2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題：線(xiàn)段最值問(wèn)題（學(xué)生版+解析）

線(xiàn)段最值問(wèn)題

1.（2023?遼寧丹東?中考真題）拋物線(xiàn)>=加+版-4與無(wú)軸交于點(diǎn)A（T,O）,5（2,0）,與y

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式;

（2）如圖，點(diǎn)。是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是〃7（T<7〃<2）,過(guò)點(diǎn)。作直線(xiàn)

軸，垂足為點(diǎn)E,交直線(xiàn)AC于點(diǎn)E當(dāng)。，E,尸三點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)平分另外兩點(diǎn)組成

的線(xiàn)段時(shí)，求線(xiàn)段OP的長(zhǎng)；

2.（2023?青海西寧?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)/與x軸交于點(diǎn)4（6,0）,

與y軸交于點(diǎn)8（0，-6）,拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,且對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=l.

⑴求直線(xiàn)/的解析式；

（2）求拋物線(xiàn)的解析式；

⑶點(diǎn)P是直線(xiàn)/下方拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸軸，垂足為C,交直線(xiàn)/于點(diǎn)D,

過(guò)點(diǎn)尸作垂足為求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).

5.(2023?內(nèi)蒙古?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)＞=-/+次+。與x軸的交

點(diǎn)分別為A和8(1,0)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與，軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)p是直線(xiàn)AC上方拋

物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).

備網(wǎng)圖

(1)求拋物線(xiàn)的解析式;

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)P作x軸平行線(xiàn)交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)尸作V軸平行線(xiàn)交無(wú)軸于點(diǎn)。，求

PE+PD的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

6.(2023?甘肅武威?中考真題)如圖1,拋物線(xiàn)丫=-1+樂(lè)與x軸交于點(diǎn)A,與直線(xiàn)丁=-％交

于點(diǎn)8(4,-4),點(diǎn)C(0,-4)在y軸上.點(diǎn)p從點(diǎn)8出發(fā)，沿線(xiàn)段3。方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)。時(shí)停止.

⑴求拋物線(xiàn)y=-V+笈的表達(dá)式;

(3)如圖2,點(diǎn)尸從點(diǎn)8開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)。從點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿x軸正方

向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).連接BQ,PC,求CP+8Q的最小值.

7.(2023?四川眉山?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)丁=依2+法+。與x軸交于

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在直線(xiàn)AC上方的拋物線(xiàn)上時(shí)，連接3尸交AC于點(diǎn)D如圖1.當(dāng)二的值最大時(shí),

DB

求點(diǎn)尸的坐標(biāo)及P會(huì)D的最大值；

線(xiàn)段最值問(wèn)題

1.（2023?遼寧丹東?中考真題）拋物線(xiàn)y=o?+bx-4與無(wú)軸交于點(diǎn)A（T,O）,B（2,0）,與y

備用圖

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）如圖，點(diǎn)。是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是〃7（-4<m<2）,過(guò)點(diǎn)。作直線(xiàn)

軸，垂足為點(diǎn)E,交直線(xiàn)AC于點(diǎn)E當(dāng)。，E,歹三點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)平分另外兩點(diǎn)組成

的線(xiàn)段時(shí)，求線(xiàn)段。尸的長(zhǎng)；

【分析】（1）將點(diǎn)A（y。）,3（2,0）代入解析式即可求解;

（2）可求直線(xiàn)AC的解析式為y=-x-4,可得E（m,0）,F（m,-m-4）,D^m^m2+m-4^,

①當(dāng)EF=FD時(shí)，可求防=/〃+4,FD=~m2-2m,即可求解；②當(dāng)DE=DF時(shí)，

DE=--m2-7/7+4,DF=-rrr+2m,即可求解；

22

【詳解】（1）解：由題意得

\16a-4b-4=0

[4a+2b-4=0

1

ci——

解得2,

b=\

2

故拋物線(xiàn)的表達(dá)式V=1X+X-4;

(2)解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-4,

，C(O,T),

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為>=依+"則有

(-4k+b=0

[b=-4

???直線(xiàn)AC的解析式為了=-尤-4,

點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是<m<2),過(guò)點(diǎn)。作直線(xiàn)DE，x軸,

0),F(771,-777-4),￡)［九!〃/+〃?-4j,

①如圖，當(dāng)EF=ED時(shí)，

/.EF=0—(―m—4)=m+4,

FD=-m—4—根2+根―4)

。

=——1m2-2m,

2

12c

m+44=——m-2m,

2

整理得：m2+6m+8=0,

解得：叫=-2,m2=-4,

-4<m<2,

.?.加=-4不合題意，舍去，

/.m=—2,

\

/.DF=--x(-2)9-2x(-2)

=2；

②如圖，當(dāng)DE="7時(shí),

DF=-nr+m-4—(-m-4)

2

=—m2+2m,

2

--m2—m+4=—m2+2m,

22

整理得：m2+3m—4=0,

解得：叫=1,也2=-4（舍去），

1

DF=-xl92+2xl

2

_5

=2；

綜上所述：線(xiàn)段D廳的長(zhǎng)為2或g.

2.（2023?青海西寧?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)/與x軸交于點(diǎn)A（6,0）,

與y軸交于點(diǎn)8（0,-6）,拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,且對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=l.

⑴求直線(xiàn)/的解析式；

（2）求拋物線(xiàn)的解析式;

(3)點(diǎn)P是直線(xiàn)/下方拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸軸，垂足為C,交直線(xiàn)/于點(diǎn)

過(guò)點(diǎn)P作尸垂足為求PM的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)題意可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x-l)2+%,再利用待定系數(shù)法求解即可；

(3)由題意易證為等腰直角三角形，即得出尸加=走尸￡＞.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

2

k,1/一)一6],則Q(rj-6),從而可求出尸0=._6_(9/_1/_6]=_9(/_3)2+3.再結(jié)

V42)(42)44

0

合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)f=3時(shí)，尸。有最大值是:，此時(shí)尸河最大，進(jìn)而即可求解.

4

【詳解】(1)解：設(shè)直線(xiàn)/的解析式為＞=2+〃(相聲0),

[6m+n=0

把A,5兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得乙，

〃=一6

m=l

解得:

n=-6

；?直線(xiàn)/的解析式為、=尤-6；

(2)解：設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為＞=4(》-獷+左(420),

?.?拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)X=l,

y=a(x-l)2+k.

25a+左=0

把A,5兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得

a+k=—6

1

a=——

解得：4二

k=一

[4

???拋物線(xiàn)的解析式為、=：(尤-1)2-字=；尤?一:尤一6；

4''442

(3)解：；4(6,0)5(0-6),

：.OA=OB=6.

?.?在一AO8中NAO3=90。,

Z.OAB=Z.OBA=45°.

：PC_Lx軸，PMLI,

：.ZPCA=ZPMD=90°.

在RtADC中，ZPCA=9Q°,ZOAB=45°,

：.^ADC=45°,

???ZPDM=ZADC=45°.

在Rt一PMD中，/PMD=900,ZPDM=45°,

?.相。

??sin45--P--M--,

PD

：.PM=—PD.

2

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為1?2一，則D（t,t-6）,

???"="6一%、》一6——1t2+3-t:"3)2+2

4244

4

9

...當(dāng)，=3時(shí)，9有最大值是“此時(shí)最大,

=也即="><2=述

?

max2248

」-巴

當(dāng)1=3時(shí)，一/—，—6=-x3?x3-6=

42424

???T'-y

???PM的最大值是場(chǎng)，此時(shí)的尸點(diǎn)坐標(biāo)是（3,一2斗1

84

3.（2023?湖北襄陽(yáng)?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)/：>=點(diǎn)+。經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)

（1）如圖，當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其頂點(diǎn)記為P.

①求拋物線(xiàn)的解析式并直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

③當(dāng)左=2時(shí).動(dòng)點(diǎn)E在直線(xiàn)/下方的拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)E作EF〃x軸交直線(xiàn)/于點(diǎn)/，令

S=EF,求S的最大值.

（2）當(dāng)拋物線(xiàn)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其頂點(diǎn)記為Q.當(dāng)直線(xiàn)/同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q和（1）中拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)尸時(shí),

設(shè)直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為3,與V軸的交點(diǎn)為A.若洌之1,直接寫(xiě)出大的取

值范圍.

【答案】（1）①拋物線(xiàn)的解析式為y=Y+x,頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為j；②/的值為-3或1；

③S取得最大值3

（2）%的取值范圍為左4-6或人#）

【分析】（1）由拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可得2m2-m=0,即可求得加=1,①利用配方法將拋物

2

線(xiàn)解析式化為頂點(diǎn)式即可求得答案；

③把尸［；，-：］代入y=2x+6,可得y=2x+：,設(shè)點(diǎn)E的療+m）,可得

<113、

-m22+m,進(jìn)而可得

［22o）

S—EF-m—［—m2+-m—^-\=——m1+~m+—=——{??i——+—,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即

（228J2282（2）2

可求得答案;

（2）利用配方法可得。（-機(jī)）-時(shí)，運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線(xiàn)/的解析式為

丫=］加+；卜機(jī)，可得機(jī)），8,2機(jī)+/,2/-2機(jī)+；）,分兩種情況：當(dāng)機(jī)>；時(shí)，

點(diǎn)5在第二象限，點(diǎn)A在V軸的負(fù)半軸上，作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,則

肛2/_|機(jī)］,QA=QA',再由|QB—沙|21,即0邳匕1,可得

+-（-2加）+^2m2-2m+1^2m2>1,解不等式即可求得答案；當(dāng)

根時(shí)，點(diǎn)8在第一象限，點(diǎn)Q在A(yíng)、8之間，作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,同理可求得

答案.

【詳解】（1）:拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

2m2—m=0,

解得：相=0或加=工，

2

;"zw0,

.1

??m=—,

2

①拋物線(xiàn)的解析式為y=/+x,

_2（1丫1

?y=x+x=x~\——，

'I2J4

,頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為;

13

②當(dāng)即/＜一]時(shí)，y隨x增大而減小，

由題意得：（r+l）2+f+l=2,

解得：。=一3,馬二。（舍去），

的值為-3,

當(dāng)一時(shí)，貝u若時(shí)，y的最小值為不符合題意,

224

當(dāng)，＞-；時(shí)，y隨x增大而增大，

由題意得：t2+t=2,

解得：4=一2（舍去），馬=1，

的值為1,

綜上所述，才的值為-3或1；

③由題意得：當(dāng)左=2時(shí)，則y=2x+Z?,

?.?＞=2尤+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)?[-；,-力，

??.2x，\+b=-；,可得b=|,

.**y=2xH—,

4

313

由2xH—=%2+x,nJx,=—,x——,

4292

13

設(shè)點(diǎn)石（加,療+機(jī)）,且一5V冽＜5,

,.?石尸〃X軸，

2

yE=yF=m+m=lxF+：,

2

可得：xF=^m+^m-|,貝！J尸佶加2+:機(jī)_|,m2+m],

22okZZo）

1311213If1Y1

：.s=EF=m--m2+—m——=——m+—m+—=——m—+一,

228j228212)2

13

—<m<—,

222

...當(dāng)m=g時(shí)，S取得最大值g；

(2)*.*y=x2+2mx+2m2—m=(x+mf+m2—m,

??,直線(xiàn)/:>=履+匕經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸、Q,

,1

1771k=-m+—

—k+b=—2

24，解得：

,1

—mk+b=m2-mb=-m

2

二直線(xiàn)/的解析式為yj-機(jī)加，

令1=0,得y=一；根，

A[O,-5相],

聯(lián)立方程得：x2+2mx+2m2=+,

解得：x1=-m,x2=-2m+1,

當(dāng)x=—2m+—時(shí),y加+g]—2加+加=2根2-2m+^-,

...B\—2mH—,2根,—2m—|

I24)f

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)3在第二象限，點(diǎn)A在y軸的負(fù)半軸上，作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)AI如圖,

'：\QB-Q^>\,

：.\QB-QA'\>1,

BP|A'B|2>I,

令后一m----=0,

、4

解得：仍=一百+萬(wàn)（舍去），=A/3+—,

YYl2A/3H---,

2

.?.m—_k.1—,

2

-k+->43+-,

22

二k&Y；

當(dāng)機(jī)時(shí)，點(diǎn)8在第一象限，點(diǎn)Q在A(yíng)、8之間，作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H,如圖,

：.\QB-QA!\>\,

即WM&i,

化簡(jiǎn)得：〃

令m1—m----=0,

'4

解得：叫=-百+],牡=6+萬(wàn)（舍去），

JTlW—5/3H—,

2

?m=-k+—,

2

：.-k+-<-y/3+~,

22

.,.k>y[3；

綜上所述，上的取值范圍為左（-君或左NJL

4.（2023?湖北黃石?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)丁=依2+法+（?與X軸交

于兩點(diǎn)A（-3,0）,B（4,0）,與y軸交于點(diǎn)C（0,4）.

（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；

（3）若點(diǎn)。，E分別是線(xiàn)段AC,AB上的動(dòng)點(diǎn)，S.AE=2CD,求CE+2BD的最小值.

【詳解】（1）解：設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=a（x+3）（x-4）=a（x2-x-12）,

BP—12a=4,貝!|a=-g,

故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：>=-12+）+4①；

(3)解：作/E4G=/3CD,

2'

設(shè)AG=2BC=2x40=8"

AE=2CD,

:./\BCD^/\GAE且相似比為1:2,

則EG=2BD,

故當(dāng)C、E、G共線(xiàn)時(shí)，CE+2BD=CE+EG=CG為最小,

在.ABC中，設(shè)AC邊上的高為〃，

則SA.C=；XAC/Z=；XA3XC0,

即5h=4x7,

解得：

28

則?ZA^r.h5屜.

JsinZACD==~^==-----=sinZEAG

BC4010

則tan/E4G=7,

過(guò)點(diǎn)G作。軸于點(diǎn)N,

則NG=AG-sinZEAG=y,

即點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為：-g,

7

同理可得，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為：-二,

即點(diǎn)嗯,今，

2

56

由點(diǎn)C、G的坐標(biāo)得，CG=4A+——I=J233,

5

即CE+2BD的最小值為7233.

5.(2023?內(nèi)蒙古?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)＞=-/+次+。與x軸的交

點(diǎn)分別為A和6(1,0)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與，軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)p是直線(xiàn)AC上方拋

物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式;

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)尸作x軸平行線(xiàn)交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)尸作V軸平行線(xiàn)交x軸于點(diǎn)。，求

PE+PD的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo);

【詳解】⑴解：???拋物線(xiàn)。=一/+"+。與x軸交于點(diǎn)8(1,0),與上軸交于點(diǎn)C(0,3)

j-l+Z?+c=0

[c=3

[b=-2

解得a

[c=3

拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x2_2x+3；

(2)解：當(dāng)y=o時(shí)，0=一/一2元+3,

解得玉=-3,%=1，

A(-3,0),

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：^=履+〃(左力0),

—3k+〃=0

把A(-3,0),C(0,3)代入得:

n=3

解得。

[n=3

直線(xiàn)AC的解析式為y=X+3,

設(shè)P(m,-m2-2m+3),

???PE〃x軸，

?二點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-濟(jì)-2m+3，

又丁點(diǎn)E在直線(xiàn)AC上，

—m2—2m+3=x+3,x=—m2—2m,

E(—根之—2m,—m2—2m+3),

?>-PE=-m2—2m—m=-m2-3m，

???P0〃y軸，

**?PD=—m2-2m+3,

PD+PE=—m2-2m+3+^—m2-3mj=-2m2—5m+3=-2^m+—J+—,

,**—2<0,-3<根<0,

549

.?.當(dāng)加=-7時(shí)，PD+PE有最大值，最大值為二，

48

當(dāng)…;時(shí)，y=+j-2x,）3啖，

?e?點(diǎn)P的坐標(biāo)為;

（、

答：PD+F石的最大值為《49，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為-576主3；

8<416）

6.（2023?甘肅武威?中考真題）如圖1,拋物線(xiàn)>=-爐+法與x軸交于點(diǎn)A,與直線(xiàn)丁二一4交

于點(diǎn)3（4,T）,點(diǎn)C（0,T）在丁軸上.點(diǎn)尸從點(diǎn)5出發(fā)，沿線(xiàn)段5。方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)。時(shí)停止.

(1)求拋物線(xiàn)y=-x2+bx的表達(dá)式；

⑶如圖2,點(diǎn)P從點(diǎn)8開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿x軸正方

向勻速運(yùn)