2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標表示6.3.2-6.3.3學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE1-6．3.2平面對量的正交分解及坐標表示6．3.3平面對量加、減運算的坐標表示[目標]1.能用坐標表示向量，知道平面對量基本定理中向量與有序?qū)崝?shù)對的一一對應(yīng)關(guān)系；2.會兩個向量的和差的坐標運算．[重點]平面對量的正交分解及坐標表示．[難點]平面對量的坐標運算．要點整合夯基礎(chǔ)學(xué)問點一向量的正交分解及坐標表示[填一填]1．向量的正交分解把一個向量分解為兩個相互垂直的向量，叫做把向量作正交分解．2．向量的坐標表示在平面直角坐標系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底，對于平面內(nèi)的隨意一個向量a，由平面對量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，我們把有序?qū)崝?shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐標表示，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標．3．向量與坐標的關(guān)系設(shè)eq\o(OA,\s\up15(→))＝xi＋yj，則向量eq\o(OA,\s\up15(→))的坐標(x，y)就是終點A的坐標；反過來，終點A的坐標(x，y)就是向量eq\o(OA,\s\up15(→))的坐標．因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面對量都可以用一有序?qū)崝?shù)對唯一表示，即以原點為起點的向量與實數(shù)對是一一對應(yīng)的．[答一答]1．特殊地，i，j，0的坐標分別是什么？提示：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．學(xué)問點二平面對量加、減運算的坐標表示[填一填]已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和(差)．(2)若點A坐標為(x1，y1)，點B坐標為(x2，y2)，O為坐標原點，則eq\o(OA,\s\up15(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up15(→))＝(x2，y2)，eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標．[答一答]2．與坐標軸平行的向量的坐標有什么特點？提示：與x軸平行的向量的縱坐標為0，即a＝(x,0)；與y軸平行的向量的橫坐標為0，即b＝(0，y).典例講練破題型類型一平面對量的坐標表示[例1]在平面直角坐標系中，向量a，b，c的方向如圖所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，向量a，b，c的坐標分別為_____，________，________.[解析]設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．a(chǎn)1＝|a|cos45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，a2＝|a|sin45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，b1＝|b|cos120°＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)，b2＝|b|sin120°＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，c1＝|c|cos(－30°)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，c2＝|c|sin(－30°)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2.∴a＝(eq\r(2)，eq\r(2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，c＝(2eq\r(3)，－2)．[答案](eq\r(2)，eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))(2eq\r(3)，－2)始點為坐標原點的向量的坐標由終點的坐標確定.一般可以借助三角函數(shù)的定義來確定點的坐標，此時需明確點所在的象限，點到原點的距離，點與原點的連線與x軸正方向的夾角.[變式訓(xùn)練1]在平面直角坐標系中，|a|＝4，且a如圖所示，則a的坐標為(D)A．(2eq\r(3)，2)B．(2，－2eq\r(3))C．(－2,2eq\r(3))D．(2eq\r(3)，－2)解析：x＝|a|·cos(－30°)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，y＝|a|·sin(－30°)＝4×(－eq\f(1,2))＝－2.類型二平面對量加、減運算的坐標運算[例2]已知邊長為單位長度的正方形ABCD，若A點與坐標原點重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸的正方向上，則向量eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))的坐標為________．[解析]依據(jù)題意建立平面直角坐標系(如圖)，則各頂點的坐標分別為A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以eq\o(AB,\s\up15(→))＝(1,0)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝(0,1)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝(1,1)，所以eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＝(1,0)－(0,1)＋(1,1)＝(2,0)．[答案](2,0)1向量的坐標運算主要是利用加法、減法運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求出向量的坐標，要留意三角形法則及平行四邊形法則的應(yīng)用.2若是給出向量的坐標，解題過程中要留意方程思想的運用及正確運用運算法則.[變式訓(xùn)練2]已知?ABCD的三個頂點A，B，C的坐標分別為(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，求頂點D的坐標．解：設(shè)頂點D的坐標為(x，y)，在?ABCD中，eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))，又eq\o(AD,\s\up15(→))＝(x＋2，y－1)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝(4,1)，∴(x＋2，y－1)＝(4,1)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝4，,y－1＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))∴頂點D的坐標為(2,2).課堂達標練經(jīng)典1．已知eq\o(MN,\s\up15(→))＝(2,3)，則點N位于(D)A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．不確定解析：因為點M的位置不確定，則點N的位置也不確定．2．已知向量a，b滿意a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，則a，b的坐標分別為(C)A．(4,0)，(－2,6)B．(－2,6)，(4,0)C．(2,0)，(－1,3)D．(－1,3)，(2,0)解析：2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4,0)，于是a＝(2,0)，所以b3．向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝(2x，x－1)，O為坐標原點，則點A在第四象限時，x的取值范圍是(D)A．x>0 B．x<1C．x<0或x>1 D．0<x<1解析：由A點在第四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x>0,x－1<0))，解得0<x<1.4．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)與eq\o(AB,\s\up15(→))相等，已知A(1,3)，B(2,4)，則x＝1.解析：∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝1，,x2＋3x－3＝1，))解得x＝1.5．已知O是坐標原點，點A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°.(1)求向量eq\o(OA,\s\up15(→))的坐標．(2)若B(eq\r(3)，－1)，求eq\o(BA,\s\up15(→))的坐標．解：(1)設(shè)點A(x，y)，則x＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，eq\o(OA,\s\up15(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up15(→))＝(2eq