2024年中考數(shù)學試題分類匯編：圖形的對稱（填空題與解答題）

2024年中考數(shù)學真題知識點分類匯編之圖形的對稱（填空題與解答題）

—.填空題（共17小題）

則AC+恪8c的最大值為__________________.

1.如圖，在△ABC中，AB=5,tan/C=2,

C

2.如圖，RtZXABC中，ZC=90°,4c=8,BC=4,折疊△ABC,使點A與點B重合，折痕DE與AB

交于點D,與AC交于點E,則CE的長為_______.

C--------------

3.如圖，把矩形紙片ABC。沿對角線BO折疊，使點C落在點￡處，BE與AD交于點F,若AB=6,BC

=8,貝I]cos/AB尸的值是_______________________.

E

A仁/^\D

BC

4.矩形ABC。中，A3=3,BC=4,將A5沿過點A的一條直線折疊折痕交直線BC于點尸（點P不與

點B重合），點8的對稱點落在矩形對角線所在的直線上，則PC長為

5.如圖，已知/AOB=50°,點尸為/AOB內(nèi)部一點，點M為射線04、點N為射線上的兩個動點,

當△PMN的周長最小時，則ZMPN=__________.

Z

M/p

B

6.已知矩形紙片ABC。，AB=5,BC=4,點P在邊8c上，連接AP,將AABP沿AP所在的直線折疊,

點B的對應(yīng)點為B',把紙片展平，連接BB',CB',當△BCB'為直角三角形時，線段CP的長

為_______________________

7.如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABC。的邊A8在x軸上，點A的坐標為(-2,0),點E在邊

CD上.將ABCE沿BE折疊,點C落在點尸處.若點尸的坐標為(0,6),則點E的坐標為.

8.將一張矩形紙片(四邊形A2CD)按如圖所示的方式對折，使點C落在AB上的點C'處，折痕為MN,

點。落在點。'處,C'D'交于點E.若BM=3,BC'=4,AC'=3,則￡W=

9.如圖，現(xiàn)有正方形紙片ABC。，點E,尸分別在邊A8,上.沿垂直于所的直線折疊得到折痕MN,

點B,C分別落在正方形所在平面內(nèi)的點8',C處，然后還原.

(1)若點N在邊CD上，且則NM=(用含a的式子表示)；

(2)再沿垂直于的直線折疊得到折痕G”，點G,H分別在邊CD,上，點。落在正方形所在

平面內(nèi)的點。'處，然后還原.若點在線段夕C上，且四邊形EFG8是正方形，AE=4,EB=8,

MN與GH的交點為P,則PH的長為.

10.圍棋起源于中國，古代稱為“弈”.如圖是兩位同學的部分對弈圖，輪到白方落子，觀察棋盤，白方

如果落子于點的位置，則所得的對弈圖是軸對稱圖形.（填寫A,B,C,。中的一處

即可，A,B,C,。位于棋盤的格點上）

rTYT?

II

rT-

—

-r-fr汝X

0

-Tr

1—

J?o-

I;—

J

玲1

I-

—

J：B6

：

I，i-

I

，I

T7T-

II

11.如圖，在nABCD中，ZC=120°,A2=8,2C=10,E為邊CD的中點，尸為邊A。上的一動點，將

△OEP沿EF翻折得△1）'EF,連接A〃，8。，貝IJZVIB。'面積的最小值為.

12.在平行四邊形A8CO中，/ABC是銳角，將CO沿直線/翻折至所在直線,對應(yīng)點分別為C'，

若AC'：AB-.BC=L3：7,則cos/ABC=.

13.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,AO=5,點E在。C上，將矩形A2C￡＞沿AE折疊，點。恰好落在

BC邊上的點尸處，那么tan/EFC=.

14.如圖，將一張矩形紙片ABC。上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕EF,連接8足再將矩形

紙片折疊，使點8落在8尸上的點H處，折痕為AG.若點G恰好為線段8c最靠近點8的一個五等分

15.如圖，在矩形A8CZ）中，E為AO邊上一點，ZABE=30°,將△ABE沿8E折疊得△F8E,連接CR

DF,若CP平分/BCDA2=2,則。尸的長為

16.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A(3,0),B(0,2),過點B作y軸的垂線/,尸為直線/上

一動點，連接PO,PA,則PO+B1的最小值為.

17.如圖，在正方形紙片ABCD中，E是邊的中點，將正方形紙片沿EC折疊，點8落在點P處，延

長CP交AD于點Q,連結(jié)AP并延長交CD于點E給出以下結(jié)論：①△AEP為等腰三角形；②尸為

。的中點；②AP：PF=2：3；@cosZDCQ=其中正確結(jié)論是___________(填序號).

4-

二.解答題(共3小題)

18.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中，aABC的三

個頂點坐標分別為A(-1,1),8(-2,3),C(-5,2).

(1)畫出△ABC關(guān)于〉軸對稱的△AiBiCi,并寫出點的坐標；

(2)畫出△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的AAB2c2,并寫出點82的坐標；

(3)在(2)的條件下，求點8旋轉(zhuǎn)到點82的過程中所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留n).

19.圖①、圖②均是4義4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點.點A,B,C,D,E,。均在格

點上.圖①中已畫出四邊形ABC。，圖②中已畫出以0E為半徑的。。.只用無刻度的直尺，在給定的

網(wǎng)格中按要求畫圖.(1)在圖①中，畫出四邊形ABC。的一條對稱軸.

圖①圖②

20.如圖，在菱形A8CD中，ZABC=60°,AB=2,E是BC邊上一個動點，連接AE,AE的垂直平分線

MN交AE于點、M,交8。于點N,連接EN、CN.

(1)求證：EN=CN；

(2)求2EN+BN的最小值.

BEC

2024年中考數(shù)學真題知識點分類匯編之圖形的對稱（填空題與解答題）

參考答案與試題解析

一.填空題（共17小題）

1.如圖，在△ABC中，AB=5,tan/C=2,則AC+e的最大值為5迎

3-----

【考點】胡不歸問題；解直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；圓周角定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】5V2.

【分析】過點B作垂足為如圖1,首先推導(dǎo)出4C+爭BC=AC+DC；延長。C到E,

使EC=CD=x,連接BE,如圖2,得到=4C+DC=AC+CE=4E；由輔助圓-定弦定

角模型，作AABE的外接圓，如圖3,當弦AE過圓心O,即AE是直徑時，弦最大，最后由勾股定理

可得4E=7AB2+BE2=5V2.

【解答】解：過點B作垂足為。，如圖1所示：

圖1

VtanZC=2,

在RtZkBC￡）中，設(shè)。C=x,則8D=2x,由勾股定理可得BC=有乂,

DCxV5nnV5

??——l——，—BC=DC,

BCV5x55

：.AC+—BC=AC+DC,

延長。。到E,使EC=CD=x,連接5E如圖2所示:

圖2

：.AC+^-BC=AC+DCAC+CE=AE,

,:BD_LDE,DE=2x=BD,

...△BDE是等腰直角三角形，則NE=45°,

在△ABE中，AB=5,Z￡=45°,

由輔助圓-定弦定角模型，作AABE的外接圓，如圖3所示:

圖3

由圓周角定理可知，點E在O。上運動，AE是。。的弦，求+的最大值就是求弦AE的最大

值，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，當弦AE過圓心。，即AE是直徑時，弦最大,如圖4所示：

圖4

是。。的直徑,

.?.NABE=90°,

???NE=45°,

...△ABE是等腰直角三角形,

：AB=5,

；.BE=AB=5,則由勾股定理可得力E=7AB2+BE?=5/,即+的最大值為5魚，

故答案為：5V2.

【點評】本題考查胡不歸問題，勾股定理，等腰直角三角形，圓周角定理，解直角三角形，熟練掌握動

點最值問題-定弦定角模型的解法是解決問題的關(guān)鍵.

2.如圖，RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,8c=4,折疊△ABC,使點A與點8重合，折痕OE與AB

交于點D,與AC交于點E,則CE的長為3.

【考點】翻折變換（折疊問題）.

【專題】方程思想；幾何直觀.

【答案】3.

【分析】直角三角形折疊問題優(yōu)先考慮利用勾股定理建立方程，由AE+CE=8,AE=BE,可在RtZ\BCE

用勾股定理列出方程，進而求解即可.

【解答】解：：折疊，

：.AE=BE,

VAC=8,

：.AE=AC-CE=8-CE,

:.BE=8-CE,

在RtZXBCE中，BC2+C￡2=BE2,

A16+C￡2=（8-CE）2,

解得CE=3.

故答案為：3.

【點評】本題主要考查了折疊問題、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

3.如圖，把矩形紙片A3C。沿對角線瓦）折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點尸,若42=6,BC

24

=8,貝!Jcos/A8F的值是

E

【考點】翻折變換（折疊問題）；解直角三角形；矩形的性質(zhì).

【專題】方程思想；幾何直觀.

24

【答案】

【分析】折疊問題優(yōu)先考慮利用勾股定理列方程，易證3尸=。/，再利用RtaAB尸求出邊長，從而求解

即可.

【解答】解：:.折疊，

ZDBC=ZDBF,

?.?四邊形A8CD是矩形，

J.AD//BC,

：.ZADB=ZDBC,

：.ZDBF=ZADB,

:.BF=DF,

：.AF^AD-DF=8-BF,

在尸中，AB2+AF2^BF2,

：.62+（8-BF）2=BF?,

解得引鼻竽，

,/4AB24

；寸.

..COSZABF=7B7F7=25

24

故答案為：—.

【點評】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、折疊問題等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.

4.矩形A8CD中，AB=3,BC=4,將AB沿過點A的一條直線折疊，折痕交直線BC于點尸（點P不與

57

點8重合），點8的對稱點落在矩形對角線所在的直線上，則尸C長為-、-或10.

~2-2---------

【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；應(yīng)用意識.

57

【答案】l、:或10.

24

【分析】先根據(jù)點8的對稱點落在矩形對角線所在的直線上的不同位置分三種情況，畫出對應(yīng)的圖形,

再根據(jù)矩形性質(zhì)，利用解直角三角形求出PC即可.

【解答】解：①點8的對稱點落在矩形對角線8。上，如圖，

:在矩形ABC。中，A8=CZ)=3,BC=AD=4,

由折疊性質(zhì)可知BB'±AP,

：.ZBAP+ZBPA=/BB4+NCBD,

：.ZBAP=ZCBD,

cn3

tanZBAP=tmZCBD=浣=j

9

3

BP=ABtanZBAP=3X[-

44

97

PC=BC-BP=4—7=4；

②點B的對稱點次落在矩形對角線AC上，如圖

:在矩形ABC。中，AB=CD=3,BC=AD=4,ZB=90°,

；.AC=7AB2+BC2=V32+42=5,

??COSZ_ACo==引

由折疊性質(zhì)可知：ZABP=ZAB'P=90°,AB=A8=3,

：.B'C=AC-AB,=5-3=2,

45

B'C-2---

：.PC=52

cosZ-ACB

③點8的對稱點次落在矩形對角線C4延長線上，如圖,

：.AC=4yjAB2+BC2=V32+42=5,

：.cosZACB=^=^,

由折疊性質(zhì)可知：ZABP=ZAB'P=90°,AB=AB'^3,

：.B'C=AC+AB'=5+3=8,

R'C4

?"C=而印=8+11。,

57

綜上所述：-、一或10.

22

57、

故答案為：->二或10.

24

【點評】本題考查了矩形與折疊問題，矩形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，已知/4。2=50°,點尸為NA02內(nèi)部一點，點M為射線04、點N為射線。2上的兩個動點,

80°

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】80°.

【分析】作尸點關(guān)于08的對稱點E,連接EP,EO,EM,得ME=MP,NMPO=/OEM；作P點關(guān)

于。4的對稱點兒連接NF,PF,OF,得PN=FN,ZOPN=ZOFN；根據(jù)PM+PN+MN=EM+NF+MN

NEF；E,M,N,尸共線時，△RWN周長最短，再根據(jù)對稱性質(zhì)，即可求出NMPN的角度.

【解答】解：作尸點關(guān)于。8的對稱點E,連接EP,EO,EM-,

：.EM=MP,ZMPO=ZOEM,ZEOM=ZMOP,

作尸點關(guān)于。1的對稱點凡連接NRPF,OF,

:.PN=FN,/OPN=/OFN,ZPON^ZNOF,

：.PM+PN+MN=EM+NF+MN^EF,

當E,M,N,尸共線時，△PMN周長最短，

又,:ZEOF=ZEOM+ZMOP+ZPON+ZNOF,

ZAOB=ZMOP+ZPON,

；./E0F=2/A0B,

又：408=50°,

：.ZEOF=100°,

.?.在△EOF中，Z0EM+ZOFN+ZEOF^180°,

：.ZOEM+ZOFN^180°-100°=80°,

,：ZMPO=ZOEM,ZOPN=ZOFN,

:.NMPO+/OPN=80°,

■:/MPN=/MPO+OPN=80°,

故答案為：80°.

【點評】本題考查軸對稱-最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是做出對稱點，找到共線時路徑最短，利用對稱

性質(zhì)，對角等量代換.

6.已知矩形紙片A8CD,AB=5,8c=4,點P在邊BC上，連接AP,將尸沿A尸所在的直線折疊,

點8的對應(yīng)點為玄，把紙片展平，連接84,CB,當△BC8'為直角三角形時，線段CP的長為2

【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理；矩形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力.

【答案】2或1.

【分析】分三種情況討論，一是C=90°,可由NP8',推導(dǎo)出NPB'C=/PCB「

則B'P=CP=BP=$BC=2；二是/BCB，=90°，則點B'在。C上，求得8'D=yjAB'2-AD2=3,

則2,C=2,由勾股定理得22+。尸2=（4-CP）2,求得CP=|；三是由//是等腰三角形2'PB

的底角，說明/次BC#900,于是得到問題的答案.

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，AB=5,BC=4,

：.DC^AB=5,AO=BC=4,ND=NABC=NACB=90°,

由折疊得A4=A8=5,B'P=BP,

如圖1,ABCB'為直角三角形，且NBB'C=90°,

:"PB'C+/PB'8=90°,ZPCB'+ZPBB'=90°,

'：ZPB'B=/PBB',

：.ZPB'C=NPCB',

：.B'P=CP,

11

CP=BP=5BC=1x4=2；

如圖2,ABCB'為直角三角形，且/BCB'=90°,

；NBCB'=ZC=90°,

.?.點次在。C上，

B'D=y/AB'2—AD2=V52-42=3,

：.B'C=DC-B'D=5-3=2,

?；B'd+Cp2=BP，2,且8,P=BP=4-CP,

：.21+CP2=（4-CP）2,

解得CP=I；

:NB'BC是等腰三角形二P8的底角，

：.ZB'BCW90°,

3

綜上所述，線段CP的長為2或5,

3

故答案為：2或鼻.

【點評】此題重點考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等角的余角相等、勾股定理、分類討論數(shù)學思想的

運用等知識與方法，正確地進行分類是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABC。的邊在x軸上，點A的坐標為(-2,0),點E在邊

CD1..將△BCE沿8E折疊，點C落在點尸處.若點尸的坐標為(0,6),則點E的坐標為(3,

【考點】翻折變換(折疊問題)；正方形的性質(zhì)；坐標與圖形變化-對稱.

【專題】平面直角坐標系；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力.

【答案】(3,10).

【分析】由正方形的性質(zhì)得AD=AB=CO=C2,由折疊得尸B=C8,FE=CE,設(shè)CD交y軸于點G,

AD=AB=CB=CD=m,貝UBF=OG=m,由A(-2,0),F(0,6),OA=GD=2,OF=6,由勾股

定理得(m-2)2+62=/n2,求得m=10,則A￡)=OG=CO=10,由G/+fuZnEE2,得GE?+42=(8

-GE)2,求得GE=3,則E(3,10),于是得到問題的答案.

【解答】解：???四邊形A8CL）是正方形，邊AB在無軸上,

：.AD=AB=CD^CB,無軸，C￡）_Ly軸，

由折疊得FB=CB,FE=CE,

設(shè)CD交y軸于點G,AD=AB=CB=CD=m,貝I]8E=OG=%,

VA(-2,0),F(0,6),

.?.OA=G￡)=2,OE=6,

OB=m-2,

,：ZBOF=ZEGF=90°,

.\OB2+OF2=BF2,

(m-2)2+62=m2,

解得“2=10,

，AD=OG=Cr)=10,

：.FG=10-6=4,FE=CE=10-2-GE=8-GE,

\"GE1+FG1=FE1,

.\G￡2+42=(8-GE)2,

解得GE=3,

：.E(3,10),

故答案為;(3,10).

【點評】此題重點考查圖形與坐標、正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地求出正方

形ABCD的邊長是解題的關(guān)鍵.

8.將一張矩形紙片（四邊形A2CD）按如圖所示的方式對折，使點C落在上的點C'處，折痕為MN,

3

點。落在點。'處，CD'交AZ）于點區(qū)若BM=3,BC=4,AC=3,則。N=-

一21

D'

iD

【考點】翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力.

【答案】|.

【分析】本題考查矩形的折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，先根據(jù)勾股定理求出CM

=CM=5,然后證明△BC'M^AAEC',得到BC=AE=4,MC=CE=5,即可得到Z）E=4,D'E

=2,然后在EF中，利用NE1=D'E2+D'N1解題即可.

【解答】解：在R3cBM中，CM=y/C'B2+BM2=V42+32=5,

由折疊可得CM=CM=5,ZD'CM=ZD'=ZD=ZC=90°,

又：ABC。是矩形,

AZA=ZB=90°,

AZBC,M+ZACE=ZAEC+ZACE=90°,

ZBCZAEC1,

又：AC'=BM=3,

；.ABC'M沿LAEC(A4S),

；.8C=A￡=4,MC=CE=5,

：.AB=CD^C'D'=7,BC=AD=8M+CAf=3+5=8,

：.DE=AD-AE=S-4=4,DE=CD'-C￡=7-5=2,

設(shè)DN—DN—a,貝!IEN—4-a,

在RtADzEF中，A^￡2=D'￡2+DW2,即(4-a)2=a2+22,

解得：a=力

,,……,3

故答案為：—

2

【點評】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是

理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

9.如圖，現(xiàn)有正方形紙片ABCD點、E,尸分別在邊AB,上.沿垂直于所的直線折疊得到折痕跖V,

點B,C分別落在正方形所在平面內(nèi)的點8,，C處，然后還原.

(1)若點N在邊CD上，且則NM=90°-a(用含a的式子表示)；

(2)再沿垂直于MN的直線折疊得到折痕GH點G,H分別在邊CD上，點。落在正方形所在

平面內(nèi)的點。'處，然后還原.若點。在線段2'C上，且四邊形跖GH是正方形，AE=4,防=8,

MN馬GH的交點為P,則PH的長為

【考點】翻折變換(折疊問題)；正方形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；展開與折疊；幾何直觀；應(yīng)用意識.

【答案】(1)90°-a

(2)3V5

【分析】(1)根據(jù)已知條件推出/EMN=90°-a,再利用折疊性質(zhì)以及平行線即可求出答案，這也是

折疊問題求角度常見處理方式；

1

⑵根據(jù)MN_LG8和NC'NM=/CNM這一條件作為突破口，得到尸G=PG=/GG和NG=NG,從

而得出CG=CG=4,再利用平行線分線段成比例求出G也是Ga中點即可求解.

【解答】解：(1),:MNLEF,NBEF=a,

:./EMN=90°-a,

,JCD//AB,

：.ZCNM=ZEMN=90°-a,

：.ZCNM=ZCNM=90°-a.

故答案為：90°-a.

(2)如圖，設(shè)尸"與NC交于點G,

:四邊形ABCD和四邊形EFGH是正方形，

:./A=/D=/GHE=90°,GH=EH,

：.ZAHE+ZGHD=ZAHE+ZAEH=900

：.ZGHD=ZAEH,

：.AEAH^AHDG(A4S)

同理可證△EAH■烏AHDG名△GCF^AFB￡,

：.DH=CG=AE=4,DG=EB=8,

：.GH=y/DG2+DH2=4V5,

■:MNLGH,且“NM=ZCNM,

???MN垂直平分GG',BPPG=PG=^GG,且NG=NG,

,/四邊形CBMN沿MN折疊,

：.CN=CN,

:?CN-NG=CN-NG,即CG=CG=4,

AGDH沿GH折疊得到△GD'H,

：.GD'=GD=S,

VZHCG'=ZHD'G=90°,

：.CG//D'G,

.HG，C，G，1

?*HG-DiG~2

：.HG'=GG'=j//G=2V5,

又：PG'=^GG'=V5,

:.PH=PG+HG=3g

故答案為：3V5.

【點評】本題主要考查正方形的折疊問題，熟練掌握折疊和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.圍棋起源于中國，古代稱為“弈”.如圖是兩位同學的部分對弈圖，輪到白方落子，觀察棋盤，白方

如果落子于點A（答案不唯一）的位置,則所得的對弈圖是軸對稱圖形.（填寫A,B,C,。中的

一處即可，A,B,C,。位于棋盤的格點上）

rTYT?

II

rT-

—

-r-fr汝X

0

-Tr

1—

J?o-

I;—

J

玲1

I-

—

J：B6

：

I，i-

I

，I

T7T-

II

【考點】軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀.

【答案】A（答案不唯一）.

【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，由

此即可答案.

【解答】解：白方如果落子于點A（答案不唯一）的位置，則所得的對弈圖是軸對稱圖形.

故答案為：A（答案不唯一）.

【點評】本題考查軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的定義.

11.如圖，在nABC。中，ZC=120°,48=8,8C=10,E為邊CO的中點，尸為邊上的一動點，將

△DEF沿EF翻折得△￡）'EF,連接AO,BD',則面積的最小值為20g-16.

【考點】翻折變換（折疊問題）；三角形的面積；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；解直角三角形及其應(yīng)

用；運算能力；推理能力.

【答案】20V3-16.

【分析】先確定點￡>'是以E為圓心，CD為直徑圓周上的一點，過點E作交直線AB于點H,

交OE于點G,過點。作。于點連接推出面積=4。加，再求出0M的最小

值即可解決問題.

【解答】解：：在DABCD中，ZC=120°,AB=8,

AZABC=60°,CD=8,

為邊。的中點，尸為邊AD上的一動點，將△QEF沿EF翻折得△￡>'EF,

1

：.D'E=DE=CE=^CD=4,

點。'是以E為圓心，CD為直徑圓周上的一點，作出OE,如圖,

過點E作瓦/LAB交直線于點交OE于點G,過點。作于點連接

VAABD'面積=%小。〃，AB=8,

...△AS。'面積=4O'M,

要求△AB。'面積的最小值，只要求的最小值即可,

"：D'M=D'M+D'E-42EM-42EH-4,

.??。加的最小值為￡"-4,

過點C作CN上AB于氤N,

則EH=CN,

在Rt/\BCN中，

VBC=10,ZABC=60°,

CN=BC?sin60°=lOx亨=5次，

:.EH=5?

...UM的最小值為5V3-4,

?.AABD'面積=4(5V3-4)=20次一16,

故答案為：20V3-16.

【點評】本題考查翻折變換的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線間的距離處處相等，圓的確定，直線與

圓的位置關(guān)系，兩點之間線段最短，垂線段最短，三角函數(shù)定義，找到△A3。'面積的最小值時，AB

邊上的高的位置是解題的關(guān)鍵.

12.在平行四邊形ABC。中，/ABC是銳角，將C。沿直線/翻折至A8所在直線,對應(yīng)點分別為C'，

若AC，：AB：BC=1：3：7,貝!Jcos/ABC=_三或3_.

【考點】翻折變換(折疊問題)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形.

24

【答案】：;或:;.

77

【分析】分別考慮C在AB之間時和C在BA的延長線上時兩種情況，根據(jù)題意假設(shè)出每條線段的長

度，根據(jù)翻折的性質(zhì)可知各個角之間的關(guān)系，即可求解.

【解答】解：當C'在之間時，如圖，

根據(jù)AC：AB：BC=1：3：7,不妨設(shè)AC=1,AB=3,BC=7,

由翻折的性質(zhì)知：ZFCD=ZFCD',

?：CD沿直線l翻折至AB所在直線，

AZBCF+ZFCD'=ZFCD+ZFBA,

：.ABCF=ZFBA,

：.CF=BF=C'F=I，

過尸作42的垂線交于E,

1

：.BE=^BC=1,

FE12

--

BF----

..cos乙ABC77

2-

當C’在BA的延長線上時，如圖,

根據(jù)AC'：AB：BC=1：3：7,不妨設(shè)AC=1,AB=3,3C=7,

7

同理知：CF=BF=C'F=々,

過點F作AB的垂線交于E,

：.BE=^BC=2,

??cos乙ABC—BF="y"="yf

2

24

故答案為：：;或

77

【點評】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，求余弦值，等腰三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是利用分類討論的思想進行求解.

13.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,AZ）=5,點E在。C上，將矩形ABC。沿AE折疊，點。恰好落在

4

邊上的點尸處，那么tan/EFC=-.

-3—

【考點】翻折變換（折疊問題）；解直角三角形；矩形的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

4

【答案】--

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得8c=AQ=5,CD=AB=3,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AE=AO=5,EF=DE,

在中，利用勾股定理計算出B尸=4,則設(shè)CE=X,則。石=跖=3-無，然

后在Rt^ECF中根據(jù)勾股定理得到了+正=（3-無）2,解方程即可得到x,進一步得到的長，再根

據(jù)正切數(shù)的定義即可求解.

【解答】解：???四邊形A3。為矩形，

.?.BC=A￡>=5,CD=AB=3,/B=NC=90°,

,/矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點。恰好落在BC邊上的F處，

：.AF^AD^5,EF=DE,

：.在RtAABF中，BF=VXF2-AB2=4,

：.CF=BC-BF=5-4=1,

設(shè)CE=x,則EF=DE=CD-CE=3-x,

,：在RtAECF中，CE1+FC1=EF2,

p24

得

z3\解

-(-%!%-

-，-

?+\z3

c￡

4

=于

AtanzEFC=^|=|,

4

故答案為：-

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不

變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理，正切的定義.

14.如圖，將一張矩形紙片ABCD上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕EF,連接8E再將矩形

紙片折疊，使點8落在8F上的點“處，折痕為AG.若點G恰好為線段8c最靠近點3的一個五等分

【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】2VIU.

【分析】設(shè)AG與8尸交于點BG=a,則8C=5a,勾股定理求出AG,BF,根據(jù)等面積法求出

mtan^FBC=黑=骼,列出方程進行求解即可.

【解答】解：方法一：設(shè)AG與8尸交于點

:四邊形ABC。是矩形,

ZABC=ZC=90°,AB=CZ)=4,

:翻折,

：.CF=^CD=2,AG1BH,

設(shè)8G=a,貝!)8C=5a,

：.AG=y/AB2+BG2=V16+a2,BF=V5C2+CF2=V25a2+4,

11

?Su,=專AB?BG=jAG?BM,

AB-BG4a

：.BM=

AG

a2+16

"：ZBMG=ZC=90°,

:.tern乙FBC=黑=嚼,

：.BM?BF=BG/BC,

Aa=|V10,經(jīng)檢驗a=^VTU是原方程的解,

：.BC=5a=2V10,

方法二：,:△ABGs^BCF,

.ABBG

??—,

BCCF

.4a

??—―,

5a2

a=VTo，

：.BC=5a=2V10,

【點評】本題考查矩形折疊，勾股定理，解直角三角形，掌握性質(zhì)和綜合推理能力是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在矩形A8CD中，E為AO邊上一點，ZABE=30°,將AABE沿8E折疊得連接CR

DF,若CP平分/BCD,AB=2,則。尸的長為_迎_.

【考點】翻折變換（折疊問題）；角平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀；運算能力.

【答案】V2.

【分析】過點尸作PG，8c于點G,于點H.由矩形的性質(zhì)可得CD=AB=2,ZABC=ZBCD

1

=90°.由翻折得，BF=AB=2,NABE=/FBE=3Q°,則/FBG=30°,進而可得FG=58尸=1,

CH=FG=1,DH=CD-CH=1,結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得成=BG=1,再利用勾股定理求。尸的長

即可.

【解答】解：過點尸作BGLBC于點G,FHLCD于點H.

：5平分/88,

：.HF=FG.

:四邊形ABC。為矩形,

:.CD=AB=2,ZABC^ZBCD^90°.

由翻折得，BF=AB=2,NABE=/FBE=3Q°,

：.ZFBG=30a,

1

：.FG=^BF=1,

：.HF^1,CH=FG=1,

：.DH=CD-CH=1,

：.DF=y/DH2+HF2=V2.

故答案為：V2.

【點評】本題考查翻折變換(折疊問題)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)、矩形

的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

16.如圖，在平面直角坐標系尤Oy中，已知A(3,0),B(0,2),過點B作y軸的垂線/,尸為直線/上

則PO+PA的最小值為

【考點】軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì).

【專題】平面直角坐標系；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】5.

【分析】取點O'(0,4),連接OF,O'A,推出PO+PA的最小值為02的長，再利用勾股定理求出ON

的長即可.

【解答】解：取點。’（0,4）,連接。7,O'A,如圖,

VB(0,2),過點8作〉軸的垂線/,

...點O(0,4)與點。(0,0)關(guān)于直線/對稱,

C.PO'^PO,

：.PO+PA=PO'+PA2O'A,

即PO+PA的最小值為O'A的長，

在RtZXOA。中，

VOA=3,OO'=4,

由勾股定理，得。'4=VOX2+00'2=V32+42=5,

：.PO+PA的最小值為5.

故答案為：5.

【點評】本題考查軸對稱-最短路線問題，平面直角坐標系，勾股定理，能用一條線段表示兩線段和的

最小值是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在正方形紙片A8CL）中，E是A8邊的中點，將正方形紙片沿EC折疊，點8落在點P處，延

長CP交AQ于點Q,連結(jié)AP并延長交。于點R給出以下結(jié)論：①為等腰三角形；②F為

的中點；②AP：PF=2：3；@cosZDCQ=其中正確結(jié)論是①②③（填序號）.

4,

【考點】翻折變換（折疊問題）；解直角三角形；等腰三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似;

解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】①②③.

【分析】利用翻折的性質(zhì)，證明EA=EP,即可判斷①；利用A4s證明△BECg△。陰，即可判斷②;

過點P作PALL8C于點M,過點￡作硒_14/于點N,設(shè)AE=BE=EP=DF=CF=a,然后求出AP,

PF,再計算即可判斷③；證明出4。=尸。，再在RtZ\CDQ中，利用勾股定理求出AQ,DQ,根據(jù)三角

函數(shù)定義即可判斷④.

【解答】解：是AB邊的中點，

：.EA=EB,

...將正方形紙片沿EC折疊，點8落在點尸處，

:.EB=EP,

；.EA=EP,

即為等腰三角形，故①正確；

'：EA=EP,

：.ZEAP=ZEPA,

:將正方形紙片沿EC折疊，點B落在點尸處，

:./BEC=/PEC,

??/BEP=ZEAP+ZEPA,

:./BEC=NEAP,

:四邊形A8CO是正方形，

:./CBE=NADF,AB//CD,BC=AD,

：.ZEAP=ZDFA,

：.ZBEC=ZDFA,

(44S),

:.DF=BE,

：.DF=^AB=%D,

即F為CO的中點，故②正確；

過點P作PM±BC于點M,過點E作ENLAF于點N,

Q

AD

E

B

?:NBEC=NEAP,

J.EC//AF,

；?EN=PM,

設(shè)AE=BE=EP=DF=CF=a,貝ljBC=AD=PC=2a,

：.EC=AF=JQ2+（2Q）2=求5

11

.；SNEC=專EC?PM=寺PE?PC,

PE-PC_a-2a_2后a

：.PM=

ECy/Sa5

：.EN=^^,

:.PN=<EP2-EN2=Jo2］（空方=學,

:.AP=2PN=綽0

PF=AF-AP=V5a-維區(qū)3區(qū)a

：.AP；尸尸=之要:---=2：3,故③正確;

9：ZEAP=ZEPA,ZEAD=ZEPQ=90°,

：.ZQAP=ZQR\,

???AQ=PQ，

??,正方形的邊長為2a,

.\AD=CD=CP=2a,QD=2a-AQ,CQ=2a+PQ=2a+AQ,

在RtZ\CZ）Q中，

由勾股定理，得C￡>2+QD2=C°2,

即（2a）2+（2a-AQ）2=（2a+A。）2,

1

解得AQ=2。，

.13

??DQ=2q-2。=9

.15

??C*Q=2Q+

...cos/￡>CQ=罌=*/故④不正確.

Q2a

故答案為：①②③.

【點評】本題考查翻折變換，軸對稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全

等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，能夠熟練運用相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二.解答題(共3小題)

18.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中，△ABC的三

個頂點坐標分別為A(-1,1),8(-2,3),C(-5,2).

(1)畫出△ABC關(guān)于〉軸對稱的△481C1,并寫出點81的坐標；

(2)畫出△ABC