2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：與中點(diǎn)相關(guān)的輔助線模型復(fù)習(xí)講義

與中點(diǎn)相關(guān)的輔助線模型復(fù)習(xí)講義

本節(jié)主要講述倍長(zhǎng)中線法、作中位線、作斜邊中線、作垂直平分線（包括“三線合一”）等與中點(diǎn)相關(guān)的幾何問(wèn)題

的輔助線的作法及應(yīng)用.

模型一有中點(diǎn)，作中位線

場(chǎng)景：如圖，DE是△4BC的中位線.

結(jié)論:DE〃BC(NADE=/B),且DE=|fiC.

A

定理的題設(shè)是已知三角形的中位線，定理的結(jié)論有兩種關(guān)系：一種是數(shù)量關(guān)系，即中位線等于第三邊的一半；

另一種是位置關(guān)系，即中位線與第三邊平行.

拓展：如圖，三角形有三條中位線,

此時(shí)，可作中位線的兩種外在形式：內(nèi)構(gòu)中位線和外構(gòu)中位線.

外構(gòu)中位線

應(yīng)用：在證明幾何結(jié)論時(shí)，通常有以下幾種情況時(shí)作中位線.

1.有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）中點(diǎn)時(shí)，連接兩個(gè)中點(diǎn)，或者在其他的邊上取中點(diǎn)，連接構(gòu)造中位線.

2.題目中有中點(diǎn)，并且已知或求證中涉及線段的倍、分關(guān)系時(shí)，可取相關(guān)線段的中點(diǎn)，連接構(gòu)造中位線.

精選例題

例1.如圖，在△ABC中,/ACB=6（F,AC=1,D是邊AB的中點(diǎn),E是邊BC上一點(diǎn).若DE平分△ABC的周長(zhǎng)，則

DE的長(zhǎng)是一

解析

已知點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，可以考慮“外構(gòu)中位線”，過(guò)點(diǎn)A作DE的平行線，構(gòu)造新的三角形，通過(guò)周長(zhǎng)和

線段的和差關(guān)系，得到DE是新三角形的中位線，進(jìn)而求解即可.

解如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M,使CM=C4連接AM,作CN1AM于點(diǎn)N.

；DE平分△ABC的周氏

；.ME=EB.又：AD=DB,

1

???DE=-AM,DEAM.

2

*：ZACB=60°,

???ZACM=120°.

VCM=CA,

???ZACN=60°,AN=MN.

AN=AC-sin^ACN=—.

2

???AM=V3,ADE=—.

2

故答案為當(dāng)

例2.如圖，已知點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，以BE為邊向正方形ABCD外部作正方形BEFG,連接DF,

M,N分別是DC,DF的中點(diǎn)，連接MN.若AB=7,BE=5,則MN=

解析

M,N分別是DC,DF的中點(diǎn)，即MN是4DFC的中位線，故只需連接FC,求出FC即可.

解如圖，連接CF.

;正方形ABCD和正方形BEFG中,AB=7,BE=5,

二?GF=GB=5,BC=7.

，GC=GB+BC=5+7=12.

CF=VGF2+GC2=752+122=13.

VM,N分別是DC,DF的中點(diǎn)，

113

???MN=-CF=—.

22

故答案為f.

精選練習(xí)

1.如圖，在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E為AB的中點(diǎn),F為EC上一動(dòng)點(diǎn),P為DF中點(diǎn)，連接PB,則PB的最小值

是().

A.2B.4C.2D.2V2

第1題圖

2.如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),EFLAC于點(diǎn)F,G為EF的中點(diǎn)，連接DG,則

DG的長(zhǎng)為.

模型二倍長(zhǎng)中線

場(chǎng)景:如圖"AD是4ABC的中線.

作輔助線方法:延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使DE=AD,連接CE.

結(jié)論:(12ABD之△ECD(SAS).⑵連接BE,四邊形ABEC是平行四邊形.

倍長(zhǎng)中線

拓展：如下圖，F(xiàn)是AB邊上的一點(diǎn)，D是BC中點(diǎn)

作輔助線方法:延長(zhǎng)FD至點(diǎn)E使DE=FD,連接CE.

結(jié)論：(1)AFDB0△EDC(SAS);(2)連接CF,BE,則四邊形BECF是平行四邊形.

應(yīng)用：當(dāng)遇見(jiàn)中線或者中點(diǎn)的時(shí)候，可以嘗試倍長(zhǎng)中線或類中線，構(gòu)造全等三角形，目的是對(duì)已知條件中的線

段進(jìn)行轉(zhuǎn)移.大多數(shù)時(shí)候倍長(zhǎng)中線和中位線是等效的.

精選例題

例如圖，在△ABC中,NACB=12(T,BC=4,D為AB的中點(diǎn),DCLBC,則△ABC的面積是.

解析

題目中給出的條件不能直接求出三角形的面積，可利用條件中給出的點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，通過(guò)倍長(zhǎng)中線CD,

得到全等三角形，這樣就可進(jìn)行等積轉(zhuǎn)化，再結(jié)合30。角的直角三角形求解即可.

解：DCJ_BC,

ZBCD=90°.

VZACB=120°,

ZACD=30°.

如圖，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)H,使得DH=CD.

為AB的中點(diǎn)，

/.AD=BD.

在小ADH與^BCD中，

-CD=HD,

UDH=乙BDC,

.AD=BD,

：.AADH^ABDC(SAS).

AH=BC=4,ZH=ZBCD=90°.

ZACH=30°,

???CH=WAH=4V3.

CD=2>/3.

SABC=2SRD=2xIX4x2V3=8V3.

故答案為8V3.

精選練習(xí)

1.如圖，在菱形ABCD中,AB=2,NB是銳角,AELBC于點(diǎn)E,M是AB的中點(diǎn)，連接MD,ME.若NEMD=90。廁cos

B的值為.

2.如圖，在平行四邊形ABCD中,CD=2AD,BE，AD于點(diǎn)E,F為DC的中點(diǎn)，連接EF,BF,下列結(jié)論:①/ABC=2/

ABF;②EF=BF;③S四邊形DEBC=2SAEFB;④/CFE=3/DEF.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有().

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

模型三斜邊有中點(diǎn)，作斜邊中線

場(chǎng)景:如圖在R3ABC中,D為斜邊AB的中點(diǎn).

作輔助線方法：如圖，連接CD.

結(jié)論:CD=AD=BD,AADC和小BDC都是等腰三角形.

拓展:如圖,在RtAABC中,AB=2AC.

作輔助線方法：作斜邊AB的中線CD.

結(jié)論：(1)AD=BD=CD=ACTAACD為等邊三角形;⑵/B=30。.

應(yīng)用：在直角三角形中，有斜邊中點(diǎn)時(shí)，常作斜邊的中線；有斜邊的倍分關(guān)系線段時(shí)，也常常作斜邊的中線，

斜邊中線經(jīng)常和作中位線一起結(jié)合起來(lái)應(yīng)用.

精選例題

例如圖，在△ABC中,D是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)M在4ABC的內(nèi)部，且Z-MAC=NMBC過(guò)點(diǎn)M作ME±BC,MF

C

，AC,垂足分別為點(diǎn)E,F,連接DE,DF,則第=_./\

解析

可以取AM的中點(diǎn)G,BM的中點(diǎn)H,連接DG,GF,DH,DE,然后利用三角形的中位線和直角三角形斜邊

的中線進(jìn)行解題.

證明如圖，取AM,BM的中點(diǎn)G,H,連接GF,GD,HD,DE.

C

?/ME±BC,MF±AC,Z.△AFM和4BEM是直角三角形./\

GF=^AM,EH=\￡

???DH=\AM,GD=\BM宗必/\\

.\DH=GF,GD=EH.

ADB

；./FAM=/AFG=/HBE=/HEB,/FGM=EHM（三角形的外角）.

：DH〃AM,GD〃BM,

/GAD=/HDB,/GDA=/HBD（同位角）.

/.NMGD=/MHD（外角）,；.ZFGD=ZDHE.

在小FGD和4DHE中，

:FG=DH,

乙FGD=4DHE,

GD=HE,

：.AFGD^ADHE.

.*.DF=DE.

精選練習(xí)

如圖，在△ABC中,NB=5(F,CD，AB于點(diǎn)D,ZBCD和/BDC的角平分線相較于點(diǎn)E,F為邊AC的中點(diǎn)CD=DF,

貝！J/ACD+NCED=().

C.175°D.190°

精選練習(xí)

模型一

1.解:為EC上一動(dòng)點(diǎn),P為DF中點(diǎn)，，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為ADEC的中位線乂田二乂以小匚如圖連接乂

E,則四邊形EBCM為正方形.連接BM,則BMLCE.易證BMLMN,故此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合,B

P取到最小值，在RtABCP中,BP=VBC2+CP2=2V2.

DMCDMPc

故答案為D.

2.解如圖，連接DE.

;在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中,D,E分別為AB.BC的中點(diǎn),

ADE是△ABC的中位線.

；.DE=2,且DE//AC,BD=BE=EC=2.

VEF±AC于點(diǎn)F,ZC=60°,

ZFEC=30°,ZDEF=ZEFC=90°.

FC=-EC=1.

2

故EF=V22—l2=V3.

???G為EF的中點(diǎn)，

?'EG=?.

DG=7DE2+EG2=f.

故答案為詈.

模型二

1.解:如圖，延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

??.四邊形ABCD是菱形，

JAB=BC=AD=2,AD//CH.

AZADM=ZH.

TAM=BM,NAMD=NHMB,

AAADM^ABHM.

???AD=HB=2.

VEMXDH,

二?EH=ED.

設(shè)BE=x,VAE±BC,

AAEXAD.

JZAEB=ZEAD=90°.

AE1=AB2-BE2=DE2-AD2,

??,22—%2=(2+x)2—22.

???%=V5-1或X=-V3-1(不符題意，舍棄).

nBEV3-1

???cosB=——=---,

AB2

故答案為等.

2.解:如圖，延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,取AB的中點(diǎn)H,連接FH.

,.,CD=2AD,DF=FC,

???CF=CB.ZCFB=ZCBF.

VCD/7AB,

ZCFB=ZFBH.AZCBF=ZFBH.

JNABC=2NABF.故①正