2024年浙教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：整式的加減（含解析）

整式的加減

【知識(shí)梳理】

1、同類項(xiàng)：

所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)是同類項(xiàng)。常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)。

合并同類項(xiàng)法則：系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變。

2、去（添）括號(hào)法則：

去（添）括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前邊是“+”號(hào)，去掉括號(hào)和“+”號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)；若括號(hào)前邊

是號(hào)，去掉括號(hào)和號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都要變號(hào)。

3、整式的加減：

整式的加減，實(shí)際上是在去括號(hào)的基礎(chǔ)上，把多項(xiàng)式的同類項(xiàng)合并。

【課堂練習(xí)】

一、選擇題

1.下列每組中的兩個(gè)代數(shù)式，不屬于同類項(xiàng)的是()

3

222

A.—7和兀B.—2yxC.xyz^xyD.3ni?和一3nl2

2.下列計(jì)算正確的是()

A.-2(a-b)=-2a+bB.2c2-c2=2

C.x2y—4yx2=-3x2yD.3a+2b-5ab

3.如果單項(xiàng)式2與的和仍然是一個(gè)單項(xiàng)式，則^^,n的值是（）

A.m=2,n=2B.m=-2,n=2

C.m=-1,n=2D.m=1,n=—1

4.下列去括號(hào)正確的是().

A.—(Q+b—c)=—a+b—cB.-2(Q+b—3c)——2a—2b+6c

C.一(—a—b—c)=—a+b+cD.—(a—b—c)=—a+b—c

5.當(dāng)％=-2,y=2時(shí)代數(shù)式%-(%+y)+(%+2y)-(x+3y)+……-(%+99y)的值是()

A.48B.-50C.-100D.100

6.老師布置了下面這道題.先化簡(jiǎn)再求值：（2/—3x+l）-（a/+bx-5）,其中x=—2.一位同學(xué)將

“x=-2”抄成“x=2”，其余運(yùn)算正確，結(jié)果卻是對(duì)的.下列關(guān)于a和b的值的敘述正確的是（）.

A.a一定是2,b一定是一3B.a不一定是2,b一定是-3

C.a一定是2,b不一定是-3D.a不一定是2,b不一定是一3

7.三張大小不一的正方形紙片按如圖1和圖2方式分別放置于相同的長(zhǎng)方形中，它們既不重疊也無(wú)空

隙，記圖1陰影部分周長(zhǎng)之和為小，圖2陰影部分周長(zhǎng)為n,要求6與n的差，只需知道一個(gè)圖形的周長(zhǎng),

這個(gè)圖形是()

A.整個(gè)長(zhǎng)方形B.圖①正方形C.圖②正方形D.圖③正方形

8.在多項(xiàng)式為-'-2-瓶-71中任意加括號(hào)0，第2,犯九均不為零)，加括號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后按給出

的運(yùn)算順序重新運(yùn)算，稱此為"加算操作".例如：(x-y)-(z-m-n')-x-y-z+m+n,

x—y—(<z—m')—n—x—y—z+m—n,....

下列說(shuō)法：

①至少存在一種“加算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；

③所有可能的“加算操作”共有8種不同運(yùn)算結(jié)果.

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

9.把(a+b)當(dāng)成一個(gè)整體，合并如下整式中的“同類項(xiàng)”：

(CL+b)?-4(a+b)+2023—5(a+b)?+8(a+匕)—2024,=?

10.若別對(duì)+4與一3之一是同類項(xiàng)，那么m+兀的值為.

11.定義一種運(yùn)算：C=ad-bc,計(jì)算匕=；2(=?

12.某同學(xué)做了一道數(shù)學(xué)題：已知兩個(gè)多項(xiàng)式4,B,計(jì)算24+B,他誤將“24+B”看成“4+2B”，

求得的結(jié)果是9——2x+7.若B=x2+3久一2，則24+B的正確結(jié)果是.

13.“幻方”最早記載于春秋時(shí)期的《大戴禮》中，現(xiàn)將1,2,3,4,5,7,8,9這八個(gè)數(shù)字填入如

圖1所示的“幻方”中，使得每個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都與中間正方形四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字

之和相等.若按同樣的要求重新填數(shù)如圖2所示，則x-y的值是,m-n的值是.

圖1圖2

三、計(jì)算題

14.化簡(jiǎn)

333⑵3/_5X--X-32

(l)(4afe-10h)+(一3a2b2+io6)；+2x

四、解答題

15.已知|a-引與|a+2bl互為相反數(shù),求代數(shù)式10(a-b)3—8(a—b)2+9(b-a)3+7(b-a)2的值.

11

16.一根鋼筋長(zhǎng)a米，第一次用去了全長(zhǎng)的-，第二次用去了余下的-還多2米，求剩余鋼筋的長(zhǎng).

32

17.下表中的字母都是按規(guī)律排列的.

序號(hào)123

XXXXXXXXX

yyyyyy

圖形XXXXXXXXX

yyyyyy

XXXXXXXXX

我們把某格中的字母的和稱為“特征多項(xiàng)式”，例如第1格的“特征多項(xiàng)式”為6x+2y,第2格的“特

征多項(xiàng)式”為9x+4y,回答下列問(wèn)題：

(1)第3格的“特征多項(xiàng)式”為,第4格的“特征多項(xiàng)式”為,第n格的“特征多項(xiàng)

式“為(n為正整數(shù))；

(2)求第6格的“特征多項(xiàng)式”與第5格的“特征多項(xiàng)式”的差.

18.將連續(xù)的偶數(shù)2,4,6,8,10,排成如下的數(shù)表.

246810

1214161820

2224262830

3234363840

4244464850

(1)十字框里的五個(gè)數(shù)之和與中間的數(shù)26有什么關(guān)系？

(2)設(shè)十字框里中間的數(shù)為m,用含m的式子表示十字框里的五個(gè)數(shù)之和；

(3)十字框中的五個(gè)數(shù)之和能等于2060嗎?若能，請(qǐng)寫(xiě)出這五個(gè)數(shù);若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【課后鞏固】

1.如果整式4與整式5的和為一個(gè)常數(shù)a,那么我們稱43為常數(shù)a的“和諧整式”.例如：x-6和-％+7

為數(shù)1的“和諧整式”.若關(guān)于久的整式9/_m%+6與一3（3/—x+m）為常數(shù)卜的“和諧整式”（其中m

為常數(shù)），則A的值為（）

A.3B.-3C.5D.15

2.已知P=3xy—8x+1,Q^x-2xy-2,當(dāng)xHO時(shí)，3P—2Q=7恒成立，貝0的值為（）

A.-2B.2C.-1D.1

3.若a、b、c、d是正整數(shù)，且a+匕=20,a+c-24,a+d-22,設(shè)a+b+c+d的最大值為M,

最小值為N,則"—N=（）

A.28B.12C.48D.36

c1c

4.已知實(shí)數(shù)s,t,a,b滿足s?+^a=b+1/2+2b=a+4,若A=2s?+產(chǎn)一3，則k的值是

5.如圖，若一個(gè)表格的行數(shù)代表關(guān)于x的整式的次數(shù)，列數(shù)代表關(guān)于x的整式的項(xiàng)數(shù)（規(guī)定單項(xiàng)式的項(xiàng)

數(shù)為1）,那么每個(gè)關(guān)于x的整式均會(huì)對(duì)應(yīng)表格中的某個(gè)小方格.若關(guān)于x的整式4是三次二項(xiàng)式，貝儲(chǔ)對(duì)

應(yīng)表格中標(biāo)十的小方格.已知B也是關(guān)于x的整式，下列說(shuō)法正確的有.（寫(xiě)出所有正確的

序號(hào)）①若B對(duì)應(yīng)的小方格行數(shù)是4,則4+B對(duì)應(yīng)的小方格行數(shù)一定是4；②若4+B對(duì)應(yīng)的小方格

列數(shù)是5,貝伊對(duì)應(yīng)的小方格列數(shù)一定是3；③若B對(duì)應(yīng)的小方格行數(shù)是3,貝儲(chǔ)+B對(duì)應(yīng)的小方格行

數(shù)不可能是4；④若B對(duì)應(yīng)的小方格列數(shù)是3,且4+B對(duì)應(yīng)的小方格列數(shù)是5,貝對(duì)應(yīng)的小方格行

數(shù)不可能是3.

6.近年來(lái)，電商多選擇在11月11日促銷.今年的促銷期間，某電商客服在為買(mǎi)家包裝商品時(shí)用到長(zhǎng)、

寬、高分別為a厘米、b厘米、c厘米的箱子，并發(fā)現(xiàn)有如圖所示的甲、乙兩種打包方式（每條打包帶繞

一圈，且不計(jì)接頭處的長(zhǎng)）.回答下列問(wèn)題：

（1）用含a,b,c的式子表示甲、乙兩種打包方式所用的打包帶的長(zhǎng)度：甲需要_____厘米，乙需要一

厘米；

（2）當(dāng)a>b>c時(shí)，兩種打包方式中，哪種方式節(jié)省打包帶？并用作差法證明你的結(jié)論.

(甲)(乙)

7.【方法】有一種整式處理器，能將二次多項(xiàng)式處理成一次多項(xiàng)式，處理方法是：將二次多項(xiàng)式的二

次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的和(和為非零數(shù))作為一次多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，將二次多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)作為

一次多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)例如：4=/+2x—3,4經(jīng)過(guò)處理器得到B=(l+2)x—3=3x—3.

【應(yīng)用】若關(guān)于x的二次多項(xiàng)式4經(jīng)過(guò)處理器得到B,根據(jù)以上方法，解決下列問(wèn)題：

(1)填空：若4=3--2%+5,則3=；

(2)若4=4X2-5(2X-3),求關(guān)于x的方程B=9的解；

【延伸】

(3)已知”=%_2(小一4)一+7,M是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，若N是M經(jīng)過(guò)處理器得到的整式，滿足

N=3%+7,求m的值.

參考答案

【課堂練習(xí)】

L【答案】C

2.【答案】C

【解析】解：A.-2(a-b')--2a+2b,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

B.2C2-C2=c2,故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

C.x2y-4yx2=-3x2y^故選項(xiàng)C正確；

D.3a+2b不能合并，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

3.【答案】C

【解析】解：由同類項(xiàng)的定義，

可知2=n,m+2=1,解得：m——l,n—2,

根據(jù)同類項(xiàng)的定義，單項(xiàng)式與的和仍然是一個(gè)單項(xiàng)式，意思是/y，n+2與是同類項(xiàng)，根

據(jù)同類項(xiàng)中相同字母的指數(shù)相同得出關(guān)于6、n的方程，求出m,n的值即可.

4.【答案】B

【解析】本題考查去括號(hào)的方法：去括號(hào)時(shí)，運(yùn)用乘法的分配律，先把括號(hào)前的數(shù)字與括號(hào)里各項(xiàng)相

乘，再運(yùn)用括號(hào)前是“+”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；括號(hào)前是，去括號(hào)后，

括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).

解：4、—(a+b—c')——a—b+c,故錯(cuò)誤；

B正確；

C、—{—a—b—c)—a+b+c,故錯(cuò)誤；

D、—{CL—b—c')———a+b+c,故錯(cuò)誤.

5.【答案】C

【解析】此題考查了整式的加減-化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.原式去括號(hào)合并后,

將X與y的值代入計(jì)算即可求出值.

解：原式=x—x+x—x+...+(2y-y)+(4y-3y)+...+(98y—97y)—99y=49y—99y=-50y,

當(dāng)x=-2,y=2時(shí)，原式=-50x2=—100.

6.【答案】B

7.【答案】D

【解析】解：設(shè)正方形①的邊長(zhǎng)為明正方形②的邊長(zhǎng)為反正方形③的邊長(zhǎng)為c,可得

m-2[c+(a—c)]+2[b+(a+c—b')]—2a+2(a+c)=2a+2a+2c=4a+2c,

n=2[(a+b—c)+(a+c-b')]-2(a+b—c+a+c—b')=2x2a=4a,

???m—n=4a+2c—4a=2c,

故選：D.

設(shè)正方形①的邊長(zhǎng)為a、正方形②的邊長(zhǎng)為仄正方形③的邊長(zhǎng)為c,分別表示出m、幾的值，就可計(jì)

算出巾-九的值為2c,從而可得只需知道正方形③的周長(zhǎng)即可.

8.【答案】D

【解析】本題屬于新定義問(wèn)題，涉及去括號(hào)與添括號(hào)法則，掌握去括號(hào)和添括號(hào)法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)“加算操作”的定義，結(jié)合添括號(hào)法則和去括號(hào)法則逐項(xiàng)判斷即可.

解：(％-y)-z-zn-7i=—幾，故說(shuō)法①正確.

若使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0,則需出現(xiàn)-％,顯然無(wú)論怎樣添加括號(hào)，均無(wú)法使得》的符號(hào)為

負(fù)號(hào)，故說(shuō)法②正確.

當(dāng)括號(hào)中有兩個(gè)字母時(shí)，共有7種情況，分另(J是=

x—(y—z)—m—n=x—y+z—m—n；

x—y—^z—m)—n=x—y—z+m—n；

x—y—z—(m—n)=x—y—z—m+n；(x—y)—(z—Tr^—n=x—y—z+m—n；

(%—y)—z—(m—n)=x—y—z—m+n；x—(y—z)—fm—n)=x—y+z—m+n.

當(dāng)括號(hào)中有三個(gè)字母時(shí)，共有3種情況，分另ij是(%-y-z)-m-n=%-y-z-7n-7i；

x—(y—z—m)—n=x—y+z+m—n；

x—y—(z—m—ri)=x—y—z+m+n.

當(dāng)括號(hào)中分別有兩個(gè)字母和三個(gè)字母時(shí)，共有2種情況，分別是

(%—y)—(z—m—n)=x—y—z+m+n；(%—y—z)—(m—n)=x—y—z—m+n.

當(dāng)括號(hào)中有四個(gè)字母時(shí)，共有2種情況，分另U是-7i=x-y-z-m-n；

x—(y—z—m—n)=x—y+z+m+n.

所有可能的“加算操作”共有8種不同的運(yùn)算結(jié)果，故說(shuō)法③正確.

故選：D.

9.【答案】—4(a+b)2+4(a+匕)一1

10.【答案】5或1

【解析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義(所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同)列出方程3n=9,|m|+4=6,求

出九，m的值，再代入計(jì)算即可.

解：因?yàn)?/肘向+4與一3%9曠6是同類項(xiàng)，

所以3九=9,|加+4=6,

所以九=3,m=±2,

當(dāng)m=2時(shí)，原式=2+3=5；

當(dāng)m=12時(shí)，原式=-2+3=1；

故答案為5或1.

11.【答案】5-x

【解析】本題考查了整式的加減，是一種新定義運(yùn)算，規(guī)定運(yùn)算法則為ad與兒的差，根據(jù)法則將二

階行列式轉(zhuǎn)化為整式的運(yùn)算即可.

解：由匕*=ad—bc得：

Ix_]2I=(，+1)X2-3X(%-1)=5-X.

12.【答案】15x2-13x+20

【解析】由題意，得4+22=9/一2%+7.又2=/+3%-2,所以

A=9X2-2X+7-2(/+3X-2)=7x2-8x+11.則

2^4+B=2(7/-8久+11)++3x—2=15/—13%+20?

13.【答案】-3,3

【解析】本題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算，先設(shè)中間的四個(gè)的右上的數(shù)字為p,左下的數(shù)字為q,再根據(jù)

題意列出關(guān)系式，整理可得答案.

【詳解】設(shè)中間的四個(gè)的右上的數(shù)字為p,左下的數(shù)字為q,

根據(jù)題意，得％+1+p=y+(-2)+p,m+(—2)+q=zi+l+q,

將上式變形得x-y=-3,m-n=3.

故答案為：—3,3.

14.【答案】解：(1)(4。％-10廬)+(一3a2b2+io/,3)=4a3b-10b3-3a2h2+10b3=4a3b-3a2b2；

2r/I\2i199

(2)3%-5x-^-x-3j+2%=3X-(5X--X+3+2x2)=3x-(-x+3+2x2)=3x2--x-3-2x2

29

=xL—%—3

2

15.【答案】解:???|a—4|與|a+2bl互為相反數(shù)，

a—4=0,a+2Z?=0,

解得：Q=4,b=—2,

???10(a—b)3—8(a—b)2+9(6-a)3+7(b-a)2=(a-b)3-(a-h)2=63-62=180.

【解析】直接利用相反數(shù)的定義以及絕對(duì)值的性質(zhì)得出a,b的值，進(jìn)而合并同類項(xiàng)得出答案.

16.【答案】剩余鋼筋的長(zhǎng)為a—}/a一3+21米).

17.【答案】解：(1)12%+6y；15x+Qy,；3(n+l)x+2ny.

⑵由⑴可得，

第6格的“特征多項(xiàng)式”為3x(6+l)x+12y=21%+12y,

第5格的“特征多項(xiàng)式”為3x(5+l)x+10y=18%+10y,

則第6格的“特征多項(xiàng)式”與第5格的“特征多項(xiàng)式”的差為21x+12y-(18x+10y)=3x+2y.

18.【答案】解：(I)：16+24+26+28+36=130,130+26=5,

???十字框中的五個(gè)數(shù)之和是中間數(shù)26的5倍；

(2)十字框中的五個(gè)數(shù)之和為：(m-10)+(m-2)4-m+(m+2)+(m+10)=5m；

(3)假設(shè)十字框中的五個(gè)數(shù)之和能等于2060,

即57n=2060,解得m=412,

此時(shí)m在第一列，以412為中心的十字框不存在，

???十字框中的五個(gè)數(shù)之和不能等于2060.

【解析】本題考查列代數(shù)式，合并同類項(xiàng)，根據(jù)圖表的排列得出“同一列上下相鄰的兩數(shù)相差10,同

一行左右相鄰的兩數(shù)相差2"，從而得出十字框的五個(gè)數(shù)之和為中間數(shù)的5倍，進(jìn)而完成解答.

(1)將十字框中的5個(gè)數(shù)加起來(lái)的和除以中間這個(gè)數(shù)就可以得出結(jié)論；

(2)根據(jù)同一列上下相鄰的兩數(shù)相差10,同一行左右相鄰的兩數(shù)相差2就可以表示出這5個(gè)數(shù)之和；

(3)用2060-5就可以得出中間的這個(gè)數(shù)，然后根據(jù)圖表中數(shù)字的列數(shù)進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論.

【課后鞏固】

L【答案】B

【解析】提示：因?yàn)殛P(guān)于刀的整式9/_皿+6與-3(3/r+m)為常數(shù)A的“和諧整式”，所以

9x2-mx+6-3(3X2-X+m)=fc,即(3-m)x+6-36=k,無(wú)論x取何值都成立，貝?。?-m=0,解得

m-3.所以k=6—3m=6—3x3=—3.

2.【答案】B

【解析】解：P-3xy-8x+1,Q-x-2xy-2,

???3P—2Q-3(3xy—8x+1)—2(x—2%y-2)=9xy—24x+3—2x+4xy+4-13xy—26%+7,

v3P—2Q-7,?1?13xy—26x+7—7,

???13xy—26x—0,x(13y—26)=0,

v%0,???13y—26=0,???y—2,

先算出3P—2Q=13盯一26%+7,根據(jù)3P—2Q=7,得到13%y—26x=0,再根據(jù)x00,列出關(guān)于y的

方程，求出y值即可.

3.【答案】D

【解析】根據(jù)題意可得b=20—a,c=24—a,d=22—a,再將其代入a+b+c+d中進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得

出答案.

解：a+b—20,a+c-24,a+d—22,

**?b-20—a,c——24—a,d——22—a,

二a+b+c+d=a+20—a+24—a+22-a—66—2a,

va>b、c、d是正整數(shù)，且a+b=20,.1-0<a<20,

???a,b為正整數(shù)，二。的最小值為1,a的最大值為19,

???當(dāng)a=1時(shí)，a+b+c+d的最大值為M=66-2=64,

當(dāng)a=19時(shí)，a+b+c+d的最小值為N=66-2x19=28,

???M-N=64-28=36

4.【答案】3

【解析】本題考查了整式的加減運(yùn)算.關(guān)鍵是能正確進(jìn)行整式的加減運(yùn)算.把k用含有a和b式子表示,

再代入4=2S2+產(chǎn)—3計(jì)算即可.

1

解：s2+—a=b+l,t2+2b=a+4

1

s=—~ct+b+1，—a-2b+4，

k=2s之+t^—3=2^——a+b++(a-2b+4)-3--a+2b+2+a—1b+4-3=3

5.【答案】①③④

【解析】本題主要考查整式的加減，多項(xiàng)式的次數(shù)與項(xiàng)的概念，熟練掌握整式加減是解決此題的關(guān)鍵

.根據(jù)表格得出B對(duì)應(yīng)的次數(shù)，進(jìn)而分析4+B的次數(shù)即可判定①；根據(jù)4+B對(duì)應(yīng)的列數(shù)得出4+B的

項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而分析即可判定②；

根據(jù)B對(duì)應(yīng)的行數(shù)得出B的次數(shù)，進(jìn)而分析4+B的次數(shù)即可判定③；根據(jù)B對(duì)應(yīng)的列數(shù)和A+B對(duì)應(yīng)的

列數(shù)可得出B的項(xiàng)數(shù)和4+B的項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而分析判定④即可.

解：rB對(duì)應(yīng)的小方格行數(shù)是4,???整式B的次數(shù)是4,

又???整式4是三次二項(xiàng)式，貝M+B的次數(shù)一定是4次，

???對(duì)應(yīng)的小方格行數(shù)一定是4,故①正確；

???A+B對(duì)應(yīng)的小方格列數(shù)是5,A+B