2020-2022年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：相似

1/12020-2022北京初三一模數(shù)學(xué)匯編相似一、單選題1．（2022·北京西城·一模）△ABC和△DEF是兩個等邊三角形，AB=2，DE=4，則△ABC與△DEF的面積比是（

）A． B． C． D．2．（2021·北京東城·一模）一個直角三角形木架的兩條直角邊的邊長分別是，．現(xiàn)要做一個與其相似的三角形木架，如果以長的木條為其中一邊，那么另兩邊中長度最大的一邊最多可達(dá)到（

）A． B． C． D．3．（2021·北京·一模）如圖，在中，∥，若，，則等于（

）A． B． C． D．4．（2020·北京·一模）如圖，矩形ABCD中，BC＝2AB，點E在邊AD上，EF⊥BD于點F．若EF＝1，則DE的長為（

）A． B． C．2 D．35．（2020·北京西城·一模）如圖，在數(shù)學(xué)實踐活動課上，小明同學(xué)打算通過測量樹的影長計算樹的高度，陽光下他測得長1m的竹竿落在地面上的影長為0.9m，在同一時刻測量樹的影長時，他發(fā)現(xiàn)樹的影子有一部分落在地面上，還有一部分落在墻面上，他測得這棵樹落在地面上的影長BD為2.7m，落在墻面上的影長CD為1.0m，則這棵樹的高度是（

）A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m二、填空題6．（2022·北京朝陽·一模）如圖，在中，，點D在上（不與點A，C重合），只需添加一個條件即可證明和相似，這個條件可以是____________（寫出一個即可）．7．（2022·北京通州·一模）如圖，在△ABC中點D在AB上（不與點A，B重合），連接CD．只需添加一個條件即可證明△ACD與△ABC相似，這個條件可以是______（寫出一個即可）．8．（2022·北京大興·一模）如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上一點，連接DE，請你添加一個條件，使△ADE∽△ABC，則你添加的這一個條件可以是___________（寫出一個即可）.9．（2021·北京朝陽·一模）如圖，中，，點D是邊上的一個動點（點D與點不重合），若再增加一個條件，就能使與相似，則這個條件可以是____（寫出一個即可）．10．（2020·北京·一模）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，則_____．11．（2020·北京平谷·一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，點E、F是BC的三等分點，連接AF，DE，相交于點M，則線段ME的長為_____．12．（2020·北京海淀·一模）如圖，在?ABCD中，延長CD至點E，使DE=DC，連接BE與AC于點F，則的值是_____．13．（2020·北京石景山·一模）如圖，身高1.8米的小石從一盞路燈下B處向前走了8米到達(dá)點C處時，發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子CE長是2米，則路燈的高AB為_____米．14．（2020·北京延慶·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E在邊BC上，AE與BD相交于點G，若AG:GE=3:1，則EC:BC=_____．15．（2020·北京·一模）如圖(1)，將一個正六邊形各邊延長，構(gòu)成一個正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖(2)中陰影部分；取△A1B1C1和1D1E1F1各邊中點，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如圖(3)中陰影部分；如此下去…，則正六角星形AnFnBnDnCnEnFn的面積為_______.

16．（2020·北京延慶·一模）如圖，小明在A時測得某樹的影長為3米，B時又測得該樹的影長為12米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為_________米.三、解答題17．（2022·北京東城·一模）如圖，在中，，以AB為直徑作，交BC于點D，交AC于點E，過點B作的切線交OD的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，，求AE的長．18．（2022·北京西城·一模）已知：如圖，線段AB．求作：點C，D，使得點C，D在線段AB上，且AC=CD=DB．作法：①作射線AM，在射線AM上順次截取線段AE=EF=FG，連接BG；②以點E為圓心，BG長為半徑畫弧，再以點B為圓心，EG長為半徑畫弧，兩弧在AB上方交于點H；③連接BH，連接EH交AB于點C，在線段CB上截取線段CD=AC．所以點C，D就是所求作的點．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：∵EH=BG，BH=EG，∴四邊形EGBH是平行四邊形．（______）（填推理的依據(jù)）∴，即．∴AC∶______=AE∶AG．∵AE=EF=FG，∴AE=______AG．∴．∴．∴AC=CD=DB．19．（2022·北京·一模）如圖，在中，，BC與相切于點D，過點A作AC的垂線交CB的延長線于點E，交于點F，連結(jié)BF．（1）求證：BF是的切線．（2）若，，求EF的長．20．（2021·北京·一模）如圖，是的直徑，是的弦，點平分劣弧，連接，過點作的垂線，交的延長線于點，交的延長線于點．（1）依題意補全圖形；（2）求證：直線是的切線；（3）若，，求線段的長．21．（2021·北京海淀·一模）如圖，四邊形是矩形，點E是邊上一點，．

（1）求證：；（2）F為延長線上一點，滿足，連接交于點G．若，求的長．22．（2021·北京豐臺·一模）如圖，直線l和直線l外一點P，過點P作于點H任取直線l上點Q，點H關(guān)于直線的對稱點為點，標(biāo)點為點P關(guān)于直線l的垂對點．在平面直角坐標(biāo)系中，（1）已知點，則點中是點P關(guān)于x軸的垂對點的是_______；（2）已知點，且，直線上存在點M關(guān)于x軸的垂對點，求m的取值范圍；（3）已知點，若直線上存在兩個點N關(guān)于x軸的垂對點，直接寫出n的取值范圍，23．（2020·北京海淀·一模）是圓上的兩個點，點在⊙C的內(nèi)部．若為直角，則稱為關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，特別地，當(dāng)圓心在邊（含頂點）上時，稱為關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．如圖，是關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，是關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．在平面直角坐標(biāo)系中．（1）如圖，⊙O的半徑為，是⊙O上兩點．①已知，在中，是關(guān)于⊙O的內(nèi)直角的是______；②若在直線上存在一點，使得是關(guān)于⊙O的內(nèi)直角，求的取值范圍．（2）點是以圓心，為半徑的圓上一個動點，⊙T與軸交于點（點在點的右邊）．現(xiàn)有點，對于線段上每一點，都存在點，使是關(guān)于⊙T的最佳內(nèi)直角，請直接寫出的最大值，以及取得最大值時的取值范圍．24．（2020·北京大興·一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，DM⊥AB于點M．連接BD并延長到E，使DE＝BD，作EF⊥AB，交BA的延長線于點F．（1）求MB的長；（2）求AF的長．25．（2020·北京東城·一模）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（m≠0，x＞0）的圖象在第一象限內(nèi)交于點A，B，且該一次函數(shù)的圖象與y軸正半軸交于點C，過A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E．已知A（1，4），＝．（1）求m的值和一次函數(shù)的解析式；（2）若點M為反比例函數(shù)圖象在A，B之間的動點，作射線OM交直線AB于點N，當(dāng)MN長度最大時，直接寫出點M的坐標(biāo)．26．（2020·北京房山·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D，線段BC上有一點P．（1）當(dāng)點P在什么位置時，直線DP與⊙O有且只有一個公共點，補全圖形并說明理由．（2）在（1）的條件下，當(dāng)BP＝，AD＝3時，求⊙O半徑．27．（2020·北京順義·一模）已知，如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交BD于點E，連接CE．①求∠AED的度數(shù)；②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果）．（2）如圖2，將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交DB的延長線于點E，連接CE．①依題意補全圖2；②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（2020·北京·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，點D為中點，過點D作DE⊥直線AC，垂足為E，交AB的延長線于點F（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若EF＝4，sin∠F＝，求⊙O的半徑．29．（2020·北京延慶·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，點D是弧BC的中點，連接AC，BD，過點D作AC的垂線EF，交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F.．（1）依題意補全圖形；（2）判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由（3）若AB=5，BD=3，求線段BF的長

參考答案1．B【分析】所有的等邊三角形都相似，且相似比等于其邊長比，再利用兩個相似三角的面積之比等于其相似比的平方，即可求解．【詳解】∵△ABC和△DEF是兩個等邊三角形，∴，且有相似比為：，又∵兩個相似三角的面積比等于其相似比的平方，∴，故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的基本性質(zhì)，利用兩個相似三角的面積比等于其相似比的平方是解答本題關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊的長，以長的木條為直角邊，設(shè)相似的三角形中斜邊長為，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等列分式方程，解方程即可得到答案．【詳解】∵直角三角形兩條直角邊分別是，，∴斜邊，∵要做一個與其相似的三角形木架，∴兩個三角形對應(yīng)邊成比例，∵直角三角形中斜邊最大，∴以長的木條為直角邊，設(shè)相似的三角形中斜邊長為，則有2種情況，①，解得：，②，解得：，∴另兩邊中長度最大的一邊最多可達(dá)到，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及勾股定理，利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】首先根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵DE∥BC，AD＝2，AB＝3，∴．故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，由平行線分線段成比例定理得出比例式是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】設(shè)AB＝x則BC＝2x，根據(jù)矩形ABCD中，，可得BD的長，證明，對應(yīng)邊成比例即可求出DE的長．【詳解】設(shè)AB＝x，則BC＝2x∵矩形ABCD中，∴∵∴∵∴∴，即∴故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)在同一時刻物高和影長比值相同，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似進(jìn)而解答即可．【詳解】解：延長AC交BD延長線于點E，根據(jù)物高與影長成正比得：，∵CD=1，∴解得：DE=0.9，則BE=2.7+0.9=3.6米，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，即，解得：AB=4，即樹AB的高度為4米，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線得到AB的影長．6．∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）【分析】相似三角形的判定定理：①兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似；②兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵∠C=∠C∴添加∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC．故答案為：∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）．【點睛】此題考查了補充條件使兩個三角形相似．解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理，特別注意用對應(yīng)邊成比例和一個角相等判定三角形相似的時候，其中相等的角一定要是這兩條邊的夾角．7．∠ACD=∠B（答案不唯一，或∠ADC=∠ACB或均可）【分析】根據(jù)相似三角形的判定條件解答即可．【詳解】解：∵∠A=∠A∴添加∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或．故答案是：∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定．兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似；兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似．8．【詳解】【分析】可以根據(jù)：兩角對應(yīng)相等兩三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩個三角形相似；三邊對應(yīng)成比例,兩個三角形相似.添上適當(dāng)條件便可.【詳解】根據(jù)“兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似”，可添加故答案為【點睛】本題考核知識點：相似三角形判定.解題關(guān)鍵點：熟練掌握相似三角形判定方法.9．答案不唯一，如：【分析】根據(jù)題目特點，結(jié)合三角形相似的判定定理，添加合適的條件即可．【詳解】∵∠DBA=∠CBA，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例及其夾角相等的兩個三角形相似，∴添加的條件是DB：BA=AB：BC；∵∠DBA=∠CBA，根據(jù)兩組對應(yīng)角對應(yīng)相等相等的兩個三角形相似，∴添加的條件是；故答案為：DB：BA=AB：BC或．【點睛】本題考查了三角形相似的判定定理，熟練掌握三角形相似的判定定理是解題的關(guān)鍵．10．【分析】證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．【詳解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)勾股定理即可得到DE的長，再根據(jù)△ADM∽△FEM，即可得到ME的長．【詳解】解：∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，點E、F是BC的三等分點，∴CE＝4，CD＝3，EF＝2，AD＝6，∴Rt△CDE中，DE＝＝5，∵AD∥EF，∴△ADM∽△FEM，∴＝，即＝，∴EM＝DE＝，故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解決問題的關(guān)鍵．12．【分析】在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，根據(jù)DE=DC，可得AB=CD=DE=CE，再由AB∥CD，可得△ABF∽△CEF，對應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)論．【詳解】解：在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∵DE=DC，∴AB=CD=DE=CE，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴．故答案為：．【點睛】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握并運用了相似三角形的判定與性質(zhì)．13．9【分析】根據(jù)CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，進(jìn)而得出比例式求出即可．【詳解】解：由題意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CDAB，則BE＝BC+CE＝10米，∵CDAB，∴△ECD∽△EBA∴＝，即＝，解得AB＝9（米），即路燈的高AB為9米；故答案為：9．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，得出△ECD∽△EBA是解決問題的關(guān)鍵．14．2：3【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求出即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴，∴，∴EC：BC＝2：3，故答案為：2：3．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，正確尋找成比例線段是解題的關(guān)鍵．15．【分析】先分別求出第一個正六角星形AFBDCE與第二個邊長之比，再根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方，找到規(guī)律即可解答.【詳解】∵A1，F(xiàn)1，B1，D1，C1，E1，分別是△ABC和△DEF各邊中點，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比為2:1∵正六角星形AFBDCE的面積為1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積為同理可知，第二個六角星形的面積為第三個六角星形的面積為∴第n個六角星形的面積為【點睛】此題主要考查相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知相似多邊形的面積比等于相似比的平方.16．6【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，進(jìn)而可得；即DC2=ED?FD，代入數(shù)據(jù)可得答案．【詳解】根據(jù)題意，作△EFC，樹高為CD，且∠ECF=90°，ED=3，F(xiàn)D=12，易得：Rt△EDC∽Rt△DCF，有，即DC2=ED×FD，代入數(shù)據(jù)可得DC2=36，DC=6，故答案為6．17．(1)見解析(2)【分析】(1)首先根據(jù)等邊對等角可證得，再根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，即可證得結(jié)論；(2)首先根據(jù)圓周角定理及切線的性質(zhì)，可證得，即可證得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得．（1）證明：（2）解：如圖：連接BE是的直徑，AB=4，是的切線又又，解得【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，證得是解決本題的關(guān)鍵．18．(1)見解析；(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；AB；．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）先證明四邊形EGBH是平行四邊形，再通過平行線分線段成比例定理來解決問題．(1)、補全圖形如下圖所示：(2)證明：∵EH=BG，BH=EG，∴四邊形EGBH是平行四邊形．（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）∴，即．∴AC∶AB=AE∶AG．∵AE=EF=FG，∴AE=AG．∴．∴．∴AC=CD=DB．故答案為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；AB；．【點睛】本題考查基本作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)及平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．19．（1）見解析；（2）3【分析】（1）連接，根據(jù)題意證明，即可證明BF是的切線；（2）根據(jù)題意即（1）的結(jié)論可得，列比例求出FB的長，根據(jù)勾股定理求EF即可．【詳解】（1）證明如圖，連接，，，，又切BC于點D，，，．又，，，，是的切線．（2）由（1）得：，，，，，，，，．【點睛】本題主要考查圓切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟知知識點、作出合理輔助線是解決本題的關(guān)鍵．20．（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）欲證明是切線，只要證明即可．（3）設(shè)，利用勾股定理構(gòu)建方程求出，再利用平行線分線段成比例定理，求出，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：連接，，設(shè)交于．是直徑，，，，，，，四邊形是矩形，，即，是的切線．（3）解：設(shè)．，，，，，，，．【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．21．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)和垂直的定義，得到，，即可得到結(jié)論成立；（2）由相似三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，求出，，再證明，再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．（2）解：∵由（1），∴．∵矩形中，，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴，即．∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，以及垂直的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的進(jìn)行解題．22．（1）O和A；（2）；（3）且n≠2【分析】（1）根據(jù)垂對點的定義即可得出答案；（2）先得出點M關(guān)于x軸的垂對點在以M為圓心MO即m為半徑的圓上，點除外，再根據(jù)當(dāng)直線與⊙M相切時，m的值最小，利用相似三角形的判定和性質(zhì)得出m的值即可；（3）先得出點N關(guān)于x軸的垂對點在以N為圓心2為半徑的圓上，點除外，再分n=0、n＜0、n＞0三種情況進(jìn)行分類討論即可．【詳解】解：（1）∵點，∴根據(jù)垂對點的定義可得點P關(guān)于x軸的垂對點為；（2）∵點，且，∴由垂對點的定義可知，點M關(guān)于x軸的垂對點在以M為圓心MO即m為半徑的圓上，點除外，則OM=m；設(shè)直線與x軸和y軸的交點分別為G、H，∴G（3，0），H（0，4），∴，∵直線上存在點M關(guān)于x軸的垂對點，∴當(dāng)直線與⊙M相切時，m的值最小，此時切點為N,連接MN，則∠HOG=∠MNH=90°，∵∠OHG=∠NHM∴△OHG∽△NHM∴∴∴∴m的取值范圍是：；（3）∵，點N關(guān)于x軸的垂對點在以N為圓心2為半徑的圓上，點除外，當(dāng)n=0時，⊙N與y=x有兩個交點，則直線上存在兩個點N關(guān)于x軸的垂對點，當(dāng)n＞0時，相當(dāng)于⊙N向右平移，y=x向上平移，當(dāng)y=x+n與⊙N相切于⊙N左側(cè)時是臨界點，設(shè)切點為E，連接NE，∠DEN=90°，過點E作EF⊥x軸于F，直線y=x+n與x軸y軸的交點分別為W、K，則W（-n，0），K（0，n），∴OK=OW，∴△OWK為等腰直角三角形，設(shè)過點且平行于x軸的直線與直線y=x+n相交于點D，則△DEN為等腰直角三角形，，設(shè)EF交DN于點I，在直角三角形ENI中，NE=2，∠END=45°，∴NI=EI=，∴E（，），∵點E在y=x+n上，∴∴當(dāng)n=2時，直線與圓交于點（0，2）、（2，4），此時只有一個垂對點，故n≠2．當(dāng)n＜0時，相當(dāng)于⊙N向左平移，y=x向下平移，同理得出，∴且n≠2．【點睛】本題屬于新定義題型，涉及到了三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于讀懂題目信息，并注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．23．（1）①，②；（2）2，【分析】（1）判斷點是否在以為直徑的圓弧上即可得出答案；（2）求得直線的解析式，當(dāng)直線與弧相切時為臨界情況，證明，可求出此時，則答案可求出；（3）可知線段上任意一點（不包含點）都必須在以為直徑的圓上，該圓的半徑為，則當(dāng)點在該圓的最高點時，有最大值，再分點不與點重合，點與點重合兩種情況求出臨界位置時的值即可得解．【詳解】解：（1）如圖，點在以為直徑的圓上，所以是關(guān)于的內(nèi)直角。（2）∵是關(guān)于的內(nèi)直角，∴，且點在的內(nèi)部，∴滿足條件的點形成的圖形為如圖中的半圓（點均不能取到），過點作軸于點，∵，∴，并可求出直線的解析式為，∴當(dāng)直線與直徑重合時，，連接，作直線交半圓于點，過點作直線，交軸于點，是半圓的切線．直線的解析式為，∴直線的解析式為，此時，∴的取值范圍是．這一問難度陡然提升，而且之前的經(jīng)驗似乎有些淺顯，需要進(jìn)一步通過畫圖加深對題干部分的理解并在此過程中探究解題的方向，下面我們通過三步來劃分思維的流程。第一步：分析最佳內(nèi)直角滿足的條件，確定的軌跡顯然，最佳內(nèi)直角為直角，而且直角的一條邊經(jīng)過圓心，因此，不難得出以為直角的圓上的點(不包括點）均滿足條件。另外，如果點在圓的水平方向的半徑上，也滿足條件綜上，我們得出滿足條件的點的軌跡，需要注意，最佳內(nèi)直角的頂點在圓的內(nèi)部，因此，圓上的兩個點均是空心點。第二步，分析線段的端點的位置既然上的每一點都可以成為最佳內(nèi)直角的直角頂點，那么一定與第一步得出的點的軌跡有交點，顯然，當(dāng)點經(jīng)過以為直徑的圓的最高點時，取最大值，因此，所以，，即的最大值為.第三步，求圓心的取值范圍這里需要再次理解題意：當(dāng)，且當(dāng)點“遍歷”線段上的每一點時，對應(yīng)的圓心的取值范圍是什么？此時，問題回歸到傳統(tǒng)的動態(tài)問題分析上來，借助動態(tài)問題的分析原則分析如下：當(dāng)圓從左到右運動過程中，第一個臨界值出現(xiàn)在點的軌跡與線段相切時。如圖所示，不難求出當(dāng)圓繼續(xù)向右運動，如圖所示，當(dāng)點點軌跡點水平部分經(jīng)過點時，此時為第二個臨界位置，此時，很容易得出綜合以上可得，的取值范圍是．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想，正確理解最佳內(nèi)直角的意義是解本題的關(guān)鍵．24．（1）MB＝7；（2）AF＝4．【分析】（1）作CN⊥AB于點N，然后即可證明四邊形DMNC是矩形和△DMA≌△CNB，然后即可得到BM的長；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和三角形相似的知識，可以得到BF的長，然后根據(jù)AB=10，即可得到AF的長．【詳解】（1）作CN⊥AB于點N，∵AB∥CD，DM⊥AB，CN⊥AB，∴∠DMN＝∠MNC＝∠MDC＝90°，∴四邊形DMNC是矩形，∴DM＝CN，DC＝MN，在Rt△DMA和Rt△CNB中，，∴Rt△DMA≌Rt△CNB（HL），∴AM＝BN，∵AB＝10，CD＝4，∴AM＝BN＝3，MN＝4，∴MB＝MN+BN＝7；（2）∵DM⊥AB，EF⊥AB，∴DM∥EF，∴△BDM∽△BEF，∴，∵點D為BE的中點，∴BD＝BE，∴＝，∴＝，∵BM＝7，∴BF＝14，∵AB＝10，∴AF＝BF﹣AB＝14﹣10＝4．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．25．（1）4，y＝﹣x+5；（2）（2，2）【分析】（1）先把A點坐標(biāo)代入y＝中求出m得到反比例函數(shù)解析式為y＝；再證明△CDA∽△CEB，利用相似比求出BE＝4，則利用反比例函數(shù)解析式確定B點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；（2）利用點A與點B關(guān)于直線y＝x對稱，反比例函數(shù)y＝﹣關(guān)于y＝x對稱可判斷當(dāng)OM的解析式為y＝x時，MN的長度最大，然后解方程組得此時M點的坐標(biāo)．【詳解】（1）把A（1，4）代入y＝得m＝1×4＝4，∴反比例函數(shù)解析式為y＝；∵BD⊥y軸，AD⊥y軸，∴AD∥BE，∴△CDA∽△CEB，∴＝，即＝，∴BE＝4，當(dāng)x＝4時，y＝＝＝1，∴B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x+5；（2）∵點A與點B關(guān)于直線y＝x對稱，反比例函數(shù)y＝﹣關(guān)于y＝x對稱，∴當(dāng)OM的解析式為y＝x時，MN的長度最大，解方程組得或，∴此時M點的坐標(biāo)為（2，2）．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和相似三角形的判定與性質(zhì)．26．（1）補圖見解析；理由見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形如圖所示，情況一：點P在過點D與OD垂直的直線與BC的交點處，根據(jù)切線的定義即可得到結(jié)論；情況二：如圖，當(dāng)點P是BC的中點時，直線DP與⊙O有且只有一個公共點，連接CD，OD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADC=∠BDC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DP=CP，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由題意可知在Rt△BCD中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BC=2BP，求得BC=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）補全圖形如圖所示，情況一：點P在過點D與OD垂直的直線與BC的交點處，理由：經(jīng)過半徑外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；情況二：如圖，當(dāng)點P是BC的中點時，直線DP與⊙O有且只有一個公共點，證明：連接CD，OD，如上圖，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵點P是BC的中點，∴DP＝CP，∴∠PDC＝∠PCD，∵∠ACB＝90°，∴∠PCD+∠DCO＝90°，∵OD＝OC，∴∠DCO＝∠ODC，∴∠PDC+∠ODC＝90°，∴∠ODP＝90°，∴DP⊥OD，∴直線DP與⊙O相切；（2）在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，P是BC的中點，∴BC＝2BP，∵BP＝，∴BC＝，∵∠ACB＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB，∴，∴，設(shè)AB＝x，∵AD＝3，∴BD＝x﹣3，∴x（x﹣3）＝（）2，∴x＝5（負(fù)值舍去），∴AB＝5，∵∠BDC＝90°，∴AC＝＝，∴OC＝AC＝，即⊙O的半徑為．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練正確切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．27．（1）①45°，②；（2）①見解析，②，證明見解析【分析】（1）①證明∠AED＝∠D＝15°，∠BAE＝30°，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．②結(jié)論：．作CK⊥BC交BD于K，連接CD．證明BE＝EK，DK＝AE即可解決問題．（2）①根據(jù)要求畫出圖形即可．②結(jié)論：．過點A作AF⊥AE，交ED的延長線于點F（如圖3），利用全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】（1）解：①如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝30°，由旋轉(zhuǎn)可知：AD＝AC，∠CAD＝90°．∴AB＝AD，∠BAD＝150°，∴∠ABD＝∠D＝15°，∴∠AED＝∠ABD+∠BAE＝45°．②結(jié)論：．理由：作CK⊥BC交BD于K，連接CD．∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（SAS），∴BE＝EC，∠AEB＝∠AEC＝135°，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∵∠BCK＝90°，∴∠CKB＝∠CBE＝45°，∴CB＝CE，∵CE⊥BK，∴BE＝EK，∵∠ADC＝45°，∠ADB＝15°，∴∠CDK＝∠CAE＝30°，∵∠CKD＝∠AEC＝