《第十一章 三角形》單元核心考點(diǎn)歸納與單元檢測(cè)

《第十一章三角形》單元核心考點(diǎn)歸納重要線段1三角形的高1．如圖，在△ABC中，邊BC上的高為(

)A．AD B．BE

C．BF D．CG1三角形中的重要線段A重要線段2三角形的中線2．如圖，AD是△ABC的中線，DE是△ADC的中線，已知△ABC的面積為10，則△ADE的面積為(

)A．5 B．3C．2.5 D．2C3．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD為邊BC的中線，若△ACD的周長(zhǎng)為8，則△ABD的周長(zhǎng)是(

)A．8 B．9C．10 D．12B重要線段3三角形的角平分線4．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是邊BC上的三點(diǎn)，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪個(gè)三角形的角平分線(

)A．△ABE B．△ADFC．△ABC D．△ABC，△ADFD關(guān)系1三角形的三邊關(guān)系5．在△ABC中，AB＝8，BC＝2，且AC為偶數(shù)，求△ABC的周長(zhǎng)．解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得8－2＜AC＜8＋2，即6＜AC＜10.∵AC為偶數(shù)，∴AC＝8，∴△ABC的周長(zhǎng)為8＋2＋8＝18.2三個(gè)關(guān)系關(guān)系2三角形的內(nèi)角、外角的關(guān)系6．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，若∠1＝∠B，∠2＝∠C，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A．∠ADC＝∠C B．∠ADC＝2∠BA關(guān)系3多邊形的內(nèi)角、外角的關(guān)系7．一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，且每個(gè)內(nèi)角都比它相鄰?fù)饨堑?倍少20°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和．解：設(shè)這個(gè)多邊形的每個(gè)外角為x.由題意，得x＋4x－20°＝180°，解得x＝40°.∵360°÷40°＝9，∴該多邊形為九邊形，∴這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為(9－2)×180°＝7×180°＝1260°.計(jì)算1三角形中的有關(guān)計(jì)算8．在△ABC中，∠A－∠C＝35°，∠B－∠C＝10°，求∠B的度數(shù)．解：∵∠A－∠C＝35°，∠B－∠C＝10°，∴∠A＝35°＋∠C，∠B＝10°＋∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴35°＋∠C＋10°＋∠C＋∠C＝180°，解得∠C＝45°，∴∠B＝10°＋∠C＝55°.3兩種計(jì)算計(jì)算2多邊形中的有關(guān)計(jì)算9．已知某正多邊形的一個(gè)內(nèi)角都比它相鄰?fù)饨堑?倍還多20°.(1)求這個(gè)正多邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．(2)求這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和．解：(1)設(shè)這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為x.由題意，得180°－x＝3x＋20°，解得x＝40°，180°－40°＝140°，∴這個(gè)正多邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為140°.(2)∵這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為40°，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為360°÷40°＝9，∴這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是(9－2)×180°＝1260°.數(shù)學(xué)思想1方程思想10．如圖，在△ABC中，CE是邊AB上的高，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，∠B＝∠ACB＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA，求∠ACE的度數(shù)．4五種數(shù)學(xué)思想解：設(shè)∠B＝∠ACB＝∠BAD＝x，則∠CAD＝∠CDA＝2x.在△ACD中，2x＋2x＋x＝180°，∴x＝36°，∴∠EAC＝2x＝72°.∵CE是AB上的高，∴∠E＝90°，∴∠ACE＝90°－72°＝18°.數(shù)學(xué)思想2轉(zhuǎn)化思想11．如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)．解：∵∠D＋∠E＝∠EGC，∠EGC＋∠C＝∠BIG，∴∠D＋∠E＋∠C＝∠BIG，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝∠A＋∠B＋∠F＋∠BIG＝360°.數(shù)學(xué)思想3分類討論思想12．等腰三角形的一邊長(zhǎng)為5，一邊長(zhǎng)為9，則它的周長(zhǎng)是______________.19或23數(shù)學(xué)思想4從特殊到一般的思想13．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，CD⊥AB于點(diǎn)D.(1)如圖1，若∠A＝40°，則∠BCD的度數(shù)是__________.(2)如圖2，若∠BAC＝100°，則∠BCD的度數(shù)是__________.(3)若∠BAC＝α，求∠BCD的度數(shù)(用含α的式子表示)．20°50°數(shù)學(xué)思想5整體思想14．如圖，在△ABC中，高BD，CE相交于點(diǎn)H，∠1＋∠2＝246°，求∠BHC的度數(shù)．解：∵∠1＋∠2＝246°，∴∠ABC＋∠ACB＝360°－246°＝114°，∴∠A＝180°－114°＝66°.∵CE，BD為△ABC的高，∴∠AEH＝∠ADH＝90°，∴∠EHD＝360°－∠AEH－∠ADH－∠A＝114°，∴∠BHC＝∠EHD＝114°.《第十一章三角形》單元檢測(cè)(一)(測(cè)試范圍：11.1～11.3時(shí)間：45分鐘滿分：100分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題4分，滿分24分)1．下列圖形中，最具有穩(wěn)定性的是(

)2．在△ABC中，AB＝6，BC＝1，且AC為整數(shù)，則AC的長(zhǎng)是(

)A．4 B．5C．6 D．7DC3．當(dāng)滿足什么條件時(shí)，△ABC是直角三角形(

)4．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是(

)A．8 B．9C．10 D．11DC5．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CD，CE分別是△ABC的高和角平分線，則∠ECD的度數(shù)是(

)A．25° B．20°C．15° D．10°C6．如圖，△EFG的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，F(xiàn)分別在平行線AB，CD上，F(xiàn)H平分∠EFG，交線段EG于點(diǎn)H.若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，則∠EHF的度數(shù)是(

)A．105° B．75°C．90° D．95°B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)7．若△ABC的三個(gè)內(nèi)角相等，則∠A的度數(shù)是__________.8．如圖，在四邊形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，∠B＝62°，則∠D的度數(shù)為____________.60°118°9．如圖，將分別含有30°角，45°角的一副三角尺重疊，使直角頂點(diǎn)重合．若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數(shù)為____________.140°10．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＋∠B＝200°，作∠ADC，∠BCD的平分線交于點(diǎn)O1稱為第1次操作，作∠O1DC，∠O1CD的平分線交于點(diǎn)O2稱為第2次操作，作∠O2DC，∠O2CD的平分線交于點(diǎn)O3稱為第3次操作……則第4次操作后∠CO4D的度數(shù)是____________.170°三、解答題(本大題共5小題，滿分56分)11．(本題10分)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3,5，a，化簡(jiǎn)|a＋1|－|a－8|－2|a－2|.解：∵△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3,5，a，∴5－3＜a＜3＋5，解得2＜a＜8，∴|a＋1|－|a－8|－2|a－2|＝a＋1－(8－a)－2(a－2)＝a＋1－8＋a－2a＋4＝－3.12．(本題10分)如圖，直線DE交△ABC的邊AB，AC于點(diǎn)D，E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若∠B＝60°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度數(shù)．解：在△ABC中，∠A＝180°－∠B－∠ACB＝180°－60°－74°＝46°.同理：在△ADE中，∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝180°－46°－48°＝86°，所以∠BDF＝180°－∠ADE＝180°－86°＝94°.13．(本題10分)已知一個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n.(2)若這個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為108°，求n的值．解得n＝12，即n的值為12.(2)∵正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為108°，∴這個(gè)正多邊形的外角為72°.∵多邊形的外角和為360°，14．(本題12分)如圖，在五邊形ABCDE中，AE⊥DE，∠BAE＝120°，∠BCD＝60°，∠CDE－∠ABC＝30°.(1)求∠CDE的度數(shù)．(2)求證：AB∥CD.解：(1)150°.(2)證明：由(1)得∠CDE＝150°，∴∠ABC＝120°，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD.15．(本題14分)如圖，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分線，BF是△ABC的中線．(1)若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度數(shù)．(2)若AB＝9，△BCF與△BAF的周長(zhǎng)差為3，求BC的長(zhǎng)．解：(1)∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°.∵∠BAD＝65°，∴∠ABD＝90°－65°＝25°.∵CE是△ACB的角平分線，∠ACB＝50°，∴∠AEC＝∠ABD＋∠ECB＝25°＋25°＝50°.(2)∵F是AC中點(diǎn)，∴AF＝FC.∵△BCF與△BAF的周長(zhǎng)差為3，∴(BC＋CF＋BF)－(AB＋AF＋BF)＝3，∴BC－AB＝3.∵AB＝9，∴BC＝12.《第十一章三角形》單元檢測(cè)(二)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)每小題都給出A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的．1．下列圖形具有穩(wěn)定性的是(

)A2．下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長(zhǎng)度，用它們能擺成三角形的是(

)A．7cm,5cm,10cm B．4cm,3cm,7cmC．5cm,10cm,4cm D．2cm,3cm,1cm3．三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是這個(gè)三角形的頂點(diǎn)，則這個(gè)三角形是(

)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．均有可能AB4．一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為4∶5∶6，則這個(gè)三角形一定是(

)A．直角三角形 B．等腰三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形5．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是(

)A．4 B．5C．6 D．7CC6．如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，∠A＝80°，∠ACB＝60°，則∠BDC的度數(shù)是(

)A．80° B．90°C．100° D．110°D7．如圖，在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，BE為△ABC的高．若∠C＝70°，∠ABC＝48°，則∠3的度數(shù)是(

)A．59° B．60°C．61° D．22°A8．如圖，將一個(gè)三角形剪去一個(gè)角后，∠1＋∠2＝240°，則∠A的度數(shù)是(

)A．45° B．60°C．75° D．80°BC10．如圖，四條互相不平行的直線l1，l2，l3，l4截出了七個(gè)角．下列關(guān)于這七個(gè)角的度數(shù)關(guān)系中正確的是(

)A．∠2＝∠4＋∠7 B．∠3＝∠1＋∠6C．∠1＋∠4＋∠6＝180°D．∠2＋∠3＋∠5＝360°C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)12．如圖，AB∥CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，則∠E的度數(shù)是__________.1012°13.如圖，在△ABC中，AB＝2024，AC＝2023，AD為中線，則△ABD與△ACD的周長(zhǎng)的差為______.114．如圖，AB∥CD，∠1＝∠2，BC交AD于點(diǎn)E.(1)如圖1，若AD⊥BD于點(diǎn)D，∠DAB＝40°，則∠3的度數(shù)為__________.(2)如圖2，∠BAD與∠BDF的平分線交于點(diǎn)P，若∠ADB＝70°，∠P的度數(shù)為__________.25°55°三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．有一個(gè)n邊形，其內(nèi)角和與外角和的比是9∶2，求這個(gè)n邊形的邊數(shù)．解：由題意，得(n－2)·180°×2＝360°×9，解得n＝11.答：這個(gè)n邊形的邊數(shù)是11.16．如圖，在五邊形ABCDE中，AB∥CD，求∠AED的度數(shù).解：∵AB∥CD，∴∠C＋∠B＝180°.∵五邊形ABCDE的內(nèi)角和為(5－2)×180°＝540°，∴∠AED＝540°－(∠A＋∠D＋∠C＋∠B)＝540°－(150°＋160°＋180°)＝540°－490°＝50°.四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．(1)利用網(wǎng)格在圖中畫出△ABC的中線CD.(2)利用網(wǎng)格在圖中畫出△ABC的高線AE.(3)△ABC的面積為________.解：(1)如圖所示，CD即為所作．(2)如圖所示，AE即為所作．故答案為8.18．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠BCD＝100°，EC平分∠ACB，求∠A與∠ACE的度數(shù)．解：∵∠B＝45°，∠BCD＝100°，∴∠A＝∠BCD－∠B＝100°－45°＝55°.∵∠BCD＝100°，∴∠ACB＝180°－100°＝80°.又∵EC平分∠ACB，五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，△ABC的周長(zhǎng)為18cm，BE，CF分別是邊AC，AB上的中線，BE，CF相交于點(diǎn)O，AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，且AF＝3cm，AE＝2cm，求BD的長(zhǎng)．解：∵BE，CF分別是邊AC，AB上的中線，∴AD是△ABC的邊BC上的中線，∴AB＝2AF＝6cm，AC＝2AE＝4cm，∴BC＝18－6－4＝8(cm)，20．已知△ABC的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，△ABC的周長(zhǎng)為奇數(shù)．(1)若AC＝8，BC＝2，求AB的長(zhǎng)．(2)若AC－BC＝5，求AB的最小值．解：(1)由三角形三邊關(guān)系知，AC－BC<AB<AC＋BC，∴6<AB<10.又∵△ABC的周長(zhǎng)是奇數(shù)，而AC，BC為偶數(shù)，∴AB為奇數(shù)，∴AB＝7或AB＝9.(2)∵AC－BC＝5，∴AC＋BC是奇數(shù)．又∵△ABC的周長(zhǎng)是奇數(shù)，∴AB為偶數(shù)．∵AB>AC－BC＝5，∴AB的最小值是6.六、(本題滿分12分)21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求∠CBE的度數(shù)．(2)點(diǎn)F是AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作∠AFD＝27°，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：BE∥DF.解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝90°－∠A＝54°，∴∠CBD＝126°.∵BE是∠CBD的平分線，(2)證明：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，∴∠CEB＝90°－63°＝27°.又∵∠F＝27°，∴∠F＝∠CEB＝27°，∴BE∥DF.七、(本題滿分12分)22．在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠E＋∠F＝70°，將△DEF放置在△ABC上，使得∠D的兩條邊DE，DF分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C.(1)如圖1，求∠ABD＋∠ACD的度數(shù)．(2)如圖2，求∠ABD＋∠ACD的度數(shù)．解：(1)∵∠E＋∠F＝70°，