2024年中考數(shù)學壓軸題突破訓練：幾何中的折疊問題（原卷版+解析）

壓軸熱點考點16幾何中的折疊問題

壓軸突破——2024年【中考?沖刺】數(shù)學高頻熱點考點好題精編

一、單選題

1.如圖，在菱形ABCD中，4）=5,tan3=2,E是48上一點，將菱形A8CD沿。E折疊，使3、C的

對應點分別是￡、C,當/網(wǎng)'=90。時，則點C'到BC的距離是（）

BC

A.5+A/5B.2A/5+2C.6D.3百

2.如圖，將ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕/與3C交于點尸，且點尸到AB的距離

為3cm,點。為AC上任意一點，則尸Q的最小值為（）

3.如圖，在YABCD中，8c=8,AB=AC=4石，點E為8c邊上一點，3￡=6,點/是AB邊上的動點，

將跖沿直線E尸折疊得到△GEF,點8的對應點為點G,連接DE,有下列4個結論：@tanB=2；②

AJ71

DE=10；③當GELBC時，EB=3后；④若點G恰好落在線段DE上時，則-=彳.其中正確的是（）

BF3

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

4.如圖，是O的直徑，點C是O上一點，將劣弧BC沿弦8C折疊交直徑A2于點。，連接C。,

若/鉆。=研0。＜戊＜45。），則下列式子正確的是（）

CDC.cos.^CD

D.cosa=----

ABABBDBC

5.如圖，在平面直角坐標系中，在無軸正半軸上，0C在y軸正半軸上，以Q4,0C為邊構造矩形Q4BC,

點B的坐標為（8,6）,D,E分別為Q4,8c的中點，將,ABE沿4E折疊，點B的對應點下恰好落在8上,

則點尸的坐標為（）

A.磊）B.普|）C.信用D.3

6.綜合與實踐課上，李老師讓同學們以矩形紙片的折疊為主題開展數(shù)學活動.如圖，將矩形紙片ABCD對

折，折痕為所，再把點A折疊在折痕EF上，其對應點為A,折痕為OP,連接AB,若AB=2,BCf,

則tanNA'3產(chǎn)的值為（）

A."B.73C.BD.）

322

7.如圖，矩形A3CD中，AB=2,BC=3,尸是邊BC中點，將頂點。折疊至線段AP上一點。內折痕為

EF,此時，點C折疊至點C'.下列說法中錯誤的是（）

4當時，

A.cosZBAP=—B.AE=gD'ELAP

5

4

C.當AE=18-60時，一WE是等腰三角形D.sinZDAP=-

8.如圖，AB為半圓。的直徑，點。為圓心，點C是弧上的一點，沿CB為折痕折疊BC交A3于點加，

連接CM,若點M為AB的黃金分割點（3M>40）,則sinZBCM的值為（）

二、填空題

9.如圖，將一張矩形紙片A5CD折疊，折痕為EF,折疊后，EC的對應邊E”經(jīng)過點A,CD的對應邊施

交54的延長線于點P.若PA=PG,AH=BE,CD=3,則8C的長為.

BE

10.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6,/為AD的中點，N為8c邊上一動點，把矩形沿MN折

疊，點A,5的對應點分別為A,B',連接A4并延長交射線CD于點P,交MN于點。，當N恰好運動

到BC的三等分點處時，CP的長為.

AMD

BN

B'

11.如圖，OE平分等邊的面積，折疊△3DE得到△如E,AC分別與OEE尸相交于G,H兩點.若

DG=m,EH=n,用含樞〃的式子表示GH的長是.

12.在矩形ABC。中，點E為AD邊上一點（不與端點重合），連接助，將矩形ABCO沿BE折疊，折疊后

點A與點產(chǎn)重合，連接并延長EF,即分別交BC,CD于G,H兩點?若區(qū)4=6,BC=8,FH=CH,則

AE的長為

13.如圖，在矩形ABCD中，AD=26,CD=6,E是AB的中點，尸是線段2c上的一點，連接EF,把

△BEF沿EF折疊,使點B落在點G處，連接DG,3G的延長線交線段8于點X.給出下列判斷：①

ZBAC=30°；②EBFs,BCH；③當NEGD=90。時，DG的長度是2石④線段。G長度的最小值是

國-3;⑤當點G落在矩形ABCD的對角線上，3G的長度是3或3相；其中正確的是.（寫出

所有正確判斷的序號）

14.如圖，將矩形ABCD沿3E折疊，點A與點A重合，連接及并延長分別交8。、3C于點G、R且3G=昉.

(1)若ZA￡B=55°,則NGB^=

（2）若AB=3,BC=4,貝!]￡?=.

三、解答題

15.綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展實踐活動.

圖⑴國（明

（D操作判斷

操作一：如圖（1）,正方形紙片ABCD,點E是BC邊上（點E不與點B,C重合）任意一點，沿AE折疊

一.ABE到A4FE,如圖（2）所示；

操作二：將圖（2）沿過點尸的直線折疊，使點E的對稱點G落在AE上，得到折痕MN,點C的對稱點記

為H,如圖（3）所示；

操作三：將紙片展平，連接如圖（4）所示.

根據(jù)以上操作，回答下列問題：

①B,M,N三點一（填“在”或“不在"）一條直線上；

②AE和的位置關系是」數(shù)量關系是一；

③如圖（5）,連接⑷V,改變點E在2C上的位置，一（填“存在”或“不存在”）點E,使AN平分”4E.

（2）遷移探究

蘇鈕同學將正方形紙片換成矩形紙片ABCD,AB=4,3c=6,按照（1）中的方式操作，得到圖（6）

或圖（7）.請完成下列探究：

①當點N在CD上時，如圖（6）,8E和CN有何數(shù)量關系？并說明理由；

②當。N的長為1時，請直接寫出3E的長.

16.在矩形ABCD中，AD=2AS=8,點P是邊CD上的一個動點，將ABPC沿直線BP折疊得到ABPC.

(1)如圖1,當點尸與點。重合時，BC'與AD交于點E,求3E的長度；

(2)當點P為C￡＞的三等分點時，直線與直線AO相交于點E,求DE的長度；

(3)如圖2,取中點尸，連接。尸，若點。恰好落在邊上時，試判斷四邊形的形狀，并說明理

由.

17.矩形ABC。中，AB=6,AD=8,點E為對角線AC上一點，過點E作跳'/AQ于點p，EG_LAC交

邊BC于點G,將△?!￡■廠沿AC折疊得連接H7.

(1)如圖1,若點//落在邊BC上，求證：AH=CH；

⑵如圖2,若A,H,G三點在同一條直線上，求龐的長；

⑶若-EHG是以EG為腰的等腰三角形，求斯的長.

18.綜合與實踐

【問題情境】數(shù)學活動課上，老師準備了若干張正方形紙片A3CD,組織同學們進行折紙?zhí)骄炕顒?

【初步嘗試】把正方形對折，折痕為所，然后展開，沿過點A與點￡所在的直線折疊，點8落在點E處，

連接3'C,如圖1,請直接寫出/AE3'與/ECB'的數(shù)量關系.

【能力提升】把正方形對折，折痕為E尸，然后展開，沿過點A與BE上的點G所在的直線折疊，使點B

落在所上的點P處，連接尸￡),如圖2,猜想/APD的度數(shù)，并說明理由.

【拓展延伸】在圖2的條件下，作點A關于直線CP的對稱點連接PA,BA,AC,如圖3,求NPA'B

數(shù)學活動課上，數(shù)學老師以“矩形紙片的折疊”為課題開展數(shù)學活動：將矩形紙片ABC。對折，使得點4

。重合，點、B,C重合，折痕為E尸，展開后沿過點8的直線再次折疊紙片，點A的對應點為點N,折痕

為BM.

圖(2)圖(3)

⑴如圖(1)若AB=BC,則當點N落在所上時，即和2N的數(shù)量關系是,/A?/的度數(shù)為

思考探究：

(2)在AB=3C的條件下進一步進行探究，將3MN沿3N所在的直線折疊，點M的對應點為點AT.當點

AT落在。上時，如圖(2),設.BN,5M'分別交所于點J,K.若ZM，=4,請求出三角形R/K的面積.

開放拓展：

(3)如圖(3),在矩形紙片A3CD中，AB=2,AD=4,將紙片沿過點B的直線折疊，折痕為點A

的對應點為點N,展開后再將四邊形ABMW沿BN所在的直線折疊，點A的對應點為點P,點M的對應點

為點“，連接CP,DP,若尸C=PD,請直接寫出4W的長.(溫馨提示：丁萬=2-退，/廠近一1)

20.綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師帶領同學們以“矩形和平行四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學活動.

(1)操作判斷

如圖1,先用對折的方式確定矩形A5CD的邊的中點E,再沿DE折疊，點A落在點尸處，把紙片展平，

延長OF,與3C交點為G.

請寫出線段FG與線段BG的數(shù)量關系.

(2)遷移思考

如圖2,把YABCD按照(1)中的操作進行折疊和作圖，請判斷FG,BG這兩條線段之間的數(shù)量關系，并

僅就圖2證明你的判斷.

(3)拓展探索

如圖1,若鉆=2,按照(1)中的操作進行折疊和作圖，請直接寫出當CG=1時AD的值.

壓軸熱點考點16幾何中的折疊問題

壓軸突破——2024年【中考?沖刺】數(shù)學高頻熱點考點好題精編

一、單選題

1.如圖，在菱形ABCD中，AD=5,tan3=2,E是A3上一點，將菱形45co沿DE折疊，使8、C的

對應點分別是￡、C,當/BEB'=90。時，則點C'到3C的距離是（）

BC

A.5+V5B.26+2C.6D.3小

【答案】D

【分析】過C作CH_LAD于過C'作CN_LAT）于B，由菱形性質和正切定義求出用）=如，HC=245,

再由折疊證明/3ED=/3'ED=135。，得到NEDC=NEDC'=45。，從而得到CHD^DFC,貝U

C'F=HD=5則問題可解.

【詳解】解：過C作于過C'作C'F_LA￡＞于/，

由已知，AD=5,tanB=2,

He

CD=5,tanNCD"=-----=2,

HD

?,?設HD=x,貝iJ"C=2x,

...在Rt^HDC中，HC2+HD2=CD-,

（2%）2+X2=52,

解得x=A/5，

/.HD=y/5,HC=2A/5，

由折疊可知，ZBED=ZBED,ZEDC=ZEDC,CD=C<b

?；NBEB'=90°,

：./BED=NB'ED=135。,

"：ABDC,

：.ZEDC=180°-/BED=45°,

/.NEDC=/EDC'=45。

ZCDC1=90°

NCHD=NC'AD=90。,

：.ZCDH+CDF^90°,

,：NCDH+ZHCD=90。,

：.NC'DF=NHCD,

：..CHD^DFC,

/.C'F=HD=^5,

：.點C到BC的距離是C'F+CH=s/5+245=3y[5.

故選：D.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定、菱形的性質、圖形的折疊以及正切定義的應用，解答關鍵

是根據(jù)折疊的條件推出/BED=AB'ED=135°.

2.如圖，將ABC折疊，使AC邊落在邊上，展開后得到折痕/與8c交于點P,且點P到A3的距離

為3cm,點。為AC上任意一點，則PQ的最小值為（）

【答案】C

【分析】由折疊可得：上4為4c的角平分線，根據(jù)垂線段最短即可解答.

【詳解】解：???將折疊，使AC邊落在45邊上，

:.叢為一區(qū)4c的角平分線，

:點。為AC上任意一點，

：.PQ的最小值等于點P到AB的距離3cm.

故選C.

【點睛】本題主要考查了折疊的性質、角平分線的性質定理等知識點，掌握角平分線上的點到兩邊距離相

等是解答本題的關鍵.

3.如圖，在YABCD中，JBC=8,AB=AC=46，點E為8C邊上一點，3￡=6,點下是AB邊上的動點，

將AB叩沿直線E尸折疊得到△GEF,點B的對應點為點G,連接DE,有下列4個結論：①tanB=2；②

AJ71

DE=10；③當GEL5c時，EF=3夜；④若點G恰好落在線段DE上時，則-=彳.其中正確的是（）

BF3

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】D

【分析】過點A作AH,3c于點利用三線和一以及正切的定義，求出tanB,即可判斷①；過點。作

DK，BC^^K,利用勾股定理求出DE,判斷②；過點尸作R0_L3c于點證明V4妒為等腰直角

三角形，^EM=FM=x,三角函數(shù)求出的長，利用+求出x的值，進而求出所的長，

判斷③；證明q⑷VDs-CVE,推出/ENC=/ECV,根據(jù)折疊的性質，推出斯〃。，利用平行線分線段

成比例，即可得出結論，判斷④.

【詳解】解：①過點A作AH_L3C于點

BC=8,AB=AC=4A/5,

BH=-BC=4,

2

AH=YIAB2-BH-=8>

tanB==2；故①正確；

②過點。作。KI3。于點K,貝!J：四邊形AHKD為矩形,

:?DK=AH=8,HK=AD=BC=8f

IBE=6,

：.CE=2,

?：CH=-BC=4,

2

???CK=4,

???EK=CE+CK=6,

?*-DE=y/EK2+DK2=10；故②正確;

③過點尸作RW,3c于點

?:GELBC,

???/BEG=90。,

翻折，

：.ZBEF=ZGEF=45°f

：.ZEFM=ZBEF=45°f

；.EM=FM,

^EM=FM=x,

SB嗡=2,

/.BM=-FM=-x,

22

；.BE=BM+EM=-x+x=6,

2

?（尤=4,

:.EM=FM=4,

EF=s/2EM=4A/2;故③錯誤；

④當點G恰好落在線段DE上時，如圖：設AC與交于點N,

VYABCD,

.??AD〃BC,

：._AND^_CNE,

.ENCE_2_1

??麗—茄一豆一"

.EN_1

,,京一三，

：.EN=±DE=2=CE,

：.ZENC=ZECN,

：.ZBEN=ZENC+ZECN=2Z.ECN,

翻折，

：.ZBEN=2ZBEF,

：.ZBEF=ZECN,

：.EF/7AC,

AFCE21一廠、-

?--=—=7=-;故④正確，

DrDEOJ

綜上：正確的是①②④；

故選D.

【點睛】本題考查平行四邊形的折疊問題，同時考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質，等腰三

角形的判定和性質，勾股定理.本題的綜合性強，難度較大，是中考常見的壓軸題，熟練掌握相關性質，

添加合適的輔助線，構造特殊三角形，是解題的關鍵.

4.如圖，AB是。的直徑，點C是O上一點，將劣弧BC沿弦BC折疊交直徑A8于點D連接

若NABC=a”<a<45。），則下列式子正確的是（）

一-------、

IDCD

A.=B.sina=2C,cos?=^——D.cosa=----

ABAB13DBC

【答案】B

【分析】連AC,由AB是,。的直徑，可知/4CB=90。,由折疊，AC和CD所在的圓為等圓，可推得

AC=CD,再利用正弦定義求解即可.

【詳解】解：連AC,

—-------

是。的直徑，

/ACB=90°,

由折疊，AC和CO所在的圓為等圓，

又：ZCBD=ZABC,

AC和CD所對的圓周角相等，

AC=CD，

：.AC=CD,

在Rt^ACB中，

故選：B.

【點睛】本題考查圓周角定理和圓心角、弦、弧之間的關系以及正弦、余弦定義，解答關鍵是通過折疊找

到公共的圓周角推出等弦.

5.如圖，在平面直角坐標系中，在X軸正半軸上，0c在y軸正半軸上，以。4,0C為邊構造矩形Q4SC,

點8的坐標為（8,6）,D,E分別為Q4,BC的中點，將ABE沿AE折疊，點8的對應點b恰好落在CD上,

30202030

C.D.

1311313113

【分析】先求得直線C。的解析式，過點尸作WVfLCE于點過點P作/WLOC于點N,設點

FL.|m+6\在Rt/\￡MF中，再利用勾股定理得到關于用的方程，解方程即可.

【詳解】解：.點B的坐標為（8,6）,四邊形Q4BC是矩形，D,E分別為Q4,BC的中點,

C（0,6）,0（4,0）,磯4,6）,

由折疊的性質可得：EF=BE=4,

設直線CD的解析式為y=kx+b,

則L7Z

[4k+6=0

k=_l

解得：2,

b=6

???直線CD的解析式為y=-^3x+6,

過點尸作出于點過點尸作WVLOC于點N,

貝|JMF=CN=6_]_；機+63

=-m.EM=4_m,

2

在RtZ\EMF中，EM2+MF2=EF2^

32

解得："7=后■或機=。（不合題意，舍去）,

332q332,30

當加=——時，y=__x一+6=一

1321313

3230)

「?點廠的坐標為

13，13/

故選：A.

【點睛】本題是一次函數(shù)與幾何綜合題，考查了求一次函數(shù)解析式，勾股定理，翻折的性質，矩形的性質,

中點的性質，熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關鍵.

6.綜合與實踐課上，李老師讓同學們以矩形紙片的折疊為主題開展數(shù)學活動.如圖，將矩形紙片ABCD對

折，折痕為所，再把點A折疊在折痕EF上，其對應點為A,折痕為￡>P,連接AB,若AB=2,BC=6,

則tanNA'3產(chǎn)的值為（）

A."B.73C.3D.1

322

【答案】A

【分析】先證明Eb=AB=CD=2,CF=BF=DE=?,/?！?'=90°,ZA,FB=90°,AD=A'D=y[3,

2

可得AEMJA'D--DE?=2,AN=2-1=]，再利用正切的定義求解即可.

222

【詳解】解：：矩形紙片A5CD對折，折痕為所，AB=2,BC<,

：.EF=AB=CD=2,CF=BF=DE=—,ZDEA=90°,ZAFB=90°,

2

由折疊可得：AD=A'D=y/3,

：.AE=ylA'D2-DE2=-,

2

31

??.AT=2——

22

.-tanZA,BF=-^=—

V33-

故選A

【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，矩形的性質，勾股定理的應用，求解銳角的正切，熟記軸對稱的性質是解

本題的關鍵.

7.如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,P是邊3C中點，將頂點。折疊至線段AP上一點折痕為

EF,此時，點C折疊至點C'.下列說法中錯誤的是（）

4

A.cosZBAP=—B.當=；時，D'E±AP

5

4

C.當AE=18-6行時，一AD'E是等腰三角形D.sinZDAP=~

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形的性質，直角三角形的性質，三角函數(shù)，勾股定理，折疊的性質計算判斷即可.

【詳解】?..矩形ABCD中，AB=2,BC=3,P是邊BC中點,

13

工BP=—BC=—,IB90?,

22

AP=yjAB2+BP2==_5一,

2

4R24

cos/BAP=----

..AP55，

2

故A正確;

??,矩形ABC。,

AD〃BC,

JNDAP=NAPB,

4

sinZDAP=sinZAPB=cos/BAP=-

5

故D正確;

設。E=ZXE=x,

4

根據(jù)題意，得=。石=3—%,sinZDAP=-9

D'ELAP,

...si.nZ/D?APD=D，E=---X--=—4,

AE3-x5

4

mx=~,

：.AE=AD-DE=3-x=-,

3

故B正確；

當=時，

設DE=D'E=x,根據(jù)題意，得AE=AD-DE=3—x,

x=3-x,

3

解得％=5；

此時A重合，三角形不存在，不符合題意；

當27^=40'時，過點DC作O'NLAD于點N,

則⑷V=NE；

?.?矩形ABC。，

AD/7BC,

NDAP=NAPB,

3

93

cosNDAP=cosZAPB=《=—,

55

2

設Z)E=O'E=x,根據(jù)題意，^AE^AD-DE^3-x,D'E^AD'^x,

.AN_AN_3

??記一

3

解得⑷V=《x；

AE=AD-DE=3-x=2AN=^x,

解得尤=*

61518

.一.A可E=—x——=——；

51111

當A￡=A￡>'時，過點次作于點H,

設DE=D'E=x,根據(jù)題意，得AE=AD'=AD—OE=3—x,

43

/.D'H=AD'sinZDAP=-（3-x）,AH=AD'cosZDAP=-（3-x）,

32

/.HE-AH=（3_x）_g（3_Jc）=g（3-x）,

根據(jù)勾股定理，得HE2+D'H2=D'E-，

i--12i--|2

g（3-x）+g（3-x）=x2

解得x=60-12；

，AE=3-尤=15-65

綜上所述，A￡=15-6A/5^AE=—,

故C錯誤，

故選C.

【點睛】本題考查了矩形的性質，直角三角形的性質，三角函數(shù)，勾股定理，折疊的性質，熟練掌握三角

函數(shù)，勾股定理，矩形的性質，折疊的性質是解題的關鍵.

8.如圖，43為半圓。的直徑，點O為圓心，點C是弧上的一點，沿CB為折痕折疊BC交48于點M，

連接CM,若點M為AB的黃金分割點則sinZBCM的值為（）

【答案】A

【分析】過點M作“E>，C3,垂足為￡>,延長MD交半，：O于點AT,連接CM',,根據(jù)折疊的性質

可得：ZCMB=ZCM'B,BCLMM',從而可得/3ZW=90。，再根據(jù)黃金分割的定義可得收=1二1,

AB2

然后利用直徑所對的圓周角是直角可得NACB=90。，從而證明A字模型相似三角形，DBMS,an,進而利

用相似三角形的性質可得也=嗎=避匚，最后根據(jù)圓內接四邊形對角互補以及平角定義定義可得：

ACAB2

ZA=ZAMC,從而可得8=。0,再在RtACDM中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算，即可解答.

【詳解】解：過點M作垂足為。，延長交半C。于點ML連接CAT,BM',

1.ZBDM=90°,

:點M為A8的黃金分割點

,BM_5/5-1

?---------------，

AB2

：A5為半圓。的直徑，

1.ZACB=90°,

ZACB=ZMDB,

：ZDBM=NCBA,

DBMs.CBA,

,DMBM_A/5-1

2

，?四邊形ACM不是半。的內接四邊形，

ZA+ZCM,B=ISO°,

：ZWC+ZCMB^=180°，ZCMB=/CM'B,

/.ZA=ZAMC,

：.CA=CM,

x/5-1

在RgCDM中，s—黑二黑

2

故選：A.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，黃金分割，解直角三角形，翻折變換（折疊問題），圓周

角定理，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵.

二、填空題

9.如圖，將一張矩形紙片ABCD折疊，折痕為EF,折疊后，EC的對應邊E"經(jīng)過點A,的對應邊用

交54的延長線于點P.若PA=PG,AH=BE,CD=3,則BC的長為.

【答案】4拒

【分析】本題考查了矩形與折疊問題，全等三角形的判定和性質，勾股定理.連接尸尸，設BC=2x,

AH=BE=a,證明RtPAF^RtPGF（HL）,^FA=FG=FD=x,由折疊的性質求得=,在

中，利用勾股定理列式計算，即可求解.

【詳解】解：連接P尸，設3C=2x,AH=BE=a,

由矩形的性質和折疊的性質知BG=ED,/G=/E1P=9O°,AB=CD=3,AD=BC,

VPA=PG,PF=PF,

：.Rt.PAF^Rt.PGF(HL),

FA=FG=FD=-AD=-BC=x,

22

由矩形的性質知：AD〃BC

：.ZAFE=ZFEC,

折疊的性質知：NFEA=NFEC,

：.ZFEA=ZAFE,

AE=FA=x,

由折疊的性質知EC=EH=AE+AH=x+〃，

BC=BE+EC=a+x+a=2x,

a=—x,HRBE=—x,

22

在RtAABE中，AB2+BE2^AE2,EP'

解得x=2^/3,

BC=2x=4y/3,

故答案為：4^/3

10.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6,/為AD的中點，N為8c邊上一動點，把矩形沿MN折

疊，點A,5的對應點分別為A,B',連接A4并延長交射線CD于點P,交MN于點。，當N恰好運動

到5c的三等分點處時，CP的長為

【分析】分兩種情況：①當CV=23N時.過點N作NG，A￡＞于點G,則四邊形ABNG為矩形；②當

BN=2CN時,過點N作NGLAD于點G,則四邊形ABNG為矩形，根據(jù)矩形的性質得GM=A〃-AG=L

再由折疊的性質可得/AOM=90。，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質可得答案.

【詳解】解：①當。V=23N時.

如圖1,過點于點G,則四邊形ABNG為矩形,

圖1

：.NG=AB=3,AG=BN=2.

M為AD的中點，

AM=3,

:.GM=AM-AG=1.

由折疊A與A對應，

:.ZAOM=90P,

ZMAO+ZAPD=90°,ZMAO+ZAMO=90°,

:.ZAMO=ZAPD,BPZGMN=ZAPD.

又，ZNGM=ZADP=90°,

:.ADPsANGM,

,NG__GM__\

"AD~DP~2'

解得￡＞尸=2,

:.CP=CD-DP=1.

②當3N=2OV時，

如圖2,過點N作跖，4）于點6,則四邊形A&VG為矩形,

：.NG=AB=3,AG=BN=4.

M為AO的中點，

:.AM=3,

圖2

由折疊A與4對應，

.-.ZAOM=90°

ZMAO+ZAMO=90°,ZMAO+ZAPD=90°,

:.ZAMO=ZAPD,ZGMN=ZAPD.

又ZADP=ZNGM=9Q。,

ADPsANGM,

.NGGM_］

"AD~DP~2'

解得￡>P=2,

:.CP=CD+DP=5.

綜上，CP的長為1或5.

故答案為：1或5.

【點睛】此題考查的是翻折變換-折疊問題、矩形的性質，正確作出輔助線是解決此題的關鍵.

11.如圖，平分等邊A6C的面積，折疊△5DE得到分別與。尸，所相交于G,H兩點.若

DG=m,EH=n,用含m,n的式子表示GH的長是.

［答案］后二7

［分析］先根據(jù)折疊的性質可得SABDE=SAFDE，NF=/B=60°,從而可得sFHG=SADG+sCHE，再根據(jù)

相似三角形的判定可證一ADGs/HG.CHEsaFHG,根據(jù)相似三角形的性質可得%/絲］=旦

EH段，然后將兩個等式相加即可得.

~GH

【詳解】解：ABC是等邊三角形,

,-.ZA=ZB=ZC=60°,

折疊ABDE得到7FDE,

/,BDE=^FDE,

SBDE=SFDE，ZF=ZB=600=ZA=ZC,

小平分等邊JRC的面積,

又,ZAGD=ZFGH,ZCHE=ZFHG,

ADGsFHG.CHEs&FHG,

S2

SADGCHEfEH^n

22

sFHGVGH)GH'sFHG[GH)GH

2AZ>G+SCHE_1

S四?sCHEm+rrS

S.FHGS2s-，

FHGGH0,FHG

GH2=療+〃2,

解得GH=JW+/或GH=—JM+“2（不符合題息,舍去）,

故答案為：7m2+n2-

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、折疊的性質、相似三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握相似

三角形的判定與性質是解題關鍵.

12.在矩形ABCD中，點E為AD邊上一點（不與端點重合），連接BE,將矩形ABCD沿BE折疊，折疊后

點A與點廠重合，連接并延長E產(chǎn)，即分別交BC,8于G,H兩點?若54=6,BC=8,FH=CH,則

【分析】連接GH,證明必FHG^RtCHG(HL),可得FG=CG,設廠G=CG=x,在放BFU中，有

725

62+X2=(8-X)2,可解得CG=FG=T，知86=二，由矩形45co沿8E折疊，折疊后點A與點歹重合,

44

2599

得ZAEB=ZFEB,可得NFEB=NEBG,EG=BG^—,i^EF=EG-FG^~,從而得到AE=].

.-.ZA=ZC=90°,

將矩形ABC。沿3E折疊，折疊后點A與點廠重合,

BF=AB=6,AE=EF,NBFE=ZA=90。,

:.NGFH=900=NC,

GH=GH,FH=CH,

:.Rt^FHG=RtCHG(HL),

:.FG=CG,

設/G=CG=x,貝lj5G=5C—CG=8—%

在RtBFG中,BF2+FG2=BG2

62+x2=(8-x)2,

7

解得：％=g

4

7

：.CG=FG=~,

4

25

/.BG=8—x=——，

x

.將矩形A3CD沿延折疊，折疊后點A與點廠重合，

:.ZAEB=/FEB,

AD//BC,

:.ZAEB=ZEBG,

:.ZFEB=ZEBG,

25

，EG=BG=——，

4

9

AE=—,

2

9

故答案為：j.

【點睛】本題考查矩形中的翻折變換，涉及三角形全等的判定與性質，勾股定理及應用，掌握相關知識是

解題的關鍵.

13.如圖，在矩形ABCD中，AD=20CD=6,E是A3的中點，尸是線段BC上的一點，連接E尸，把

△BEF沿EF折疊,使點8落在點G處，連接。G,3G的延長線交線段8于點給出下列判斷：①

ZBAC=30°；②3曄BCH；③當NEGD=90。時，DG的長度是2石④線段DG長度的最小值是

亞-3;⑤當點G落在矩形ABCD的對角線上，3G的長度是3或3vL其中正確的是.(寫出

所有正確判斷的序號)

【答案】①②③

【分析】利用正切函數(shù)的定義即可判斷①正確；利用同角的余角相等推出=可判斷②正確;

推出點G、F三點共線，證明絲Rt^EGO(HL),可判斷③正確；當點。、G、E三點共線，

線段DG長度的最小值是J五一3，由于歹是線段BC上的一點，不存在。、G、E三點共線，可判斷④不

正確；證明△BGE是等邊三角形，可判斷⑤.

【詳解】解：連接AC,

;矩形ABCD中，CD=6,

AZ)_2A/3_73

：.tanNACO=

~CD~~6~~^

：.NACD=30。，

AZBAC=30°,故①正確；

由折疊的性質知石尸是BG的垂直平分線,

：?NHBC+NBFE=90。=NBEF+ZBFE,:?NHBC=NBEF,

；?EBFsBCH,故②正確；

由折疊的性質知/EGF=ZABC=90°，

丁ZEGD=90°,

???點。、G、尸三點共線，連接。石,

在RtE4Z>和RtEGD中，AE=BE=EG,DE=DE,

RtAEW^RtAEGD(HL),

:.DG=AD=2也,故③正確;

；AE=BE=EG,

.?.點A、G、2都在以E為圓心，3為半徑的圓上，D￡=J（2V3）2+32=A/21，

.?.當點。、G、E三點共線，線段。G長度的最小值是同一3,但歹是線段8c上的一點，.?.￡＞、G、E三

點不可能共線，故④不正確；

當點G落在矩形ABCO的對角線AC上時，

由折疊的性質知BE=EG,

是AB的中點，由①知NBAC=30。，

:.BE=EG=EA,ZBAC=ZEGA=30°,

：.ZBEG=ABAC+/EGA=60°,

△BGE是等邊三角形，

；?BG的長度是3；由于尸是線段3C上的一點，則點G不會落在矩形43co的對角線80上，故⑤不正確；

綜上，①②③說法正確，

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，正切函數(shù)，相似三角形的判定，勾股定理等知識，解答本題的關鍵

是明確題意，找出所求問題需要的條件.

14.如圖，將矩形ABC。沿BE折疊，點A與點A重合,連接所并延長分別交3D、BC于點G、F,且3G=防.

(1)若NA￡B=55°,貝=；

(2)若AB=3,BC=4,貝l|￡D=.

【答案】40。/40度5-y/10/-y/10+5

【分析】(1)先證明ND￡F=18()O—2X55O=70。，ZBFG=ZDEF=10°,利用可得答案；

(2)如圖，過尸作尸QJLAD于。，可得。尸=。。，尸。=。。=3,同理可得：NBGF=NBFG,/DEG=/BFG,

而NDGE=NBGF,則/DEG=/OGE,設。E=Z)G=x,ffi]BD=y/32+42=5-貝I3G=3尸=5-x,

CF=4—(5—x)=x—1,EQ=x-(x-1)=1,再求解EF=+3?=JI5，由折疊可得：A'E=AE=4—x,

AF=y/lO-4+x,禾！]用cos/BAI=cos/FEQ,再建立方程求解即可.

【詳解】解：(1)?:ZAEB=55。,結合折疊可得：

ZAEB=ZA'EB=55。,

ZDEF=180°-2x55°=70°,

?..矩形ABCD,

AD//BC,

：.4BFG=NDEF=70°,

,?BG=BF,

：.ZBGF=ZBFG=70°；

：.ZGBF=180°-2x70°=40°；

故答案為：40°.

(2)如圖，過尸作尸Q，AD于Q,

.?.四邊形/COQ是矩形，

則CF=OQ,FQ=CD=3,

同理可得：NBGF=NBFG,ZDEG=ZBFG,而NDGE=NBGF,

：.NDEG=/DGE,

.?.設￡>E=OG=尤，

,矩形A5CD,AB=3,BC=4,

BD=A/32+42=5-

BG=BF=5—xj

：.CF=4-(5-x)=x-l,

EQ=x_(x-l)=],

,?EF=-\/l2+32=A/10,

由折疊可得：A!E=AE=4—x,

/.AF'=y/10-4+x,

ZQEF=ZBFA',

/.cosZBFA'=cosNFEQ,

.EQA'F

"EF~BF'

.1_瓦-4+尤

?力=5一尤，

解得：x=5-Vio,經(jīng)檢驗符合題意；

DE=5-y/io.

故答案為：5-Vio.

【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，矩形的性質與判定，勾股定理的應用，銳角三角函數(shù)的應用，等腰

三角形的判定與性質，熟練的利用以上知識解題是關鍵.

三、解答題

15.綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展實踐活動.

（1）操作判斷

操作一：如圖（1）,正方形紙片ABCD,點E是3C邊上（點E不與點8,C重合）任意一點，沿AE折疊

一ABE■到"FE,如圖（2）所示；

操作二：將圖（2）沿過點下的直線折疊，使點E的對稱點G落在AE上，得到折痕MN,點C的對稱點記

為H,如圖（3）所示；

操作三：將紙片展平，連接如圖（4）所示.

根據(jù)以上操作，回答下列問題：

①2,M,N三點一（填“在”或“不在"）一條直線上；

②AE和的位置關系是一，數(shù)量關系是一；

③如圖（5）,連接AN,改變點E在3C上的位置，_（填“存在”或“不存在”）點E