【數(shù)學(xué)】?jī)蓷l直線垂直教案 2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

教學(xué)設(shè)計(jì)課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)七年級(jí)學(xué)期春季課題7.1.2兩條直線垂直編寫教師工作單位指導(dǎo)專家工作單位教學(xué)目標(biāo)1．理解垂直、垂線、垂線段、點(diǎn)到直線的距離的概念，掌握互相垂直的兩條直線的性質(zhì)，培養(yǎng)抽象能力和幾何直觀．2．會(huì)過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線，會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離，能根據(jù)“垂線段最短”解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．3．在探索垂線的性質(zhì)的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)．教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)垂直的概念與性質(zhì)．教學(xué)難點(diǎn)對(duì)基本事實(shí)“在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”的理解；應(yīng)用“垂線段最短”解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)新課導(dǎo)入上節(jié)課我們講了兩條直線相交的一般情形，借助直線相交所成的角來(lái)研究相交線．這節(jié)課我們學(xué)習(xí)兩條直線相交的特殊情形——垂直．新知探究師生活動(dòng)：教師展示相交線的模型，學(xué)生操作轉(zhuǎn)動(dòng)木條，觀察夾角的變化，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的特殊情形——當(dāng)∠α是直角時(shí)，每個(gè)角都是直角，四個(gè)角都相等．追問(wèn)：為什么當(dāng)∠α是直角時(shí)，另外三個(gè)角也是直角？師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師明確：根據(jù)上節(jié)課學(xué)習(xí)的兩條直線相交所成的角的關(guān)系，由∠α＝90°推導(dǎo)得到另外三個(gè)角也是90°．由此抽象垂直的概念：一般地，當(dāng)兩條直線a，b相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，我們說(shuō)a與b互相垂直，記作“a⊥b”．兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫作垂足．如下圖，AB⊥CD，垂足為O．這一概念意味著，如果直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOD＝90°，那么AB⊥CD．這個(gè)推理過(guò)程用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：因?yàn)椤螦OD＝90°，所以AB⊥CD．反過(guò)來(lái)，如果AB⊥CD，那么∠AOD＝90°．這個(gè)推理過(guò)程用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：因?yàn)锳B⊥CD，所以∠AOD＝90°．設(shè)計(jì)意圖：以兩條直線相交的特殊情形（形成的四個(gè)角相等）引入垂直的定義，并明確文字、圖形、符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)．問(wèn)題2：用三角尺或量角器經(jīng)過(guò)一點(diǎn)畫已知直線l的垂線，這個(gè)點(diǎn)和這條直線有幾種位置關(guān)系？師生活動(dòng)：師生共同回顧點(diǎn)與直線的兩種位置關(guān)系：點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線外．追問(wèn)1：經(jīng)過(guò)直線l上一點(diǎn)A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？師生活動(dòng)：學(xué)生按要求畫垂線，教師指導(dǎo)．追問(wèn)2：經(jīng)過(guò)直線l外一點(diǎn)B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？師生活動(dòng)：學(xué)生按要求畫垂線，教師指導(dǎo)．追問(wèn)3：根據(jù)以上畫垂線的過(guò)程，你有什么發(fā)現(xiàn)？師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)（在已知直線上或直線外），能畫出已知直線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線．由此得到關(guān)于垂線的基本事實(shí)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)踐操作，探究互相垂直的兩條直線的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)基本事實(shí)，并概括出來(lái)．問(wèn)題3：如圖，在灌溉時(shí)，要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖渠能使渠道最短？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．把河流抽象成一條直線l，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)．從這一實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題：在直線l上找一點(diǎn)Q，使線段PQ長(zhǎng)度最短．教師演示：在直線l上從左至右拖動(dòng)點(diǎn)Q，改變點(diǎn)Q的位置．追問(wèn)1：觀察線段PQ的長(zhǎng)度，它是怎么變化的？師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)Q在直線l上從左至右移動(dòng)時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度先變短，后變長(zhǎng)．那么一定存在某個(gè)位置，使線段PQ長(zhǎng)度最短．教師演示：過(guò)點(diǎn)P畫PO⊥l，垂足為O，我們稱線段PO為點(diǎn)P到直線l的垂線段．A是直線l上除點(diǎn)O外一點(diǎn)，連接PA．追問(wèn)2：在直線l上拖動(dòng)點(diǎn)A，改變點(diǎn)A的位置，測(cè)量并比較線段PO與PA的長(zhǎng)度．你能得到什么結(jié)論？師生活動(dòng)：學(xué)生思考，發(fā)現(xiàn)：線段PO的長(zhǎng)度小于線段PA的長(zhǎng)度，也就是當(dāng)點(diǎn)Q位于垂足O處時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度最短．學(xué)生在教師引導(dǎo)下，歸納得出互相垂直的兩條直線的另一個(gè)性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫作點(diǎn)到直線的距離．追問(wèn)3：現(xiàn)在你知道如何挖渠能使渠道最短了嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生回答：從農(nóng)田P處挖一條垂直于河道的水渠即可．設(shè)計(jì)意圖：從生活實(shí)例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生操作探究發(fā)現(xiàn)“垂線段最短”．例題精講例如圖，過(guò)點(diǎn)P畫出射線AB或線段AB的垂線．（1）（2）（3）師生活動(dòng)：教師指出：畫一條射線或線段的垂線，就是畫它們所在直線的垂線．師生共同分析并完成例題．解：如圖所示：（1）（2）（3）追問(wèn)：（3）中線段不夠長(zhǎng)，怎么辦？師生活動(dòng)：學(xué)生回答：先延長(zhǎng)線段AB，再畫垂線．設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)基本技能“過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線”．課堂小結(jié)師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，請(qǐng)學(xué)生思考并回答下面問(wèn)題：（1）什么叫“垂直”？什么是“垂線”？什么是“垂線段”？（2）互相垂直