2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（浙江專用）正方形選、填壓軸題（學(xué)生版）

壓軸題01正方形選、填壓軸題

高分必?fù)?/p>

?題型01正方形與“趙爽弦圖”的綜合

正方形與“趙爽弦圖”綜合題思考要點(diǎn)：

1、此時(shí)的正方形有2個(gè)，做題中，常用等量關(guān)系為一一①正方形邊長相等；②正方形的面積=邊長2

2、有“趙爽弦圖”就有直角三角形全等，對應(yīng)邊相等要多注意；

3、“趙爽弦圖”就是勾股定理，所以此類問題，最終都要找到一個(gè)適合的直角三角形，用勾股定理列方程

求長度。

1.（2023?杭州）第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”.如

圖，在由四個(gè)全等的直角三角形（ADAE,AABF,ABCG,ACD/f）和中間一個(gè)小正方形EFG”拼成

的大正方形A8CD中，ZABF>ZBAF,連接BE.設(shè)/BA尸=a,ZBEF=p,若正方形EFG”與正方形

ABCD的面積之比為1：”，tana=tan2P，貝!I〃=（）

A.5B.4C.3D.2

2.（2023?淄博）勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦圖”的證明簡明、直

觀，是世界公認(rèn)最巧妙的方法.“趙爽弦圖”已成為我國古代數(shù)學(xué)成就的一個(gè)重要標(biāo)志，千百年來倍受

人們的喜愛.小亮在如圖所示的“趙爽弦圖”中，連接EG,DG.若正方形ABC。與EFG8的邊長之比

為泥：1,貝!!sin/OGE等于（）

AD

C-^VlOD.

A?嚕B?哈

3.（2023春?武漢期末）大約公元222年我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)介紹了“勾股圓

方圖”，亦稱“趙爽弦圖”，如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成大正方形ABCD,中空的部分是小正方

形EFGH,連接EG,8。相交于點(diǎn)。8。與HC相交于點(diǎn)P,若GO=GP,則直角三角形的邊CG與

8G之比是（）

AD

A.1B.2C.A/2-1D.V3-V2

25

?題型02正方形與“面積”的綜合

求面積就是求長度，此類綜合題在正方形的基礎(chǔ)上，還有重點(diǎn)考慮以下幾點(diǎn)規(guī)律：

①有正方形就有邊相等，角=90。，當(dāng)正方形很多時(shí)，注意能否證三角形全等來轉(zhuǎn)化等量線段；

②所求圖形面積規(guī)則，則直接求面積（或面積的表達(dá)式），圖形面積不規(guī)則，則間接求其面積（割補(bǔ)法）；

③求面積就是求長度，等量關(guān)系很多時(shí)，求長度勿忘勾股定理；

1.（2023?金華）如圖，在中，ZACB=90°,以其三邊為邊在AB的同側(cè)作三個(gè)正方形，點(diǎn)、F

在GH上，CG與EF交于點(diǎn)、P,CM與BE交于點(diǎn)、Q,若HF=FG,則;四螞^瑾一的值是（）

S正方形ABEF

G

A.1B.cD.6

4-f25

2.（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)校級期末）如圖，在長方形ABC。中，點(diǎn)￡、P分別落在A。、BC上,連接E尸得到

正方形A3FE在B尸上取一點(diǎn)G,OC上取一點(diǎn)H,使得GB=￡W,連接GK.^AGIGH,知道下列

哪個(gè)條件，則可求正方形A8FE的面積（)

A.△KGP的周長B.ZXKGF的面積

C.梯形AGPE的周長D.梯形AGFE的面積

3.（2022秋?溫州期末）如圖，大正方形ABCD由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接而成.點(diǎn)￡

為小正方形的頂點(diǎn)，延長CE交AD于點(diǎn)F,連結(jié)8尸交小正方形的一邊于點(diǎn)G,若△BCF為等腰三角形，

AG=5,則小正方形的面積為（）

?題型03正方形與“三角函數(shù)”的綜合

0?/00：,

正方形與“三角函數(shù)”類綜合問題做題方法：

①已知某角的三角函數(shù)，但該角不在直角三角形中，則常作垂線構(gòu)造，或找到該角的等價(jià)角，再利用比值

設(shè)未知數(shù)；

②此時(shí)的三角函數(shù)常用其正切值

③求某個(gè)角的三角函數(shù)值，可以直接求，也可以轉(zhuǎn)化成其等價(jià)角的正切值來求，常見轉(zhuǎn)化等價(jià)角的方法有

——全等/相似三角形的對應(yīng)角相等，平行線內(nèi)錯(cuò)角/同位角相等，等腰三角形等邊對等角等；

1.（2023?瑞安市模擬）如圖，在中，ZABC=90°,以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)E”，交

AC于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PRLFG于點(diǎn)R.若tan/AHE］，EH=8遍，則PR的值為（)

C.4^D.5遙

2.（2023?溫州模擬）由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形48C。如圖所示，點(diǎn)￡為

小正方形的頂點(diǎn)，延長CE交4。于點(diǎn)八8尸分別交AM,DN于點(diǎn)、G,H,過點(diǎn)。作DN的垂線交

延長線于點(diǎn)K,連結(jié)EK,若為等腰三角形，AG=|,則強(qiáng)的值為（）

DH

旦c

A-2B..亨

~5D?嚼

?題型04正方形與“相似三角形”的綜合

此類問題注重一點(diǎn)：求比值，找相似，正方形相似，多找平行相似的A字圖和8字圖，以及K型相似。

1.（2023?杭州一模）如圖，在正方形A2C￡＞中，點(diǎn)E在邊BC上（不與點(diǎn)2,C重合，點(diǎn)尸在邊AB上，

5.AF^BE,連接AE,DF,對角線AC與交于點(diǎn)G,連接8G,交AE于點(diǎn)H.若。尸=4GW,則此

CG

=（）

C.3.D.5

47

2.（2023?鹿城區(qū)二模）如圖，RtZkABC中，ZACB=90°,分別以AB,BC,AC為邊在△ABC外部作正

方形ADEB,CBFG,ACHI.將正方形ABE。沿直線AB翻折，得到正方形ABE。，AD'與CH交于點(diǎn)、N,

點(diǎn)E在邊FG上,DE與CG交于點(diǎn)M,記△ANC的面積為Si,四邊形BCME的面積為M若CN=2NH,

SI+S2=14,則正方形ABED的面積為（）

A.25B.26C.27D.28

壓軸期預(yù)測

1.如圖，點(diǎn)。在Rt^ABC的直角邊上（與點(diǎn)8,C不重合），CB=CA,以為邊作正方形ADEF,

過點(diǎn)/作FGJ_CA,交CA的延長線于點(diǎn)G,連接EB,交。E于點(diǎn)Q.下列結(jié)論：?AG=CD；@SAFAB：

S四邊形CBFG=1：2；③/ABC=/ABF；?AD2^FQ'AC.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

C.2個(gè)D.1個(gè)

2.如圖，邊長為5的大正方形ABC。是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形EFGH組成，連結(jié)A尸并

延長交CD于點(diǎn)M.若AH=GH,則CM的長為（）

244

3.如圖，正方形ABC。中，AB=4,點(diǎn)E是對角線2。上一點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)E作跖，AE,交8C于點(diǎn)

F,連接A尸，交BD于點(diǎn)M,將沿EF翻折，得到△EFN,連接4V,交EF于點(diǎn)、G,若點(diǎn)產(chǎn)是BC

邊的中點(diǎn)，則線段AN的長是—.

4.如圖，在邊長為4的正方形A2C￡＞中，點(diǎn)G是3c上的一點(diǎn)，且BG=3GC,OE_LAG于點(diǎn)E,BF//DE,

且交AG于點(diǎn)尸，貝。tan/E￡）F的值為.

5.在邊長為4的正方形ABC。中，E是邊上一動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），將AABE沿8E翻折，點(diǎn)A落

在點(diǎn)打處，直線EH交CD于點(diǎn)F,連接BEBE,B尸分別與AC交于點(diǎn)P、Q,連接尸。，PF.則以下

結(jié)論中正確的有（寫出所有正確結(jié)論的序號）.

①PB=PD；②NEFD=2NFBC；?PQ=AP+QC；④△BPE為等腰直角三角形；⑤若連接。“，貝UOH

的最小值為4&-4.

6.公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時(shí)給出了“趙爽弦圖”.將兩個(gè)“趙爽弦圖

（如圖1）中的兩個(gè)正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形MNPQ,記空隙處正方形A8CD,

正方形EEGH的面積分別為Si,S2（Si>&）,則下列四個(gè)判斷：①SI+S2=LS四邊形MNPQ；②DG=2AF；

4

③若/EMH=30°,貝|SI=3S2；④若點(diǎn)A是線段G尸的中點(diǎn)，貝1