2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語1.2.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊

PAGE1.2.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例理解全稱量詞與存在量詞的含義,熟識(shí)常見的全稱量詞和存在量詞,并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題.2.依據(jù)含有一個(gè)量詞的命題與它們的否定在形式上的改變規(guī)律,正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定,并推斷所得命題的真假.自主預(yù)習(xí)問題1:你能說出這兩個(gè)命題之間的關(guān)系嗎?它們的真假性如何?命題s:3的相反數(shù)是-3.命題t:3的相反數(shù)不是-3.總結(jié):一般地,對命題p加以,就得到一個(gè)新的命題,記作“”,讀作“”或“”.假如一個(gè)命題是真命題,那么這個(gè)命題的否定就是一個(gè);反之亦然.

問題2:如何對全稱量詞命題與存在量詞命題進(jìn)行否定?若記s:“存在整數(shù)是自然數(shù)”,這個(gè)命題的否定是s:;這里的命題s事實(shí)上是一個(gè),而且可以用符號(hào)表示為s:.

而命題s可以表述為“”,因此s是一個(gè),可以用符號(hào)表示為.

明顯,這里的s是一個(gè)命題,而s是一個(gè)命題.

一般地,存在量詞命題“?x∈M,p(x)”的否定是全稱量詞命題“”.

若記s:“每一個(gè)有理數(shù)都是實(shí)數(shù)”,這個(gè)命題的否定是:,這里的命題s事實(shí)上是一個(gè),而且可以用符號(hào)表示為s:.

而命題s可以表述為“”,因此s是一個(gè),可以用符號(hào)表示為.

明顯,這里的s是一個(gè)命題,而s是一個(gè)命題.

一般地,全稱量詞命題“?x∈M,q(x)”的否定是存在量詞命題.

課堂探究例1寫出下列命題的否定,并推斷所得命題的真假:(1)p:?x∈R,x2≥-1;(2)q:?x∈{1,2,3,4,5},1x<x(3)s:至少有一個(gè)直角三角形不是等腰三角形.例2寫出下列命題的否定,并推斷所得命題的真假:(1)p:?a∈R,一次函數(shù)y=x+a的圖像經(jīng)過原點(diǎn);(2)q:?x∈(-3,+∞),x2>9.變式訓(xùn)練:q:?x∈[-2,3),x2<9,寫出q,并推斷q的真假.評價(jià)反饋寫出下列命題的否定,并推斷真假:(1)p:?x∈R,x2-x+14≥0(2)q:全部正方形都是矩形;(3)r:?x∈R,x2+2x+2≤0;(4)s:至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2-2=0.核心素養(yǎng)專練1.下列命題為真命題的是()A.橫坐標(biāo)為0的點(diǎn)在x軸上B.點(diǎn)M(-3,-5)到x軸的距離為-5C.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)A(1,-4)和點(diǎn)B(-4,1)表示同一個(gè)點(diǎn)D.若a=0,則點(diǎn)P(2,a)在x軸上2.(多選題)下列命題正確的是()A.存在x∈R,使x3<1B.存在x∈Q,使x2=2C.隨意x∈N,有x3>x2D.隨意x∈R,有x2+1>03.命題“?x>0,x2>0”的否定是()A.?x>0,x2≤0 B.?x>0,x2≤0C.?x≤0,x2≤0 D.?x≤0,x2≤04.若命題p:?x∈R,x2+x+1<0,則p為()A.?x∈R,x2+x+1<0B.?x∈R,x2+x+1>0C.?x∈R,x2+x+1≥0D.?x∈R,x2+x+1≥05.(多選題)寫出下列命題的否定,正確的是()A.p:能被3整除的整數(shù)是奇數(shù);p:存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù)B.p:每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓;p:存在一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓C.p:有的三角形為正三角形;p:全部的三角形都不是正三角形D.p:存在x∈R,x2+2x+2≤0;p:當(dāng)x2+2x+2≤0時(shí),x∈R6.命題“存在一個(gè)無理數(shù),它的平方是有理數(shù)”的否定是()A.隨意一個(gè)有理數(shù),它的平方是有理數(shù)B.隨意一個(gè)無理數(shù),它的平方不是有理數(shù)C.存在一個(gè)有理數(shù),它的平方是有理數(shù)D.存在一個(gè)無理數(shù),它的平方不是無理數(shù)7.命題“?x∈R,x2+2x+1=0”的否定是命題.(選填“真”“假”)

8.若“?x∈R,x2+2x-a<0”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

9.命題“?x∈R,x2-2ax+1>0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

10.用“?”“?”寫出下列命題的否定,并推斷所得命題的真假.(1)p:二次函數(shù)的圖像是拋物線;(2)p:直角坐標(biāo)系中,直線是一次函數(shù)的圖像;(3)p:?a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解.參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究例1(1)p:?x∈R,x2<-1,假命題;(2)q:?x∈{1,2,3,4,5},1x≥x,真命題(3)s:全部的直角三角形都是等腰三角形,假命題.例2(1)p:?a∈R,一次函數(shù)y=x+a的圖像不經(jīng)過原點(diǎn),假命題;(2)q:?x∈(-3,+∞),x2≤9,真命題.變式訓(xùn)練:q:?x∈[-2,3),x2≥9,假命題.核心素養(yǎng)專練1.D2.AD3.B4.C5.ABC6.B7.假8.a>-19.(-∞,-1]∪[1,+∞)10.(1)p:?x∈{二次函數(shù)},x的圖像不是拋物線,假命題;(2)p:在直角坐標(biāo)系中,?x∈{直線},x不是一次函數(shù)的圖像,真命題;(3)p:?a,b∈R,方程ax+b=0無解或至少有兩解,真命題.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解命題的否定的含義,會(huì)寫給定命題的否定并推斷命題的真假;2.正確駕馭全稱量詞命題與存在量詞命題的否定;3.明確全稱命題的否定是存在命題,存在命題的否定是全稱命題,會(huì)推斷其真假.自主預(yù)習(xí)一、命題的否定1.命題的否定:一般地,對命題p加以否定,就得到一個(gè)新的命題,記作,讀作或.

2.假如一個(gè)命題是真命題,那么這個(gè)命題的否定就應(yīng)當(dāng)是.

3.假如一個(gè)命題是假命題,那么這個(gè)命題的否定就應(yīng)當(dāng)是.

二、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定1.一般地,存在量詞命題“?x∈M,p(x)”的否定是.

2.一般地,全稱量詞命題“?x∈M,q(x)”的否定是.

課堂探究問題1:你能說出命題s:“3的相反數(shù)是-3”和t:“3的相反數(shù)不是-3”這兩個(gè)命題之間的關(guān)系嗎?它們的真假性如何?例如,9=3是一個(gè)真命題,那么9≠3就是一個(gè)命題.

問題2:命題p與p的真假有什么關(guān)系?命題p命題p歸納小結(jié)真假完成教材29頁練習(xí)A第一題.問題3:請同學(xué)們仔細(xì)完成下面的表格:(1)命題ss自然語言存在整數(shù)是自然數(shù)符號(hào)語言命題形式真假推斷(2)命題rr自然語言每一個(gè)實(shí)數(shù)的平方都不小于0符號(hào)語言命題形式真假推斷(3)命題qq自然語言每一個(gè)有理數(shù)都是實(shí)數(shù)符號(hào)語言命題形式真假推斷(4)用A表示全部素?cái)?shù)組成的集合,用B表示全部奇數(shù)組成的集合.命題rr自然語言存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)符號(hào)語言命題形式真假推斷歸納小結(jié):全稱量詞命題?x∈M,p(x)的否定:.

存在量詞命題?x∈M,p(x)的否定:.

典型例題例1寫出下列命題的否定,并推斷所得命題的真假:(1)p:?x∈R,x2≥-1;(2)q:?x∈{1,2,3,4,5},1x<x(3)s:至少有一個(gè)直角三角形不是等腰三角形.例2寫出下列命題的否定,并推斷所得命題的真假:(1)p:?a∈R,一次函數(shù)y=x+a的圖像經(jīng)過原點(diǎn);(2)q;?x∈(-3,+∞),x2>9.變式訓(xùn)練1.寫出下列命題的否定,并推斷所得命題的真假:(1)一切分?jǐn)?shù)都是有理數(shù);(2)有些三角形是銳角三角形.2.已知q:?x∈[-2,3),x2<9,寫出q,并推斷q的真假.課堂練習(xí)1.寫出下列命題的否定,并推斷所得命題的真假:(1)二次函數(shù)y=(x-1)2-1的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-1);(2)正數(shù)的立方根都是正數(shù);(3)存在一個(gè)最大的內(nèi)角小于60°的三角形;(4)對隨意實(shí)數(shù)t,點(diǎn)(t,t)都在一次函數(shù)y=x的圖像上.2.寫出下列命題的否定,并推斷所得命題的真假:(1)?x∈R,|x|+x=0;(2)?x∈R,|x|+1-x≠0.3.已知區(qū)間M=[a,a+1],且“?x∈M,x+1>0”是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.課堂小結(jié)本節(jié)課你學(xué)到了什么?課后作業(yè)教材35頁習(xí)題1-2A第2,3,5題;教材39頁第10題.預(yù)習(xí)1.2.3充分條件、必要條件.核心素養(yǎng)專練1.(2024·全國Ⅰ)設(shè)命題p:?n∈N,n2>2n,則p為()A.?n∈N,n2>2n B.?n∈N,n2≤2nC.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n2.(2024·浙江)命題“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是()A.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2B.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2C.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2D.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2參考答案自主預(yù)習(xí)一、1.p非pp的否定2.假命題3.真命題二、1.?x∈M,p(x)2.?x∈M,q(x)課堂探究問題1:假問題2:命題p命題p歸納小結(jié)真假p與p的真假性相反假真問題3:(1)命題ss自然語言存在整數(shù)是自然數(shù)每一個(gè)整數(shù)都不是自然數(shù)符號(hào)語言s:?x∈Z,x∈Ns:?x∈Z,x?N命題形式存在量詞命題全稱量詞命題真假推斷真命題假命題(2)命題rr自然語言存在實(shí)數(shù)的平方小于0每一個(gè)實(shí)數(shù)的平方都不小于0符號(hào)語言r:?x∈R,x2<0r:?x∈R,x2≥0命題形式存在量詞命題全稱量詞命題真假推斷假命題真命題(3)命題qq自然語言每一個(gè)有理數(shù)都是實(shí)數(shù)存在一個(gè)有理數(shù)不是實(shí)數(shù)符號(hào)語言?x∈Q,x∈R?x∈Q,x?R命題形式全稱量詞命題存在量詞命題真假推斷真命題假命題(4)命題rr自然語言每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)符號(hào)語言?x∈A,x∈B?x∈A,x?B命題形式全稱量詞命題存在量詞命題真假推斷假命題真命題歸納小結(jié):?x∈M,p(x);?x∈M,p(x)典型例題例1解:(1)p:?x∈R,x2<-1;假命題.(2)q:?x∈{1,2,3,4,5},1x≥x;真命題(3)s:全部直角三角形都是等腰三角形;假命題.例2解:(1)p:?a∈R,一次函數(shù)y=x+a的圖像不經(jīng)過原點(diǎn),假命題.(2)q:?x∈(-3,+∞),x2≤9,真命題.變式訓(xùn)練1.解:(1)有的分?jǐn)?shù)不是有理數(shù),真命題.(2)全部三角形都