2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：直角三角形存在性問(wèn)題復(fù)習(xí)講義

直角三角形存在性問(wèn)題復(fù)習(xí)講義

解題策略

直角三角形的存在性問(wèn)題和等腰三角形類似，采用的是直角頂點(diǎn)分類討論法，即確定直角頂點(diǎn)角后，利用兩點(diǎn)

間距離公式表示出各邊的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理進(jìn)行解答.解題過(guò)程中也會(huì)用到“三線合一"、勾股定理、三角函

數(shù)等相關(guān)知識(shí).

1.直徑所對(duì)的圓周角為直角，解答時(shí)，可以借助圓來(lái)初步確定滿足條件的點(diǎn)的位置.定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，可利用

"直線垂直公式”來(lái)求解.

問(wèn)題分情況找點(diǎn)畫(huà)圖解法

分別過(guò)點(diǎn)A,B作AB

以AB分別表示出點(diǎn)A,B,

的垂線，與已知直線的交點(diǎn)

為直角邊P的坐標(biāo)，再表示出線段

Pi,P即為所求.

---------------/4AB,BP,AP的長(zhǎng)度,由

已知A,B和直線1,取的中點(diǎn)為圓

ABQ①AB2=BP2+AP2,②BP2

在1上求點(diǎn)P,使APAB/唔—飛P*

以AB心，QA為半徑作圓，與=AB2+AP2,0AP2=AB2+

為直角三角形.為斜邊

已知直線的交點(diǎn)P2F3即為BP咧方程求解即可.

所求.

2.常用的兩點(diǎn)之間距離公式：若A（xA,yA）,B（xB,yB）,!則AB=J（馬—沖/+（以—如尸.

模型一兩點(diǎn)定型

已知：二次函數(shù)y=久2—2%-3的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)（A在左側(cè)，B在右側(cè)），與y軸交于C點(diǎn).如圖，

P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAC是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

思路分析：A,C兩點(diǎn)固定且已知，方法與等腰三角形存在性問(wèn)題類似，采用直角討論法，即三角形的三個(gè)角

分別為直角時(shí)的情況進(jìn)行討論.

直角三角形存在性問(wèn)題的幾何法作圖，就是兩條直線和一個(gè)圓，畫(huà)出圖形后求解即可.幾何法更為直觀，代數(shù)法

更為直接，可根據(jù)實(shí)際情況自己選擇.可借助勾股定理求解.

已知：二次函數(shù)y=2%-3的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)（A在左側(cè)，B在右側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，頂

點(diǎn)為D.

如圖，P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，作PQII4C交x軸于點(diǎn)Q,若APTIQ是直角三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

思路分析：A點(diǎn)固定，點(diǎn)P,Q變動(dòng)，為一點(diǎn)定型模型，如圖,4MQ為銳角，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,當(dāng)

Q點(diǎn)在E的左側(cè)時(shí)，NPQ力為鈍角，不存在△P4Q是直角三角形.

所以只存在NAPQ為直角這一種情況.可以借助勾股定理或雙垂直模型來(lái)解答.

精選例題

例1.如圖拋物線y=a/+1+c交x軸于A,B兩點(diǎn)交y軸于點(diǎn)C.直線y=-|x-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C.

(1)求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)M.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.當(dāng)WCM是

Q)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A,C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A,C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出二

次函數(shù)的解析式；

⑵由PM，x軸可得出nPMC/90。,分NMPC=90°及nPCM=90。兩種情況考慮：

①當(dāng)NMPC=90。時(shí)，PCllx軸，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②解法一:當(dāng)NPCM=90。時(shí)，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)D,易證AAOOACOD,利用相似三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)D的坐

標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C,D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PC的解析式，聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組,

通過(guò)解方程組可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).解法二：可應(yīng)用勾股定理求解.解法三：可利用kAC-kCP=-1,求出kCP>,再利

用點(diǎn)C的坐標(biāo)求出直線CP的解析式.

解(1)當(dāng)x=0時(shí)，y=--x-2=-2,

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-2).

當(dāng)y=0時(shí)，-2=0

解得x=-4.

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,0).

將A(-4,0),C(0,-2)代入y=a/+)+c得

06"2+;=0,解得(a/

二拋物線的解析式為y=^x2+lx-2;

(2)解法一:rPM^x軸，

.?.zPMC/900.

分兩種情況討論：

①當(dāng)NMPC=90°時(shí),PCllx軸,如答圖1圖.

..點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2.

當(dāng)y=-2時(shí)，i%2+|x-2=-2,

解得Xi=-2,X2=0(舍去).

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,-2).答圖1

②當(dāng)NPCM=90°時(shí)，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)D,如答圖2.

?.zOAC+zOCA=90°,zOCA+zOCD=90°,

.-.zOAC=zOCD.

又.NAOC=NCOD=90。，

.,.△AOCSACOD.

OD_OCBnOD_2

"OC~04制2—4。

.'.OD=1.

，點(diǎn)D的坐標(biāo)為Q,0).

設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b(k/O).

將C(O,-2),D(1,O)代入y=kx+b,得

(b=-2,解得(k=2,

h+b=0.照守lb=-2.

二直線PC的解析式為y=2x-2.

聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組，得

?y=2x—2,

12I1Q解得

y=-x+-%—2.

-42

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,10).

綜上所述，當(dāng)APCM是直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,-2)或(6,10).

解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為+|m-2),點(diǎn)M的坐標(biāo)為-2).

①當(dāng)NMPC=90°時(shí)，有MP2+PC2=CM2,

2、2

即—|m—2—^m2—jm+2)2+(m—0)2+Qm2+—2+2^)=m2+—2+2^.

解得=-2,m2=0)(舍去).

.?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2-2).

②當(dāng)NPCM=90。時(shí)，有CM2+PC2=PM2,

z22

即+(_37n_2+2)+(m—0)+Qm+|m—2+2^)=(^―|m—2—^m—1m+2^.

解得rrii=6,m2=0(舍去).

.?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,10).

綜上所述，當(dāng)SCM是直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,-2)或(6,10).

解法三:當(dāng)NMPC=90°時(shí),同前面解法；

當(dāng)NPCM=90°時(shí),PC^CM,

直線BC的解析式為y=-|x-2.

設(shè)直線PC的解析式為y=2x+b,將C(0,-2)代入解析式，

解得b=-2.

，直線PC的解析式為y=2x-2.

以下步驟同解法一.

此外，當(dāng)NPCM=90。時(shí)，還可以構(gòu)造"一線三等角"相似模型求解，此處略，有興趣的同學(xué)可以嘗試一下.

例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)與y軸交與點(diǎn)C(0,3),與x軸交于A,B

兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0),拋物線的對(duì)稱軸方程為.x=1.〃

(1)求拋物線的解析式；親、

(2)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N/

從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，心與一兇官

另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)AMBN的面積為S,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,試求S與t的函數(shù)關(guān)系，并求

S的最大值；

(3)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使AMBN為直角三角形?若存在，求出t值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

▲/解析

(1)用待定系數(shù)法列出關(guān)于系數(shù)a,b,c的解析式，通過(guò)解方程組求得它們的值；

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.先利用三角形的面積公式列出SAMBN與t的函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)

進(jìn)行解答；

⑶B點(diǎn)固定,M,N點(diǎn)不固定/MBN固定，討論ZNMB和.分別為90時(shí)的情況，根據(jù)余弦函數(shù)，得關(guān)于

t的方程，解方程可得答案.

解(1)1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),拋物線的對(duì)稱軸方程為x=l.

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0).

把點(diǎn)A(點(diǎn)0),B(4,0),點(diǎn)C(0,3),分別代入y=ax^+bx+c(a豐0)得

3

I=----,

8

4a—2b+3=0,解］曰

入3

16a+46+3=0.蝌守b=e

c=3.

所以該拋物線的解析式為y=-1x2+^+3;

⑵設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=3t,BN=t.

.?.MB=6-3t.

由題意，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).答圖1

在Rt^BOC中，BC="32+42=5.

如答圖L過(guò)點(diǎn)N作NH±AB于點(diǎn)H.

.-.NHllCO.

ABHN-ABOC.

當(dāng)AMBN存在時(shí),0<t<2,

，當(dāng)t=l時(shí)，SMBNE=Yo-

答：運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)AMBN的面積最大，最大面積是總;

(3)如答圖2、3,在RfOBC中,COSNB

DC□

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=3t,BN=t.

.,.MB=6-3t.

當(dāng)NMNB=90°時(shí),CQSZB=—==即-^―=

MB56-3t5答圖2

化簡(jiǎn)得17t=24.解得t=|i.\y

當(dāng)NBMN=90°時(shí),COSNB==*

化簡(jiǎn)，得19t=30.解得t=篇

綜上所述，±或"海寸，AMBN為直角三角形.A\0乂

答圖3

精選練習(xí)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=-ax2+2ax+3a(a)0)的圖象交x軸于點(diǎn)A、B,交y軸于點(diǎn)C,它

的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E.過(guò)點(diǎn)C作CD||x軸交拋物線于點(diǎn)D,連接DE并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)G.直線

AF交CD于點(diǎn)H,交拋物線于點(diǎn)K,連接HE、GK.

HCA

]E\Bx

(備用圖)

(1)點(diǎn)E的坐標(biāo)為:；

(2)當(dāng)△是直角三角形時(shí)，求a的值；

(3)HE與GK有怎樣的位置關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=--+法+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C.且直線.y=久-6

過(guò)點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是線段0B上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物

線于點(diǎn)M,交直線BD于點(diǎn)N.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

⑵當(dāng)△的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以Q,M,N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,

直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

精選練習(xí)

1.解:⑴對(duì)于拋物線y=—ax2+2ax+3a,對(duì)稱軸x=-----=1,

-2a

???E(1,O),

故答案為(1,0)；

⑵如圖，連接EC.

對(duì)于拋物線y=—ax2+2ax+3a,令x=0狷至!]y=3a,

令y=0,—a/+2ax+3a=0,解得x=-l或3,

AA(-l,0),B(3,0),C(0,3a),

???C,D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

???D(2,3a),CD=2,EC=DE,當(dāng)NHEF=90。時(shí),

VED=EC,

JNECD=NEDC,

ZDCF=90°,

JZCFD+ZEDC=90°,ZECF+ZECD=90°,

ZECF=ZEFC,JEC二EF=DE,

VEA/7DH,

i

FA=AHt.??AE=^DH,

VAE=2,ADH=4,

???HE_LDF,EF=ED,??.FH=DH=4,在RtACFH中，則有42=22+(6以,解得a=乎或一梟不符合題意舍棄)，

,_V3

CL=—.

3

當(dāng)NHFE=90。時(shí)，

,.,OA=OE,FO±AE,JFA=FE,

OF=OA=OE=1,3a=1,

i

a=3

綜上所述，滿足條件的a的值為日或

(3)結(jié)論:EH〃GK.

理由:由題意A(-l,0),F(0,-3a),D(2,3a),H(—2,3a),E(l,0),...直線AF的解析式y(tǒng)=-3ax-3a,直線DF的解析式為y=3ax-

3a,

y=—3ax—3a,

由

y=—ax2+2ax+3a,

X——1,—Li.x=6,

解得y=。，或