF所成的角為α,二面角E-l-C的大小為β,求證:sinθ=(1)解直線l∥平面PAC,證明如下:連接EF,因?yàn)镋,F分別是PA,PC的中點(diǎn),所以EF∥AC.又EF?平面ABC,且AC?平面ABC,所以EF∥平面ABC.而EF?平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.因?yàn)閘?平面PAC,EF?平面PAC,所以直線l∥平面PAC.(2)證明如圖,由DQ=12CP,作DQ∥CP,且連接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交線l即為直線BD.以點(diǎn)C為原點(diǎn),向量CA,CB,CP所在直線分別為x、y、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)CA=a,CB=b,CP=2c,則有C(0,0,0),A(