甘肅省岷縣第二中學(xué)2024年高三第四次月考模擬數(shù)學(xué)試題

甘肅省岷縣第二中學(xué)2023年高三第四次月考模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．52．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，，，，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則（）A．48 B．63 C．99 D．1203．某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．在邊長為1的等邊三角形中，點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)，，則（）A． B． C． D．6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為點(diǎn)，延長交橢圓于點(diǎn)，若為等腰三角形，則橢圓的離心率A． B．C． D．7．若，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．9．馬林●梅森是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物，梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上對(duì)2p﹣1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如2P﹣1（其中p是素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)，稱為梅森素?cái)?shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．610．設(shè)、，數(shù)列滿足，，，則（）A．對(duì)于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立B．對(duì)于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立C．對(duì)于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立D．對(duì)于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立11．設(shè)集合，，則（）．A． B．C． D．12．已知全集，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，是互相垂直的單位向量，若與λ的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是__．14．觀察下列式子，，，，……，根據(jù)上述規(guī)律，第個(gè)不等式應(yīng)該為__________．15．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______，的最大值是______.16．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，、、分別是、、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若底面是正三角形，，在底面的投影為，求到平面的距離.18．（12分）已知，分別是橢圓：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．（1）求,的值：（2）過點(diǎn)作不與軸重合的直線，設(shè)與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求△的面積．19．（12分）已知橢圓：（）的離心率為，且橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若直線過橢圓的上頂點(diǎn)，求的面積；（2）若，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線，，的斜率分別為，，，求的值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求的值．21．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且垂直于底面，，分別是的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）已知點(diǎn)在棱上且，求直線與平面所成角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)，且曲線在處的切線方程為.（1）求的極值點(diǎn)與極值.（2）當(dāng)，時(shí)，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】試題分析：拋物線焦點(diǎn)在軸上，開口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn)：本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡化運(yùn)算.2．C【解析】

觀察規(guī)律得根號(hào)內(nèi)分母為分子的平方減1，從而求出n.【詳解】解：觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根號(hào)內(nèi)分母為分子的平方減1所以故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理，發(fā)現(xiàn)總結(jié)各式規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】

作出三棱錐的實(shí)物圖，然后補(bǔ)成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計(jì)算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示：將其補(bǔ)成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖，并分析三棱錐的結(jié)構(gòu)，選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.4．C【解析】

根據(jù)平面向量基本定理，用來表示，然后利用數(shù)量積公式，簡單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，所以又所以則故選：C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式，掌握公式，細(xì)心觀察，屬基礎(chǔ)題.5．B【解析】分析：利用的恒等式，將分子、分母同時(shí)乘以，化簡整理得詳解：，故選B點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中的?？紗栴}，屬于得分題，主要考查的方面有：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在運(yùn)算時(shí)注意符號(hào)的正、負(fù)問題.6．B【解析】

設(shè)，則，，因?yàn)?，所以．若，則，所以，所以，不符合題意，所以，則，所以，所以，，設(shè)，則，在中，易得，所以，解得（負(fù)值舍去），所以橢圓的離心率．故選B．7．A【解析】

將化成以為底的對(duì)數(shù)，即可判斷的大小關(guān)系；由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷出與1的大小關(guān)系，從而可判斷三者的大小關(guān)系.【詳解】依題意，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.又因?yàn)椋?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí)，底數(shù)相同，則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大小；若真數(shù)相同，則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大?。蝗粽鏀?shù)和底數(shù)都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.8．C【解析】

利用線線、線面、面面相應(yīng)的判定與性質(zhì)來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面知①正確；當(dāng)直線平行于平面與平面的交線時(shí)也有，，故②錯(cuò)誤；若，則垂直平面內(nèi)以及與平面平行的所有直線，故③正確；若，則存在直線且，因?yàn)椋?，從而，故④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，里面涉及到了相應(yīng)的判定定理以及性質(zhì)定理，是一道基礎(chǔ)題.9．C【解析】

模擬程序的運(yùn)行即可求出答案．【詳解】解：模擬程序的運(yùn)行，可得：p＝1，S＝1，輸出S的值為1，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝3，S＝7，輸出S的值為7，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝5，S＝31，輸出S的值為31，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝7，S＝127，輸出S的值為127，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝9，S＝511，輸出S的值為511，此時(shí)，不滿足條件p≤7，退出循環(huán)，結(jié)束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．10．D【解析】

取，可排除AB；由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況，進(jìn)而得到要使，只需，由此可得到答案.【詳解】取，，數(shù)列恒單調(diào)遞增，且不存在最大值，故排除AB選項(xiàng)；由蛛網(wǎng)圖可知，存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，則；所以要使，只需要，故，化簡得且.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于難題．11．D【解析】

根據(jù)題意，求出集合A，進(jìn)而求出集合和，分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，則故選：D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算，屬于簡單題目,12．A【解析】

求函數(shù)定義域得集合M，N后，再判斷．【詳解】由題意，，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是確定集合中的元素．確定集合的元素時(shí)要注意代表元形式，集合是函數(shù)的定義域，還是函數(shù)的值域，是不等式的解集還是曲線上的點(diǎn)集，都由代表元決定．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．【詳解】解：由題意，設(shè)（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問題，是中檔題．14．【解析】

根據(jù)題意，依次分析不等式的變化規(guī)律，綜合可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，對(duì)于第一個(gè)不等式，，則有，對(duì)于第二個(gè)不等式，，則有，對(duì)于第三個(gè)不等式，，則有，依此類推：第個(gè)不等式為：，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理的應(yīng)用，分析不等式的變化規(guī)律．15．【解析】

利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求出的表達(dá)式，然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出的最大值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2），，令，則且，，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，在時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，取得最大值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16．（或?qū)懗桑窘馕觥?/p>

設(shè)與的夾角為，通過，可得，化簡整理可求出，從而得到答案.【詳解】設(shè)與的夾角為可得，故，將代入可得得到，于是與的夾角為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）連接，連接、交于點(diǎn)，并連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)得出，，利用空間平行線的傳遞性可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）推導(dǎo)出平面，并計(jì)算出，由此可得出到平面的距離為，即可得解.【詳解】（1）連接，連接、交于點(diǎn)，并連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，、分別為、的中點(diǎn)，則，同理可得，.平面，平面，因此，平面；（2）由于在底面的投影為，平面，平面，，為正三角形，且為的中點(diǎn)，，，平面，且，因此，到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，同時(shí)也考查了點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.18．（1）；（2）.【解析】

（1）由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì)，可求出，；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與圓的方程可以求出，再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡，由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論，繼而求出面積．【詳解】（1）焦點(diǎn)為F（1，0），則F1（1，0），F(xiàn)2（1，0），，解得，＝1，＝1，（Ⅱ）由已知，可設(shè)直線方程為，，聯(lián)立得，易知△＞0，則＝＝＝因?yàn)椋裕?，解得聯(lián)立，得，△＝8＞0設(shè)，則【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查利用根與系數(shù)的關(guān)系，解決直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系問題．意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．19．（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求得橢圓的焦點(diǎn)，由此求得，結(jié)合橢圓離心率求得，進(jìn)而求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得直線的方程.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此求得的面積.（2）求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得的值，根據(jù)在橢圓上求得的值，由此求得的值.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.其上頂點(diǎn)為，所以直線：，聯(lián)立，消去整理得，解得，，所以的面積.（2）由題知，，，設(shè)，.由題還可知，直線的斜率不為0，故可設(shè)：.由，消去，得，所以所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的焦點(diǎn)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線與橢圓，三角形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.20．（1），（2）【解析】

(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用消去參數(shù)即可得到直線的直角坐標(biāo)方程;(2)由于在直線上,寫出直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程參數(shù)方程,代入曲線的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出求解即可.【詳解】（1）直線的普通方程為，即，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化，，，而，則，即，故直線l的普通方程為，曲線C的直角坐標(biāo)方程（2）點(diǎn)在直線l上，且直線的傾斜角為，可設(shè)直線的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），代入到曲線C的方程得，，，由參數(shù)