2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：常見的幾種全等模型

常見的幾種全等模型

本節(jié)內(nèi)容主要講解勾股弦圖（“一線三等角”全等模型）、倍角半角模型、對角互補模型等常見的證明全等的輔助

線模型.

模型一“一線三等角”全等模型

場景：如圖，點D,C,E在同一條直線上（同一平面）,/-D=/.ACB=/.E-90。（三等角）,AC=BC.

結(jié)論：△AEC=ACDB（如果把AC=8C換成BD=CE或DC=EA,,結(jié)論也成立）.

連接AB,可以得到△ABC是等腰直角三角形.

應(yīng)用：如下圖，題目中有45。角時，我們先構(gòu)造直角等腰三角形，然后進一步構(gòu)造“一線三等角”直角全等模型

來解決問題.

拓展：如下圖，三個角相等，在同一條直線上，且有一組對應(yīng)邊相等，則圖中的兩個三角形全等，我們都稱之

為“一線三等角”全等模型.

拓展應(yīng)用：如果有等腰三角形，我們可以圍繞頂點作“一線三等角”全等模型.

0

1.4

精選例題

例如圖,正方形ABCD的邊長為a,點E在邊AB上運動（不與點A,B重合）,/DAM=45。,點F在射線AM上,

且4尸=&BE,CF與AD相交于點G,連接EC,EF,EG則下列結(jié)論①NECF=45。;②△AEG的周長為（1+孝）a;③B

E2+DG2=EGV④4EAF的面積的最大值為ga?.其中正確的結(jié)論是________（填寫所有正確結(jié)論的序號）.

O

解析一：由NDAM=45O,AF=VIBE,可圍繞BE構(gòu)造等腰直角三角形，通過全等三角形得到^EFC是等腰直角

三角形，可得到NECF=45。，滿足后面接下來講的“正方形的倍角半角模型"根據(jù)該模型的解答方法不難判定結(jié)論

的正誤.

解析二:由NDAM=45*AF=魚BE,可構(gòu)造“一線三等角”全等模型，得到△AHF是等腰直角三角形，可得到NE

CF=45。，滿足后面接下來講的“正方形的倍角半角模型”，根據(jù)該模型不難判定結(jié)論的正誤.

解法一如答圖1,在BC上截取BH=BE,連接EH.

BE=BH,ZEBH=90°,AEH=V2BE.

VAF=V2BE,AAF=EH.

ZDAM=ZEHB=45°,ZBAD=90°,

???ZFAE=ZEHC=135°.

VBA=BC,BE=BH,

AAE=HC.

AFAE^AEHC(SAS).

???EF=EC,ZAEF=ZECH.

ZECH+ZCEB=90°,

???ZAEF+ZCEB=90°.

???ZFEC=90°,

???NECF=NEFC=45。.故①正確；

如答圖2,延長AD到H,使得DH=BE①!UCBE^ACDH(SAS).

:.ZECB=ZDCH,

???NECH=NBCD=90。，

JNECG=NGCH=45。.

YCG=CG,CE=CH,

???AGCE^AGCH(SAS),

???EG=GH.

GH=DG+DH,DH=BE,

???EG=BE+DG,故③錯誤；

\AAEG的周長=AE+EG+AG=AE+AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,

故②錯誤；

設(shè)BE=x,貝！J.AE=a-xfAF=y[2x,

2

??S=—,(0.—X),X=----/-|-CLX=----久2一以+”一2—a+-1a2.

XrTr22228

I<0,?,?X=時，△AEF的面積的最大值為2故④正確.

zZo

故答案為①④.

解法二如答圖3,作FHLAB交AB的延長線于點H.

???ZDAM=45°,.\ZHAF=45°,

.??△AHF是等腰直角三角形.

AAF=V2HF=V2AH=V2BE,

.*.HF=AH=BE,

.\EH=AB=BC,

.,.△EHF^ACBE(HL).

JEF=EC,ZAEF=ZECB.

???ZECB+ZCEB=90°,

JZAEF+ZCEB=90°,

???ZFEC=90°,

???NECF=NEFC=45。,故①正確；

由此,可得“正方形的倍角半角模型”，根據(jù)該模型可得BE+DG=EG.故③錯誤；

???AAEG的周長=AE+EG+AG=AG+GD+BE+AE=AB+AD=2a.故②錯誤；

設(shè)AH=HF=BE=x,貝！]AE=a-x,

?9“---(a--x---x2-\--ax---(x2-axA--a2--a2}---(x--a^A--a2

?,oMT—\LtA,IA.—A.ICLA.—IA.LtA[Lt(X1—IA,LtI[Lt■

eMr2、)222V44)2\278

1<o,X=?a時，△AEF的面積的最大值為2故④正確.

ZZo

故答案為①④.

精選練習(xí)

1.如圖，將正方形OEFG放在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點E的坐標為（2,3）,則點F的坐標為

2.如圖,D,E,F分別為△ABC邊AC,AB,BC上的點/A=N1=NC,DE=DF.下列結(jié)論中，一定成立的是（）.

A.AE=FCB.AE=DEC.AE+FC=ACD.AD+FC=AB

3.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E在邊AB上,BE=1,NDAM=45。,點F在射線AM上，且.AF=VX過點F

作AD的平行線交BA的延長線于點H,CF與AD相交于點G,連接EC,EG,EF.下列結(jié)論:①4ECF的面積為y；

②AAEG的周長為8；（③EG2=DG2+BE?.其中正確的是（）.

A.①②③B.①③C.①②D.②③

模型二正方形的倍角半角模型

場景:如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊上的動點，點F在在CD邊上./EAF=jzBXD=45。在正

方形ABCD中隱含著AB=AD,也就是倍角的兩邊相等.

作輔助線:如下圖，延長CD至G,使得DG=BE.

結(jié)論:(1)BE+DF=EF;

(2)&BE+^ADF—^AEF>

(3)/AEB=NAEF,NAFD=NAFE,也就是AE平分NFEB,AF平分/EFD.

如下圖，過點A作AHXEF交EF于點H.

結(jié)論：(4)AB=AH]ABE^AAHE,AADF^AAHF;

(5)CBCF=24B.

如下圖.

結(jié)論:(6)AANMs^DNFsZ\BEMsZ\AEFsZ\BNAs2\DAM,(由AO:AH=AO:AB=1:VX可得△ANM和4A

EF的相似比為1:/，圖形見后面)；

(7)SA,?M,V=SpimigMVFE.

如下圖，連接AC.

結(jié)論:((8)△AOMAADF,AAON△ABE.

如下圖，連接EN.

結(jié)論:（（9）aAEN為等腰直角三角形,NAEN=45o,/EAF=45o,AE:AN=l:VI同理，連接FM,.△4FM為等腰直角

三角形，^AFM=45°.

ADADAD

場景:如下圖在等腰直角三角形ABD中,AB=AD,/BAD=9（T,/MAN=45。過點D作PDLBD,并截取PD=BM,

連接NP,AP.

結(jié)論：BM2+DN2=MN2;

思考：⑴延長AE交DC的延長線于點P,延長AF交BC的延長線于點Q,你還能得到什么結(jié)論呢?

⑵如果點E在CB的延長線上，點F在射線DC上，你又能得到什么結(jié)論呢？

精選例題

例如圖，在正方形ABCD中,E是BC邊上的一點，BE=4,EC=8,,將正方形邊AB沿AE折疊到AR延長E

F交DC于G.連接AG,現(xiàn)在有如下四個結(jié)論:①NEAG=45。;②FG=FC;③FC〃AG;④SAGFC=14.其中正確結(jié)論的

個數(shù)是（）.

A.1B.2

C.3D.4

上*懈析

由邊AB沿AE折疊到AF,則.AF1EG,且AE平分NBEF,那么你能想到“正方形的倍角半角模型”中的結(jié)論

嗎?如果滿足“正方形的倍角半角模型”，貝人EG=BE+DG,,其他的結(jié)論就比較容易判斷了.

解易知AD=AB=AF,則］Rt△ADG=RthAFG(HL).

：.GD=GF,ZDAG=ZGAF.

又：NFAE=NEAB,

⑵如圖過點C作CFLOC,證明△ODC之△FEC.

拓展：其他條件不變，ZDCE的一邊交AO的延長線于點D.

2

-sav=\oc.

場景一如圖,ZAOB=2a,ZDCE=180°-2a,OC平分ZAOB.

結(jié)論：(l)CD=CE;(2)OD+OE=2OC-cosa;(3)S四邊形OOCE=SAXD+SACE=OC2cosasina.

場景二：如圖，其他條件不變，ZDCE的一邊交A0的延長線于點D.

結(jié)論:①CD=CE;②OE-OD=2OC?cosa;③S△aE-SAaD=OC2cosasina.

證明的方法同上.

探究：當圻60。時,你能得到什么結(jié)論？如果a=120。呢？探究一下吧!

精選例題

例如圖,/EOF的頂點O是邊長為2的等邊△ABC的重心,/EOF的兩邊與△ABC的邊交于E,F,NEOF=12

0。,則/EOF與AABC的邊所圍成的陰影部分的面積是().A

4漁B坦

25

D.—

34

E.0

BC

解析

AABC是等邊三角形,NB=60。,點0是重心，即點0在/B的角平分線上,NEOF=12(F,/B+/EOF=180。,滿足對

角互補模型.

解如答圖1,連接OBQC,過點O作ONLBC,垂足為點N.

VAABC為等邊三角形,

ZABC=ZACB=60°.

:點0為^ABC的重心，由等邊三角形的性質(zhì)(“三線合一”)可知，點0也是內(nèi)心，

11

???Z-OBC=乙OBA=士乙ABC,乙OCB=-Z.ACB.

22

???ZOBA=ZOBC=ZOCB=30°.

.*.OB=OC.ZBOC=120°.

?.?ON±BC,BC=2,???BN=NC=1.

ON=tanz.OBC-BN=—xl=—.

33

???S°Bc=加.ON=當

ZEOF=ZAOB=120°,

???NEOF--NBOF=NBOC--NBOF,即NEOB=NFOC.

(/-OBE=Z-OCF=30°,

在4EOB和4FOC中，［OB=OC,

、乙EOB=Z-FOC,

：.AEOB^AFOC(ASA).

???SBI=SOBC=

故選c.

另解：如答圖2,此題也可作OG垂直于AB于點G,然后應(yīng)用模型求解，此處略.

精選練習(xí)

1.如圖，在△ABC中CA=CB,NACB=9(T,AB=2,點D為AB的中點.以點D為圓心作圓心角為90。的扇形DEF,

點C恰在弧EF上,則圖中陰影部分的面積為.

B

2.如圖，在等腰直角三角形ABC中,NBAC=90。,一個三角尺的直角頂點與BC邊的中點。重合，且兩條直角邊

分別經(jīng)過點A和點B,將三角尺繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意一個銳角.當三角尺的兩直角邊與AB,AC分別交

于點E,F時，下列結(jié)論中錯誤的是（）.

A.AE+AF=ACB.ZBEO+ZOFC=180°

C.OE+OF=^BCD-$皿*，好=了S3

模型一

精選練習(xí)

1.解如圖過點E作x軸的垂線EH,垂足為點H.過點G作x軸的垂線EM,垂足為點M,連接GE,F0交于

點0'.

:四邊形OEFG是正方形，

/.0G=E0,ZG0M=ZOEH,Z0GM=ZE0H./淪)

GR'J/：

在^OGM與工EOH中，MHx

(AOGM=乙EOH,

OG=EO,

ZGOM=(OEH,

：.△OGM絲△EOH(ASA).

???GM=OH=2,OM=EH=3.

???點G的坐標為(-3,2).

???點。的坐標為(

:點F與點0關(guān)于點0,對稱，

；?點F的坐標為(-1,5).

故答案為(-1,5).

2.C

3.解析:先判斷出NH=90。,進而求出AH=HF=1=BE,進而判斷出AEHF0△CBE(SAS)彳導(dǎo)出EF=EC,ZHEF=Z

BCE,判斷出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出.EC?=17,即可得出①正確；

先判斷出四邊形APFH是矩形，進而判斷出矩形AHFP是正方形，得出AP=PH=AH=1,同理.四邊形ABQP是矩

形狷出PQ=4,BQ=l,FQ=5,CQ=3再判斷出△FPGs△FQC得出白=需求出PG=3/5,再根據(jù)勾股定理求得EG=

FQCQ

?即4AEG的周長為8,判斷出②正確；

2

先求出DG=進而求出OG?+BE=詈,再求出弘2=篝力詈,判斷出③錯誤，即可得出結(jié)論.

解:如圖，在正方形ABCD中,AD〃BC,AB=BC=AD=4,NB=/BAD=90。，

JZHAD=90°.

VHF/7AD,

???ZH=90°.

???乙HAF=90°-Z.DAM=45。，

???ZAFH=ZHAF.

???AF=VX

???AH二HF=1=BE.

???EH=AE+AH=AB-BE+AH=4=BC.

:?△EHF名△CBE(SAS).

???EF=EC,ZHEF=ZBCE.

???乙BCE+乙BEC=90。,

???乙HEF+乙BEC=90°.

???ZFEC=90°.

???△CEF是等腰直角三角形.

在RtACBE中,BE=1,BC=4,

???EC2=BE2+BC2=17.

2

???SEF=^EF-EC=^EC=三故①正確；

如圖，過點F作FQ±BC于點Q,交AD于點P.

AAPF=90°=ZH=ZHAD.

???四邊形APFH是矩形.

VAH=HF,

???矩形AHFP是正方形.

???AP=PF=AH=1.

同理,四邊形ABQP是矩形，

???PQ=AB=4,BQ=AP=1,FQ=FP+PQ=5,CQ=BC-BQ=3.

VAD/7BC,

.,.△FPG^AFQC.

FP_PG

??FQ—CQ'

t1_PG

,,——■

53

??.PG=

5

AG=AP+PG=1

在RtAEAG中，根據(jù)勾股定理彳導(dǎo)

EG=yjAG2+AE2=p

???AAEG的周長為AG+EG+AE=g5+3=8,故②正確;

：AD=4,

17

DG=AD-AG=—.

5

r4「2IDzr2144.169

DG￡+BE"=----F1A=—.

2525

2289,169

???EG2=--W—,

2525

EG2*DG2+BE?,,故③錯誤.

...正確的有①②.

故選C.

模型二

1.解析：設(shè)正方形ABCD的邊長為x,由翻折及已知線段的長，可用含x的式子分別表示出BE,BF及EF的

長；在R3BEF中，由勾股定理得出關(guān)于x的方程，解得x的值，即為DG的長.

解：設(shè)正方形ABCD的邊長為x,由翻折可得

DG=DA=DC=x.

,.*GF=4,EG=6,

AE=EG=6,CF=GF=4.

；.BE=x-6,BF=x-4,EF=6+4=10.如圖，在RtABEF中,由勾股定理得

BE2+BF2=EF2.

(%—6)2+(x-4)2=102.

x2—12%+36+x2—8x+16=100.

x2—lOx-24=0.

：.(x+2)(x-12)=0.

1',久i=-2(舍去)，%2=12.

/.DG=12.

故答案為12.

2.解:由題意可知△ADE0△AFE,.^.AD=AF=AB,/D=NAFE=NAFG=/B=90°.又^.^AG=AG,.,.RtAABG烏

RtAAFG.AZBAG=ZFAG.y；ZFAE=ZDAE,.\ZEAG=ZFAG+ZEAF=^BAD=45。.故①正確；

???DE=EF=久；.EC=DC-DE=|a.設(shè)BG=x，則GC=BC-BG=a-x.,ZAABG^AAFG,；.FG=BG=%..-.

22222

EG=FG+EF=x+(a在RtAEGC中EG=CG+EC,BP(x+|a)=(a-x)+(冢丫,解得x=|a..-.BG

1

=FG=CG=-a.乙GFC=乙FCG.

2

ZAGB=ZAGF,.\NGFC=NAGF....AG〃CF.故②正確；

若E為CD的中點，則DE=EC=[a,由EG=FG+EF=x+[a,在RtAEGC中.EG2=CG2+EC2,BP(x

2=xx

+]a)2=(a-%)+G。)，解得x=1a.EG=FG+EF=%+^a=|a.ASaFc=~~^nx|CG.

6U

CE=+a2.故③錯誤；