人教版數(shù)學(xué)思維之阿拉伯?dāng)?shù)字和數(shù)的十進(jìn)制

阿拉伯?dāng)?shù)字和數(shù)的十進(jìn)制現(xiàn)在各國通用的阿拉伯?dāng)?shù)字本來源于印度，但由于世界上其他國家和地區(qū)大都從阿拉伯地區(qū)學(xué)習(xí)到這些數(shù)字，大家都把它們叫做阿拉伯?dāng)?shù)字了。阿拉伯?dāng)?shù)字只有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個，然而用這十個數(shù)字可以記出無限多的數(shù)，隨同阿拉伯?dāng)?shù)字一起的還有它的記數(shù)法，即用幾個數(shù)字排列成一個數(shù)時，每個數(shù)字所在的位置（也就是數(shù)位）不同，它就有不同的計數(shù)單位，我們在這里只討論十進(jìn)制記數(shù)法，當(dāng)把數(shù)字排成一個數(shù)時，最右邊一個數(shù)字所在的位置叫做個位，從右到左，依次是個位、十位、百位、千位……，例如352這個數(shù)，2在個位，表示2個“一”；5在十位，表示5個“十”，3在百位，表示3個百，并且每10個“一”是1個“十”，10個“十”是1個“百”，10個“百”是1個“千”，……。由數(shù)的十進(jìn)制可以引出許多有用的和有趣的問題。例1：530658這個數(shù)有哪些計數(shù)單位，怎樣把它表示成不同的計數(shù)單位的和？解：530658這個數(shù)十萬位上是5，表示5個“十萬”，萬位上是3，表示3個“萬”，千位上是0，表示一個“千”也沒有，百位上是6，表示6個“百”，十位上是5，表示5個“十”，個位上是8，表示8個“一”。530658=5×100000＋3×10000＋6×100＋5×10＋8×1答：略。例2：一個自然數(shù)各位上的數(shù)字之和是16，而且各位數(shù)字都不相同，符合條件的最小的數(shù)是幾？最大的數(shù)是幾？解：確定一個數(shù)的大小，首先決定于數(shù)位的多少，當(dāng)數(shù)位相同時，從高位到低位依次比較每位上的數(shù)字的大小。要找出符合條件的最小的數(shù)，要使數(shù)位盡量少，各位上的數(shù)字之和是16至少有兩位數(shù)，兩個不同的一位數(shù)的和為16，只有9＋7=16，最小為79。要找出符合條件的最大的數(shù)，要使數(shù)位盡量多，16分成不同的一位數(shù)的和，是16=1＋2＋3＋4＋6，除了這5個數(shù)字外，還可以用0來占一個位，所以符合條件的最大的數(shù)是643210。答：最小的數(shù)是79，最大的數(shù)是643210。例3：一個自然數(shù)各位上的數(shù)字的和是8，而且各位上的數(shù)互不相同，符合條件的自然數(shù)有多少個？解：可以分一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)考慮。一位數(shù)：就只能是數(shù)字8一個。二位數(shù)：不同的兩個數(shù)字和是8的有：8、0，7、1，2、6、3、5四組，共可組成7個二位數(shù)。三位數(shù)：不同的三個數(shù)字和是8的有7、1、0，6、2、0，5、3、0，1、2、5，1、3、4共五組，前三組各可以組成4個三位數(shù)，后二組各可以組成6個三位數(shù)，共可組成3×4＋2×6=24個三位數(shù)。四位數(shù)：不同的四個數(shù)字和是8的有1、2、5、0和1、3、4、0共二組，各可以組成18個四位數(shù)，共可組成36個四位數(shù)。各位數(shù)字不同數(shù)字和是8的不可能組成五位以上的數(shù)，所以符合條件的自然數(shù)共有1＋7＋24＋36=68（個）。答：符合條件的自然數(shù)有68個。例4：在一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字之間插入一個數(shù)字，這個兩位數(shù)字就變成了三位數(shù)。有些兩位數(shù)，在它的兩個數(shù)字中間插入某個數(shù)字后變成的三位數(shù)，恰好是原來的兩位數(shù)的9倍，求出所有這樣的三位數(shù)。解：在兩位數(shù)的兩個數(shù)字中間插入一個數(shù)字使它變成三位數(shù)后，三位數(shù)的個位數(shù)與原來兩位數(shù)的個位數(shù)字相同，就是原來兩位數(shù)的個位上的數(shù)乘9，積的個位上的數(shù)不變，原來的數(shù)個位上只能是0或5，但如果兩位數(shù)個位上是0，十位上的數(shù)乘9，就算得到了一個三位數(shù)，百位上的數(shù)都不會等于原十位數(shù)上的數(shù)，因此，原來個位上只能是5。個位是5的兩位數(shù)有15、25、35、45、55、65、75、85、95這九個，其中只有15、25、35、45這四個數(shù)乘9分別得135、225、315、405符合題意，這四個數(shù)就是符合要求的三位數(shù)。答：符合要求的三位數(shù)有135、225、315、405四個數(shù)。例5：一個三位數(shù)，把這個三位數(shù)的個位數(shù)字去掉，再把所得的兩位數(shù)與原來的三位數(shù)相加，和是755，求原來的三位數(shù)。解：原來的三位數(shù)等于前兩位數(shù)的10倍加上個位數(shù)字，與這個三位數(shù)去掉個位數(shù)字所得的兩位數(shù)相加，和是前兩位數(shù)的11倍加上個位數(shù)字，因此，把和除以11，所得的商是原來三位數(shù)的前兩位數(shù)，余數(shù)是原來三位數(shù)的個位數(shù)字。755÷11=68……7所以原來的三位數(shù)是68×10＋7=687。答：原來的三位數(shù)是687。*例6：用1、2、3、4、5、6、7七個數(shù)組成三個兩位數(shù)和一個一位數(shù)，并且使這四個數(shù)的和等于100，我們要求三個兩位數(shù)中的最大的一個盡可能小，那么，這個最大的兩位數(shù)是多少？解：用1、2、3、4、5、6、7這七個數(shù)組成三個兩位數(shù)和一個一位數(shù)，使這四個數(shù)的和等于100，如果用嘗試的方法拼數(shù)，可以有多種拼法，要找出符合題意的一個兩位數(shù)，要進(jìn)行大量的嘗試和篩選。也可以用另一個方式來想，即三個兩個數(shù)和一個一位數(shù)求和時，個位上有四個數(shù)，十位上有三個數(shù)相加，百位上的1是十位上的數(shù)相加進(jìn)上去的，在四個數(shù)相加時，個位上和必須是10或20，十位上必須是10，個位上四個數(shù)的和是10只能是1＋2＋3＋4，但其余三個數(shù)5、6、7的和超過10，四個數(shù)的和超過100，因此，個位上四個數(shù)的和只能是20，也就是說，個位上可以是2、5、6、7或3、4、6、7的和，當(dāng)個位上是2、5、6、7、時，十位上是1、3、4的和，當(dāng)個位上是3、4、6、7時，十位上是1、2、5的和，這兩種拼法，組成的四個數(shù)的和都是100，為了使三個兩位數(shù)中的最大的一個盡可能小，應(yīng)選用前一種拼法，這樣最大的兩位數(shù)最小是42。答：最大的兩位數(shù)最小是42。應(yīng)用練習(xí)一1．一個自然數(shù)各位上的數(shù)字的和是7，而且各位上的數(shù)都不相同，符合條件的自然數(shù)有多少個？2．把從1~999這999個自然數(shù)按照從小到大的順序排成一排，組成一個多位數(shù)：123456789101112…998999，這個數(shù)共有多少位？從左到右第2000位數(shù)是幾？3．某個四位數(shù)乘9得到一個新四位數(shù)，新四位數(shù)與原四位數(shù)的各位數(shù)字的排列順序正好相反，原來的四位數(shù)是幾？4．一個四位數(shù)減去它的各位數(shù)字的和得13□4，□中的數(shù)字是幾？5．有一個三位數(shù)，在這個三位數(shù)的前面寫上數(shù)字3得到一個四位數(shù)，在這個三位數(shù)的后面寫上數(shù)字3也得到一個四位數(shù)，這兩個四位數(shù)相差1575，求原來的三位數(shù)。6．一個五位數(shù)是這個五位數(shù)去掉萬位上的數(shù)字后得到的四位數(shù)的9倍，那么滿足條件的五位數(shù)有幾個？*7．把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換得到一個新數(shù)，它與原來的數(shù)相加，和恰好是某個自然數(shù)的平方，這個和是幾？*8．如果用三個不同的數(shù)字可以組成六個不同的三位數(shù)，其中五個數(shù)的和是2558，那么還有一個數(shù)是幾？課后練習(xí)一1．一個三位數(shù)，十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字大2，比個位上的數(shù)字小1，把百位與個位上的數(shù)字交換位置后得到一個新數(shù)，新數(shù)與原數(shù)的和為1231，求原數(shù)。2．由四個不同的非0數(shù)字組成的所有的四位數(shù)中，數(shù)字和等于12的共有多少個？3．一個兩位數(shù)乘7的