2024-2025學(xué)年上海市寶山區(qū)高三上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)教學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年上海市寶山區(qū)高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)教學(xué)檢測(cè)試卷一.填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)1.若（其中i表示虛數(shù)單位），則______．【正確答案】1【分析】計(jì)算，即可得到虛部.【詳解】因?yàn)?，根?jù)復(fù)數(shù)的概念可知，虛部為1.故1.2.在等差數(shù)列中，前7項(xiàng)的和，則___________.【正確答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和公式，結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因，所以有，故3.已知，則曲線處的切線方程是___________.【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出導(dǎo)數(shù)值，再由點(diǎn)斜式方程可得答案.【詳解】易知，可得；又，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為；因此切線方程為，即.故4.在的展開式中，的系數(shù)為______．【正確答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】的二項(xiàng)展開式為，令，解得，故所求即為．故答案為.5.已知直線與直線相互平行，則實(shí)數(shù)的值是________．【正確答案】【分析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線相互平行，則，即，解得.故答案為.6.已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________．【正確答案】【分析】根據(jù)離心率求得，即可求得漸近線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為2，則，解得，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為.7.已知平面向量，滿足且向量，的夾角為則在方向上的投影數(shù)量為_____.【正確答案】【分析】利用數(shù)量積來(lái)計(jì)算投影數(shù)量即可.【詳解】因?yàn)榍蚁蛄浚膴A角為所以，則在方向上的投影數(shù)量為：，故答案為.8.已知且，則最小值是_________．【正確答案】4【分析】根據(jù)絕對(duì)值三角不等式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；則，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取得等號(hào).故答案為.9.在中，角所對(duì)的邊分別為．已知，則的面積為____．【正確答案】；【詳解】∵△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，∴由余弦定理，得cosA，∵A∈（0，π），∴sinA，∴由正弦定理的面積公式，得：△ABC的面積為SbcsinA5×7．故答案為．10.已知，函數(shù)若該函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【正確答案】【分析】就分段函數(shù)的每一段判斷其單調(diào)性，求出值域，根據(jù)題意得到關(guān)于的不等式，解之即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，因，為減函數(shù)，故；當(dāng)時(shí)，因，為減函數(shù)，故.依題意，該函數(shù)存在最小值，需使，解得.故實(shí)數(shù)取值范圍是.故答案為.11.已知曲線由拋物線及拋物線組成，若，，，是曲線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，，，，四點(diǎn)不共線，其中點(diǎn)在第一象限，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為__．【正確答案】【分析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則利用拋物線的定義得到，從而求出其最小值.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則，所以，根據(jù)對(duì)稱可知四邊形為等腰梯形，四邊形周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，又，四邊形周長(zhǎng)的最小值為.故12.設(shè)an與bn是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4①若an與bn均為等差數(shù)列，則M中最多有②若an與bn均為等比數(shù)列，則M中最多有③若an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，則M中最多有④若an為遞增數(shù)列，bn為遞減數(shù)列，則M中最多有1其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.【正確答案】①③④【分析】利用兩類數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項(xiàng)公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故中至多一個(gè)元素，故①正確.對(duì)于②，取則均為等比數(shù)列，但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)中有無(wú)窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，設(shè)，，若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，若，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)奇數(shù)解，因?yàn)椋豢赡芡瑫r(shí)成立，故不可能有4個(gè)不同的整數(shù)解，即M中最多有3個(gè)元素，故③正確.對(duì)于④，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.故①③④.思路點(diǎn)睛：對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點(diǎn)圖的特征來(lái)分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時(shí)，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時(shí)要注意合理轉(zhuǎn)化.二.選擇題(本大題共4題，13-14每題4分，15-16每題5分，共18分)13.已知，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【正確答案】C【分析】由充分條件，必要條件定義，結(jié)合即可判定.【詳解】，若，則，又，所以，若，，故，即，所以“”是“”的充要條件.故選：C14.設(shè)、為兩個(gè)平面，、為兩條直線，且.下述四個(gè)①若，則或②若，則或③若且，則④若與、所成的角相等，則，其中所有真命題的編號(hào)是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④【正確答案】A【分析】對(duì)于①，根據(jù)線面平行的判定定理可證明；對(duì)于②，借助正方體可知與、不一定垂直；對(duì)于③，由線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，即可證明；對(duì)于④，借助③的結(jié)論，即可說(shuō)明.【詳解】對(duì)于①，由題意，當(dāng)，因?yàn)?，，，故；?dāng)，因?yàn)椋?，，故；?dāng)且，因?yàn)?，，，則且，故①正確；對(duì)于②，正方體中，，則與、不垂直，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，如圖，過(guò)直線分別作兩平面與、分別交于直線、，因?yàn)?，，，則，同理可證，則，因?yàn)?，，故，又，則，又，故，故③正確；對(duì)于④，若且，此時(shí)與、所成的角相等，由③知，故④錯(cuò)誤.故選：A15.設(shè)函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸方程為，若是該函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則不可能取下述選項(xiàng)中的（）.A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用給定函數(shù)及其對(duì)稱軸求出，進(jìn)而求出函數(shù)的周期，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)列式求解即得.【詳解】依題意，，解得，而，則，于是原函數(shù)的周期，因?yàn)槭窃摵瘮?shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，因此，顯然選項(xiàng)ACD分別是的1，2，4倍，而不是的整數(shù)倍.故選：B16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B. C.0 D.【正確答案】D【分析】將原方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求解答案即可.【詳解】由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以討論情況如下：作圖像如下圖所示，關(guān)于的方程，解得或，由于與圖像有一個(gè)公共點(diǎn)，則圖像與圖像有三個(gè)公共點(diǎn)，如圖所示，，同理，時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的值是.故選：D方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.三.簡(jiǎn)答題(本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分)17.已知,（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;（2）若,求函數(shù)的值域.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)y=fx（2）先由求得整體角，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可求其值域.【小問(wèn)1詳解】,由，可得，即函數(shù)y=fx的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)，，則，故函數(shù)y=fx的值域?yàn)?18.如圖，已知平面，，直線與平面所成的角為，且.（1）求三棱錐的體積；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題目條件可得BD，后可由三棱錐體積公式得答案；（2）取中點(diǎn)，連接，則，即為異面直線與所成角，后可由余弦定理得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面所成的角，所以，所以，所以三棱錐的體積；【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連接，則，所以即為異面直線與所成角，又平面，平面，則，得..則在中，，所以，所以異面直線與所成角的大小為.19.2024年上海書展于8月16日至22日在上海展覽中心舉辦.展會(huì)上隨機(jī)抽取了500名觀眾，調(diào)查他們每個(gè)月用在閱讀上的時(shí)長(zhǎng)，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求x的值，并估計(jì)這500名觀眾每個(gè)月閱讀時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）用分層抽樣的方法從這兩組觀眾中隨機(jī)抽取12名觀眾，再若從這12名觀眾中隨機(jī)抽取4人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求所抽取的4人中兩組均有的概率.【正確答案】（1），平均數(shù)為，中位數(shù)為（2）【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出，再求出閱讀時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)，結(jié)合中位數(shù)的定義及求法，即可求解；（2）求出抽取的12名觀眾中，區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，再利用古典概型根據(jù)要求求概率即可.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖得：，解得，閱讀時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間內(nèi)的頻率分別為，所以閱讀時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù).其中前兩組頻率之和，前三組頻率之和，所以閱讀時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)在這組內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】用分層抽樣方法從這兩組觀眾中隨機(jī)抽取12名觀眾，由頻率分布直方圖，得數(shù)據(jù)在兩組內(nèi)的頻率比為，則在內(nèi)抽取人，在內(nèi)抽取人，從這名觀眾中所抽取的人中兩組均有的概率為.20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且右焦點(diǎn)F?到雙曲線.漸近線的距離為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).①若直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F?，且△AF?B的面積為求實(shí)數(shù)k的值；②若直線過(guò)定點(diǎn)P(0,2)，且k>0，在x軸上是否存在點(diǎn)T(t,0)使得以TA、TB為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在，則求出實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【正確答案】（1）（2）①;②【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式求解橢圓參數(shù)即可；（2）①把直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式，即可求出面積等式，最后求解k的值；②把菱形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)角線互相垂直問(wèn)題，最后轉(zhuǎn)化為兩對(duì)角線的斜率之積為，通過(guò)這個(gè)等式轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，即可求解取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由雙曲線.的漸近線方程為，再由橢圓的右焦點(diǎn)分別為到漸近線的距離為可得：，因?yàn)?，所以解得，再由橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，可得，所以由，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】①直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F?可得：，即，所以由直線與橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立方程組，消去得：，設(shè)兩交點(diǎn)Ax1所以，又橢圓左焦點(diǎn)F1?1,0到直線的距離為，所以，解得：或（舍去），即；②假設(shè)存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，由于直線過(guò)定點(diǎn)，且，可知直線方程為，與橢圓聯(lián)立方程組，消去得：，由，且，解得，設(shè)兩交點(diǎn)Ax1,y1,B所以，即，整理得，又因?yàn)?，所以，則.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是把以為鄰邊的平行四邊形為菱形，轉(zhuǎn)化為對(duì)角線互相垂直，再利用求解中點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示斜率，最后利用斜率乘積等于，從而得到關(guān)于的函數(shù)來(lái)求取值范圍.21.設(shè)函數(shù)，其中a為常數(shù)．對(duì)于給定的一組有序?qū)崝?shù)，若對(duì)任意、，都有，則稱為的“和諧數(shù)組”．（1）若，判斷數(shù)組是否為的“和諧數(shù)組”，并說(shuō)明理由；（2）若，求函數(shù)的極值點(diǎn)；（3）證明：若為的“和諧數(shù)組”，則對(duì)任意，都有．【正確答案】（1）是的“和諧數(shù)組”，理由見解析；（2）為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),為的一個(gè)極小值點(diǎn).（3）見解析【分析】（1）代入有，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)性質(zhì)可得，再將代入即可證明；（2）代入值有，直接求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為0即可得到其極值點(diǎn)；（3）假設(shè)存在,使得,通過(guò)和諧數(shù)組定義轉(zhuǎn)化得對(duì)任意恒成立，設(shè)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明假設(shè)不成立.【小問(wèn)1詳解】是的“和諧數(shù)組”,理由如下：當(dāng)時(shí),.根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),對(duì)任意,都有.對(duì)