2024年中考數學壓軸題突破訓練：二次函數的解析式、圖像及其性質（原卷版+解析）

壓軸熱點考點06二次函數的解析式、圖像及其性質

壓軸突破——2024年【中考?沖刺】數學高頻熱點考點好題精編

一、單選題

1.如圖，二次函數＞=62+法+。的圖象與x軸的交點為A、。的橫坐標分別為3和-1,其圖像與x軸圍

成封閉圖形L圖形L內部（不包含邊界）恰有4個整點（橫縱坐標均為整數的點），系數a的值可以是（）

2.如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB的長為a,動點。在AB邊上從點A向點3運動，

過點。作OELACDFLBC,垂足分別為E,F,設AD的長為x,矩形CEC甲的面積為y,y隨x變化的

關系圖象如圖2所示，其中點P為圖象的最高點，且縱坐標為白，則。的值為（）

圖1圖2

A.2B.4C.6D.8

3.雁門關，位于我省忻州市雁門山中，是長城上的重要關隘，以“險”著稱，被譽為“中華第一關”，由于地

理環(huán)境特殊，行車高速路上的隧道較多，如圖①是雁門關隧道，其截面為拋物線型，如圖②為截面示意圖，

線段表示水平的路面，以。為坐標原點，所在直線為x軸，以過點。垂直于無軸的直線為y軸，

建立平面直直角坐標系.經測量Q4=10m,拋物線的頂點尸到0A的距離為9m,則拋物線的函數表達式

為（）

4.已知二次函數〉=以2一26-8〃（a為常數）經過點C（0,2）,圖象與無軸交于點A、在2的左邊）,

連接8C,點尸是拋物線圖象在第一象限內的一點，過點尸作PQLBC交于點0,若PQ取得最大值，則

此時點P的橫坐標為（）

5.如圖，已知在拋物線y=d一2上有一點AB/x軸于8點，連接。4,將△0B4繞。點順時

針方向旋轉一定的角度后，該三角形的A.8兩點中必有一個頂點落在拋物線上，這個角度是（）

C.150°D.180°

6.如圖，在RtZXABC中,AB=3,3C=4,點。從點C出發(fā)沿CB方問以lcm/s向點勻速運動，過點。作

DELBC于點D.以DE所在直線為對稱軸，將，CDE折疊，點C的對應點為C，，移動過程中ZDC'與

ABC重疊部分的面積為S（cm?）,運動時間為電），則S與/之間函數關系的圖象大致是（）

A

7.如圖1,某地大橋主橋墩結構為拋物線形，橋墩的高度和寬度分別為40m和30m,若建立如圖2所示

的平面直角坐標系，則該拋物線的表達式為（）

A.尸色爐-2B.816

y=30尤2—40xC.y-------尤~H-----xD.y=—40x2+30%

453-453

8.老師設計了“誰是臥底”游戲，用合作的方式描述一個二次函數y=f+依+6的圖象性質，其中。，b為

常數，甲說：該二次函數的對稱軸是直線x=l；乙說：函數的最小值為3；丙說：尸-1是方程/+依+b=0

的一個根；丁說：該二次函數的圖象與丁軸交于（。,4）.若四個描述中，只有“臥底”的描述是假命題，貝『‘臥

底”是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

二、填空題

9.擲實心球是安徽省高中階段學校招生體育考試的選考項目.如圖是某學生投實心球，出手后實心球沿

一段拋物線>+桁+'（”,仇<:為常數，。*0）運行，當運行到最高點時，運行高度y=3m,水平距離x=3m.

3

（1）當出手高度為時，a=；

（2）若實心球落地水平距離不小于8m,且不超過10m,貝匹的取值范圍是.

10.已知拋物線y=x2-3"tx+2"72-i（加＞0）與直線＞=-1相交于點（點B在點A右側），且Afi=2.

（1），"的值是.

（2）直線了=〃（2（“（4）與拋物線丁=/-3?^+2加2一1相交于點/5,與直線、=丘一2（左＞0）相交于點。，

l=PQ.若/隨”的增大而增大，則左的取值范圍是.

11.如圖①，是可移動的灌溉裝置以水平地面方向為了軸，點。為原點建立直角坐標系，點A在y

軸上，如圖②所示.其水柱的高度y（單位：m）與水柱距噴水頭的水平距離x（單位：m）近似滿足函數

關系式＞=+在圖②中，若水柱在某一個高度時總對應兩個不同的水平位置，則X的取值

范圍是.

12.在平面直角坐標系無Qy中，對封閉圖形M和不重合的兩點尸，。給出如下定義：點。關于點P的中心

對稱點為。，若點。'在圖形〃內（包含邊界），則稱圖形用為點。經點尸投射的“靶區(qū)”.如圖，拋物線

,=加-46+6與x軸的交點A,3位于原點兩側（點A在點B的左側），且03=3。1，則拋物線的函數

表達式為，記x軸上方的拋物線與x軸所圍成的封閉圖形為G,點E（O,，〃）為y軸上一動點，若

直線y=x+3上存在點尸，使得圖形G為點尸經點E投射的“靶區(qū)”，則加的取值范圍是

IAoB\x

13.如圖，某活動板房由矩形和拋物線構成，矩形的邊長鉆=3m,BC=4m,拋物線的最高點E到BC

的距離為4m.在該拋物線與4。之間的區(qū)域內裝有一扇矩形窗戶FGHK,點G、"在邊AD上，點、F、K

在該拋物線上.按如圖所示建立平面直角坐標系.若GH=2m,則矩形窗戶的寬尸G的長為_____m.

14.某游樂園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池，計劃在噴水池的周邊安裝一圈噴水頭，使噴出的水柱

距池中心4m處達到最高，高度為6m.以水平方向為軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系如圖，若要在

噴水池中心的正上方設計擋板（AB,AC）,使各方向噴出的水柱擦擋板后，匯合于噴水池中心裝飾物M

處，擋板A3所在直線的表達式為y=gx+〃，則拋物線/的表達式為,〃的值為

15.如圖，拋物線丁=-0.25/+4與y軸交于點A,過AO的中點作軸，交拋物線y=/于2、C兩

點（點8在C的左邊），連接8。、CO,若將BOC向上平移使得3、C兩點恰好落在拋物線＞=-0.25爐+4

上，則點。平移后的坐標為.

y=-0.25￡+4

x

16.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=/+2x-3的圖象與坐標軸相交于A,B,C三點，連接AC,

顯.則四邊形BCDE面積的大小為

2

17.已知拋物線小y=-f-2x+8與無軸負半軸交于點A,與y軸交于點3.現將拋物線。平移，使平移后

的拋物線4過點8和點C(3,11).

(1)求拋物線4的表達式；

⑵點尸(帆n)(m>3)為拋物線4上一點，過點P作y軸平行線,交直線8c于點M,過點尸作x軸平行線，

交y軸于點M當AO3與△MRV相似時，求點P坐標.

18.湘雅公園人工湖上有一座拱橋，橫截面呈拋物線形狀，如圖所示，現對此展開研究：跨度A8為4米，

橋墩露出水面的高度AE為Q88米，在距點A水平距離為2米的地點，拱橋距離水面的高度為2.88米，建

立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為y=a(尤-〃『+左，其中x(m)是橫截水面，y(m)是

拱橋距水面的高度.

游船參數

長5.7米，寬2.2米，

滿員后游船露出水面

高度為216米

(1)求拋物線的表達式;

(2)公園欲開設游船項目，為安全起見，公園要在水面上的C、。兩處設置航行警戒線，并且CE=DF,要

求游船能從C、D兩點之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為多少米?

19.在平面直角坐標系中，二次函數＞=-5-m)2+2(加＞())的圖象如圖1所示，該拋物線的頂點為C,且

(2)如圖2,延長AC交/于點。，請用含優(yōu)的代數式表示的面積；

(3)如圖3,點E在拋物線第一象限的圖象上且位于點C的左側，連接EC并延長交/于點G,過點E作所垂

直于AB,垂足為點b，連接歹G.求證：AC//FG.

20.綜合實踐

九年級第一學期教材第2頁結合教材圖形給出新定義

如圖，對于兩個多邊形，如

果它們的對應頂點的連線

對于下圖中的三個四邊形，通?？梢哉f，縮小四邊形A8CD,得到四邊形

相交于一點，并且這點與對

4片GR；放大四邊形ABCD,得到四邊形A&GQ.

應頂點所連線段成比例，那

么這兩個多邊形就是位似

多邊形，這個點就是位似中

心.

用-必…廿

......

圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運動.將一個圖形放大或縮小后，就得

到與它形狀相同的圖形.圖中，四邊形A由GR和四邊形432c都與四邊

形A3CO形狀相同.我們把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形，或者就

說是相似形.

⑴填空：在上圖中位似中心是點;多邊形是特殊的多邊形.（填“位似”或“相似”）

（2）在平面直角坐標系中（如下圖），二次函數y=尤的圖像與無軸交于點A,點B是此函數圖像

上一點（點A、8均不與點。重合），已知點B的橫坐標與縱坐標相等，以點O為位似中心，相似比為!，

②直線y=履（%>0）與二次函數y=一3工的圖像交于點M,與①中的拋物線交于點N,請判斷△OAN和

是否為位似三角形，并根據新定義說明理由.

壓軸熱點考點06二次函數的解析式、圖像及其性質

壓軸突破——2024年【中考?沖刺】數學高頻熱點考點好題精編

一、單選題

1.如圖，二次函數>=依2+法+。的圖象與尤軸的交點為A、。的橫坐標分別為3和-1,其圖像與X軸圍

成封閉圖形乙圖形L內部（不包含邊界）恰有4個整點（橫縱坐標均為整數的點），系數。的值可以是（）

【答案】B

【分析】依照題意畫出圖形，結合圖形找出關于。的不等式組，解之即可得出結論.

【詳解】解：.?,二次函數y="2+6x+c的圖象與x軸的交點為4。的橫坐標分別為3和-1,

二次函數解析式為y=a（x+D（x-3）,對稱軸為直線x=l,

當x=1時，y=,x=0,y=-3a

拋物線頂點坐標為（1，-4a）,與y軸的交點坐標為（0,-3a）,

如圖所示，：圖形L內部（不包含邊界）恰有4個整點（橫縱坐標均為整數的點），

.J-3<-4a<-2

i9

解得；

.?.四個選項中只有B選項符合題意，

故選B.

【點睛】考查了二次函數圖象的性質，拋物線與X軸的交點坐標，解題時，利用了數形結合的數學思想,

難度較大.

2.如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB的長為a,動點。在AB邊上從點A向點8運動,

過點。作DELAC,。尸，BC,垂足分別為E,F,設AD的長為x,矩形CEDF的面積為y,y隨x變化的

關系圖象如圖2所示，其中點尸為圖象的最高點，且縱坐標為心，則a的值為()

圖1圖2

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本題考查二次函數的實際應用，根據含30度角的直角三角形的性質，得到。E==

==勾股定理，得到AE=叵,AC=4電，求出CE的長，利用矩形的面積公式得到二次函數

關系式，利用二次函數的性質進行求解即可.

【詳解】解：：NA=30。，AO的長為x,AB的長為a,

1111

???在RtZkAS9中，DE=-AD=—x,在中，BC=-AB=-a,

2222

AAE=4AD--DE2=—x,AC7AB2-BC?=叵，

22

/.CE=AC-AE=—(a-x),

由圖象可知：—a2=43,

16

a=4（負值已舍去）.

故選：B.

3.雁門關，位于我省忻州市雁門山中，是長城上的重要關隘，以“險”著稱，被譽為“中華第一關”，由于地

理環(huán)境特殊，行車高速路上的隧道較多，如圖①是雁門關隧道，其截面為拋物線型，如圖②為截面示意圖，

線段Q4表示水平的路面，以。為坐標原點，Q4所在直線為無軸，以過點。垂直于無軸的直線為y軸，

建立平面直直角坐標系.經測量OA=10m,拋物線的頂點尸到0A的距離為9m,則拋物線的函數表達式

為（）

圖②

【答案】D

【分析】根據題意得出A。。,。）,尸（5,9）,設拋物線的表達式為y=a（尤-獷+左，把P（5,9）代入得

y=a（x-5）2+9,再把&。0,0）代入求出。的值，即可得出拋物線表達式.

【詳解】解：???Q4=10m,拋物線的頂點尸到Q4的距離為9m,

AA（10,0）,P（5,9）,

設拋物線的表達式為y=a（x-hf+k,

把尸（5,9）代入得：y=a（x—5y+9,

把A（10,0）代入得：0=000—5）2+9,

解得：”=卷，

???拋物線表達式為y=-《（x-5）-+9,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了求拋物線的表達式，解題的關鍵是掌握用待定系數法求函數表達式的方法和步驟,

以及二次函數的頂點式.

4.已知二次函數丁=依2_2ax-8a(a為常數)經過點C(0,2),圖象與無軸交于點A、8(A在8的左邊)，

連接BC,點尸是拋物線圖象在第一象限內的一點，過點尸作交于點Q,若PQ取得最大值，則

此時點尸的橫坐標為()

【分析】作尸"，x于點"交班于可推證？PDQ?BDH?BCO,說明ZPDQ的函數值一定,PD

最大時，PQ滿足最大；待定系數法確定直線BC解析式＞=x+2,設點尸坐標，表示出尸￡),運用

二次函數最值，確定點坐標即可.

【詳解】解：???圖象經過點CQ2),

—8a=29

?a」

4

將a代入關系式得，＞=-：/+!*+2,

42

令y=0,即-4/+，+2=0,

42

解得,%=-2,x2=4,

.?.A(-2,0),8(4,0),

,1℃=2,OB=4＞BC=,2?+4：=2A/5，

設BC解析式y(tǒng)=履+人人？0),得

?、一1一0

??y=---%+2,

2

作7W_Lx于點凡交84于。，貝IJ??7汨?COB90?

:.PH//CO

4_275

???sin?PDQsin?BCO

2^5-5

???尸￡）最大時，尸。滿足最大，

設點尸蘇+lm+2）,則點￡）（m,-im+2）,

422

11111

/.PD=--m92+—m+2-（-—m+2）=-—m92+m=--（m-2）29+1

42244

當租=2時，PQ有最大值.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數的性質的應用，銳角三角函數，平行線的性質，待定系數法確定函數解析式，

由三角函數確定線段間的數量關系是解題關鍵.

5.如圖，已知在拋物線,=爐-2上有一點A（右,1）,軸于2點，連接。4,將△0B4繞。點順時

針方向旋轉一定的角度后，該三角形的A.8兩點中必有一個頂點落在拋物線上，這個角度是（）

A.90°B.120°C.150°D.180°

【答案】B

【分析】如圖，設拋物線與y軸的交點為點C,則點C坐標為（0,2）,再根據。4=2可得當點A與拋物線

頂點C重合時滿足題意，再利用銳角三角函數求得4408=30。，從而求得旋轉角度.

【詳解】解：如圖，設拋物線與y軸的交點為點C,則點C坐標為（0,2）,

VAASA軸于8點，

:?AB=1,08=6，0A=J（可+儼=2,

VtanZAOB=—=—,

OB3

ZAOB=30°,

ZAOC=30°+90°=120°,

...將△OBA繞O點順時針方向旋轉120。，該三角形的A與拋物線的頂點C重合,

故選：B.

【點睛】本題考查拋物線與y軸的交點，旋轉的性質、勾股定理及銳角三角函數，根據拋物線求得頂點坐

標，從而確定旋轉角度是解題的關鍵.

6.如圖，在Rt^ABC中，AB=3,3c=4,點。從點C出發(fā)沿CB方問以lcm/s向點勻速運動，過點。作

DE上BC于點D.以DE所在直線為對稱軸，將CDE折疊，點C的對應點為C',移動過程中回C與

ABC重疊部分的面積為S（cm2）,運動時間為《s）,則S與f之間函數關系的圖象大致是（）

【答案】A

【分析】分兩種情況討論：①當0WXW2時，S=SEDC，可以求出拋物線解析式，從而得到函數圖像；②

當2〈犬＜4時，S=S梯形DM/可以求出拋物線解析式，從而得到函數圖像.

【詳解】解：?.?AB=3,BC=4,

???當點。在5。中點時，C和3重合，

,：DElBCfAB1BC,

：.DE〃AB,

：.NCDE:NCBA,

.DECD

??,點。速度是lcm/s,運動時間為?。?，

CD=t{cva),

33

DE=-CD=-t,

44

①當0WxW2時,

1133

2

由題意可得：S=SEDC=-xDCxDE=-tx-t=-tf

2248

此時，S與方之間函數關系的圖像是頂點在原點，開口向上的拋物線;

②當2vxW4時，如圖所示,

此時s=S梯形DBFE=gx(DE+BF)xBD,

?：CD(cm),BC=4,

BD=BC—DC=4—，，BC=DC—BD=DC—BD=，一（4—r）=2/—4,

3

,/DE=—CD,

4

33

同理可得：BF=-BC=-（2t-4）,

44、7

?.S=|x|?+|（2z-4）x（4一r）=一凱一|J+2,

Q

.?.當f=§時，s有最大值，最大值為2,

Q

此時，S與/之間函數關系的圖象是開口向下的拋物線，且當，=|時，S有最大值，

故選：A.

【點睛】本題考查動點問題的函數圖像，關鍵是分段求出S與f之間函數解析式.

7.如圖1,某地大橋主橋墩結構為拋物線形，橋墩的高度和寬度分別為40m和30m,若建立如圖2所示

的平面直角坐標系，則該拋物線的表達式為（）

圖1圖2

816816

A.y——%?---xB.y=30x2—40xC.y-....HxD.y——40x2+3Ox

453453

【答案】C

【分析】根據拋物線與x軸的兩個交點坐標可得拋物線的對稱軸為直線1=15,再根據頂點坐標設解析式為

y=a（x-15）2+40（°/0）,把（0。）代入求出。，即可得到解析式.

【詳解】解：由二次函數的圖象可得，拋物線與x軸的交點坐標為（0,0）和（30,0）,

對稱軸為》=號9=15,

:橋墩的高度為40m,

拋物線的頂點坐標為（15,40）,

設拋物線的解析式為y=a（x-15y+40（"0）,

把（。，。）代入上式得，axl52+40=0,

s0

...該拋物線的表達式為y=-—（x-15）+40,

45'7

日n82,16

即y=-----%H-----x,

453

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，根據函數圖象反映的信息求出解析式是解題的關鍵.

8.老師設計了“誰是臥底”游戲，用合作的方式描述一個二次函數>=W+?x+6的圖象性質，其中。，b為

常數，甲說：該二次函數的對稱軸是直線x=l；乙說：函數的最小值為3；丙說：尸-1是方程/+依+6=0

的一個根；丁說：該二次函數的圖象與丁軸交于（。,4）.若四個描述中，只有“臥底”的描述是假命題，貝『‘臥

底”是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】C

【分析】設甲乙正確，利用頂點時寫出拋物線的解析式為丁=（彳-1）2+3,然后計算自變量為-1和。對應的

函數值，從而判斷丙錯誤.

【詳解】解：若甲乙正確，則拋物線的解析式為y=（x-l>+3,即y=Y-2x+4,

當x=—1時，y=7w0,此時丙錯誤；

當x=0時，y=4,此時丁正確.

而其中有且僅有一個說法是錯誤的，

所以只有丙錯誤，貝I“臥底”是丙.

故選：C.

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y="2+bx+c（a,b,。是常數，。工0）與x軸

的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程.也考查了二次函數的性質.

二、填空題

9.擲實心球是安徽省高中階段學校招生體育考試的選考項目.如圖是某學生投實心球，出手后實心球沿

一段拋物線y=加+6x+c（a,6,c為常數，*0）運行，當運行到最高點時,運行高度y=3m,水平距離x=3m.

3

(1)當出手高度為5m時，a=；

(2)若實心球落地水平距離不小于8m,且不超過10m,貝匹的取值范圍是.

133

【答案】————<a<--

62549

【分析】此題考查了二次函數的實際應用，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質及其應用；

(1)利用待定系數法求出解析式即可；

(2)設y=a(x-3y+3,根據當x=8時，^>0,x=10時，y40即可求出。的取值范圍.

【詳解】解:(1)設y=a(x—3y+3,

將(0，￡|代入可得|=9〃+3,

解得〃=，

6

故答案為：-

6

(2)設y=a(x-+3,

若落地水平距離不小于8m,

3

則當x=8時，y>0,代入得25a+3之0,解得“2—石；

3

當％=10時，j<0,代入得49，+3<0,解得〃0一二，

49

33

綜上所述，-石Va〈一西.

10.已知拋物線)=%2_3g+2加2—1(相>0)與直線丁=-1相交于點45(點3在點A右側)，且AB=2.

(1)根的值是.

(2)直線x="(244)與拋物線y=x2-3mx+2m2-1相交于點尸，與直線，=丘-2(左>0)相交于點。，

l=PQ.若/隨〃的增大而增大，則上的取值范圍是.

【答案】2k>2

【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，數形結合是解答本題的關鍵.

(1)先求出拋物線》=%2—3如+2加2一1(加>o)與直線》=—1交點橫坐標，然后根據AB=2即可求出加的

值；

(2)設Qgkn—2),P(n,n2-6n+7),表示出/的長，然后利用二次函數的性質求解即可.

【詳解】解：(1)當>=-1時，X2-3nvc+2m2-1=-B

解得玉=人工2=2m，

AB=2,m>0,

:.2m—m=2

即m=2；

（2）當機=2時，拋物線為丁=尤2-6苫+7=。-3）2-2,點4（2,-1）,點3（4,-1）,頂點為（3,—2）.

直線>=米-2與y軸交于點（0,-2）.

設！2（”,切-2）,尸（九,川-6"+7）,

則/=y°—yp=kn_2_(a2_6〃+7)=_n~+(k+6)〃-9,

:當時，/隨”的增大而增大,

k+6

,,"2x(-1)",

解得人22.

11.如圖①，是可移動的灌溉裝置（M,以水平地面方向為無軸，點。為原點建立直角坐標系，點A在y

軸上，如圖②所示.其水柱的高度y（單位：m）與水柱距噴水頭的水平距離無（單位：m）近似滿足函數

關系式>=-最￡+1龍+鼻.在圖②中，若水柱在某一個高度時總對應兩個不同的水平位置，則X的取值

范圍是.

【答案】0Wx<6且XH3

【分析】根據題意可先求出點A的坐標，然后求出當y=。時對應的x值，即可得出水柱的水平距離x的取

值范圍，然后求出頂點坐標和對稱軸，再求出點A關于對稱軸對稱的點，根據當水柱在某一個高度時，總

對應兩個不同的水平位置，即可得出了的取值范圍.

【詳解】解：由題意可得：當x=0時，j=|,

A（0,百，

425

當y=。時，即——/+―%+—=0,

2793

153

解得：x2=-1,

，水柱的水平距離X的取值范圍為：OVxwM，

2

y=―--x2+—%+—=―-—（x-3）2+3,

279327v7

???頂點坐標為（3,3）,對稱軸x=3,

點關于對稱軸對稱的點為,

當水柱在某一個高度時，總對應兩個不同的水平位置,

???X的取值范圍為：0WxW6且無中3；

故答案為：0VxV6且xw3.

【點睛】本題考查的主要是二次函數的應用，解題關鍵是求出點A關于對稱軸對稱的點以及頂點坐標.

12.在平面直角坐標系尤2y中，對封閉圖形/和不重合的兩點P,。給出如下定義：點。關于點P的中心

對稱點為Q',若點。'在圖形M內（包含邊界），則稱圖形M為點。經點尸投射的“靶區(qū)”.如圖，拋物線

y=以2-4取+6與x軸的交點A,B位于原點兩側（點A在點8的左側），且O3=3Q4,則拋物線的函數

表達式為,記x軸上方的拋物線與x軸所圍成的封閉圖形為G,點E（O,〃z）為>軸上一動點，若

直線y=x+3上存在點尸，使得圖形G為點尸經點E投射的“靶區(qū)”，則加的取值范圍是

0<m<A/T5且w3.

【分析】由OB=3OA,以及拋物線的對稱軸，可得出點A的坐標，進而求出函數表達式；求出直線y=x+3

關于y軸的對稱直線，再由對稱直線與封閉圖象的交點，可求出機的取值范圍.

【詳解】解：由題知，

拋物線的對稱軸為X=2,

令A（〃?,0）,又A,8兩點關于x=2對稱，

所以2-帆=/一2,則九5=4-m.

所以OA=—m,OB=4-m.

又。5=3OA,

所以4一根二3x（—冽），得加=一2.

故4（-2,0）.

將A點坐標代入拋物線解析式得，4?+8?+6=0,則a=

所以拋物線的函數表達式為y=-gf+2x+6.

直線y=x+3關于>軸的對稱直線為y=_x+3,

記直線》=-尤+3與封閉區(qū)域G的交點為M,N,

1

y=—x?+2%+6X=3+715x=3-V15

則2解得或，

y=y/15

y=-x+3y=-岳

故皿3一而后）.

所以加的取值范圍是04機4且〃件3.

故答案為：y=-^x2+2x+6,0<m<y/15S.m^3.

【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質，利用直線y=x+3關于V軸的對稱直線是解題的關鍵.

13.如圖，某活動板房由矩形和拋物線構成，矩形的邊長AB=3m,5c=4m,拋物線的最高點E到BC

的距離為4m.在該拋物線與AD之間的區(qū)域內裝有一扇矩形窗戶點G、H在邊上，點反K

在該拋物線上.按如圖所示建立平面直角坐標系.若GH=2m,則矩形窗戶的寬FG的長為m.

【分析】利用待定系數法求出拋物線解析式，設/（-1,加），求出根=寧，即可得到矩形窗戶的寬尸G的長.

【詳解】解：由題意可知，4（一2,3）、。（2,3）、E（0,4）,

設拋物線解析式為y=辦2+bx+c,

ri

a=一

4a-2b+c=3

<4Q+2"+C=3,解得：,b=Q

c=4c=4

拋物線解析式為＞=-1/+4,

點G、〃在邊AD上，且GH=2m,

:.G（T3）、”（1,3）,

四邊形FGHK是矩形，

,設廠（-1,加）,

?:點"T,間在拋物線上，

1/?“15

:.m=——x（—1）+4=—,

4V74

153

:.FG=m-AB=——3=-m,

44

3

故答案為：—.

4

【點睛】本題考查了坐標與圖形，待定系數法求函數解析式，矩形的性質，二次函數的性質等知識，求出

二次函數解析式，掌握二次函數的性質是解題關鍵.

14.某游樂園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池，計劃在噴水池的周邊安裝一圈噴水頭，使噴出的水柱

距池中心4m處達到最高，高度為6m.以水平方向為軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系如圖，若要在

噴水池中心的正上方設計擋板（AB,AC）,使各方向噴出的水柱擦擋板后，匯合于噴水池中心裝飾物M

處，擋板所在直線的表達式為y=+%則拋物線/的表達式為,"的值為

【分析】運用待定系數法可求出拋物線的解析式，再與直線'=3工+〃聯立方程，令△=（）可求出〃的值.

【詳解】解：設拋物線的解析式為y=a（x-4y+6,

根據題意得，。0,0）在拋物線上,

/.a(10-4)2+6=0,

解得，a=~^>

6

1、1410

二拋物線的解析式為>=_2(》_4)2+6=_2尤2+］彳+方，

與直線y=gx+”聯立方程，得：

11410

——X+n------XH2—XH------,

2633

整理得：--x2+-x+—-n=0,

663

?.?直線y=1+〃與拋物線y=-/+如+?有唯一公共點,

2633

解得，?=—:

O

KAd=t、r1241035

幫答案為：>=一1/+彳龍+7-

633T

【點睛】本題主要考查了函數圖象與性質，正確求出拋物線的解析式是解答本題的關鍵.

15.如圖，拋物線y=-0.25/+4與y軸交于點A,過AO的中點作3c軸，交拋物線y=f于8、C兩

點（點B在C的左邊），連接80、CO,若將30c向上平移使得8、C兩點恰好落在拋物線＞=-0.25x2+4

上，則點。平移后的坐標為

/\\I/人尸0.25/+4

o\X

【答案】［。，￡|

【分析】先求出A（0,4）,從而可得點8和點C的坐標，再設點民C平移后的對應點分別為點9C,則點笈

的橫坐標為-應，點C'的橫坐標為應，代入函數解析式可得C'的縱坐標，從而可得AO的中點向上平移

的距離，由此即可得.

【詳解】解：拋物線、=-0.25犬+4與y軸交于點A,

??.A（0,4）,

過A。的中點作軸，

.??點8和點C的縱坐標均為gx4=2,

當y=2時，則/=2,解得x=土收，

:.2（一衣2）,。（也2）,

如圖，設點氏C平移后的對應點分別為點B',C,

則點B'的橫坐標為一收，點C的橫坐標為V2,

當X=時，y=—0.25x+4=—,

則AO的中點向上平移了：-2=；個單位長度，

3

所以點。也向上平移了4個單位長度，

2

所以點0平移后的坐標為，

故答案為：[o,|

【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質、點坐標的平移，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵.

16.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=/+2x-3的圖象與坐標軸相交于A,B,C三點，連接AC,

BC.已知點E坐標為點。在線段AC上，且的)=[.則四邊形比DE面積的大小為

【分析】根據二次函數的解析式求出4B,C三點的坐標，然后再求出AC所在直線的解析式，設

r)(x,-x-3)(-3<x<0),根據AD=￥，求出。點坐標，再利用割補法即可求出四邊形BCDE的面積.

【詳解】解：二次函數y=，+2x-3的圖象與坐標軸相交于4B,C三點;

.-.A(-3,0),3(1,0),C(0,-3)；

容易求出AC所在直線的解析式為y=-x-3；

Z)(x,-x-3)(-3<x<0),

=克,

7.

二.AF=-；AB=4,OC=3；

2

二S四邊形BCDE=SABC-ADE~~；

41

故答案為k.

O

【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，涉及到了求二次函數與坐標軸的交點，利用待定系數法求函數解

析式以及利用割補法求不規(guī)則圖形的面積，熟練掌握二次函數的綜合知識是解題的關鍵.

三、解答題

17.已知拋物線乙：〉=-丁-2工+8與x軸負半軸交于點A,與y軸交于點3.現將拋物線右平移，使平移后

的拋物線4過點2和點C（3,11）.

（1）求拋物線4的表達式；

⑵點P（帆〃）（機＞3）為拋物線右上一點，過點P作y軸平行線，交直線BC于點M,過點尸作x軸平行線，

交y軸于點M當AOB與4MPN相似時，求點P坐標.

【答案】（l）y=-d+4x+8

【分析】（1）先求出點8的坐標，然后用待定系數法求拋物線4的表達式；

（2）先求出Rt^AOB中49,8。的長，MP=m2-3m,NP=m,再根據相似三角形的性質，分兩種情

況分別列出方程，并求解小的值，即可得到答案.

【詳解】（1）令x=0,則y=8,

所以點2的坐標為（0,8）,

2

設拋物線L2的表達式為y=-x+bx+c,

fc=8

將HC兩點的坐標代入得八》「，

[-9+3Z?+c=ll

[b=4

解得。，

[c=8

所以拋物線L的表達式為y=-爐+4x+8；

（2）令y=0,貝I]-/+4尤+8=0,

解得為=-4,12=2,

所以點A的坐標為（T,0）,

在RtZ\AO3中，49=4,30=8,

點尸的坐標為（心,-病+4m+8）,NP=m,

設直線8C的解析式為y=依+〃，

田=8

則3%+少=1/

解得[k="l,

所以直線BC的解析式為y=X+8,

所以點M的坐標為G%〃?+8),

所以MP=m+8-(-m2+4m+8)=m2-3m，

當AOBsNPM時,—,

一NPMP

nr,48

即一=22'

mm-3m

解得m=5,

所以點尸坐標為q,弓)或(5,3)；

當工AOBsMPN時,—,

MPNP

口口48

即——「二一，

m—5mm

,7

解得m=-,

所以點P坐標為(!?)；

綜上所述，點尸坐標為0金或(5,3).

【點睛】本題考查了二次函數的相似三角形問題，二次函數的平移，用待定系數法求二次函數的解析式,

相似三角形的性質，求一次函數的解析式，分兩種情況求點尸的坐標是解題的關鍵.

18.湘雅公園人工湖上有一座拱橋，橫截面呈拋物線形狀，如圖所示，現對此展開研究：跨度為4米,

橋墩露出水面的高度AE為0.88米，在距點A水平距離為2米的地點，拱橋距離水面的高度為2.88米，建

立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為>=。"-九)2+左，其中x(m)是橫截水面，y(m)是

拱橋距水面的高度.

游船參數

長5.7米，寬2.2米，

滿員后游船露出水面

高度為216米

(1)求拋物線的表達式;

(2)公園欲開設游船項目，為安全起見，公園要在水面上的C、。兩處設置航行警戒線，并且CE=DF,要

求游船能從C、D兩點之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為多少米？

19

【答案】⑴了=-/口-2)一+2.88；

(2)C處距橋墩的距離CE至少為0.8米.

【分析】本題主要考查了二次函數的應用，審清題意、掌握數形結合思想是解題的關鍵.

(1)先確定拋物線的頂點坐標，然后用代入消元法即可解答；

1

(2)令y=2.16可得2.16=-5@-2)92+2.88,然后解二元一次方程即可解答.

【詳解】(1)解：???48為4米，在距點A水平距離為2米的地點，拱橋距離水面的高度為2.88米,

拋物線頂點為(2288),

設拋物線的表達式為y=?(X-2)2+2.88,

將4(0,0.88)代入得：0.88=4o+2.88,解得。=一；.

19

拋物線的表達式為＞