2020-2022年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：平行四邊形

第1頁/共1頁2020-2022北京初三一模數(shù)學(xué)匯編平行四邊形一、解答題1．（2022·北京海淀·統(tǒng)考一模）在中，，．D為邊BC上一動點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，．點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接AD，P為AD的中點(diǎn)，連接PE，PF，EF．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，寫出線段PE與PF之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B，C不重合時，判斷（1）中所得的關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請舉出反例．2．（2022·北京大興·統(tǒng)考一模）如圖，在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，．(1)求證：四邊形AEFD是平行四邊形；(2)若，，，求BD的長．3．（2021·北京海淀·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，作射線，．D在射線上，連接，E是的中點(diǎn)，C關(guān)于點(diǎn)E的對稱點(diǎn)為F，連接．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）判斷與的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）平面內(nèi)一點(diǎn)G，使得，求的值．4．（2020·北京海淀·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接DF．（1）求證：△ABF是等邊三角形；（2）若∠CDF=45°，CF=2，求AB的長度．5．（2020·北京西城·統(tǒng)考一模）先閱讀下列材料，再解答問題．尺規(guī)作圖已知:△ABC，D是邊AB上一點(diǎn)，如圖1，求作:四邊形DBCF，使得四邊形DBCF是平行四邊形．小明的做法如下：請你參考小明的做法，再設(shè)計一一種尺規(guī)作圖的方法(與小明的方法不同)，使得畫出的四邊形DBCF是平行四邊形，并證明．二、填空題6．（2022·北京大興·統(tǒng)考一模）在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，若DE=2，則BC=___．7．（2020·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，B（3，0），△AOB是等邊三角形，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿BO勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)A出發(fā)以同樣的速度沿OA延長線方向勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時，點(diǎn)P，Q同時停止運(yùn)動．過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，得出下面三個結(jié)論，①當(dāng)t=1時，△OPQ為直角三角形；②當(dāng)t=2時，以AQ，AE為邊的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)在∠AOB的平分線上；③當(dāng)t為任意值時，．所有正確結(jié)論的序號是________．8．（2020·北京豐臺·統(tǒng)考一模）如圖，?ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，EF與對角線BD交于點(diǎn)O，以下三個條件：①BO＝DO；②EO＝FO；③AE＝CF，以其中一個作為題設(shè)，余下的兩個作為結(jié)論組成命題，其中真命題的個數(shù)為_____．9．（2020·北京大興·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊的中點(diǎn)，若DE=2，則BC邊的長為____．10．（2020·北京燕山地區(qū)·一模）如圖，已知四邊形平行四邊形，通過測量、計算得四邊形的面積約為__________（結(jié)果保留一位小數(shù)）

參考答案1．(1)，(2)成立，證明見解析【分析】（1）由題意知三點(diǎn)重合，則，，含30°的直角三角形中，由，可知，是的中位線，有，，，然后求出比值即可；（2）如圖2，連接，作于，軸，過作交于，交于，由題意知，是的中位線，，是等邊三角形，四邊形是矩形，設(shè)，，則，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，求出可得的值，進(jìn)而可得的值，根據(jù)與的數(shù)量關(guān)系判斷與的位置關(guān)系即可．【詳解】（1）解：，．理由如下：由題意知三點(diǎn)重合∴，∵∴，∵∴∴為線段的中點(diǎn)∵是中點(diǎn)∴是的中位線∴，∴∴．（2）解：，的關(guān)系仍成立．證明：如圖2，連接，作于，軸，過作交于，交于，由題意知，是的中位線，，是等邊三角形，四邊形是矩形，設(shè)，∴，，，，，，，，，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴∴∵∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了含30°的直角三角形，中位線，勾股定理及勾股定理的逆定理，等邊三角形、矩形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于表示出與的長度．2．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明四邊形AEFD是平行四邊形；（2）過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，利用已知條件和銳角三角函數(shù)以及勾股定理即可求出BD的長．（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB‖CD且AB=CD，∵CF=BE，∴AB-BE=CD-CF，即AE=DF∴四邊形AEFD是平行四邊形；（2）解：如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G．∴∠AGD=90°，∵∠A=60°，∴∠ADG=30°，∵AD=2，∴AG=1，∴DG=，BG=AB?AG=3，∴在Rt△DGB中，BD==．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形與直角三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．3．（1）作圖見解析；（2）；證明見解析；（3）或．【分析】（1）連接CE，并延長CE到點(diǎn)F，使得CE=EF即可；（2）證明，后利用AB=AC代換傳遞即可得證；（3）分點(diǎn)G，C位于直線DF的同側(cè)和異側(cè)兩種情形求解．【詳解】（1）下圖即為所求（2）與的數(shù)量關(guān)系是．證明：∵點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)E對稱，∴．∵E是的中點(diǎn)，∴．∵，∴∴．∵，∴．（3）如圖所示，點(diǎn)G的位置有兩種情況．①點(diǎn)G與點(diǎn)C在直線同側(cè)時，記為，連接，∵，∴四邊形是平行四邊形．∴．∵，∴，∵，∴．∴．∵中，，∴．∴．②點(diǎn)G與點(diǎn)C在直線異側(cè)時，記為，∵，∴．∴．∵中，，∴．∵由①，，∴．∴．∴．綜上，的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了對稱點(diǎn)作法，三角形的全等，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，分類思想，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)在?ABCD中，∠ABC=60°，可以得到∠DAB的度數(shù)，然后根據(jù)AF平分∠DAB，可以得到∠FAB的度數(shù)，然后等邊三角形的判定方法即可得到△ABF是等邊三角形；（2）作FG⊥DC于點(diǎn)G，然后根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可以得到CG、FG的長，然后即可得到DG的長，從而可以得到DC的長，然后即可得到AB的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠DAB=120°，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB=60°，∴∠FAB=∠ABF=60°，∴∠FAB=∠ABF=∠AFB=60°，∴△ABF是等邊三角形；（2）作FG⊥DC于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=60°，∴DC∥AB，DC=AB，∴∠FCG=∠ABC=60°，∴∠GFC=30°，∵CF=2，∠FGC=90°，∴CG=1，F(xiàn)G=，∵∠FDG=45°，∠FGD=90°，∴∠FDG=∠DFG=45°，∴DG=FG=，∴DC=DG+CG=，∴AB=，即AB的長度是．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．見解析【分析】利用平行四邊形的判定方法作圖證明即可．【詳解】解：（1）設(shè)計方案先畫一個符合題意的草圖，再根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（2）設(shè)計作圖步驟完成作圖作法：如圖：①以點(diǎn)C為圓心，BC長為半徑畫?。虎谝渣c(diǎn)D為圓心，BC長為半徑畫弧，；③兩弧交于點(diǎn)F，四邊形DBCF即為所求.（3）推理論證證明：∵CF=BD，DF=BC∴四邊形DBCF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖、平行四邊形的判定等知識點(diǎn)，靈活應(yīng)用平行四邊形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．6．4【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴BC=2DE=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．7．①③【分析】由題意根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)進(jìn)行綜合分析判斷即可.【詳解】解：①如圖1中，取OQ的中點(diǎn)H，連接PH．∵t=1，∴AQ=PB=1，∵B（3，0），∴OB=3，∵△AOB是等邊三角形，∴OA=OB=AB=3，∴OQ=4，∵，∴OH=OP=2，∵∠HOP=60°，∴△HOP是等邊三角形，∴PH=OH=HQ，∴，∴△OPQ是直角三角形．故①正確，②當(dāng)t=2時，如圖2中，由題意PB=AQ=2，∵PE⊥AB，∴∠PEB=90°，∵∠PBE=60°，∴，∴AE=AB-BE=3-1=2，∴AE=AQ=2，∵四邊形AEMQ是平行四邊形，AQ=AE，∴四邊形AEMQ是菱形，∵∠QAE=120°，∴∠MAE=∠MAQ=60°，∴△MAE是等邊三角形，∴MA=ME＜BM，∴點(diǎn)M不在AB的垂直平分線上，∴點(diǎn)M不在∠AOB的角平分線上，故②錯誤，③如圖3中，作PM∥OA交AB于M．∵PM∥OA，∴∠BMP=∠BAO=60°，∠BPM=∠AOB=60°，∴△PMB是等邊三角形，∴PB=PM=AQ，∵PE⊥BM，∴EM=BM，∵∠AQD=∠MPD，∠ADQ=∠MQP，AQ=PM，∴△ADQ≌△MDP（AAS），∴AD=DM，∴，故③正確.故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.8．3【分析】利用已知結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案．【詳解】解：已知②EO＝OF；①BO＝DO，結(jié)論：③AE＝CF．理由：在△DOE和△BOF中，∴△DOE≌△BOF（SAS），∴DE＝BF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∴AE＝FC，同理可得：已知②EO＝FO，③AE＝CF，結(jié)論：①BO＝DO，是真命題；已知：①BO＝DO，③AE＝CF，結(jié)論：②EO＝FO，是真命題，故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．9．4【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：∵D、E分別為AB、AC邊的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴BC=2DE=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理