高中數(shù)學同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第19講 2.2.1直線的傾斜角與斜率

④如果已知a=（u,v）為直線l的一個方向向量，則當u=0時，直線l的斜率不存在，傾斜角為90°；當u≠0時，直線l的斜率是存在的，直線l的斜率k=vu,即tanα=vu.知識點四.直線的法向量一般的，如果表示非零向量的v的有向線段所在的直線與直線l垂直，則稱向量v為直線l的一個法向量，記作v⊥l，一條直線的方向向量與法向量互相垂直.題型1直線的傾斜角【方法總結(jié)】1.求直線傾斜角的方法及關注點（1）定義法：根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合傾斜角的定義找傾斜角.（2）關注點：結(jié)合圖形求角時，應注意平面幾何知識的應用，如三角形內(nèi)角和定理及其有關推論.2.對直線傾斜角的理解（1）由傾斜角定義可知傾斜角也是直線I向上的方向與x軸正方向所成的角（2）傾斜角是一個幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對x軸的傾斜程度.（3）平面直角坐標系中的每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等.（4）當直線的傾斜角α≠90°時，其正切值等于直線的斜率k，即k=tanα.【例題1】（多選）（2022秋·高二課時練習）在下列四個命題中，正確的是（

）A．若直線的傾斜角α為銳角，則其斜率一定大于0B．任意直線都有傾斜角α，且當α≠90C．若一條直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為D．直線的傾斜角越大，則其斜率越大【答案】AB【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的關系逐項判斷即可.【詳解】當0°<α根據(jù)直線傾斜角的定義可得每一條直線都有一條確定的傾斜角，由斜率定義可得當直線的傾斜角α≠90°若一條直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為β=α直線的傾斜角為銳角是斜率大于0，傾斜角為鈍角時斜率小于0，故D不正確；故選：AB.【變式1-1】1.（2022秋·高二課時練習）已知點A2,1，BA．30° B．45° C．60°【答案】B【分析】根據(jù)兩點間斜率公式求解即可；【詳解】解析：k=tanα所以α=故選：B.【變式1-1】2.（2023·重慶·重慶南開中學校考模擬預測）已知直線l的一個方向向量為p=sinπA．π6 B．π3 C．2π3【答案】A【分析】由方向向量的坐標得出直線的斜率，再求傾斜角即可.【詳解】由題意可得：直線l的斜率k=cosπ3sin故選：A【變式1-1】3.（2022秋·福建福州·高二福建省連江第一中學校聯(lián)考期中）已知傾斜角為θ的直線l與直線x+3y?3=0的夾角為A．30°或150° B．60°或0° C．90°或30° D．60°或180°【答案】C【分析】設直線的傾斜角為φ，根據(jù)tanφ=?3【詳解】x+3y設直線的傾斜角為φ，φ∈0,π，則tanφ夾角為60°，故θ=90°或θ故選：C.【變式1-1】4.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線l1的傾斜角α1=15°，直線l1與l2的交點為A，直線l

【答案】135【分析】根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關系，結(jié)合直線傾斜角的定義可得出直線l2【詳解】設直線l2的傾斜角為α2，因為l1和l所以，∠BAC=120故答案為：135【變式1-1】5.（2023春·上海靜安·高二上海市新中高級中學?？计谥校⒅本€MN繞原點旋轉(zhuǎn)60°得到直線M'N'【答案】105°或165°【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的概念求解.【詳解】直線M'N'當將直線MN繞原點順時針旋轉(zhuǎn)60°時，直線MN的傾斜角為60°＋45°＝105°；當將直線MN繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)60°時，直線MN的傾斜角為180°－(60°－45°)＝165°，故答案為：105°或165°.【變式1-1】6.(多選)（2022秋·高二課時練習）若直線?l?與?x?軸交于點?A?，其傾斜角為?α?，直線A．α+45° B．α+135° C．α?45°【答案】BC【分析】由傾斜角的定義，分類討論作出圖形，數(shù)形結(jié)合分析即可.【詳解】解析：當α≥45°時，直線l1的傾斜角為當0°≤α<45°時，直線l1故選：BC.【變式1-1】7.（2023·全國·模擬預測）已知點P2cos10°,2sin10【答案】160【詳解】方法一：由斜率和傾斜角關系，利用兩點連線斜率公式可得tanθ方法二：根據(jù)三角函數(shù)定義可知P,Q在圓x2【分析】方法一：設直線PQ的傾斜角為θ0則tanθ=2sin130°∴直線PQ的傾斜角為160°方法二：由三角函數(shù)的定義可知：點P,Q在圓設M為直線PQ與x軸的交點，則∠POM=10∴∠POQ=120°，又∴∠QMx=∠QOM+∠OQM=160故答案為：160°題型2直線的斜率【例題2】（2023秋·高二課時練習）對于下列命題：①若θ是直線l的傾斜角，則0°≤θ<180°；②若直線傾斜角為α，則它斜率A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】通過直線的傾斜角的范圍判斷①的正誤；直線的斜率的定義，判斷②的正誤；直線的斜率與傾斜角的關系判斷③和④的正誤.【詳解】對于①：若θ是直線的傾斜角，則0°≤θ對于②：直線傾斜角為α且α≠90°，它的斜率k=tanα對于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因為傾斜角為90°時沒有斜率，所以③正確；④錯誤；其中正確說法的個數(shù)為2.故選：B.【變式2-1】1.（2023秋·貴州貴陽·高二統(tǒng)考期末）以下四個命題，正確的是（

）A．若直線l的斜率為1，則其傾斜角為45°或135°B．經(jīng)過A1，0C．若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對應D．若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應【答案】D【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的概念依次判斷選項即可.【詳解】A：直線的斜率為1，則直線的傾斜角為45°B：過點A、B的直線的斜率為k=即tanα=?32<0C：當直線的傾斜角為90°D：若直線的斜率存在，則必存在對應的傾斜角，故D正確.故選：D.【變式2-1】2.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)A2,3(2)C?2,3(3)P?3,1【答案】(1)存在，1(2)存在，?1(3)不存在【分析】根據(jù)兩點的坐標，即可求出過兩點的直線斜率是否存在，以及斜率的值.【詳解】（1）由題意，存在，直線AB的斜率kAB（2）由題意得，存在，直線CD的斜率kCD（3）∵xP∴直線PQ的斜率不存在．【變式2-1】3.（多選）（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知正方形ABCD四邊所在直線與x軸的交點分別為0,0,1,0,A．2 B．32 C．34 【答案】ABD【分析】假設AB所在的直線過點0,0，分類討論CD所在的直線所過的點，結(jié)合圖象分析運算.【詳解】因為選項斜率均為正值，不妨假設AB所在的直線過點0,0，設直線AB的傾斜角為α∈0,π①若CD所在的直線過點1,0，如圖，可得BC=sin因為BC=CD，即sinα②若CD所在的直線過點2,0，如圖，可得BC=2sin因為BC=CD，即2sinα③若CD所在的直線過點4,0，如圖，可得BC=4sin因為BC=CD，即4sinα綜上所述：k的可能值為2,3故選：ABD.【點睛】關鍵點睛：假設AB所在的直線過點0,0，分類討論CD所在的直線所過的點，數(shù)形結(jié)合處理問題.【變式2-1】4.（2023春·上海寶山·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，銳角θ的大小如圖所示，則tanθ【答案】2【分析】根據(jù)直線傾斜角的概念，結(jié)合正切函數(shù)的和角公式，可得答案.【詳解】由O0,0，P1,5，則直線OP的方程為y=5x，設其傾斜角為由tanα=5，則tanθ+π故答案為：23【變式2-1】5.（2022秋·江西·高二校聯(lián)考階段練習）已知等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的斜率為3，則該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為________，________.【答案】?212/【分析】由已知結(jié)合直線的傾斜角與斜率關系及兩角和與差的正切公式可求．【詳解】解：設等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的傾斜角為α，則tanα由題意得該等腰直角三角形兩腰所在直線的傾斜角分別為α+45°，α因為tanα+45°=所以該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為為?2，12故答案為：?2，12【變式2-1】6.（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學校考二模）在平面直角坐標系xOy中，將點A3,1繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點B，那么點B坐標為__________，若直線OB的傾斜角為【答案】?1,3【分析】根據(jù)點A的坐標可確定直線OA的傾斜角，由題意可得OB的傾斜角，利用三角函數(shù)定義可求得B的坐標，繼而求出OB的斜率.【詳解】設點A3,1為角θ終邊上一點，如圖所示，由三角函數(shù)的定義可知：sinθ=1則θ=k·360°+30°,k∈Z將點A3,1繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點得直線OB的傾斜角為120°，且點B在120°角的終邊上，由三角函數(shù)定義可得點B的坐標為2cos120°,2sin120°，即B?1,3，且α=120°故答案為：?1，3【變式2-1】7.（多選）（2023·全國·高三專題練習）點Mx1,y1在函數(shù)yA．-1 B．?2 C．?3 D．0【答案】BC【分析】根據(jù)目標式的幾何意義為y=ex在x∈0,1部分圖象上的動點M【詳解】由y1+1x1?1表示M又Mx1,y1如上圖，B(1,e)，則k故選：BC題型3斜率與傾斜角的變化【方法總結(jié)】直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，二者的關系具體如下：斜率kk=tanα>0k=0k=tanα<0不存在傾斜角α銳角0°鈍角90°圖示在分析直線的傾斜角和斜率的關系時，要根據(jù)正切函數(shù)k=tanα的單調(diào)性，如圖所示：（1）當α取值在[0,π2)內(nèi)，由0增大到π2(α≠π2（2）當α取值在(π2,π)內(nèi)，由π2(α≠π2)增大到π（α≠π增大到π（a≠π）時，k由負無窮大增大并趨近于0.解決此類問題，常采用數(shù)形結(jié)合思想.【例題3】（2023秋·高二課時練習）若如圖中的直線l1,lA．k1<k2<k3 B．

【答案】C【分析】設出三條直線的傾斜角，結(jié)合直線斜率的定義和正切函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】設直線l1,l2,l3所以k3又y=tanx在x∈所以k2故選：C【變式3-1】1.（2023·全國·高二專題練習）如圖，已知直線l1,lA．k1<kC．k3<k【答案】D【分析】由題圖，利用直線的斜率和傾斜角的關系求解.【詳解】解：設直線l1,l由題圖知，直線l1的傾斜角α1為鈍角，又直線l2,l3的傾斜角∴0<k∴k故選：D.【變式3-1】2.（1995·全國·高考真題）圖中的直線l1,lA．k1<kC．k1<k【答案】C【分析】根據(jù)直線斜率的概念，結(jié)合圖象，可直接得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得，k1故選：C【變式3-1】3.（2022秋·高二?？颊n時練習）下列圖形中，對直線的傾斜角與斜率描述正確的是（

）A．k>0 B．k>0C．k<0 D．k<0【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角定義及傾斜角與斜率的關系可以判斷.【詳解】對于A:傾斜角α為鈍角,且k=tanα,則k<0對于B:傾斜角定義:x軸正向與直線向上的方向之間所成的角為傾斜角,傾斜角錯誤,故B錯誤;對于C:傾斜角α為鈍角,且k=tanα,則k<0對于D:傾斜角定義:x軸正向與直線向上的方向之間所成的角為傾斜角,傾斜角錯誤,故D錯誤;故選:C.【變式3-1】4.．（2022秋·安徽黃山·高二屯溪一中統(tǒng)考期末）設直線l的斜率為k，且?33≤A．0,π4∪C．π4,5π【答案】D【分析】由斜率的定義及正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求得.【詳解】設直線l的傾斜角為θ，則θ當斜率?3直線l的傾斜角的取值范圍為0,π故選：D【變式3-1】5.（2023秋·四川宜賓·高二四川省宜賓市南溪第一中學校?？计谀┰O直線l的斜率為k，且?3≤kA．0,π4∪C．π4,5π【答案】A【分析】設直線l的傾斜角為α,0≤α<π，則有k=tanα，0≤α<π【詳解】設直線l的傾斜角為α,0≤則有k=tanα，作出y=tanα(由此可得α∈[0,故選：A.題型4已知斜率求參數(shù)問題【例題4】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學考試）若過A(4,y),B(2,?3)【答案】?1【分析】先由傾斜角可得直線AB的斜率，再由兩點連線的斜率公式即可求解.【詳解】因為過A(4,y),則直線AB的斜率k=y?(?3)故答案為：?1【變式4-1】1.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過不重合的A(m2+2,m2?3),【答案】?2【分析】由題意得m2?3?2m【詳解】由題意知kAB所以m2?3?2m化簡得m2+3m+2=0當m=?1時，A當m=?2時，A所以m=?2故答案為：?2【變式4-1】2.（2022秋·高二課時練習）已知直線l經(jīng)過三點A5,?3【答案】-2-1【分析】根據(jù)兩點斜率公式求出直線l的斜率，并根據(jù)kAB【詳解】由題意得k=由kAB=kAC可得故答案為：-2，-1【變式4-1】3.（2023春·安徽·高二校聯(lián)考開學考試）已知點A，B在曲線y=x2+2x圖像上，且A，B【答案】?1,?11,3【分析】根據(jù)A，B在曲線上，設出點A，B的坐標，由A，B兩點連線的斜率得出A，B的坐標關系，即可得到滿足條件的一組點.【詳解】由題意，在y=x2+2x設Ax1,A，B兩點連線的斜率為2，∴kAB解得：x2∴當x1=?1時，A?1,?1故答案為：A?1,?1，B【變式4-1】4.（2023·全國·高三專題練習）若直線x+ay?1=0的傾斜角為45°【答案】?1【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的知識求得正確答案.【詳解】直線的傾斜角為45°，所以直線的斜率為1，則?1故答案為：?1【變式4-1】5.（2022秋·湖北襄陽·高二襄陽五中校考階段練習）若直線x+my+3=0與直線x+2y【答案】?3或1【分析】結(jié)合傾斜角與斜率、兩角和與差的正切公式求得正確答案.【詳解】設直線x+my+3=0的傾斜角為α、直線x由于x+2y+1=0的斜率為?所以β∈由于直線x+my+3=0與直線x所以直線x+my+3=0的傾斜角不是π所以?1m=tan或?1m=tan所以實數(shù)m的值為?3或13故答案為：?3或1題型5過兩點求斜率取值范圍【例題5】（2022秋·安徽六安·高二?？茧A段練習）若過點A3,4，Q6,3aA．a(chǎn)<43 B．a(chǎn)≤43【答案】C【分析】先根據(jù)兩點斜率公式求得斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關系即可求解.【詳解】因為直線AQ的斜率k=又因為直線AQ的傾斜角為銳角，所以a?43故選：C【變式5-1】1.（多選）（2022春·湖南衡陽·高二衡陽市一中校考階段練習）已知經(jīng)過點A5,m和B2,8的直線的傾斜角θA．11 B．12 C．13 D．14【答案】ABC【分析】根據(jù)斜率公式求解.【詳解】由題可得kAB所以m∈(8+結(jié)合選項可得實數(shù)m的可能取值有11,12,13，故選:ABC.【變式5-1】2.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若經(jīng)過點P(1?a,1)和Q【答案】(?∞，1【分析】根據(jù)傾斜角為鈍角斜率為負，結(jié)合直線的斜率公式，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】因為直線的傾斜角是鈍角，所以斜率3?12a?1+所以a的取值范圍是(?∞，13故答案為：(?∞，13【變式5-1】3.（2015春·河北保定·高一統(tǒng)考期中）直線l經(jīng)過點A(2,y),B(3,?A．[?2B．(?∞,0]∪[2C．(?∞,?2D．[0,2【答案】C【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關系即可求解.【詳解】因為傾斜角θ所以k又因為k所以y故選：C.【變式5-1】4.（2022·高二單元測試）已知兩點A(?1,2),(1)直線AB的斜率k；(2)已知實數(shù)m∈?33?1,【答案】(1)答案見解析(2)α【分析】（1）分斜率存在和不存在兩種情況求解即可，（2）利用不等式的性質(zhì)求出斜率的范圍，再由正切函數(shù)的單調(diào)性求出傾斜角α的范圍(1)當m=?1時，直線AB當m≠?1時，直線AB的斜率k(2)當m=?1時，α當m≠?1時，k因為m∈?3所以?33≤所以1m+1≤?3或1m所以α∈綜上，直線AB的傾斜角α【變式5-1】5.（2022秋·江蘇徐州·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)fx=mx?2A．53,74 B．?74【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x【詳解】fx>0得mx>2x?1，所以滿足如圖，當直線y=mx的斜率m滿足k所以，kOA=5故選：A題型6過線段求斜率取值范圍【方法總結(jié)】利用直線上兩點確定直線的傾斜角，應從斜率存在、不存在兩方面入手分類討論．斜率不存在的情況在解題中容易忽視，應引起注意.【例題6】（2022秋·安徽蕪湖·高二安徽省無為襄安中學?？茧A段練習）經(jīng)過點P0,1作直線l，若直線l與連接A2,3，B?1,2【答案】k≤?1或【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，利用斜率坐公式結(jié)合圖形求解作答.【詳解】如圖，直線l與線段AB總有公共點，即直線l以直線PA為起始位置，繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)到直線PB即可，直線l的斜率為k，直線PA,PB的斜率分別為kPA,k而kPA=3?12?0=1,所以直線l的斜率的取值范圍是k≤?1或k故答案為：k≤?1或【變式6-1】1.（2022秋·廣東汕尾·高二華中師范大學海豐附屬學校?？茧A段練習）已知A3,3，B?4,2，(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點D在線段AB（包括端點）上移動時，求直線CD的斜率的取值范圍.【答案】(1)kAB=(2)?∞,?1【分析】（1）利用斜率的坐標公式可求兩條直線的斜率.（2）求出線段AB的兩個端點與點C構(gòu)成直線的斜率，根據(jù)圖形的變化可求直線CD的斜率的變化范圍.【詳解】（1）由斜率公式可得直線AB的斜率kAB直線AC的斜率kAC（2）如圖所示，當點D在AB上運動時，kBC=?1，kAC=53，直線CD的斜率由負無窮增大到kBC【變式6-1】2.（2023秋·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）已知坐標平面內(nèi)三點A?1,1,B1,1,C2,3+1，DA．0,33 C．33,3【答案】D【分析】作出圖象，求出AB,【詳解】如圖所示，kAB因為D為△ABC的邊AC所以直線BD斜率k的變化范圍是?∞,0∪故選：D.【變式6-1】3.（2023春·上海松江·高二上海市松江二中?？计谥校┮阎cA0,?8，B2,?2，C4,m，若線段AB，AC，【答案】4【分析】由線段AB，AC，BC不能構(gòu)成三角形知A,B,C三點共線，由【詳解】因為線段AB，AC，BC不能構(gòu)成三角形，所以A,顯然直線AB的斜率存在，故kAB=kAC，即故答案為：4【變式6-1】4.（2023·全國·高二專題練習）若實數(shù)x、y滿足y=?x+3，?1≤【答案】5【分析】作圖，根據(jù)代數(shù)式y(tǒng)+3【詳解】如圖，A1,2，B?1,4，則kAC=?3?2因為y+3x+2=y??3由圖象可知，kAC所以有53故答案為：53【變式6-1】5.（2023·全國·高三專題練習）過原點的直線l與曲線y=ex?1【答案】1【分析】設A(x1,ex1?1)，B(x2,【詳解】設A(x1,ex1?1)，B∵點O，A，B共線，∴kOA即ex可得：ex1?又∵k∴k故答案為：1．題型7三點共線問題【方法總結(jié)】三點共線問題1.已知三點A，B，C，若直線AB，AC'的斜率相同，則三點共線.2.三點共線問題也可利用線段相等來求，若|AB|＋|BC|=|AC|，也可斷定A，B，C三點共線.3.利用向量AB和向量AC共線也能斷定A，B