雙曲線 教案-高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點資料歸納

第五節(jié)雙曲線

核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向

1.結(jié)合雙曲線的定義，求軌跡方程及焦點三角形，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng).

2.結(jié)合雙曲線幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線），考查求相關(guān)量的計算,

凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

—在微點清障中全面落實

［理清主干知識］

1.雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個定點F1,尸2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于I昌尸21）的點的軌跡叫做雙曲

線.這兩個定點叫做雙曲線的焦直，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦匣」

集合尸=｛，||附入|一附「2||=加｝,|r1尸2|=切其中。，C為常數(shù)且C>0.

⑴當(dāng)2av|H產(chǎn)2I時，P點的軌跡是雙曲線；

⑵當(dāng)2a=向尸2|時，P點的軌跡是兩條射線；

（3）當(dāng)2G>|尸1尸2|時，P點不存在.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程￡-￡=1（40,力>0）營一1=13>0,力>0）

xW—?；騳^RyW一°或xWR

對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸,對稱中心：原點

Ai(-a,0)，42(a.0)Ai(0,-a),42(0，a)

漸近線-v=V

性

離心率

e=~feW(L+°°)

質(zhì)

線段4小是雙曲線的實軸，它的長依14|=%;

實虛軸線段是雙曲線的虛軸，它的長四仍尸敵；

。是雙曲線的實半軸長，b是雙曲線的虛半軸長

c2=fl24-Z>2(c>g>0>c>5>0)

的關(guān)系

3.常用結(jié)論

（1）雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.

⑵若尸是雙曲線右支上一點，入，尸2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PPl|mln=〃+c,|PF2|mi?

=c-a.

（3）等軸雙曲線

①定義：中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙

曲線.

②性質(zhì)：a=b；e=y［2；漸近線互相垂直；等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦

點距離的等比中項.

（4）共挽雙曲線

①定義：如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩條雙

曲線互為共挽雙曲線.

②性質(zhì)：它們有共同的漸近線：它們的四個焦點共圓：它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于

1.

［澄清盲點誤點］

一、關(guān)鍵點練明

1.（雙曲線的定義）設(shè)尸1，尸2分別是雙曲線/一千=1的左、右焦點.若點尸在雙曲線上，

且|PFi|=5,貝U|PBI=（）

A.5B.3

C.7D.3或7

解析：選DV||PFI|-|PF2||=2,，|Pg|=7或3.

2.（雙曲線的實軸）雙曲線2必一V=8的實軸長是（）

A.2B.272

C.4D.46

2

X?2

解析：選C雙曲線2好一步=8的標(biāo)準(zhǔn)方程為，一七=1,故實軸長為4.

3.（雙曲線的漸近線）若雙曲線C：3一步=1（心°）的一條漸近線方程為力+2y=0,則實數(shù)

答案：A

4.（雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程）以橢圓手+9=1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為

r2v2

解析：設(shè)所求的雙曲線方程為7一/?>0）,

由橢圓彳+丁=1,得焦點為（±1,0）,頂點為（±2,0）.

所以雙曲線的頂點為（±1,0）,焦點為（±2,0）.

所以4=1,C=2,所以82=c2-fl2=3,

所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為X2—1=L

答案：/一（=1

5.（雙曲線的離心率諾雙曲線營一月=13>0）的離心率為坐，則。=.

解析：設(shè)焦距為2c,則。=坐，即〃=第2.由。2=〃2+4得東12=標(biāo)+4,所以。2=16,所以〃

=4.

答案：4

二、易錯點練清

1.（忽視雙曲線定義的條件）平面內(nèi)到點Fi（0,4）,尸2（0，-4）的距離之差等于6的點的軌跡

是.

解析：由甲入|一|尸尸2|=6<尸］戶2|=8,得〃=3,又c=4,則乂=。2—*=7,所以所求點的軌

跡是雙曲線卜5=1的下支.

答案：雙曲線g5=1的下支

2.（忽視雙曲線上的點到原點的最小距離）已知雙曲線3—*=1上一點P到它的一個焦點

的距離等于4,那么點尸到另一個焦點的距離等于.

解析：設(shè)雙曲線的焦點為產(chǎn)I,F2t|PFi|=4,

則||P尸||一|尸尸2||=2,故|尸尸21=6或2,

又雙曲線上的點到它的焦點的距離的最小值為c-?=Vi7-l>2,故|PF2|=6.

答案：6

3.（忽視焦點的位置）以坐標(biāo)原點為對稱中心，兩坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的

傾斜角為f，則雙曲線的離心率為.

解析：若雙曲線的焦點在x軸上,

設(shè)雙曲線的方程為7一方=1,

則漸近線的方程為J=±^X,

由題意可得g=tanT=，5,b=y［ia,可得c=2%

UJ

則e=\=2；若雙曲線的焦點在_y軸上，

設(shè)雙曲線的方程為5—后=1,

則漸近線的方程為產(chǎn)琮X,

由題意可得號=tanW=45,a=y［3bf

-rp2A/52^/5、-TP-*2小

可得c—3a,則e—Q.綜上可得e=2或e—3.

答案：2或￥

能力—在題點全析中補齊短板

考點一雙曲線的定義及其應(yīng)用

考法（一）利用定義求軌跡方程

［例1］已知圓G：3+3）2+爐=1和圓C2：（x-3）2+y2=%動圓M同時與圓G及圓C2

外切，則動圓圓心M的軌跡方程為

［解析］如圖所示，設(shè)動圓M與圓G及圓。2分別外切于點A和點優(yōu)

根據(jù)兩圓外切的充要條件，得

\MCi\-\ACi\=\MA\f

\MC2\-\BC2\=\MB\.

因為|M4|=|M8|,

所以IMCAL|MG|=|BC2|-|ACI|=3-1=2<6.

這表明動點M到兩定點C2fCi的距離的差是常數(shù)2且小于IGCzl.

根據(jù)雙曲線的定義知，動點M的軌跡為雙曲線的左支（點〃到C2的距離大，到G的距離

?。?。=1,c=3,則力2=8,設(shè)點M的坐標(biāo)為（X,y）,則其軌跡方程為*2-±=i（xW—

O

1).

［答案］X2—Y=l(xW—1)

考法（二）求解"焦點三角形”問題

［例2］已知尸1，尸2為雙曲線C：*2一,2=1的左、右焦點，點尸在c上，ZF1PF2=6O°,

則|尸尸井『尸2|=()

A.2B.4

C.6D.8

［解析］由雙曲線的方程得。=1,c=y［2f

由雙曲線的定義得||PPi|一|P尸211=2.

在△尸尸1尸2中，由余弦定理得

22

|FIF2|=\PFI|+\PF2?-2\PFX|-|PF2|COS60。，

即(26戶=|PAF+\PFI\2-\PFXl-IPFil

2

=(|PF1|-|PF2D+|PF1\-\PF2\

2

=2+|PFIMPF2|,

解得IPRHP尸21=4.

［答案］B

考法(三)利用定義求最值

22

［例3］已知〃是雙曲線了x一七v=1的左焦點，41,4),P是雙曲線右支上的一動點，則|PP|

—JL/

+|E4|的最小值為.

［解析］因為尸是雙曲線千一*=1的左焦點，所以尸(一4,0),設(shè)其右焦點為"(4,0),則由

雙曲線的定義可得尸尸|+|同|=2+|尸”|+|必4|22〃+|4M=4+、(4-1)2+(0—4)2=4+5=

9.

［答案］9

［方法技巧］

雙曲線定義的應(yīng)用

(1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動點的軌跡是否為雙曲線，進而根據(jù)要求可求出曲線方程.

⑵在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||P6|一|PB||=2Q,運用平

方的方法，建立|PFi|與|尸尸2|的關(guān)系.

［提醒］在應(yīng)用雙曲線定義時，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線

的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支.

［針對訓(xùn)練］

1.已知點。(0,0),A(—2,0),5(2,0).設(shè)點P滿足|Di|-|P8|=2,且P為函數(shù)y=川4一一圖

象上的點，則|OP|=()

運班

A.2B.5

C.V7D.<10

解析：逸D由|乃1|一|0b|=2v|A8|=4,知點尸的軌跡是雙曲線的右支，點P的軌跡方程為

X2—^-=1（x^1）,又產(chǎn)W4T,所以9=中，j2=y,所以|OP|=M*2+y2=

Vio,故選D.

2.（2020?企00必1）設(shè)尸I，B是雙曲線c：X2—王=1的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點尸在

C上且|OP|=2,則△「尸1尸2的面積為（）

7

A.TB.3

C.TD.2

解析：選B法一：設(shè)Fi,尸2分別為雙曲線C的左、右焦點，則由題意可知Fi（-2,0）,產(chǎn)2（2,0）.

又|。尸|=2,所以|0尸|=|0尸］|=|0尸2|,

所以△PF1尸2是直角三角形，

22

所以|P用|4-|PF2|=I尸1尸2『=16.

不妨令點〃在雙曲線C的右支上，

則有|PPiL|Pg|=2,

兩邊平方，得|PPiF+|p尸2?一2|尸尸出尸修|=4,

所以『F1HP尸21=6,

則入卜W尸2l=：X6=3,故逸氏

法二:設(shè)尸1,尸2分別為雙曲線C的左、右焦點，

則由題意可知尸1（一2,0）,尸2（2,0）.

又|。?|=2,所以|0?|=|0川=|0尸2］,

J>23

所以△尸尸小2是直角三角形，所以S^PHF2=-^=而去=3（其中〃=NBP尸2）,故選B.

tan^

考點二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

［典例］⑴經(jīng)過點M2小，2?。┣遗c雙曲線9-9=1有相同漸近線的雙曲線方程是（）

A-=1

4nBU=I

c-ii-u=1D-n-ii=,

（2）已知曲線C的方程為號-S=1（&WR）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)A=8時，曲線。為橢圓，其焦距為4+恒

B.當(dāng)A=2時，曲線C為雙曲線，其離心率為小

C.存在實數(shù)k,使得曲線C為焦點在y軸上的雙曲線

D.當(dāng)士=3時，曲線。為雙曲線，其漸近線與圓(“-4)2+爐=9相切

［解析］(1)設(shè)所求雙曲線的方程為《一4=九將點股(2巾，2市)代入得出好一線宏=九

解得2=-6,所以雙曲線方程為高一裔=1,故選D.

1Zio

⑵對于A,當(dāng)人=8時，曲線C的方程為蕓+￡=1,軌跡為橢圓，焦距2c=2^62—2=4恒,

y2

A錯誤；對于B,當(dāng)k=2時，曲線C的方程為彳一號=1,軌跡為雙曲線,，則a=yf2tc=#,

6—AV0,

，離心率e=：=，5,B正確；對于C,若曲線C表示焦點在j軸上的雙曲線，則?

A2-2<0,

解集為空集，.,?不存在實數(shù)A,使得曲線C為焦點在)，軸上的雙曲線，C錯誤；對于D,當(dāng)

A=3時，曲線C的方程為5一手=1,其漸近線方程為尸則圓(x-4)2+y2=9的圓

|±4A/2I|_4A/3_邛^W3,???雙曲線的漸近線與!S)(x-4)2+y2=9不

心到漸近線的距離d=

#21+49_亞-

相切，D錯誤.故選B.

［答案］(DD(2)B

［方法技巧］待定系數(shù)法求雙曲線方程的5種類型

類型一與雙曲線接一￡=1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為營一￡=MH°)

若已知雙曲線的一條漸近線方程為或了=一《，則可設(shè)雙曲線方程為營一營

類型二

=MH0)

與雙曲線后一￡=1共焦點的雙曲線方程可設(shè)為右一擊=1(一52VAV/)

類型三

過兩個已知點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為5一?=l(m〃>。)或者5+q=l(/n〃V

類型四

0)

與橢圓今+￡=1(。>。>0)有共同焦點的雙曲線方程可設(shè)為忐一寸=1儼V2

類型五

<?2)

［針對訓(xùn)練］

1.雙曲線C：n=l?>0">0)的左焦點為(-3,0),且C的離心率為右則C的方程為()

H=i

A長=

解析：選C由題意，可得c=3,又由e=：=5，：.a=2f

又出=32-22=5,故。的方程為，一?=1,故選C

2.(2020?天澗設(shè)雙曲線C的方程為方一￡=1(公＞0,6＞0),過拋物線V=4x的焦點和點

(0,協(xié)的直線為/.若C的一條漸近線與，平行，另一條漸近線與「垂直，則雙曲線C的方程

W￡

x2-4=4

-4B.

C^-y2=1D.x2-j2=l

解析：逸D法一：由題知產(chǎn)=4工的焦點坐標(biāo)為(1,0),則過焦點和點(0,b)的直線方程為X

+1=1,而宏一方=1的漸近線方程為§+卡=0和^一力=0,由/與一條漸近線平行，與另一

條漸近線垂直，得。=1,b=l,故選D.

法二：由題知雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，則“=〃，即漸近線方程為》與=0,排除B、

b—0

C.又知V=4x的焦點坐標(biāo)為(1,0),7過點(1,0),(0,b)t所以西?=-1，b=lf故選D.

考點三雙曲線的幾何性質(zhì)

考法(一)求雙曲線的漸近線方程

22

［例1］⑴(2021?湖南長沙模擬)已知雙曲線了x一方v=1(心0,歷＞0)的左、右焦點分別為Fi，

尸2,M為雙曲線上一點，若COSNRMF2=；，\MFi\=2\MF2\f則此雙曲線的漸近線方程為

()

A.y=±\［3xB.y=±乎x

C.y=±xD.y=±2x

⑵已知雙曲線C：與一V=LO為坐標(biāo)原點，尸為C的右焦點，過p的直線與C的兩條漸

近線的交點分別為股，M若△OMN為直角三角形，貝加團V|=()

A.1B.3

C.2小D.4

［解析］⑴由題意，得眼川一眼巳|=2%

又|MB|=2附尸2l,：.\MFi\=4at\MF2\=2at

16a24-4a2-4c21

???cosz尸.尸2=2X4OX2Q=不

化簡得〃=4@2,即02+52=4.2,.?.〃=3a2.

又。＞0,/?0,?，.q=0,

，此雙曲線的漸近線方程為)，=±V5x,故選A.

(2)法一：由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為丁二坊弘設(shè)兩條漸近

線的夾角為2a,則有tana=^=乎，所以a=30。.所以NM0N=2a

=60。.又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設(shè)MN_LON,如圖所示.在

RtZkONF中，|OP|=2,則|ON|=V5.在RtZ^OMN中，|MN|=|ON卜tan2a=V3?tan60。=3.

故選B.

法二；因為雙曲繡'一產(chǎn)=1的漸近線方程為丁=所以NA/ON=60。.不妨設(shè)過點F的

直線與直線)，=冬交于點M,由△OMN為直角三角形，不妨設(shè)NOMN=90。，則

A/FO=60。，又直線MN過點尸⑵0),所以直線MN的方程為y=-、5(x-2),

尸一小(L2),

由'更得3

尸36〔尸2,

所以陪，丹所以|OM='電+曾『小，

所以|A/N|=，5|OM|=3,故選B.

［答案］(DA(2)B

［方法技巧］

涉及雙曲線漸近線的幾個常用結(jié)論

(1)求雙曲線1一臺=1(“＞0,b＞0)或%一方=1(公＞0,歷＞0)的漸近線方程的方法是令右邊的常

數(shù)等于0,即令，一方=0,得產(chǎn)令，或令方一苴=0,得產(chǎn)琮X.

(2)已知漸近線方程為尸治，可設(shè)雙曲線方程為1一￡=加＞0,比＞0,抄0).

［提醒］兩條漸近線的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關(guān)于x軸、)，軸對稱.

考法(二)求雙曲線的離心率

［例2］(1)若雙曲線C:￡一1=1(。＞0,萬＞0)的漸近線與圓(》-3)2+了2=1無交點，則C的

離心率的取值范圍為()

A.(l，噌胡)

x2±

(2)(2019?全■1卷I)已知雙曲線C：力的左、右焦點分別為尸尸過外

a2b2=1(?＞0,＞0)I，2,

的直線與C的兩條漸近線分別交于A,8兩點.若京=看，萬蘇瓦5=0,則。的離心率

為________

［解析］(1)\?雙曲線漸近線為hx±ay=()與圓(x—3)2+"=1無交點,

???圓心到漸近線的距離大于半徑，即^為＞1

/.8(c2—a2)＞a2,即8c2＞9a2,

???e=5＞乎?故選C.

⑵法一：由尸M=4〃，得4為FiR的中點.

又???。為尸I尸2的中點，

:.OA//BF2.

又?奇=0,/.ZF1BF2=9O°.

：.\OF2\=\OB\f

：.ZOBF2=ZOF2B.

又?；NFIOA=NBOF2,NFIOA=NOF2B,

AZROF2=ZOF2H=ZOHF2f

尸2為等邊三角形.

如圖所示，不妨設(shè)〃為修一例.

V點B在直線y=—%上，；?：=小,

法二：.??RJ方瓦1=0,???N尸山尸2=90°.在RtZXMBB中，。為尸1尸2的中點，A\OF2\=\OB\

=c.如圖，作軸于〃，由為雙色線的漸近線，可得^且13Hl2+|。M2=0兩

2

=c,：.\BH\=bf\OH\=at:?B（a,一辦F2（c,0）.

又?.?KJ=焉，A4為尸田的中點.

???3〃尸力，..?《=￡，???c=2。，???離心率e=》=2?

［答案］（DC（2）2

［方法技巧］

1.求雙曲線的離心率或其范圍的方法

°2。2+》232

⑴求4,瓦C的值，由案=管產(chǎn)=1+會直接求e.

（2）列出含有a,b,c的齊次方程（或不等式），借助乂=。2—°2消去瓦然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的

方程（或不等式）求解，注意C的取值范圍.

⑶因為離心率是比值，所以可以利用特殊值法.例如，令。=1,求出相應(yīng)C的值，進而求

出離心率，能有效簡化計算.

⑷通過特殊位置求出離心率.

2.雙曲線也一方=1（公*0,方＞0）的漸近線的斜率人與離心率e的關(guān)系：當(dāng)時，&”

=1±1="-1;當(dāng)kO時，k=—^=—yle2—L

考法（三）與雙曲線有關(guān)的范圍、最值問題

［913］（2021?號中模擬）已知jo）是雙曲線C：苧一尸1上的一點，F(xiàn)it尸2是雙曲線

C的兩個焦點.若赤?碇〈。，則刈的取值范圍是（）

A?,3B.（年陰

G平,嚼D.（答,噌

［解析］由題意知a=地,b=l,c=小,

設(shè)為（一小，0）,尸2（巾，0）,

則加;=（一Xo,—Jo）,而河=（，5—Xo,-Jo）.

因為MPrMBvO,所以（一xo）h/5-xo）+M〈O,

即蝴一3+yd〈0.

因為點M（xOf刊）在雙曲線。上，

所以彳一黃=1,即看=2+2網(wǎng)，

所以2+2或一3+jJ<0,所以一坐勺

［答案］A

［方法技巧］

1.求解與雙曲線有關(guān)的范圍（或最值）問題的方法

⑴幾何法：如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性質(zhì)來求解，

特別是用雙曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求解.

⑵代數(shù)法：若題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，將雙曲線

的范圍（或最值）問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)等函數(shù)的范圍（或最值）問題，然后利用配方

法、判別式法、基本不等式法、函數(shù)的單調(diào)性及三角函數(shù)的有界性等求解.

⑶不等式法：借助題目給出的不等信息列出不等關(guān)系式求解.

2.解決與雙曲線有關(guān)的范圍（或最值）問題時的注意點

（1）雙曲線上本身就存在最值問題，如異支雙曲線上兩點間的最短距離為方（實軸長）.

⑵雙曲線上的點到定點的距離最值，常用兩點間的距離公式轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的最值問題，有

時也用雙曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.

⑶雙曲線上的點到定直線的距離的最值解法同⑵所述，或用平行切線法.

（4）點在雙曲線上，求相關(guān)式子（目標(biāo)函數(shù)）的取值范圍，常用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值

問題，或根據(jù)平面幾何知識，或引入一個參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.

⑸由直線和雙曲線的位置關(guān)系，求直線或雙曲線中某個參數(shù)的范圍，常把所求參數(shù)作為函

數(shù)中的因變量來求解.

⑹所構(gòu)建的函數(shù)關(guān)系式中變量的取值范圍往往受到雙曲線自變量范愎的影響.

［針對訓(xùn)練］

1.（多選）已知雙曲線C過點（3,啦），且漸近線方程為了=吟，則下列結(jié)論正確的是（）

A.。的方程為《一產(chǎn)=1

B.C的離心率為小

C.曲線），=^一2—1經(jīng)過C的一個焦點

D.直線工一物一1=0與C有兩個公共點

解析：選AC???雙曲線C過點（3,72）,且漸近線方程為y=±冬，.??設(shè)雙曲線方程為著一

V2

*,93-3一2

?吟一\=W，?,丹-y2=i.?.A正確.

*,?離心率，B錯誤.

???雙曲線的焦點坐標(biāo)為（一2,0）,（2,0）,

而曲線產(chǎn)=眇-2—1經(jīng)過點（2,0）,?'?C正確.

(x2

——y2=lf

聯(lián)立.J得產(chǎn)一2、氏+2=0.

X—V2j—1=0,

J=（-2V2）2-4X1X2=8-8=O.

，直線x—1=0與C只有一個公共點，

???D錯誤，故選A、C.

2.（2021?安做示范高中聯(lián)考）已知直線I：y=kx+2過雙曲線C：|爺=1（。>0,b>0）的左

焦點尸和虛軸的上端點8（0,b）,且與圓/+產(chǎn)=8交于點M,N,若IMNB2小，則雙曲

線的離心率c的取值范圍是（）

A.（1,^6］B.（1,坐］

C［乎,+8）D.［木,4-°°）

解析：選C設(shè)圓心到直線/的距離為d（J>0）,

因為MM22小，所以2d8—2224,即0vdW，5.

又4扁i，所以向W小,

解得岡共.

由直線/:尸&工+2過雙曲線C:今一改=1（。>°，歷*0）的左焦點尸和虛軸的上端點仇0,b）,

得1川=￡.

所以《，卓,即A，/所以*

于是雙曲線的離心率e的取值范圍<-)

3.（2020?全國必I）已知尸為雙曲線C：1一3=1（〃>0,〃>0）的右焦點，A為C的右頂點,

B為。上的點，且耳尸垂直于x軸.若的斜率為3,則。的離心率為

解析：設(shè)B（ctyB）t因為B為雙曲線C:^7—^2=1上的點，所以也一祭=1，所以防=3?

b2a

因為48的斜率為3,所以如=￡,。_.=3,所以〃2=3ac—3層，所以c?—02=3〃。-3G2,

所以e2—3ac+2q2=0,解得c=2a或c=。（舍去），所以C的離心率e=\=2.

答案：2

22

4.設(shè)尸I,尸2分別為雙曲線x/一方v=l（a>0,b>0）的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，若

正屋魯鬲的最大值俄，則雙曲線的漸近線斜率的取值范圍為.

?2桁--IPFI-IPJ7|=7.3|尸尸2|_31PBi_31P尸2|二

廨仞.?151一孫??|尸尸］|2+4.尸尸2|一（|尸尸2|+%）2+訓(xùn)尸尸2廠『尸2|2+5川尸尸2|+402一

1尸尸2|+jp^j+5a2

當(dāng)且僅當(dāng)IP尸2|=喇，即|尸尸2|=加時，等號成立，此時|PR|=4a.???『M|+|PF2BlRp2|,

即有6a22c,

22

???%22c2,：.Sa>bf解得0,W26,

???-2，iW一沁則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是［-2筋0）U（0,2<2］.

答案：［-2吸，0）U（0,2&］

——在科學(xué)思維中參悟提升

一、創(chuàng)新思維角度一融會貫通學(xué)妙法

求雙曲線離心率的方法

方法（一）直接法

［例1］下列曲線中，離心率為當(dāng)?shù)氖牵?/p>

A?A9=I

［解析］依據(jù)雙曲線，一方=1（40,力>0）的離心率公式e=?？芍苯优袛?，選項B中，a2

2

=4,b=2f所以c?=6,即4=2,c=乖,離心率0=?=乎，故選B.

14/

［答案］B

［名師微點］

利用己知條件直接求出4,,?的值.代入離心率公式。求解.

方法（二）利用漸近線方程

［例2］在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線■一1=13>0">0）的漸近線方程為尸場

x,則該雙曲線的離心率為.

［解析］由題意知￡=巾，即。2=3層，

所以。2=02+力2=442,所以e=\=2

［答案］2

［名師微點］

根據(jù)雙曲線的漸近線與離心率之間的關(guān)系，可以利用漸近線方程中的3確定雙曲線的離心率

e=a=A/1+ffi2-

方法（三）利用雙曲線的定義

［例3］設(shè)R,尸2分別是雙曲線不一次=1（。>0,b>0）的左、右焦點，若雙曲線上存在點4,

使NBAF2=90。且|AFi|=3Hr2|，則雙曲線的離心率為.

［解析］因為N尸14尸2=90。，故|AFIF+H產(chǎn)2|2=嗎尸2『=4C2,又|A尸］|=3|A尸zl,且|AFILH尸2I

c25c、麗

=2ar所以10。2=4。2,即是=3，故6=二=七一.

［答案］七~

［名師微點］

雙曲線上的點A與兩個焦點構(gòu)成一個直角三角形，結(jié)合直角三角形的屬性和雙曲線的定義,

建立關(guān)系即可求出雙曲線的離心率.

方法（四）利用關(guān)于a,C的齊次方式

［例4］已知點尸是雙曲線方一￡=1（〃>0,5>0）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過

尸作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,笈兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的

離心率c的取值范圍是（）

A.（1,+8）B.（1,2）

C.（2,14-^2）D.（1，1+也）

萬2

［解析］若是銳角三角形，只需NAE產(chǎn)V45。，在RtAAFE中，|AF|=—\FE\=a

+c,則］VG+C,即Z>2VQ2+GC,gp2a2—c2+ac>0,則/-e—2V0,解得一lVeV2,又

e>l,則lVeV2,故選B.

［答案］B

［名師微點］

根據(jù)題意建立a,c之間的關(guān)系，結(jié)合e=。建立關(guān)于e的一元二次方程或不等式求解.

二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動向

1.一種畫雙曲線的工具如圖所示，長桿OB通過O處的較鏈與固定好的短/

桿04連接，取一條定長的細(xì)繩，一端固定在點A,另一端固定在點B,A

套上鉛筆（如圖所示）.作圖時，使鉛筆緊貼長桿Og拉緊繩子，移動筆尖

M（長桿OB繞O轉(zhuǎn)動），畫出的曲線即為雙曲線的一部分.若|0川=10,|05|\,

=12,細(xì)繩長為8,則所得雙曲線的離心率為（）

6535

A,gB-4C,2D,2

解析：選D設(shè)則由題意，可得|MO|=12-。|M4|=8-1,有|MOL|K4|=4V|AO|

=10,由雙曲線的定義可得動點M的軌跡為雙曲線的一支，且雙曲線的焦距2c=10,實軸

c5

長2a=4,即c=5,a=2f所以e=7=Q.故選D.

2.（多選）對于漸近線方程為9=0的雙曲線，下列結(jié)論正確的是（）

A.實軸長與虛軸長相等

B.離心率是地

C.過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長與實軸長相等

D.頂點到漸近線與焦點到漸近線的距離的比值為也

解析：選ABC依題意，不妨設(shè)漸近線方程為x±y=0的雙曲線方程為/一爐=2（；（工0）,因

此實軸長與虛軸長均為2s1|,所以A正確；由于實軸長與虛軸長相等，所以離心率為心，

所以B正確；過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長為2a,而雙曲線的實軸

長也為2麗，所以C正確；由相似三角形可知，頂點到漸近線與焦點到漸近線的距離的比

值為?=噂，所以D錯誤.故選A、B、C.

C/

3.青花瓷，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一.如圖是

一個落地青花瓷，其外形稱為單葉雙曲面，且它的外形上下對稱，可看成

是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶的最小直徑為16

cm,瓶口直徑為20cm,瓶高20cm,則該雙曲線的離心率為.

解析：以花瓶最細(xì)處所在直線為上軸，花瓶的豎直對稱軸為y軸，建立如圖

所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為，一/=13＞0,》＞0).由題意可

知。=8,圖中的A點坐標(biāo)為(10,10).將。=8,(10,10)代入雙曲線方程，可得

*=?＞所以汨，所以0=勺1+腎=率

答案:華

［課時跟蹤檢測］

一、基礎(chǔ)練一練手感熟練度

1.雙曲線5一爐=1的實軸長為()

A.4B.2

C.2小D.2y［2

解析：選D由題知層=2,；?a=取,故實軸長為2a=26，故選D.

2.雙曲線看一卷=1的漸近線方程為()

A.j=±^xB.y=

C.y=±\[lxD.y=±2x

解析：選C雙曲線土哈=1的漸近線方程為土若=0,整理得產(chǎn)2總

解得)，=±\伍，故選C.

3.已知雙曲線彳一1=130)的漸近線方程為小x±y=0,則》=()

A.2小B.小

C當(dāng)D.12

解析：選A因為雙曲線，一臣=130)的漸近線方程為尸備，又漸近線方程為產(chǎn)

所以＜=，5,力=2巾，故選A.

4.設(shè)雙曲線C：1一色=1(30,＞0)的虛軸長為4,一條漸近線為尸%,則雙曲線C的

方程為()

AU-4=1

嚙弋=1D.X2—亍=1

解析：選A因為雙曲線C:^7—^2=l（a>0,力>0）的虛軸長為4,所以2）=4,b=2,

因為雙曲線C：a一方=13>0,力>0）的一條漸近線為y=：x,所以:=>>“=2。=4,

X2丫2

所以雙曲線M的方程為京一：=1,故選A.

5.若則雙曲線5一步=1的離心率的取值范圍是（

A.旭+?>)B,旭2)

C.(1,6)D.(1,2)

解析：選C由題意得雙曲線的離心率e=也衛(wèi):

Va>l,AO<^<1,r.l<14-A<2,：A<e<y[2.

6.（202。?北京高考）已知雙曲線C抬=1，則C的右焦點的坐標(biāo)為.

;C的焦點

到其漸近線的距離是.

解析：雙曲線C：^一,=1中，C2=6+3=9,Ar=3,則C的右焦點的坐標(biāo)為（3,0）.C的

U0

漸近線方程為即y=ir^=xf即xi\/2j=0,則C的焦點到其漸近線的距離（1=方

=小.

答案：（3,0）小

二、綜合練——練思維敏銳度

1.若實數(shù)〃滿足0VAV9,則曲線條一苫=1與曲線￡：-9=1的（）

A.離心率相等B.虛半軸長相等

C.實半軸長相等D.焦距相等

解析：選D由0<A<9,易知兩曲線均為雙曲線且焦點都在x軸上，由外25+9—>=

、25—A+9,得兩雙曲線的焦距相等.

2.設(shè)雙曲線，一|=1（。>0,力>0）的右焦點是尸，左、右頂點分別是小，A2t過尸作44

的垂線與雙曲線交于b,C兩點.若43J_A2C,則該雙曲線的漸近線的斜率為（）

A.±|B.杏

C.±1D.±^2

b2_尤

解析：選C由題設(shè)易知Ai（一°,0）,A2（fl,0）,B（c,《c,-^）.V4IB±A2C,%工工二

=-l,整理得。=瓦;漸近線方程為丁=玲，即y=~,???漸近線的斜率為±1.

3.已知雙曲線?一￡=1的右焦點為尸，尸為雙曲線左支上一點，點40,6），則△

A尸尸周長的最小值為（）

A.4（1+^2）B.4+也

C.2（^24-^/6）D.#+36

解析：選A設(shè)雙曲線的左焦點為戶'，易得點尸（加，0）,尸尸的周長/=隨尸|+|4尸|+

|P尸|=|AF|+2a+|P尸'I+IAPI,要使△人尸尸的周長最小，只需|AP|十|P尸'|最小，易知當(dāng)4,

P,F1三點共線時取到最小值，故/=23為+2?=4（1+也）.故選A.

4.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知雙曲線C：捺一￡=1（40,力＞0）的離心率為病從雙

曲線C的右焦點尸引漸近線的垂線，垂足為4,若尸。的面積為1,則雙曲線C的方程

為（）

A.y-g-=1B.j2=l

看Y=id-

解析：選D因為雙曲線C的右焦點尸到漸近線,的距離|E4|=b,|。4|=*所以。力=2,又

雙曲線C的離心率為低所以11+i=/,即加=4*解得02=i,從=4,所以雙曲

線C的方程為好一?=1,故選D.

5.（202。?全國必U）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線￥=〃與雙曲線C：盤一￡=1（4＞°，人＞0）的兩條

漸近線分別交于&，E兩點.若AODE的面積為8,則。的焦距的最小值為（）

A.4B.8

C.16D.32

解析：選B由題意知雙曲線的漸近線方程為），=玲.因為D,E分別為直線x=a與雙曲線

C的兩條漸近線的交點，所以不妨設(shè)D（afb）,E（a,~b）f所以5AODE=IXaX|DE|=|XaX2b

=ab=8f所以，=足+力2,2而=16,所以c24,所以2c28,所以C的焦距的最小值為8,

故選B.

6.己知雙曲線C：1一￡=1的一條漸近線/的傾斜角為小且C的一個焦點到/的距離為，5,

則雙曲線。的方程為（

AR-?=,

若一產(chǎn)1

解析：選D由￡一￡=0可得,=備，即漸近線的方程為y=gx,又一條漸近線/的傾斜

角為三,

所以/=tanT=5.

因為雙曲線C的一個焦點（c,0）到/的距離為小,

所以瑞=.二小，

所以。=1,

所以雙曲線的方程為好一9=1.

7.（2021?黃山一核）雙曲線C：后爺=1（。>0,>>0）的一條漸近線與直線x+2y+l=0垂直,

Fi,尸2為。的焦點，A為雙曲線上一點，若|FiA|=2|尸2川，則cosNA尸2M等于（）

B.

1

D.

4

解析：選C因為雙曲線的一條漸近線與直線x+2y+l=0垂直，所以力=〃.又|入川=

2IF1AI,且內(nèi)川一|尸24|=2%所以|尸zA|=2a,|尸網(wǎng)=4〃，而c2=5a2,得2c=2鄧明所以

I尸1尸2『+l尸MF-I尸MF20。2+4。2-16。2下

尸尸,故選C

cosN421=2IF1F2IIF2AI_2X2y/SaX2a-5

8.侈選）設(shè)尸］,尸2是雙曲線C:5一￡=1（公>0,力>0）的左、右焦點，。是坐標(biāo)原點.過Fz

作。的一條漸近線的垂線，垂足為尸.若|PFi|=,|OP|,則下列說法正確的是（）

A.\F2P\=b

B.雙曲線的離心率為小

C.雙曲線的漸近線方程為y=±<￡

D.點P在直線x=筆上

解析：選ABD由雙曲線的性質(zhì)可知，雙曲線的一條漸近線方程為j=%,即取一的=0,

設(shè)焦點尸i(—c,0),尸2(c,0)(a>0,b>0,c>0),

因為過尸2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P,

所以尸訓(xùn)=也譯答*=?=瓦故A正確：

因為|0P|=、|0尸2『一|尸"2|2=、。2-62=0,所以|PP1|=,|OP|=#%cosZFiOP=cos(180°

—NF1OP