2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)4.2.1.2等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用含解析新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

PAGE四等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.(2024·揚(yáng)州高二檢測(cè))在等差數(shù)列{an}中,若a3=-6,a7=a5+4,則a1等于()A.-10 B.-2 C.2 【解析】選A.因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,a7=a5+4,所以a5+2d=a5+4(d是公差),解得d=2,因?yàn)閍3=a1+2d=-6,即a1+4=-6,解得a1=-10.2.(多選題)若{an}是等差數(shù)列,則下列數(shù)列為等差數(shù)列的有 ()A.{an+an+1} B.{QUOTE}C.{an+1-an} D.{2an}【解析】選ACD.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.對(duì)于A,(an+an+1)-(an-1+an)=(an-an-1)+(an+1-an)=2d(n≥2),所以{an+an+1}是以2d為公差的等差數(shù)列;對(duì)于B,QUOTE-QUOTE=(an+1-an)(an+an+1)=d(an+an+1)≠常數(shù),所以{QUOTE}不是等差數(shù)列;對(duì)于C,因?yàn)閍n+1-an=d,所以{an+1-an}為常數(shù)列;所以{an+1-an}為等差數(shù)列;對(duì)于D,因?yàn)?an+1-2an=2d,所以{2an}為等差數(shù)列.3.《九章算術(shù)》一書(shū)中有如下問(wèn)題:今有女子善織,日增等尺,七日織28尺,其次日,第五日,第八日所織之和為15尺,則第十五日所織尺數(shù)為 ()A.13 B.14 C.15 【解析】選C.由題意可知,每日所織數(shù)量構(gòu)成等差數(shù)列{an},且a2+a5+a8=15,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=28,設(shè)公差為d,由a2+a5+a8=15,得3a5=15,所以a5=5,由a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=28,得a4=4,則d=a5-a4=1,所以a15=a5+10d=5+10×1=15.4.已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,則m的值為 ()A.12 B.8 C.6 【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì),得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,所以a8=8,又d≠0,所以m=8.二、填空題(每小題5分,共10分)5.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若a2+a6+a10=QUOTE,則tan(a3+a9)的值為_(kāi)_______.

【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列,a2+a6+a10=QUOTE,所以a2+a6+a10=3a6=QUOTE,解得a6=QUOTE,所以a3+a9=2a6=QUOTE,所以tan(a3+a9)=tanQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.(2024·杭州高二檢測(cè))已知各項(xiàng)都不為0的等差數(shù)列{an}滿意a2-2QUOTE+a10=0,則a6的值為_(kāi)_______.

【解析】因?yàn)楦黜?xiàng)都不為0的等差數(shù)列{an}滿意a2-2QUOTE+a10=0,即2a6-2QUOTE=0,則a6=1.答案:1三、解答題(每小題10分,共20分)7.成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26,其次個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)之積為40,求這四個(gè)數(shù).【解析】設(shè)四個(gè)數(shù)分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d,則QUOTE由①,得a=QUOTE.代入②,得d=±QUOTE.所以四個(gè)數(shù)為2,5,8,11或11,8,5,2.8.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且公差為d.(1)若a15=8,a60=20.求a65的值;(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差【解析】(1)等差數(shù)列{an}中,a15=8,a60=20,QUOTE解得d=QUOTE,a65=a60+5d=20+QUOTE=QUOTE.(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且公差為d且a2+a3+a4+a5=34,a2a5解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.a5=a2+3d,即13=4+3d或4=13+3d,解得d=3或d=-3.(15分鐘·30分)1.(5分)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1-a9+a17=7,則a3+a15= ()A.7 B.14 C.21 【解析】選B.因?yàn)閍1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7,所以a3+a15=2a9=2×7=14.2.(5分)若a,b,c成等差數(shù)列,則二次函數(shù)y=ax2-2bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ()A.0 B.1 C.2 D.1或【解析】選D.因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以2b=a+c,所以Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.所以二次函數(shù)y=ax2-2bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1或2.【加練·固】等差數(shù)列{an}中,a2+a5+a8=9,那么方程x2+(a4+a6)x+10=0的根的狀況 ()A.沒(méi)有實(shí)根 B.兩個(gè)相等實(shí)根C.兩個(gè)不等實(shí)根 D.無(wú)法推斷【解析】選A.由a2+a5+a8=9得a5=3,所以a4+a6=6,方程轉(zhuǎn)化為x2+6x+10=0.因?yàn)棣?lt;0,所以方程沒(méi)有實(shí)根.3.(5分)在等差數(shù)列{an}中,a5+a6=4,則log2(QUOTE·QUOTE·…·QUOTE)=________.

【解析】在等差數(shù)列{an}中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,則log2(QUOTE·QUOTE·…·QUOTE)=log2QUOTE=a1+a2+…+a10=20.答案:204.(5分)若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為9,平方和為59,則這三個(gè)數(shù)的積為_(kāi)_______.

【解析】設(shè)這三個(gè)數(shù)為a-d,a,a+d,則QUOTE解得a=3,d=4或a=3,d=-4.所以這三個(gè)數(shù)為-1,3,7或7,3,-1.所以這三個(gè)數(shù)的積為-21.答案:-215.(10分)已知數(shù)列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列;a10,a11,…,a20是公差為d的等差數(shù)列;a20,a21,…,a30是公差為d2的等差數(shù)列(d≠0).(1)若a20=30,求公差d;(2)試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式,并求a30的取值范圍.【解析】(1)a10=1+9=10,a20=10+10d=30,所以d=2.(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),a30=10QUOTE,當(dāng)d∈(-∞,0)∪(0,+∞)時(shí),a30∈QUOTE.1.設(shè)公差為-2的等差數(shù)列{an},假如a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等于 ()A.-182 B.-78 C.-148 【解析】選D.a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)=(a1+a4+…+a97)+2d×33=50+2×(-2)×33=-82.【加練·固】若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=5,am=3,則am+2等于 ()A.13B.3-QUOTEC.3-QUOTE D.5-QUOTE【解析】選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍1=5,am=3,所以d=QUOTE=QUOTE.所以am+2=am+2d=3+QUOTE=3-QUOTE.2.已知無(wú)窮等差數(shù)列{an},首項(xiàng)a1=3,公差d=-5,依次取出項(xiàng)的序號(hào)被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列{bn}.(1)求b1和b2;(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(3)數(shù)列{bn}中的第110項(xiàng)是數(shù)列{an}中的第幾項(xiàng)?【解析】(1)由題意,等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3-5(n-1)=8-5n,設(shè)數(shù)列{bn}的第n項(xiàng)是數(shù)列{an}的第m項(xiàng),則需滿意m=4n-1,n∈N*.所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5×7=-27.(2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,所以數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列,且首項(xiàng)b1=-7,公差d'=-20,所以bn=b1+(n-1)d'=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.(3)因?yàn)閙=4n-1,n∈N*,所以當(dāng)n=110時(shí),m=4×110-1=439,所以數(shù)列{bn}中的第110項(xiàng)是數(shù)列{an}中的第439項(xiàng).【加練·固】已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn},且{an}為2,5,8,…,{bn}為1,5,9,…,它們的項(xiàng)數(shù)均為40項(xiàng),則它們有多少個(gè)彼此具有相同數(shù)值的項(xiàng)?【解析】由已知兩等差數(shù)列的前3項(xiàng),簡(jiǎn)單求得它們的通項(xiàng)公式分別為:an=3n-1,bm