2024-2025學(xué)年浙江省麗水市高二上冊10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年浙江省麗水市高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線過點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知直線：和直線：，則“”是“∥”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，，則在方向上的投影向量的模長為（

）A． B． C． D．4．圓：與圓：的公切線有且僅有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條5．如圖，在正四棱錐中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．7．已知球與正方體的各個(gè)切，平面截球所得的截面的面積為，則正方體棱長為（

）A． B． C．1 D．28．關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓：的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過F且垂直于x軸的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為M，過M作橢圓的切線，若切線與直線的傾斜角互補(bǔ)，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知空間中三點(diǎn)，則正確的有（

）A．與是共線向量 B．點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是C．與夾角的余弦值是 D．與同向的單位向量是10．已知線段是圓的一條動(dòng)弦，為弦的中點(diǎn)，，直線與直線相交于點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．弦的中點(diǎn)軌跡是圓B．直線分別過定點(diǎn)和C．直線的交點(diǎn)在定圓上D．線段的最小值為11．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過橢圓C上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線l交圓O：于M，N兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．實(shí)數(shù)a越小，橢圓C越圓B．若，且，則C．當(dāng)時(shí)，過的直線交C于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸的上方）且，則的斜率D．若，則三、填空題（本大題共3小題）12．如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點(diǎn)，則直線與的位置關(guān)系是（填“平行”，“異面”，“相交”）．13．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在橢圓上，如果的中點(diǎn)在y軸上，那么是的倍14．已知圓，過圓外點(diǎn)向圓引兩條切線，且切點(diǎn)分別為A，B兩點(diǎn)，則最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，離心率為，(1)求橢圓的方程；(2)斜率為的直線與曲線相交于點(diǎn)D，E，弦長，求直線的方程．16．已知圓過點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求的最小值．17．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)若四棱錐的體積為1，求平面與平面夾角的余弦值．18．已知曲線是平面內(nèi)到和的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡.(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線交曲線于A，B兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的坐標(biāo).19．如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，，(1)求證：平面(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的值(3)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式．（直接寫出答案，不必說明理由）.

答案1．【正確答案】B【詳解】直線的斜率為，對應(yīng)傾斜角為.故選：B2．【正確答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為，符合題意，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為符合題意，所以“”是“∥”的充分不必要條件故選：B3．【正確答案】D【詳解】在方向上的投影向量的模長為.故選：D4．【正確答案】B【詳解】解：圓，則圓心，半徑，圓，則圓心，半徑，得兩圓的圓心距為：，則，得兩圓相交，得兩圓的公切線有且僅有2條．故選：B5．【正確答案】B【詳解】連接交于，連接，由四棱錐是正四棱錐，則平面，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，不妨設(shè)，則，在中，，則，則，，則，由異面直線與所成角為銳角，所求余弦值為.故選：B.6．【正確答案】B【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由對稱性可知，此時(shí)直線被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)在軸上，而已知是線段AB的中點(diǎn)，不在軸上，不滿足題意.故直線斜率存在，可設(shè)斜率為，則直線的方程為，即，代入橢圓的方程化簡得，所以，解得，故直線方程為，即.故選：B.7．【正確答案】D【詳解】解法1：設(shè)正方體棱長為，則球的半徑為，∵平面截此球所得的截面的面積為，∴截面圓的半徑為，由題意，球心與的距離為，設(shè)到平面的距離為，是邊長為的等邊三角形，，由得，可得，，由平面，所以球心到平面的距離為，∴，∴，即正方體棱長為；解法2：設(shè)正方體棱長為，內(nèi)切球與正方體各面的切點(diǎn)，恰好為等邊三角形各邊的中點(diǎn)，截面圓為等邊三角形的內(nèi)切圓，又因?yàn)槠矫娼卮饲蛩玫慕孛娴拿娣e為，所以截面圓的半徑為，，所以，整理得，故截面圓的半徑，解得，即正方體棱長為．故選：D．8．【正確答案】C【分析】由題意可得相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合題意可得切線與直線的斜率，列式求解即可.【詳解】由題意可知：，令代入橢圓方程可得，不妨設(shè)，則切線，即，可知直線的斜率，切線的斜率，由題意可知：，即.故選C.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】由根據(jù)題意可得切線，即可得切線斜率.9．【正確答案】BCD【詳解】.A選項(xiàng)，由于，所以與是不是共線向量，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，即縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)相反，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，與夾角的余弦值是,C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，與同向的單位向量是,D選項(xiàng)正確.故選：BCD10．【正確答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為，由于且為弦的中點(diǎn)，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，直線即，由解得，所以直線過定點(diǎn).直線即，由解得，所以直線過定點(diǎn)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，由于，所以，所以在以為直徑的圓上，線段的中點(diǎn)為，，所以在圓上，整理得，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由上述分析可知，在圓上，在圓上，兩個(gè)圓的圓心分別為、，圓心距為，兩圓外離，所以的最小值為，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD11．【正確答案】BD【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，此時(shí)，故橢圓的離心率為，越大，越大，橢圓C越扁，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)?，則，故，又因?yàn)?，解得，，故，B正確；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，橢圓C：且F1?1,0，當(dāng)過的直線斜率為0時(shí)，此時(shí)A在軸上，不符合要求，舍去，設(shè)過的直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A在軸的上方，且，所以直線的斜率大于0，聯(lián)立得，，設(shè)Ax1,y1則，，所以，解得，負(fù)值舍去，所以直線的方程的斜率為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：設(shè)Px0,y0則，同理可得，由，得，故，則，又因?yàn)?，，故，D正確；故選：BD.12．【正確答案】異面【詳解】假設(shè)直線共面，平面，由，則平面，同理，平面，故共面，這與是三棱錐矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，故直線異面.故異面.13．【正確答案】5【詳解】由題得，由題得軸，當(dāng)時(shí)，，所以,所以,所以是的5倍.故514．【正確答案】【詳解】圓的圓心為，半徑為，根據(jù)切線長的知識(shí)可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以最小值為.故

15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，解得，，橢圓方程為.（2）設(shè)直線：，，聯(lián)立并整理得，，，，解得，符合，直線方程為，即．16．【正確答案】(1)(2)4【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，代入各點(diǎn)得：，所求圓的一般方程為：標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）把代入直線方程得：，即，令，可得，所以直線過定點(diǎn)．又，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，AB最小，此時(shí)，，則.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又，即，以分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由為的中點(diǎn)，得，，所以，所以，所以（2）由四棱錐的體積為，梯形的面積為，所以所以，可得，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，平面與平面夾角的余弦值為．18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由橢圓定義可知軌跡為橢圓，設(shè)曲線的方程，則，，，，，曲線的方程；（2）方法一：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得3+4k2，設(shè)Ax1,y1直線交直線于，則，所以直線的方程為，，令，解得，則，所以直線的方程為，，令，解得，則，，所以線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0.方法二：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得，，設(shè)Ax1,y1直線交直線于，則，所以直線的方程為，，令，解得，則，同理可得，，所以線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)3種，．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所以，且，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以．因?yàn)閭?cè)棱底面，平面，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面．?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)