2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.3.2直線與平面平行教師用書教案新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE8-11．3.2直線與平面平行[課程目標(biāo)]1.駕馭直線和平面的位置關(guān)系；2.理解并駕馭直線和平面平行的判定定理；3.理解并駕馭直線和平面平行的性質(zhì)定理．學(xué)問(wèn)點(diǎn)一直線和平面平行的判定定理[填一填]1．直線與平面的位置關(guān)系2.直線與平面平行的判定定理(1)文字?jǐn)⑹觯杭偃缙矫嫱獾囊粭l直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個(gè)平面平行．(3)圖形表示：[答一答]1．直線和平面平行的判定定理中假如沒(méi)有“不在一個(gè)平面內(nèi)”的限制條件，結(jié)論還成立嗎？為什么？提示：結(jié)論不肯定成立．因?yàn)橹本€a可能在平面α內(nèi)．2．證明直線和平面平行的關(guān)鍵是什么？提示：證明直線和平面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條與已知直線平行的直線．3．假如一條直線與平面內(nèi)多數(shù)條直線平行，那么這條直線與這個(gè)平面平行嗎？提示：不肯定平行，有可能直線在平面內(nèi)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二直線和平面平行的性質(zhì)定理[填一填](1)文字?jǐn)⑹觯杭偃缫粭l直線與一個(gè)平面平行，且經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就與兩平面的交線平行．(2)符號(hào)語(yǔ)言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l?β,α∩β＝m))?l∥m.(3)圖形表示：[答一答]4．若直線a∥平面α，如何在平面α內(nèi)找一條直線與a平行？提示：依據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，只需過(guò)a作一平面與平面α相交，則交線與a平行．5．若a∥α，過(guò)a與α相交的平面有多少個(gè)？它們與α的交線相互之間有什么關(guān)系？提示：過(guò)a與平面α相交的平面有多數(shù)個(gè)，它們與α的交線相互平行．6．一條直線平行于一個(gè)平面，則該直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線嗎？提示：一條直線平行于一個(gè)平面，它可以與平面內(nèi)的多數(shù)條直線平行，但不能與平面內(nèi)的隨意一條直線平行．這條直線與平面內(nèi)的隨意一條直線可能平行，也可能異面．類型一直線與平面的位置關(guān)系[例1]下列命題中，a，b，l表示直線，α表示平面．①若a?α，b?α，且a，b不相交，則a∥b.②若a?α，b?α，a∩b＝A，l?α，且l和a，b均不相交，則l∥α.③若點(diǎn)A?a，則過(guò)點(diǎn)A可以作多數(shù)個(gè)平面與a平行．④若a與α內(nèi)的多數(shù)條直線不相交，則a∥α.其中正確的命題有________(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)．[解析]①錯(cuò)誤．如圖(1)，滿意a?α，b?α且a，b不相交，但a與b不平行．②錯(cuò)誤．如圖(2)，滿意a?α，b?α，a∩b＝A，l?α，且l和a，b均不相交，但l與α相交．③正確．如圖(3)，點(diǎn)A?a，過(guò)點(diǎn)A可以作多數(shù)個(gè)平面與a平行．④錯(cuò)誤．當(dāng)a與α相交時(shí)，也有a與α內(nèi)的多數(shù)條直線不相交．[答案]③空間中直線與平面只有三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行.在推斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí)，這三種情形都要考慮到，避開疏忽或遺漏.另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要推斷關(guān)系的直線、平面放在某些詳細(xì)的空間圖形中，以便于正確作出推斷，避開憑空臆斷.[變式訓(xùn)練1]如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，指出B′C，D′B所在直線與長(zhǎng)方體各個(gè)面所在平面的關(guān)系．解：B′C所在直線與各個(gè)面所在平面的關(guān)系是：直線B′C∥平面A′D′DA；B′C與平面A′B′C′D′、平面ABCD、平面A′B′BA、平面C′D′DC都相交；B′C?平面B′C′CB.D′B與各個(gè)平面都相交．類型二線面平行的判定定理[例2]如下圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)．證明：BC1∥平面A1CD[分析]eq\x(\a\al(在平面A1CD內(nèi)找到,與BC1平行的直線))→eq\x(\a\al(利用線面平行的,判定定理證明))[證明]連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1又D是AB的中點(diǎn)，連接DF，則BC1∥DF.因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.判定直線與平面平行有兩種方法：一是用定義；二是用判定定理.運(yùn)用判定定理時(shí)關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，一般是遵循先找后作的原則，即現(xiàn)有的平面中沒(méi)有出現(xiàn)與已知直線平行的直線時(shí)，我們?cè)倏紤]添加協(xié)助線.詳細(xì)操作中，我們可以利用幾何體的特征，合理利用中位線定理，或者構(gòu)造平行四邊形等證明兩直線平行.[變式訓(xùn)練2]如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．證明：MN∥平面A′ACC′.證明：連接AB′，AC′，則點(diǎn)M為AB′的中點(diǎn)．又點(diǎn)N為B′C′的中點(diǎn)，所以MN∥AC′.又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.類型三線面平行的性質(zhì)定理[例3]如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)O，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.[證明]如圖，連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM.又∵AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.1.利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟2．運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)先確定線面平行，再找尋過(guò)已知直線的平面與這個(gè)平面相交的交線，然后確定線線平行．[變式訓(xùn)練3]如圖，用平行于四面體ABCD的一組對(duì)棱AB，CD的平面截此四面體，求證：截面MNPQ是平行四邊形．證明：因?yàn)锳B∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，所以由線面平行的性質(zhì)定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形．類型四線面平行的判定定理與性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用[例4]如圖，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形．(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍．[解](1)證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，∴AB∥平面EFGH.同理，得CD∥EH，∴CD∥平面EFGH.(2)設(shè)EF＝x(0＜x＜4)，由于四邊形EFGH為平行四邊形，∴eq\f(CF,CB)＝eq\f(x,4).故eq\f(FG,6)＝eq\f(BF,BC)＝eq\f(BC－CF,BC)＝1－eq\f(x,4).從而FG＝6－eq\f(3,2)x.于是四邊形EFGH的周長(zhǎng)為C＝2(x＋6－eq\f(3,2)x)＝12－x.又0＜x＜4，∴8＜C＜12，即四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍為(8,12)．[變式訓(xùn)練4]已知，如圖，設(shè)a、b是異面直線，直線AB分別交a、b于A、B兩點(diǎn)，過(guò)AB的中點(diǎn)O作平面α，使a∥α，b∥α，M、N分別是a、b上的隨意兩點(diǎn)，MN∩α＝P.求證：MP＝NP.證明：連接AN，AN∩α＝Q，連接PQ、OQ.∵b∥α，b?平面ABN，平面ABN∩α＝OQ，∴b∥OQ，∵AO＝OB，∴AQ＝QN.∵a∥α，a?平面AMN，平面AMN∩α＝PQ，∴a∥PQ，∴在△AMN中，MP＝NP.1．已知下列敘述：①一條直線和另一條直線平行，那么它就和經(jīng)過(guò)另一條直線的任何平面平行；②一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線與這個(gè)平面內(nèi)全部直線都沒(méi)有公共點(diǎn)，因此這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的全部直線都平行；③若直線l與平面α不平行，則l與α內(nèi)任始終線都不平行；④與一平面內(nèi)多數(shù)條直線都平行的直線必與此平面平行．其中正確的個(gè)數(shù)是(A)A．0B．1C．2D．3解析：一條直線和另一條直線平行，那么它可能在經(jīng)過(guò)這兩條直線的平面內(nèi)，①錯(cuò)；一條直線平行于一個(gè)平面，這個(gè)平面內(nèi)的直線可能與它異面，②錯(cuò)；選項(xiàng)③④中，直線有可能在平面內(nèi)．2．點(diǎn)M、N是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A與A1B1的中點(diǎn)，P是正方形ABCD的中心，則MN與平面PCBA．平行B．相交C．MN?平面PCB1D．以上三種情形都有可能解析：∵M(jìn)、N分別為A1A和A1B1中點(diǎn)，∴MN∥AB1又∵P是正方形ABCD的中心，∴P、A、C三點(diǎn)共線，∴AB1?平面PB1C∵M(jìn)N?平面PB1C，∴MN∥平面PB13．若直線l∥平面α，則過(guò)l作一組平面與α相交，記所得的交線分別為a，b，c，…，那么這些交線的位置關(guān)系為(A)A．都平行B．都相交且肯定交于同一點(diǎn)C．都相交但不肯定交于同一點(diǎn)D．都平行或交于同一點(diǎn)解析：因?yàn)橹本€l∥平