高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019必修四）第26講 11.3.3平面與平面平行

.3.3平面與平面平行TOC\o"1-3"\h\u題型1面面平行的概念辨析 2題型2面面平行的證明 9題型3面面平行證明線線平行 18題型4面面平行證明線面平行 27題型5面面平行的簡(jiǎn)單應(yīng)用 35題型6面面平行中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 40知識(shí)點(diǎn)一.兩個(gè)平面的位置關(guān)系及表示位置關(guān)系公共點(diǎn)圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言相交有無(wú)數(shù)個(gè)共同點(diǎn)α∩β＝l平行沒(méi)有公共點(diǎn)α∥β知識(shí)點(diǎn)二.平面與平面平行的判定定理（簡(jiǎn)稱面面平行的判定定理）文字語(yǔ)言一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β判定定理的推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有___兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的____________，則這兩個(gè)平面平行．知識(shí)點(diǎn)三.平面與平面平行的性質(zhì)定理（簡(jiǎn)稱面面平行的性質(zhì)定理）文字語(yǔ)言如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b性質(zhì)定理推論：如果兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的__任一直線__平行于另一個(gè)平面．符號(hào)表示：__α∥β，a?α____?a∥β.知識(shí)點(diǎn)四.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化題型1面面平行的概念辨析【方法總結(jié)】解決平行關(guān)系基本問(wèn)題的三個(gè)注意點(diǎn)（1）判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理要求線在面外（2）結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判別，（3）會(huì)舉反例或用反證法探測(cè)結(jié)論是否正確.【例題1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）平面α上有三個(gè)不共線點(diǎn)到平面β距離相等，則平面α與平面β的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行【答案】D【分析】根據(jù)面面關(guān)系結(jié)合圖形來(lái)分析判斷.【詳解】如圖1，若α∥β，則平面α上任一點(diǎn)到平面β距離相等，故平面α上一定存在三個(gè)不共線點(diǎn)到平面β距離相等；如圖2，若α與β相交，則平面α上一定存在位于異側(cè)的三個(gè)不共線點(diǎn)到平面β距離相等；故平面α與平面β的位置關(guān)系是相交或平行.故選：D.【變式1-1】1．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)a，b是空間中的兩條直線，A．若a?αB．若a?α,α∩C．若a?αD．若a?α,b?【答案】D【分析】ABC可舉出反例，D選項(xiàng)可利用反證法得到證明.【詳解】A選項(xiàng)，若a?α,b//α，則如圖1，滿足a?α,b//B選項(xiàng)，若a?α,α∩如圖2，滿足a?α,α∩C選項(xiàng)，若a?α,b?β,如圖3，滿足a?α,D選項(xiàng)，結(jié)合C選項(xiàng)的分析可知：若a?α,b?β,即a與b沒(méi)有公共點(diǎn)，假設(shè)a與b有公共點(diǎn)，設(shè)公共點(diǎn)為P，則P∈α,P∈β，則P∈故選：D【變式1-1】2．（多選）（2022春·安徽安慶·高一校考期中）下列命題中，正確的是（

）A．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行B．平行于同一平面的兩個(gè)平面平行C．平行于同一平面的兩直線關(guān)系不確定D．兩平面平行，一平面內(nèi)的直線必平行于另一平面【答案】BCD【分析】通過(guò)舉反例說(shuō)明選項(xiàng)A錯(cuò)誤，其它選項(xiàng)根據(jù)線面、面面平行的判定和性質(zhì)直接判斷即可.【詳解】對(duì)于A，如圖，平行于同一條直線的兩個(gè)平面相交,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行于同一平面的兩個(gè)平面平行正確，故B正確；對(duì)于C，平行于同一平面的兩直線關(guān)系不確定，可以平行，相交，也可以異面，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理，兩平面平行，一平面內(nèi)的直線必平行于另一平面正確，故C正確；故選：BCD.【變式1-1】3．（多選）（2022春·安徽蕪湖·高一校考期中）已知α，β是兩個(gè)平面，則下列條件可以得到α//A．平面α內(nèi)的任何一條直線l，都有l(wèi)B．平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面β平行C．平面α內(nèi)任意一條直線與平面β內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn)D．平面α內(nèi)有兩條相交直線都在平面β外【答案】AC【分析】根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】若α//β不成立，則α與β相交，那么與α內(nèi)的任一條直線都與對(duì)于B，平面α與平面β也可能相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，在平面β外，可以是平行，也可以是相交，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【變式1-1】4．（多選）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是兩條不同的直線，下列說(shuō)法正確的是（

）A．“經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且僅有一個(gè)平面”是平面的基本事實(shí)之一B．“若α//β，m?C．“若m//n，m?α，D．若α//β，m//α，m【答案】CD【分析】根據(jù)立體幾何中的公理可判斷A選項(xiàng)；利用平面與平面平行的性質(zhì)定理可判斷B選項(xiàng)；利用線面平行的判定定理可判斷C選項(xiàng)；分m?β和【詳解】解：“經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且僅有一個(gè)平面”是平面的基本事實(shí)的一個(gè)推論，故A錯(cuò)誤；“若α//β，m?“若m//n，m?α，若m?β，設(shè)過(guò)直線m的平面γ分別交α，∵m//α，m?γ，∵α//β，α∩∴a//b，∴∵m//n，∴n//b，∵b?若m?β，n//m，故選：CD．【變式1-1】5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)a，b為不重合的兩條直線α，β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：①若a?α，b?α，a，b是異面直線，那么b//α；②若a?α，b//α，a，b共面，那么a//b；③若α//β，a?α，則a//β．上面命題中，所有真命題的序號(hào)是_____．【答案】②③【分析】對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷，對(duì)①，若a?α，b?α，a，b是異面直線可得出相交平行異面，即可判斷正誤；對(duì)②，由線面平行的性質(zhì)可判斷；對(duì)③由面面平行的性質(zhì)可判斷.【詳解】a，b為不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個(gè)平面，對(duì)于①，若a?α，b?α，a，b是異面直線，那么b與α相交或平行或異面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若a?α，b//α，a，b共面，那么由線面平行的性質(zhì)得a//b，故②正確；對(duì)于③，若α//β，a?α，則由面面平行的性質(zhì)得a//β，故③正確．故答案為：②③．【變式1-1】6．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）a,b,①a//cb//c?a//b其中正確的命題是______．（將正確的序號(hào)都填上）【答案】①④⑤【分析】由線線、線面、面面平行的相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)a//c，b//c且對(duì)于②，當(dāng)a//γ，b//對(duì)于③，當(dāng)α//c，β//對(duì)于④，當(dāng)a//c，α//c且對(duì)于⑤，當(dāng)α//γ，a//γ且故答案為：①④⑤.題型2面面平行的證明【方法總結(jié)】證明兩個(gè)平面平行的方法證明兩個(gè)平面平行的關(guān)鍵在于證明線面平行，在證明線面平行時(shí)，可利用面面平行判定定理的推論：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行，即證一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面的兩條相交直找分別平行即可.【例題2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在正方體ABCD?A1B1C1D1中．O為底面ABCD中心，P為D【答案】證明見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)線面、面面平行的判定定理分析證明.【詳解】由題意可得：O,P分別為BD,DD1的中點(diǎn)，則OP?平面D1BQ，B∴OP∥平面D1連接PQ，由題意可得：P,Q分別為DD1,CC1的中點(diǎn)，則∵AB∥CD，且AB=則AB∥PQ，且AB=故ABQP為平行四邊形，則AP∥BQ，AP?平面D1BQ，BQ∴AP∥平面D1OP∩AP=P，故平面D1BQ【變式2-1】1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別為A1B(1)求證：E、F、B、D共面；(2)求證：平面AMN∥平面EFDB．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)題意證明EF∥BD，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)線面、面面平行的判定定理分析證明.【詳解】（1）連接B1D1，由題意可得：E,F分別為B1C∵BB1∥DD1，BB∴BD∥B1則EF∥BD，故E、F、B、D共面.（2）由題意可得：M,N分別為A1B1,A∵EF∥B1D1，則MN∥EF，且MN?平面AMN，∴EF∥平面AMN，連接NE，由題意可得：N,E分別為A1D1,B1C∵A1B1∥AB，A1B1=AB，則NE∥AB∴AN∥BE，AN?平面AMN，BE?平面∴BE∥平面AMN，EF∩BE=E，故平面AMN∥平面EFDB.【變式2-1】2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1(1)EG//平面BD(2)平面EFG//平面BD【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)利用線面平行的判定定理即可證明；(2)利用面面平行的判定定理證明.【詳解】（1）如圖，連接SB，∵E,G分別是BC,SC的中點(diǎn)，∴又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面（2）連接SD，∵F,G分別是∴FG//SD.又∵SD?平面BDD1∴FG//平面BDD1B1且EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，∴平面EFG∥平面BDD【變式2-1】3．（2022·高一單元測(cè)試）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N，P分別為AB，BC，B1C1的中點(diǎn)．(1)求證：AC∥平面B1MN；(2)求證：平面ACP∥平面B1MN．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)．所以MN∥AC，利用線面平行的判定定理即可證明AC∥平面B1MN；（2）由已知，P為B1C1的中點(diǎn)．可證B1P＝CN，B1P∥CN，從而證明四邊形B1PCN是平行四邊形，得到CP∥B1N，利用線面平行的判定定理即可證明CP∥平面B1MN，結(jié)合第（1）問(wèn)AC∥平面B1MN，利用面面平行的判定定理即可證明平面ACP∥平面B1MN.【詳解】（1）證明：因?yàn)镸，N分別為AB，BC的中點(diǎn)．所以MN∥AC，因?yàn)镸N?平面B1MN，AC?得證.（2）證明：因?yàn)镻為B1C1的中點(diǎn)．所以B1P＝CN，又因?yàn)锽1P∥CN，所以四邊形B1PCN是平行四邊形，所以CP∥B1N，又因?yàn)锽1N?平面B1MN，CP?由第（1）問(wèn)，AC∥平面B1MN，AC∩CP＝C，AC?平面ACP，CP?平面ACP，所以平面ACP∥平面B1MN．得證.【變式2-1】4．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F(xiàn)，G(1)求證：平面A1C1(2)若平面A1C1G∩【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由已知可得EF//A1C1，得到EF//平面A1C1（2）由公理及平面與平面平行的性質(zhì)得A1C1//GH，則GH//AC，由G【詳解】（1）證明：如圖，∵E，F(xiàn)分別為B1C∴EF∵A1C1?平面A∴EF//平面又F，G分別為A1B1∴A又A1F//BG，∴四邊形∵A1G?平面A1∴BF//平面又EF∩BF=F，∴平面A1C1（2）證明：∵平面ABC//平面A1B1C平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G，則有經(jīng)過(guò)則A1C1∵G為AB∴H為BC【變式2-1】5．（2022·高一單元測(cè)試）如圖所示，P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，E、F、D分別是△PBC、△PCA(1)求證：平面DEF//平面ABC(2)求△DEF與△【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）連接MN、MG、NG，D、E、F分別是△PAB、△PBC、可得PDPM（2）由PDPM=PEPN=PFPG=DEMN=DFMG=(1)連接MN、MG、NG，∵D、E、F分別是△PAB、△PBC、∴M、N、G分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，且PDPM∴DE//MN，DE?平面ABC，NM?平面ABC，所以DE//DF?平面ABC，GM?平面ABC，所以DF//且DE∩DF=D，∴平面(2)由（1）知PDPM=PE∴△DEF∽△MNG，其相似比為∵M(jìn)、N分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴MN//∴△ABC∽△MNG，其相似比為∴△DEF∽△ABC，其相似比為13，∴△DEF與【變式2-1】6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）由四棱柱ABCD?A1B1C1D1(1)求證：A1O∥平面(2)求證：平面A1BD∥平面(3)設(shè)平面B1CD1與底面【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）取B1D1的中點(diǎn)O（2）由線線平行證BD∥平面B1CD1，結(jié)合A1O（3）由線面平行證線線平行即可.【詳解】（1）取B1D1的中點(diǎn)O∵ABCD?A1∴四邊形A1OCO又O1C?平面B1CD1（2）∵BB1∥AA∵BD?平面B1CD1,B由（1）得A1O∥平面B1CD1∴平面A1BD∥（3）由（2）得：BD∥平面B又BD?平面ABCD，平面B1CD1題型3面面平行證明線線平行【方法總結(jié)】由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理可以得到兩個(gè)平面平行的其他性質(zhì)：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線平行于另一個(gè)平面；經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面和已知平面平行；（3）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等；（4）兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例；（5）平行于同一平面的兩個(gè)平面平行（面面平行的傳遞性）.【例題3】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1【答案】平行四邊形.【分析】根據(jù)給定條件，利用面面平行的性質(zhì)直接推理作答.【詳解】因AF//EC1，則平面α∩平面CDD1C1又平面ABB1A1//所以四邊形AEC【變式3-1】1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，A1B1C1D1-ABCD是四棱臺(tái)，求證：B1D1∥BD.【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)棱臺(tái)的特征易知BD,【詳解】根據(jù)棱臺(tái)的特征知：側(cè)棱BB1與DD1相交，所以BD,又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD.【變式3-1】2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知平面α/平面β，點(diǎn)P是平面α，β外一點(diǎn)，且直線PB，PD分別與α，β相交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D．如果PA=4cm，AB=5cm【答案】27【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】由題意可知：平面PBD∩α=因?yàn)槠矫姒?平面β，所以BD因此有PAPB【變式3-1】3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱錐中，AE:AB=1:3，截面EFG∥底面BDC．已知【答案】6【分析】由面面平行可得線線平行，然后由相似三角形可解.【詳解】因?yàn)榻孛鍱FG∥底面BDC，且面ABC∩面EFG=EG所以EG∥所以△又AE所以EG同理可得，GF所以EG+GF所以，EG+GF+【變式3-1】4．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點(diǎn)．M是AB上一點(diǎn)，連接MC，N是PM與DE的交點(diǎn)，連接NF，求證：【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)給定條件證得DE//平面ABC，進(jìn)而證得平面DEF//平面【詳解】因D，E分別是PA，PB的中點(diǎn)，則DE//AB，又DE?平面ABC，AB于是得DE//平面ABC，同理DF//平面ABC，且DE∩DF=則有平面DEF//平面ABC，又平面PCM∩平面DEF=NF，平面所以NF//【變式3-1】5．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，三棱錐S?ABC中，E，F(xiàn)，G分別為【答案】證明見(jiàn)解析【解析】先證明面EFG//面ABC，再證明GE【詳解】∵FE//AC,FG//AB且FE?面AC?面ABC，AB?面∴面EFG//面ABC∵面EFG∩面SBC=GE，面∴【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線平面平行的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.【變式3-1】6．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD求證：EC//【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】試題分析：由條件可得BE∥平面AA1D，同理BC∥平面AA1D，根據(jù)面面平行的判定可得平面BCE∥平面AA1D，再由面面平行性質(zhì)可得EC∥A1D．試題解析：因?yàn)锽E∥AA1，AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，所以BE∥平面AA1D．因?yàn)锽C∥AD，AD?平面AA1D，BC?平面AA1D，所以BC∥平面AA1D．又BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D．又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D．點(diǎn)睛：（1）解決與平行有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意在解題時(shí)要注意“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”間的轉(zhuǎn)化，這是在解決平行關(guān)系問(wèn)題中常用的方法．（2）在判定中，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”的轉(zhuǎn)化；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，當(dāng)然轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過(guò)于模式化．【變式3-1】7．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，如圖．（1）求證：平面AB1D1∥平面C1BD；（2）試找出體對(duì)角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點(diǎn)E，F(xiàn)，并證明：A1E＝EF＝FC．【答案】略【詳解】證明：（1）因?yàn)樵谡襟wABCD－A1B1C1D1中，AD/=B1C1，所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以AB1∥C1D.又因?yàn)镃1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因?yàn)锳B1∩B1D1＝B1，AB1?平面AB1D1，B1D1?（2）如圖，設(shè)A1C1與B1D1交于點(diǎn)O1，連接AO1，與A1C交于點(diǎn)E.因?yàn)锳O1?平面AB1D1，所以點(diǎn)E也在平面AB1D1內(nèi)，所以點(diǎn)E就是A1C與平面AB1D1的交點(diǎn)．連接AC交BD于O，連接C1O與A1C交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F就是A1C與平面C1BD的交點(diǎn)．下面證明A1E＝EF＝FC.因?yàn)槠矫鍭1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中點(diǎn)，所以E是A1F的中點(diǎn)，即A1E＝EF.同理，CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.考點(diǎn)：面面平行的判定及性質(zhì).【變式3-1】8．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在三棱柱ABC?A1B1C1中，點(diǎn)D、D1分別是AC、【答案】AD【分析】連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1，利用面面平行的性質(zhì)可得出D1【詳解】解：連接A1B交AB1于點(diǎn)由棱柱的性質(zhì)可知，四邊形AA1B1B因?yàn)槠矫鍮C1D//平面AB1D1，平面∴OD1//BC1∵平面BC1D//平面AB1D1，平面所以，AD又因?yàn)锳D//D1所以，AD=C1【變式3-2】1.在五面體中，面為平行四邊形，，且，為棱的中點(diǎn).(1)的中點(diǎn)為，證明：平面平面；(2)請(qǐng)畫出過(guò)點(diǎn)，，的平面與平面的交線，證明．【答案】(1)連接，因?yàn)椋?，是平行四邊形，所以且，所以是平行四邊形，，同理，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面?2)在平面內(nèi)過(guò)作直線，即為平面和平面的交線；證明如下：設(shè)平面和平面的交線為由（1），平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以．【變式3-2】2.如圖所示，已知點(diǎn)P是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，M，N，Q分別，，的中點(diǎn)，平面平面．(1)證明平面平面；(2)求證：．【答案】(1)證明：因?yàn)镸，N，Q分別，，的中點(diǎn)，所以，又平面ABCD,平面ABCD,所以平面ABCD,平面ABCD,因?yàn)?，平面MNQ,所以平面平面，(2)證明：因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又平面平面，平面，所?題型4面面平行證明線面平行【例題4】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=【答案】證明見(jiàn)解析【分析】取H是DG的中點(diǎn)，連接NH，MH，證明NH，MH都與平面CDE平行，得面面平行，從而再得線面平行.【詳解】證明：設(shè)H是DG的中點(diǎn)，連接NH，MH，由于M是CF的中點(diǎn)，所以MH∥CD，由于MH?平面CDE，CD?平面CDE，所以MH∥平面CDE．由于N是EG的中點(diǎn)，所以NH∥DE，由于由于NH?平面CDE，DE?平面CDE，所以NH∥平面CDE．由于NH?MH＝H，NH,MH?所以平面MNH∥平面CDE，由于MN?平面MNH，所以MN∥平面CDE．【變式4-1】1．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱柱ABCD?A'B'C'D'【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】設(shè)E為棱CC1的中點(diǎn)，連接NE，ME，易得ME//平面ABCD，NE∥平面ABCD，平面MNE//平面【詳解】證明：如圖，設(shè)E為棱CC1的中點(diǎn)，連接∵M(jìn)，N分別為B∴ME//C又∵M(jìn)E，NE∴ME//平面ABCD，NE∥平面ABCD.又∴平面MNE//平面ABCD又MN?平面MNE∴MN//平面【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理及面面平行的判定與性質(zhì)，屬于中檔題.【變式4-1】2．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）幾何體E?ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，BC=CD=2，(1)求證：DM//平面BEC(2)線段EB上是否存在一點(diǎn)N，使得D,M,【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，點(diǎn)N為線段EB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，證明見(jiàn)解析.【分析】（1）取AB的中點(diǎn)F，連接DF,（2）延長(zhǎng)DC,AB相交于點(diǎn)P，連接PM交BE于點(diǎn)N，連接【詳解】（1）取AB的中點(diǎn)F，連接DF,因?yàn)镕,M分別為AB,AE的中點(diǎn)，有MF//EB，而則MF//平面EBC，又△ADB為正三角形，∠DBA=60即有∠ABC=90°，而∠AFD=90°，于是得DF//因此DF//平面EBC，因DF∩MF=F，DF,MF?平面DMF，則平面所以DM//平面BEC（2）延長(zhǎng)DC,AB相交于點(diǎn)P，連接PM交BE于點(diǎn)N，連接CN，過(guò)點(diǎn)N作NQ//AE交因?yàn)镈M//平面ECB，DM?平面PDM，平面PDM∩平面ECB即D,M,得PC=4，即PNPM=CPDP則有NQAE=13，即BNBE=NQ所以線段EB上存在點(diǎn)N，使得D,M,N,C四點(diǎn)共面，點(diǎn)【變式4-1】3．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M、【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用平行關(guān)系，轉(zhuǎn)化為證明面面平行，即可證明線面平行.【詳解】證明：取CC1的中點(diǎn)E，連接DE、NE、在正方體ABCD?A1B1∵M(jìn)、E分別為BB1、CC1故四邊形BCEM為平行四邊形，則ME//BC且又因?yàn)锳D//BC且AD=BC，則故四邊形ADEM為平行四邊形，則DE//∵DE?平面AMD1，AM?平面AM因?yàn)锳B//C1D1且AB∵N、E分別為BC、CC1的中點(diǎn)，則NE∵NE?平面AMD1，AD1?∵DE∩NE=E，DE、NE?平面∵DN?平面DEN，∴DN【變式4-1】4．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，BC【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合線面平行的判定、面面平行的判定證得平面EMG//平面B【詳解】在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1因G為AB的中點(diǎn)，則GM//BF，而B(niǎo)F?平面BB1F，GM?四邊形ACC1A1為矩形，而A1即有四邊形AMEA1為平行四邊形，則EM//AA1//BB從而EM//平面BB1F，而GM∩EM=M，GM,EM?從而EG//平面B【變式4-1】5．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖①，在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP⊥AB，AB=BC=12AP，D為AP的中點(diǎn)，E、F、G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn)，將△PCD【答案】證明見(jiàn)解析【分析】證明出平面PAB//平面EFG【詳解】證明：在四棱錐P?ABCD中，∵E、G分別為PC、BC∵PB?平面EFG，EG?平面EFG，∴在圖①中，AP//BC，且∵D為AP的中點(diǎn)，則AD//BC且AD所以，AB//因?yàn)镋、F分別為PC、PD的中點(diǎn)，所以，EF//CD，則∴AB?平面EFG，EF?平面EFG，∴∵AB∩PB=B，AP、PB?平面∵AP?平面PAB，因此，AP//【變式4-1】5.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC上一點(diǎn)，M，N分別是AE，CD1的中點(diǎn)，AD＝AA1＝a，AB＝2a，求證：MN∥平面ADD1A1.【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)K，連接MK，NK.因?yàn)镸，N，K分別是AE，CD1，CD的中點(diǎn)，所以MK∥AD，NK∥DD1.又MK平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，所以MK∥平面ADD1A1.同理NK∥平面ADD1A1.又MK∩NK＝K，所以平面MNK∥平面ADD1A1，又MN平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1.題型5面面平行的簡(jiǎn)單應(yīng)用【方法總結(jié)】?jī)蓚€(gè)平面位置關(guān)系的判斷方法兩個(gè)平面的位置關(guān)系有兩種：平行和相交，沒(méi)有公共點(diǎn)則平行，有公共點(diǎn)則相交，熱練掌握這兩種位置關(guān)系，并借助圖形來(lái)判斷，【例題5】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?（1）與平面ADD（2）與平面ABB（3）與平面A1【答案】

平面BCC1B1【分析】結(jié)合長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征和面面平行的判定定理即可判斷.【詳解】因?yàn)锳BCD?A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，所以平面ADD1A1∥平面BC又因?yàn)锳C?平面A1DC1，AB1?平面A1DC1，所以AC∥面故答案為：①平面BCC1B1；②平面【變式5-1】1.如圖是長(zhǎng)方體被一平面截得的幾何體，四邊形為截面，則四邊形的形狀為_(kāi)_______.【答案】平行四邊形【解析】∵平面ABFE∥平面CDHG，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．【變式5-1】2.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足________________時(shí)，有MN∥平面B1BDD1.[答案]M在線段FH上移動(dòng)【解析】此時(shí)HN∥BD，MH∥DD1，∴平面MNH∥平面BDD1B1，∴MN∥平面B1BDD1．【變式5-1】3．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1A．22 B．2 C．322【答案】B【分析】取BB1中點(diǎn)M，B1C1中點(diǎn)N，連接MN，則易證平面A1MN//平面【詳解】如圖所示：取BB1中點(diǎn)M，B1C1因?yàn)镸N//BC1，B所以MN//AMN?平面AD1E，所以MN//平面A同理可證明A1N//又因?yàn)镸N∩A1N=所以平面A1MN//當(dāng)F的軌跡為線段MN時(shí)，此時(shí)A1F?平面A1MN此時(shí)MN=故選：B.【變式5-1】4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P是棱AD上一點(diǎn)，且AP=a3，過(guò)B1，DA．223aC．22a 【答案】A【分析】連接BD，由面面平行性質(zhì)定理，可以證出B1D1∥PQ，所以PQ【詳解】在正方體ABCD?A1B1∴四邊形DD1B又∵在正方體ABCD?A1B1C1平面B1D1P∩平面A1B1C1D1∴B1D1∴∠PQD又∵∠PDQ∴△PDQ～△BCD又∵正方體ABCD?A1∴BC=a，PD=∴PQ=故選：A.【變式5-1】5.過(guò)三棱柱ABC－A1B1C1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條．【答案】6【解析】各中點(diǎn)連線如圖，只有面EFGH與面ABB1A1平行，在四邊形EFGH中有6條符合題意．【變式5-1】6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA′，BB′，CC′交于同一點(diǎn)O，且OAOA'＝OBOB'＝【答案】4【分析】根據(jù)線段題意可得：AB//A'B'，AC//A'C【詳解】∵AA'∩∴AB//A'B'因?yàn)锳B?平面A'B'C'，A'同理可得：AC//平面A'B'C'，又因?yàn)樗云矫鍭BC//平面A∵AB//A'B'同理∠ABC∴△ABC～△A∴S△故答案為：49題型6面面平行中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【例題6】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1(1)求證：BD1//(2)CC1上是否存在一點(diǎn)F，使得平面AEC//【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）利用三角形中位線證明線線平行，結(jié)合線面平行判定定理，從而得線面平行；（2）結(jié)合面面平行判定定理來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)位置，并證明面面平行.【詳解】（1）證明：如圖，連接BD交AC于O，連接EO.因?yàn)锳BCD?A1B1C1D1所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為DD所以在△DBD1中，OE所以O(shè)E//又因?yàn)镺E?平面AEC，BD1所以BD1//（2）解：當(dāng)CC1上的點(diǎn)F為中點(diǎn)時(shí)，即滿足平面AEC//連接BF，D1因?yàn)镕為CC1的中點(diǎn)，E為所以CF//所以四邊形CFD所以D1又因?yàn)镋C?平面AEC，D1F所以D1F//由（１）知BD1//又因?yàn)锽D1∩D1F=所以平面AEC//平面BF【變式6-1】1．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在三棱柱ABC?(1)若E,F,G,H分別是(2)若點(diǎn)D,D1分別是AC,A1C【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）分別證明EF//平面BCHG、A1E（2）連接A1B交AB1于O，連接OD【詳解】（1）∵E,F分別是AB,∵EF?平面BCHG，BC?平面∴EF//平面BCHG∵A1G//EB，∴A1E//GB，又∵A1E?∴A1E//又∵A1E∩EF=E，A1（2）連接A1B交AB1于由平面BC1D//平面AB1D1，且平面∴BC1//所以A1D1D1所以D為線段AC的中點(diǎn)，即ADDC【變式6-1】2．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐P?ABCD中，AB//CD，AB=2(1)求證：CE//平面PAD(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PAD//平面CEF【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用構(gòu)造平行四邊形的方法證明線線平行，結(jié)合線面平行判定定理，從而得線面平行；（2）點(diǎn)F為線段AB的中點(diǎn)，再利用面面平行判定定理證明，即可證明平面PAD//平面CEF【詳解】（1）證明：如圖所示，取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH．因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EH//AB，又AB//CD，所以EH//CD，因此四邊形DCEH是平行四