【數(shù)學(xué)】實數(shù)及其簡單運算（第1課時）教學(xué)設(shè)計+2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級下冊

教學(xué)設(shè)計課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級七年級學(xué)期春季課題8.3實數(shù)及其簡單運算（第1課時）編寫教師工作單位指導(dǎo)專家工作單位教學(xué)目標(biāo)1．了解無理數(shù)和實數(shù)的概念．2．會按照一定的標(biāo)準(zhǔn)對實數(shù)進(jìn)行分類．3．知道實數(shù)與數(shù)軸上的點具有一一對應(yīng)關(guān)系，初步體會“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點1．了解無理數(shù)、實數(shù)的概念，會按照一定標(biāo)準(zhǔn)對實數(shù)進(jìn)行分類．2．知道實數(shù)與數(shù)軸上的點具有一一對應(yīng)關(guān)系．教學(xué)難點了解無理數(shù)的概念．教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動新課導(dǎo)入問題1：我們進(jìn)入七年級后引入一類新的數(shù)——負(fù)數(shù)，使數(shù)的范圍擴充到有理數(shù)．本章我們認(rèn)識了像，這樣的無限不循環(huán)小數(shù)，它們是有理數(shù)嗎？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧有理數(shù)的概念，通過對比做出判斷：像，這樣的無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)，因為其既不是有限小數(shù)，又不是無限循環(huán)小數(shù)．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)無限不循環(huán)小數(shù)是有別于我們已經(jīng)認(rèn)識的有理數(shù)之外一種新數(shù)，對比七年級第一學(xué)期第一章所學(xué)，意識到需要對數(shù)的范圍進(jìn)行一次新的擴充，從而將這種新的數(shù)涵蓋進(jìn)來．新知探究探究：把下列有理數(shù)寫成小數(shù)的形式，你發(fā)現(xiàn)了什么？4，，－，，，．師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生將上面的有理數(shù)寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式，即4＝4.0，＝2.5，－＝－0.6，＝6.75，＝，＝．追問：任意寫一個分?jǐn)?shù)，是否都能寫成有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)的形式？請舉例說明．師生活動：學(xué)生舉例，可能會出現(xiàn)循環(huán)節(jié)是多位的循環(huán)小數(shù)，通過引導(dǎo)進(jìn)一步加強學(xué)生的認(rèn)知．最后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，得到結(jié)論：因為可以把整數(shù)看成小數(shù)點后是0的小數(shù)，任何一個有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式；反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)．設(shè)計意圖：通過舉例探究，幫助學(xué)生體會有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的形式，發(fā)展學(xué)生的推理能力、抽象能力．問題2：根據(jù)你的已有經(jīng)驗，你認(rèn)為除了以上兩種小數(shù)之外，是否還存在其他類型的小數(shù)？如果有，它是什么類型的？師生活動：通過前兩節(jié)的學(xué)習(xí)，并對數(shù)進(jìn)行歸納辨析，師生共同發(fā)現(xiàn)，在與有理數(shù)對照后，可以歸納得出這樣的結(jié)論：之前學(xué)過的一些數(shù)的平方根和立方根都是無限不循環(huán)小數(shù)，它們不同于有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，是一類不同于有理數(shù)的數(shù)．由此引出這類新數(shù)的概念．無理數(shù)的概念：無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù)．需要特別指出的是π＝3.14159265…也是無理數(shù)．追問1：如果無限不循環(huán)小數(shù)也是一類在現(xiàn)實世界中客觀存在的量的反映，那么它是否也能像有理數(shù)一樣進(jìn)行分類？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧有理數(shù)的分類方法，通過討論，發(fā)現(xiàn)無理數(shù)也可以有正負(fù)之分，例如：，，π＝3.14159265……是正無理數(shù)，－，－，－π是負(fù)無理數(shù)．設(shè)計意圖：通過回顧有理數(shù)的概念及分類法，幫助學(xué)生認(rèn)識無限不循環(huán)小數(shù)是不同于有理數(shù)的數(shù)，從而引出無理數(shù)的概念，并借助追問引出無理數(shù)的分類問題，為之后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．追問2：在有理數(shù)分類的基礎(chǔ)上，能否把無理數(shù)的分類也納入其中，得到一個包含更多不同類型數(shù)的概念及分類？師生活動：通過觀察，引導(dǎo)學(xué)生得到實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)．采用恰當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)對實數(shù)進(jìn)行分類．追問3：除了以上的分類方法，是否存在其他標(biāo)準(zhǔn)下的分類方法？師生活動：學(xué)生通過小組討論，考慮非0有理數(shù)和無理數(shù)都有正負(fù)之分．類比有理數(shù)的分類方法，還可以通過和0比大小的方式給出實數(shù)的另一種分類方式．在此過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識分類的基本原則：按照某個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，不重不漏．設(shè)計意圖：通過學(xué)生的討論和交流，加深對無理數(shù)和實數(shù)的理解．同時，讓學(xué)生明確實數(shù)的分類可以有不同的方法，初步形成對實數(shù)整體性的認(rèn)識．在此過程中，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和抽象能力．例題精講例1下列實數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？，－3，，，，，3.14159，－π，－7.5，0，．師生活動：學(xué)生根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的概念進(jìn)行判斷．解：有理數(shù)：－3，，，，，3.14159，－7.5，0．無理數(shù)：，－π，．設(shè)計意圖：通過對相關(guān)概念的辨析，幫助學(xué)生明確有關(guān)概念，發(fā)展學(xué)生的推理能力．新知探究思考：以單位長度為直徑畫一個圓，它的周長等于π．從原點開始，將這個圓沿著數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點由原點O到達(dá)點O'，點O'對應(yīng)的數(shù)是多少？師生活動：教師使用實物進(jìn)行實際操作，指出無理數(shù)π可以用數(shù)軸上的點表示出來，從而說明像π這樣的無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示．設(shè)計意圖：通過實際演示，讓學(xué)生知道無理數(shù)π可以在數(shù)軸上用點表示，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與抽象能力．問題3：我們知道，每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，那么無理數(shù)是否也能用數(shù)軸上的點表示？比如怎樣在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點？師生活動：學(xué)生進(jìn)行小組討論，借助下圖發(fā)現(xiàn)小正方形的對角線長是，以此為基礎(chǔ)利用手邊的工具在數(shù)軸上從原點出發(fā)畫出表示無理數(shù)的點A．設(shè)計意圖：通過小組討論和具體操作，讓學(xué)生知道像這樣的無理數(shù)可以表示在數(shù)軸上，也是數(shù)軸上的一個點．讓學(xué)生初步體會“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展幾何直觀、推理能力和抽象能力．例題精講例2判斷題．（1）無限小數(shù)都是無理數(shù)；（2）無理數(shù)都是無限小數(shù)；（3）用根號表示的數(shù)都是無理數(shù)；（4）所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，反過來，數(shù)軸上的所有點都表示有理數(shù)；（5）所有實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，反過來，數(shù)軸上的所有點都表示實數(shù)．師生活動：學(xué)生根據(jù)有關(guān)概念獨立進(jìn)行判斷，并說明理由．解：（1）錯誤，無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)，其中無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；（2）正確，無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，所以都是無限小數(shù)；（3）錯誤，部分用根號表示的數(shù)是有理數(shù)，比如例1中的＝4；（4）錯誤，數(shù)軸上有些點表示的是無理數(shù)，所以不能反過來認(rèn)為數(shù)軸上的所有點都表示有理數(shù)；（5）正確，所有實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，反過來，數(shù)軸上的所有點都表示實數(shù)，即實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)．設(shè)計意圖：對有關(guān)概念進(jìn)行辨析，幫助學(xué)生明確有關(guān)概念，發(fā)展學(xué)生的推理能力．拓展提升例3已知數(shù)0.101001000100001…，它的特點是：從左向右看，相鄰的兩個1之間依次多一個0．這個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)？為什么？師生活動：引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)的構(gòu)成特征，獨立思考，依據(jù)無理數(shù)的概念判斷這個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)．解：觀察這個數(shù)的小數(shù)部分，發(fā)現(xiàn)每兩個1之間的0的個數(shù)一直在增加：1個0，2個0，3個0，4個0，依次類推．這意味著這個數(shù)的小數(shù)部分每兩個1之間的0的個數(shù)一直在增加，沒有形成固定的循環(huán)模式，是一個無限不循環(huán)小數(shù)，即這個數(shù)是一個無理數(shù)．設(shè)計意圖：通過實例，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和抽象能力．課堂練習(xí)1．在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根與立方根中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？師生活動：學(xué)生根據(jù)要求計算，并判斷每個數(shù)是否為無理數(shù)．設(shè)計意圖：通過實例，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、推理能力和抽象能力．2．把下列實數(shù)表示在數(shù)軸上，并比較它們的大?。ㄓ谩埃肌边B接）：－2，，，－π．師生活動：學(xué)生在數(shù)軸上標(biāo)出表示各數(shù)的點，并比較這幾個數(shù)的大小．設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會“數(shù)形結(jié)合”的