大題02 一次函數(shù)與反比例函數(shù)、二次函數(shù)綜合（7大題型）

大題02一次函數(shù)與反比例函數(shù)、二次函數(shù)綜合一次函數(shù)和反比例函數(shù)、二次函數(shù)綜合問(wèn)題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容,每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟等原因?qū)е率Х?從考點(diǎn)頻率看，一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是考査的基礎(chǔ)也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn).從題型角度看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)、二次函數(shù)常結(jié)合特殊四邊形綜合，難度較高，解題時(shí)要全面考慮，避免遺漏可能出現(xiàn)的情況.題型一：比較大小（取值問(wèn)題）大題典例1．（2020·湖南衡陽(yáng)·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+px+q的圖象過(guò)點(diǎn)(?1,0)（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求當(dāng)?2≤x≤1時(shí)，y的最大值與最小值的差；（3）一次函數(shù)y=(2?m)x+2?m的圖象與二次函數(shù)y=x2+px+q的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是a和b，且a<3<b2．（2023·貴州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象分別與AB,BC交于點(diǎn)D4,1和點(diǎn)E，且點(diǎn)

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)若一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上D,E之間的部分時(shí)（點(diǎn)M可與點(diǎn)D,E解法指導(dǎo)比較一次函數(shù)與反比例函數(shù)值大小一般解題步驟:①求交點(diǎn):聯(lián)立方程求出方程組的解;②分區(qū)間:將一次函數(shù)和反比例函數(shù)兩個(gè)交點(diǎn)以及y軸左右兩側(cè)分層4個(gè)區(qū)間;③比大小:圖像誰(shuí)在上方誰(shuí)就大;④寫出對(duì)應(yīng)區(qū)間自變量的取值范圍。變式訓(xùn)練1．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知：一次函數(shù)y1=x的圖象與拋物線y2=x(1)求p，(2)直接寫出當(dāng)y1>y(3)若將拋物線y2=x2+bx（b為常數(shù)）的圖象向右平移m個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位，且平移后的拋物線的頂點(diǎn)落在直線y2．（2023·浙江杭州·一模）已知：一次函數(shù)y1=x?2?k與反比例函數(shù)(1)若一次函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)?1,?4①求函數(shù)y1②當(dāng)y1<y(2)試證明：當(dāng)k取任何不為0的值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象總有交點(diǎn)．題型二：求三角形的面積大題典例1．（2023·黑龍江大慶·中考真題）一次函數(shù)y=?x+m與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求△OAB的面積；(3)過(guò)動(dòng)點(diǎn)Tt，0作x軸的垂線l，l與一次函數(shù)y=?x+m和反比例函數(shù)y=kx的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)M2．（2022·河南安陽(yáng)·一模）二次函數(shù)y=x2?2x+5和一次函數(shù)y=2x+k（k(1)證明：交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x0必是方程x(2)二次函數(shù)y=x2?2x+5和一次函數(shù)y=2x+k有兩個(gè)不同的交點(diǎn)B和C，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為(?2,13)(3)在（2）的條件下求點(diǎn)B、C與y=x解法指導(dǎo)1）當(dāng)三角形的一邊在x軸或y軸上時(shí),可直接利用面積公式求面積.【方法技巧】在求幾何圖形面積時(shí)，線段的長(zhǎng)度往往通過(guò)計(jì)算某些點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，或縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值去實(shí)現(xiàn).(橫坐標(biāo)相減時(shí)最好用右邊的數(shù)減左邊的數(shù)，縱坐標(biāo)相減時(shí)用上邊的數(shù)減下邊的數(shù)，這樣所得結(jié)果就是邊或高的長(zhǎng)度，就不用絕對(duì)值符號(hào)了).2）利用割補(bǔ)法求面積，即將不規(guī)則圖形分割為規(guī)則圖形計(jì)算面積，可根據(jù)題的特點(diǎn)靈活選擇解法.3）利用鉛垂高計(jì)算三角形面積變式訓(xùn)練1．（2022·浙江寧波·一模）如圖所示，已知二次函數(shù)y1=?x2+2x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3,0），另一個(gè)交點(diǎn)為B(1)求m的值；(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的一次函數(shù)y2=kx+b平分△ABC的面積．求k、2．（2024·甘肅武威·二模）已知一次函數(shù)y1=?x+7的圖象與反比例函數(shù)y2=kx圖象交于(1)反比例函數(shù)的解析式．(2)△AOB的面積．題型三：動(dòng)點(diǎn)與三角形面積問(wèn)題大題典例1．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，直線AB與反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象交于點(diǎn)A?2,m，Bn,2，過(guò)點(diǎn)A作AC∥y軸交x軸于點(diǎn)C，在x軸正半軸上取一點(diǎn)D，使OC=2OD，連接BC

(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)P為第一象限內(nèi)直線AB上一點(diǎn)，且△PAC的面積等于△BAC面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形．點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上．反比例函數(shù)y=kxx>0

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，且橫坐標(biāo)大于2，S△OBD=3．求直線解法指導(dǎo)動(dòng)點(diǎn)P的一般解題思路:①根據(jù)情況設(shè)P的坐標(biāo)，如在x軸上則設(shè)(m,0)，若在直線y-kx+b上，則設(shè)(m，km+b);②根據(jù)題意列式，注意距離要加絕對(duì)值;③分類討論，寫出正確結(jié)果。變式訓(xùn)練1．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象相交于點(diǎn)A22,m，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=kxx>0圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x(1)求k與m的值；(2)若△OPG的面積是2，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．（2023·河南濮陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)y=kxx>0和y=6xx>0的圖象如圖所示，點(diǎn)Ca,0是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，分別與y=

(1)當(dāng)a=2時(shí)，線段AB=92，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及(2)小明同學(xué)提出了一個(gè)猜想：“當(dāng)k值一定時(shí)，△OAB的面積隨a值的增大而減?。蹦阏J(rèn)為他的猜想對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．題型四：與線段關(guān)系問(wèn)題大題典例1．（2023·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AC=BC，AB⊥x軸，垂足為A．反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．已知AB=8(1)若OA=9，求k的值；(2)連接OC，若BD=BC，求k的值．2．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=mx的圖像相交于A?1,4

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Pn,0在x軸負(fù)半軸上，連接AP，過(guò)點(diǎn)B作BQ∥AP，交y=mx的圖像于點(diǎn)Q，連接PQ．當(dāng)BQ=AP解法指導(dǎo)等量關(guān)系一般解題思路:利用反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)并用含同一字母的代數(shù)式表示，再利用線段等量關(guān)系得到關(guān)于該字母的方程，然后解方程即可得到這兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo):【補(bǔ)充】:①根據(jù)全等，求線段等量關(guān)系:②根據(jù)特殊角(30°，45°，60°)，求線段等量關(guān)系:③根據(jù)相似，求線段等量關(guān)系;④)根據(jù)三角函數(shù)，求線段等量關(guān)系;變式訓(xùn)練1．（2023·浙江金華·一模）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=3xx<0上一點(diǎn)，點(diǎn)B是反比例函數(shù)y=kxx>0上一點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且(1)若AO=BO，求k的值．(2)若AO=2BO，求k的值．題型五：最值問(wèn)題大題典例1．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C3，0，頂點(diǎn)A、B

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ABP周長(zhǎng)的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)A?3,0,B

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點(diǎn)Px0,y0，其中y(3)若點(diǎn)D，E分別是線段AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=2CD，求CE+2BD的最小值．3．（2023·寧夏·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是?1,0

(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小．求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PA+PC的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，連接BC交MN于點(diǎn)Q．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)MQ+2CQ的值最大時(shí)，求點(diǎn)4．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A?1,0、點(diǎn)B5,0

(1)求b，c的值．(2)點(diǎn)Px①當(dāng)x0取何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出△PBC②過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，交BC于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)P作PF∥x軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使△PEF為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解法指導(dǎo)一、面積最值問(wèn)題題目要求：在拋物線上的第一象限找一點(diǎn)P，使S△方法簡(jiǎn)介：方法一：S=12方法二：作l//BC，l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P，此時(shí)h最大，S△PBC面積最大，聯(lián)立l與拋物線，△二、線段最值問(wèn)題對(duì)于阿氏圓而言：當(dāng)系數(shù)k＜1的時(shí)候，一般情況下，考慮向內(nèi)構(gòu)造.當(dāng)系數(shù)k＞1的時(shí)候，一般情況下，考慮向外構(gòu)造.【注意事項(xiàng)】針對(duì)求PA+kPB的最小值問(wèn)題時(shí)，當(dāng)軌跡為直線時(shí)，運(yùn)用“胡不歸模型”求解；當(dāng)軌跡為圓形時(shí)，運(yùn)用“阿氏圓模型”求解.變式訓(xùn)練1．（2023·山東濟(jì)南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y=kxx>0經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，△ABC為直角三角形，AC∥x軸，AB(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M是y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接MB、MC；①求MB+MC的最小值；②點(diǎn)N是反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像上的一個(gè)點(diǎn)，若△CMN是以CN2．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=14x2?14x?3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且OC=OB，

(1)寫出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)剛好落在拋物線上時(shí)，求此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接BD、CE，當(dāng)CD=AE時(shí)，求BD+CE的最小值．3．（2023·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于C，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，M(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)如圖（1），P點(diǎn)為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA、PC、PO，PO交AC于點(diǎn)Q，若PO將△APC的面積分為1：2兩部分，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖（2），若點(diǎn)N是第三象限的拋物線上一點(diǎn)，連接NM，交直線AC于E，當(dāng)∠NEC=∠BCM時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若F是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出NF+104．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(?1,0)，B(5,0)兩點(diǎn)，C為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，連接AC，BC(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE交拋物線于點(diǎn)F，連接FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連接PB，求355．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?14x2+bx+3的對(duì)稱軸是直線x=2，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)M為第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)D，連接CM，當(dāng)線段CM=CD時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)以原點(diǎn)O為圓心，AO長(zhǎng)為半徑作⊙O，點(diǎn)P為⊙O上的一點(diǎn)，連接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．題型六：特殊四邊形存在性問(wèn)題大題典例1．（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:y=kx+2與x，y軸分別相交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)y=mxx>0的圖象相交于點(diǎn)C，已知OA=1(1)求k，m的值；(2)平行于y軸的動(dòng)直線與l和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)D，E，若以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．2．（2021·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，直線y=32x與雙曲線y=kxk≠0交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為m,?3，點(diǎn)C是雙曲線第一象限分支上的一點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)交（1）求k的值并直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)G是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得四邊形ABPQ是矩形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解法指導(dǎo)類型一：平行四邊形存在性問(wèn)題平行四邊形存在性問(wèn)題通?？煞譃椤叭ㄒ粍?dòng)”和“兩定兩動(dòng)”兩大類問(wèn)題.而且“三定一動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)和“兩定兩動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣,“三定一動(dòng)”中動(dòng)點(diǎn)是在平面中橫縱坐標(biāo)都不確定，需要用兩個(gè)字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動(dòng)點(diǎn)”，而有一些動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸、直線或者拋物線上，用一個(gè)字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，稱為“半動(dòng)點(diǎn)”.找不同圖形的存在性最多可以有幾個(gè)未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個(gè)未知量.究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì):(1)對(duì)邊平行且相等:(2)對(duì)角線互相平分.但此兩個(gè)性質(zhì)統(tǒng)一成一個(gè)等式:xA類型二：菱形存在性問(wèn)題和平行四邊形相比，菱形多一個(gè)“對(duì)角線互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實(shí)是等價(jià)的，故若四邊形ABCD是菱形，則其4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)需滿足:xA解決問(wèn)題的方法也可有如下兩種:思路1:先平四，再菱形.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“4+C-B+D”(AC、BD為對(duì)角線)，再結(jié)合組鄰邊相等，得到方程組，思路2:先等腰，再菱形.在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個(gè)點(diǎn)，再確定第4個(gè)點(diǎn).類型三：矩形存在性問(wèn)題矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個(gè)等式:xA+xC=xB+xD類型四：正方形存在性問(wèn)題思路1:從判定出發(fā)1）若已知菱形，則加有一個(gè)角為直角或?qū)蔷€相等:2）若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直:3）若已知對(duì)角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件.思路2:構(gòu)造三乖直全等若條件并未給關(guān)于四邊形及對(duì)角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，必是等腰直角三角形，若已知兩定點(diǎn)，則可通過(guò)構(gòu)造三垂直全等來(lái)求得第3個(gè)點(diǎn)，再求第4點(diǎn).總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點(diǎn)的情形，若題目給了4個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則考慮矩形的判定出發(fā)，觀察該四邊形是否己為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系.（正方形的存在性問(wèn)題在中考中出現(xiàn)得并不多，正方形多以小題壓軸為主）變式訓(xùn)練1．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=mx+n與反比例函數(shù)y=kx的圖象在第一象限內(nèi)交于Aa,4和B4,2兩點(diǎn)，直線AB與x軸相交于點(diǎn)(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)x>0時(shí)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式mx+n≥k(3)過(guò)點(diǎn)B作BD平行于x軸，交OA于點(diǎn)D，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)O、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（23-24九年級(jí)上·四川成都·期末）如圖1，反比例函數(shù)y=kx與一次函數(shù)y=x+b的圖象交于A，(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)一次函數(shù)y=x+b的圖象與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（未在圖中畫出）是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若S△OCD=3，求點(diǎn)(3)若點(diǎn)M是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，N，使得四邊形ABMN是矩形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)3．（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）一次函數(shù)y=12x+2與x軸交于C點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，直線BC與反比例函數(shù)y=(1)求出a，k的值；(2)M為線段BC上的點(diǎn)，將點(diǎn)M向右平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)N，點(diǎn)N恰巧在反比例函數(shù)y=kx上，求出點(diǎn)(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)P，Q，使得四邊形MAPQ為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型七：特殊角存在性問(wèn)題大題典例1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)圖象y=2x+b與y軸交于點(diǎn)A0,6，與反比例函數(shù)y=mx的圖象的交點(diǎn)為B

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求△BCO的面積；(3)當(dāng)x<0時(shí)，在反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)Q，使得∠BOQ=∠OAB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解法指導(dǎo)【常見的構(gòu)角方法】1）平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；2）等腰三角形的等邊對(duì)等角；3）角平分線分的兩個(gè)角相等；4）全等（相似）三角形對(duì)應(yīng)角相等；5）若兩角的三角函數(shù)值相等，則兩角相等；6）同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.探究角度問(wèn)題的一般步驟如下：1）讀題、理解題意，畫圖；2）分析動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)、找不變特征（如角有兩邊，其中一條邊是確定的）；3）確定分類特征，進(jìn)行分類討論；4）將角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化.角度轉(zhuǎn)化的一般方法為：通過(guò)銳角三角形函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形或等腰三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為常見的類型，然后利用解直角三角形、相似三角形邊的比例關(guān)系作為計(jì)算工具去計(jì)算求解，難度相對(duì)較大.變式訓(xùn)練1．（2024·四川成都·一模）如圖，一次函數(shù)y=12x?1的圖象與反比例函數(shù)y=mx(1)求反比例函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)∠MBA=45°時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)我們把對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形稱為“垂等四邊形”．設(shè)點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的N,M兩點(diǎn)，使四邊形ABNM是“垂等四邊形”，且∠ABM=∠MAN？若存在，求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（23-24九年級(jí)上·四川成都·期末）如圖1，直線y=ax+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,0，交反比例函數(shù)y=kx(x<0)的圖象于點(diǎn)

(1)求反比例函數(shù)表達(dá)式；(2)過(guò)點(diǎn)P作PC∥x軸交直線AB于點(diǎn)C，連接AP，BP若△ACP的面積是△BPC面積的2倍，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)．(3)在反比例函數(shù)y=kx(x<0)圖象上是否存在點(diǎn)P，使∠BAP=45°必刷大題刷模擬1．（2024·河南周口·一模）如圖，一次函數(shù)y=kx+1(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=ax(a≠0,x>0)的圖象交于點(diǎn)A(1,m)，與y軸交于點(diǎn)B，與x(1)求k與a的值．(2)P是x軸正半軸上一點(diǎn)，若BP=BC，求△PAB的面積．2．（2023·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）一次函數(shù)y1=?x+4圖像與反比例函數(shù)y2=kx圖像在第一象限內(nèi)交于兩點(diǎn)A，B，與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)(1)求反比例函數(shù)關(guān)系式和A與B兩點(diǎn)坐標(biāo)．(2)若點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖像上，S△POD=2S3．（2024·四川達(dá)州·二模）如圖，一次函數(shù)y=12x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象交于(1)求k的值；(2)請(qǐng)直接寫出不等式kx(3)若P是x軸上一點(diǎn)，PM⊥x軸交一次函數(shù)y=12x+1的圖象于點(diǎn)M，交反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象于點(diǎn)4．（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）一次函數(shù)y=12x+2與x軸交于C點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，直線BC與反比例函數(shù)y=(1)求出a，k的值；(2)M為線段BC上的點(diǎn)，將點(diǎn)M向右平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)N，點(diǎn)N恰巧在反比例函數(shù)y=kx上，求出點(diǎn)(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)P，Q，使得四邊形MAPQ為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖，一次函數(shù)．y1=kx+bk≠0與反比例函數(shù)y2=(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P在線段AB上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)y2的圖象于點(diǎn)Q，若△POQ面積為3，求點(diǎn)P6．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2x的圖象l與函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的圖象（記為Γ）交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，且AB=1，點(diǎn)C在線段OB上（不含端點(diǎn)），且OC=t，過(guò)點(diǎn)C作直線l1∥x軸，交l于點(diǎn)(1)求k的值，并且用含t的式子表示點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；(2)連接OE、BE、AE，記△OBE、△ADE的面積分別為S1、S2，設(shè)7．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?2,0，且與二次函數(shù)y=kx2(1)求一次函數(shù)與二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)設(shè)M是直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸，交二次函數(shù)y=kx2+x?1的圖象于點(diǎn)N，若以點(diǎn)O、C、M、N8．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)y=33x+3的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，拋物線y=?3

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在直線AB上方是否存在點(diǎn)P使△PAB的面積最大？若存在，請(qǐng)求出△PAB面積的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)，請(qǐng)說(shuō)明理由．刷真題1．（2023·西藏·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=x+2與反比例函數(shù)y=ax的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,m，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

(1)求m,n的值和反比例函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A'，在x軸上找一點(diǎn)P，使PA'2．（2023·四川·中考真題）如圖，已知一次函數(shù)y=kx+6的圖象與反比例函數(shù)y=mxm>0的圖象交于A3，4，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，將直線AB沿

(1)求k，m的值及C點(diǎn)坐標(biāo)；(2)連接AD，CD，求△ACD的面積．3．（2023·湖北黃岡·中考真題）如圖，一次函數(shù)y1=kx+b(k≠0)與函數(shù)為y2

(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象，直接寫出滿足y1?y(3)點(diǎn)P在線段AB上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)y2的圖象于點(diǎn)Q，若△POQ面積為3，求點(diǎn)P4．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象交于點(diǎn)A4,n．將點(diǎn)A沿x軸正方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B,D為x軸正半軸上的點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，連接BD,BD的中點(diǎn)

(1)求n,k的值；(2)當(dāng)m為何值時(shí)，AB?OD的值最大?最大值是多少?5．（2023·四川樂(lè)山·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=4x的圖象交于點(diǎn)Am,4，與x軸交于點(diǎn)B，與y

(1)求m的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)已知P為反比例函數(shù)y=4x圖象上的一點(diǎn)，S△OBP6．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=kx+b(k>0)的圖像與反比例函數(shù)y=8x(x>0)的圖像交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，AD⊥x軸于點(diǎn)D，CB=CD，點(diǎn)C關(guān)于直線AD(1)點(diǎn)E是否在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)連接AE、DE，若四邊形ACDE為正方形．①求k、b的值；②若點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)|PE?PB|最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

7．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=2x+b與反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖像交于點(diǎn)A1,4，與(1)k=_________，b=_________；(2)連接并延長(zhǎng)AO，與反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖像交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在y軸上，若以O(shè)、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB8．（2020·山東泰安·中考真題）若一次函數(shù)y=?3x?3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,0，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)A，B（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖（1），過(guò)點(diǎn)C作CD//x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)E在拋物線上（y軸左側(cè)），若BC恰好平分∠DBE．求直線（3）如圖（2），若點(diǎn)P在拋物線上（點(diǎn)P在y軸右側(cè)），連接AP交BC于點(diǎn)F，連接BP，S△BFP①當(dāng)m=12時(shí)，求點(diǎn)②求m的最大值．

大題02一次函數(shù)與反比例函數(shù)、二次函數(shù)綜合一次函數(shù)和反比例函數(shù)、二次函數(shù)綜合問(wèn)題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容,每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟等原因?qū)е率Х?從考點(diǎn)頻率看，一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是考査的基礎(chǔ)也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn).從題型角度看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)、二次函數(shù)常結(jié)合特殊四邊形綜合，難度較高，解題時(shí)要全面考慮，避免遺漏可能出現(xiàn)的情況.題型一：比較大小（取值問(wèn)題）大題典例1．（2020·湖南衡陽(yáng)·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+px+q的圖象過(guò)點(diǎn)(?1,0)（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求當(dāng)?2≤x≤1時(shí)，y的最大值與最小值的差；（3）一次函數(shù)y=(2?m)x+2?m的圖象與二次函數(shù)y=x2+px+q的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是a和b，且a<3<b【答案】（1）y=x2?x?2；（2）25【分析】（1）利用待定系數(shù)法將點(diǎn)(?1,0)，(2,0)代入解析式中解方程組即可；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)關(guān)系式得到對(duì)稱軸x=12，從而知在?2≤x≤1中，當(dāng)x=-2時(shí)，y有最大值，當(dāng)（3）根據(jù)兩函數(shù)相交可得出x與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)有兩個(gè)交點(diǎn)可得出Δ>0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出a，b的值，然后根據(jù)a<3<b，整理得出m的取值范圍．【詳解】解：（1）∵y=x2+px+q的圖象過(guò)點(diǎn)(?1,0)∴1?p+q=0解得p=?1∴y=（2）由（1）得，二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=∴當(dāng)?2≤x≤1時(shí)，y的最大值為(-2)2-(-2)-2=4,y的最小值為1∴y的最大值與最小值的差為4??（3）由題意及（1）得y=整理得x即(x+1)∵一次函數(shù)y=(2?m)x+2?m的圖象與二次函數(shù)y=x2+px+q的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是a∴Δ=化簡(jiǎn)得m即m?5解得m≠5∴a，b為方程(x+1)x?又∵a<3<b∴a=-1，b=4-m即4-m>3∴m<1綜上所述，m的取值范圍為m<1．【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．2．（2023·貴州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象分別與AB,BC交于點(diǎn)D4,1和點(diǎn)E，且點(diǎn)

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)若一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上D,E之間的部分時(shí)（點(diǎn)M可與點(diǎn)D,E【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為y=4x(2)?3≤m≤0【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC∥OA，AB⊥OA，再由D4,1是AB的中點(diǎn)得到B4，（2）求出直線y=x+m恰好經(jīng)過(guò)D和恰好經(jīng)過(guò)E時(shí)m的值，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵四邊形OABC是矩形，∴BC∥OA，∵D4,1是AB∴B4∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為2，∵反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象分別與AB,BC交于點(diǎn)D∴1=k∴k=4，∴反比例函數(shù)解析式為y=4在y=4x中，當(dāng)y=4∴E2（2）解：當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)E2，2時(shí)，則2+m=2當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)D4，1時(shí)，則4+m=1∵一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上D,E之間的部分時(shí)（點(diǎn)M∴?3≤m≤0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，矩形的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．解法指導(dǎo)比較一次函數(shù)與反比例函數(shù)值大小一般解題步驟:①求交點(diǎn):聯(lián)立方程求出方程組的解;②分區(qū)間:將一次函數(shù)和反比例函數(shù)兩個(gè)交點(diǎn)以及y軸左右兩側(cè)分層4個(gè)區(qū)間;③比大小:圖像誰(shuí)在上方誰(shuí)就大;④寫出對(duì)應(yīng)區(qū)間自變量的取值范圍。變式訓(xùn)練1．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知：一次函數(shù)y1=x的圖象與拋物線y2=x(1)求p，(2)直接寫出當(dāng)y1>y(3)若將拋物線y2=x2+bx（b為常數(shù)）的圖象向右平移m個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位，且平移后的拋物線的頂點(diǎn)落在直線y【答案】(1)p=3(2)當(dāng)y1>(3)m=n?2【分析】（1）根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法，列二元一次方程組求解即可得到答案；（2）根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求出兩個(gè)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合由函數(shù)圖象解不等式的方法求解即可得到答案；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的平移法則得到平移后的拋物線解析式，再由新拋物線頂點(diǎn)落在直線y1【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)y1=x的圖象與拋物線y2=x∴p=3p=3∴p=3，（2）解：聯(lián)立方程組y=xy=x2?2x，解得作出一次函數(shù)y1=x的圖象與拋物線y2∴當(dāng)y1>y2（3）解：由（1）知拋物線為y2若將拋物線y2=x2?2x的圖象向右平移m個(gè)單位，再向上平移n∵平移后的拋物線y2=x?1?m2?1+n∴m=n?2．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，涉及函數(shù)圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)求系數(shù)、解二元一次方程組、求函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)、作函數(shù)圖象、利用函數(shù)圖象解不等式、函數(shù)圖象平移等知識(shí)，讀懂題意，掌握相關(guān)函數(shù)圖象與性質(zhì)解函數(shù)綜合題目是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江杭州·一模）已知：一次函數(shù)y1=x?2?k與反比例函數(shù)(1)若一次函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)?1,?4①求函數(shù)y1②當(dāng)y1<y(2)試證明：當(dāng)k取任何不為0的值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象總有交點(diǎn)．【答案】(1)①一次函數(shù)解析式為：y1=x?3；反比例函數(shù)解析式為：y2=?4x；兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為1,?2(2)見解析【分析】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用：（1）利用待定系數(shù)法求出解析式，即可求解；（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式，可得x2【詳解】（1）解：①∵一次函數(shù)y1=x?2?k的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)∴?1?2?k=?4，∴k=1，∴一次函數(shù)解析式為：y1=x?3；反比例函數(shù)解析式為：聯(lián)立方程組y=x?3y=?2x，解得x=1∴兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為1,?2，2,?1．②畫出兩個(gè)函數(shù)圖象如圖所示：當(dāng)y1<y2時(shí)，寫出x的取值范圍為（2）解：一次函數(shù)y1=x?2?k與反比例函數(shù)y2?2k整理得：x2∵Δ=∴當(dāng)k取任何不為0的值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象總有交點(diǎn)．題型二：求三角形的面積大題典例1．（2023·黑龍江大慶·中考真題）一次函數(shù)y=?x+m與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求△OAB的面積；(3)過(guò)動(dòng)點(diǎn)Tt，0作x軸的垂線l，l與一次函數(shù)y=?x+m和反比例函數(shù)y=kx的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)M【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為y=?x+3，反比例函數(shù)的解析式為y=(2)3(3)t<0或1<t<2【分析】（1）把A1，2（2）聯(lián)立y=?x+3y=2x求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，令直線AB與x交于點(diǎn)C，由直線AB求出點(diǎn)C（3）直接由函數(shù)圖象即可得到答案．【詳解】（1）解：把A1，2得?1+m=2，解得：m=3，∴一次函數(shù)的解析式為：y=?x+3，把A1，2得k1解得：k=2，∴反比例函數(shù)的解析式為：y=2（2）解：聯(lián)立y=?x+3y=解得：x=1y=2或x=2∴B2令直線AB與x交于點(diǎn)C，如圖，

，當(dāng)y=0時(shí)，?x+3=0，解得：x=3，∴C3∴（3）解：由圖象可得：

，當(dāng)M在N的上方時(shí)，t的取值范圍為：t<0或1<x<2．【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式、求一次函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河南安陽(yáng)·一模）二次函數(shù)y=x2?2x+5和一次函數(shù)y=2x+k（k(1)證明：交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x0必是方程x(2)二次函數(shù)y=x2?2x+5和一次函數(shù)y=2x+k有兩個(gè)不同的交點(diǎn)B和C，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為(?2,13)(3)在（2）的條件下求點(diǎn)B、C與y=x【答案】(1)見解析(2)（6，29）(3)60【分析】（1）聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式即可得到答案；（2）先求出一次函數(shù)的解析式，然后聯(lián)立一次函數(shù)和二次函數(shù)即可求解；（3）先求出拋物線y=x2?2x+5的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出直線CD的解析式，從而求出點(diǎn)E【詳解】（1）解：聯(lián)立y=x2?2x+5∵二次函數(shù)y=x2?2x+5和一次函數(shù)y=2x+k（k∴點(diǎn)A既在二次函數(shù)圖象上，也在一次函數(shù)圖象上，∴交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x0必是方程x（2）解：∵二次函數(shù)與一次函數(shù)的一個(gè)交點(diǎn)為（-2，13），∴?4+k=13，∴k=17，∴一次函數(shù)解析式為y=2x+17，聯(lián)立y=x2?2x+5解得x=6或x=?2（舍去），∴y=12+17=29，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，29）；（3）解：設(shè)拋物線y=x2?2x+5∵拋物線y=x2?2x+5∴拋物線y=x2?2x+5設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n，直線CD與直線y=13交于點(diǎn)E∴m+n=46m+n=29∴m=5n=?1∴直線CD的解析式為y=5x?1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為145∴BE=24∴S△BCD=1===60【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，三角形面積，熟知待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和求一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．解法指導(dǎo)1）當(dāng)三角形的一邊在x軸或y軸上時(shí),可直接利用面積公式求面積.【方法技巧】在求幾何圖形面積時(shí)，線段的長(zhǎng)度往往通過(guò)計(jì)算某些點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，或縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值去實(shí)現(xiàn).(橫坐標(biāo)相減時(shí)最好用右邊的數(shù)減左邊的數(shù)，縱坐標(biāo)相減時(shí)用上邊的數(shù)減下邊的數(shù)，這樣所得結(jié)果就是邊或高的長(zhǎng)度，就不用絕對(duì)值符號(hào)了).2）利用割補(bǔ)法求面積，即將不規(guī)則圖形分割為規(guī)則圖形計(jì)算面積，可根據(jù)題的特點(diǎn)靈活選擇解法.3）利用鉛垂高計(jì)算三角形面積變式訓(xùn)練1．（2022·浙江寧波·一模）如圖所示，已知二次函數(shù)y1=?x2+2x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3,0），另一個(gè)交點(diǎn)為B(1)求m的值；(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的一次函數(shù)y2=kx+b平分△ABC的面積．求k、【答案】(1)m=3(2)k=【分析】（1）將點(diǎn)A（3，0）代入y1=?x（2）由（1）的m=3得?x2+2x+3=0，求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再由一次函數(shù)y2=kx+b平分△ABC的面積，可知一次函數(shù)y2=kx+b【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y1=?x2+2x+m∴0=?9+6+m，∴m=3；（2）如上圖，∵一次函數(shù)y2=kx+b平分△∴一次函數(shù)y2=kx+b平分線段∴一次函數(shù)y2=kx+b經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)∵m=3，∴?x2+2x+3=0時(shí)，解得x∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（-1，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，3），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（32，32∵一次函數(shù)y2=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)∴0=?k+b3解得：{【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)解析式的求法，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．2．（2024·甘肅武威·二模）已知一次函數(shù)y1=?x+7的圖象與反比例函數(shù)y2=kx圖象交于(1)反比例函數(shù)的解析式．(2)△AOB的面積．【答案】(1)y=?(2)63【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解題關(guān)鍵是反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式，注意數(shù)形結(jié)合思想．（1）把x=?1代入y1=?x+7可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（2）解析式聯(lián)立，解方程組求得B的坐標(biāo)，然后確定C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用△AOB的面積=S【詳解】（1）解：∵A點(diǎn)的橫坐標(biāo)?1且在一次函數(shù)y1∴A?1,8∵A?1,8在反比例函數(shù)y∴k=?8，故反比例函數(shù)的解析式為：y=?（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸如圖：一次函數(shù)y1=?x+7與x軸交點(diǎn)為令y1解得x=7，∴C7,0聯(lián)立y=?x+7y=?解得：x=?1y=8或x=?8∴B8,?1∴=63題型三：動(dòng)點(diǎn)與三角形面積問(wèn)題大題典例1．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，直線AB與反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象交于點(diǎn)A?2,m，Bn,2，過(guò)點(diǎn)A作AC∥y軸交x軸于點(diǎn)C，在x軸正半軸上取一點(diǎn)D，使OC=2OD，連接BC

(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)P為第一象限內(nèi)直線AB上一點(diǎn)，且△PAC的面積等于△BAC面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y=?8(2)P【分析】（1）根據(jù)OC=2OD，可得三角形面積之比，計(jì)算出△AOC的面積，面積乘2即為k=8（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線AB的解析式為y=x+6，設(shè)符合條件的點(diǎn)Pm,m+6【詳解】（1）解：∵OC=2OD，△ACD的面積是6，∴S△AOC∴k=8∵圖象在第二象限，∴k=?8，∴反比例函數(shù)解析式為：y=?8（2）∵點(diǎn)A?2,m，Bn,2，在∴m=4，n=?4，∴A?2,4，B設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，?2k+b=4?4k+b=2解得：k=1b=6∴直線AB的解析式為y=x+6，∵AC∥y軸交x軸于點(diǎn)C，∴C?2,0∴S△ABC設(shè)直線AB上在第一象限的點(diǎn)Pm,m+6∴S△PAC∴2m+4=8，∴m=2，∴P2,8【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式．2．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形．點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上．反比例函數(shù)y=kxx>0

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，且橫坐標(biāo)大于2，S△OBD=3．求直線【答案】(1)y=(2)y=?【分析】（1）根據(jù)四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入y=kx求出（2）設(shè)Da,4a，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸，根據(jù)S△OBD=【詳解】（1）解：∵四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴S正方形∴k=4；即反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=4（2）解：設(shè)Da,4a，過(guò)點(diǎn)D

∵點(diǎn)B2,2，Da,4∴SS△BHDS∵S∴a+4(a?2)解得：a1=4，a2即點(diǎn)D4,1設(shè)直線BD的函數(shù)解析式為y=kx+b，得∶2k+b=24k+b=1，解得：k=?即：直線BD的函數(shù)解析式為y=?1【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)y=kx圖象上任意一點(diǎn)做x軸、y軸的垂線，組成的長(zhǎng)方形的面積等于解法指導(dǎo)動(dòng)點(diǎn)P的一般解題思路:①根據(jù)情況設(shè)P的坐標(biāo)，如在x軸上則設(shè)(m,0)，若在直線y-kx+b上，則設(shè)(m，km+b);②根據(jù)題意列式，注意距離要加絕對(duì)值;③分類討論，寫出正確結(jié)果。變式訓(xùn)練1．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象相交于點(diǎn)A22,m，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=kxx>0圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x(1)求k與m的值；(2)若△OPG的面積是2，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)k=8，m=2(2)P【分析】本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)A22,m代入正比例函數(shù)y=x可得m值，從而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A（2）根據(jù)（1）可得反比例函數(shù)的解析式為y=8x，再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為Pa,8a，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為Ga,a，從而可得【詳解】（1）解：將點(diǎn)A22,m代入正比例函數(shù)y=x則A2將點(diǎn)A22,22代入反比例函數(shù)（2）解：由（1）可知，反比例函數(shù)的解析式為y=8設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為Pa,8aa>0，則點(diǎn)∴OH=a,PG=8∵△OPG的面積是2，∴12a8解得a=2或a=?2<0（不符合題意，舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，a=2是所列方程的解，∴8a即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2,42．（2023·河南濮陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)y=kxx>0和y=6xx>0的圖象如圖所示，點(diǎn)Ca,0是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，分別與y=

(1)當(dāng)a=2時(shí)，線段AB=92，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及(2)小明同學(xué)提出了一個(gè)猜想：“當(dāng)k值一定時(shí)，△OAB的面積隨a值的增大而減?。蹦阏J(rèn)為他的猜想對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)點(diǎn)A為(2,?32)，點(diǎn)B為(2,3)，k(2)小明猜想不正確，理由見解析【分析】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，三角形面積，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，其中理解反比例函數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．（1）由過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線叫解析式為A、B兩點(diǎn)可知：當(dāng)點(diǎn)C為(a,0)，則點(diǎn)B坐標(biāo)為(a,6a)，點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,?ka（2）根據(jù)題意列出AB的關(guān)系式，再根據(jù)公式S△OAB【詳解】（1）由題意可知：點(diǎn)C為(a,0)，則點(diǎn)B坐標(biāo)為(a,6a)，點(diǎn)A當(dāng)a=2時(shí)，則點(diǎn)A為(2,?k2)，點(diǎn)B∴BC=3．∵AB=9∴AC=AB?BC=3∴?k∴k=?3．∴點(diǎn)A為(2,?32)，點(diǎn)B為(2,3)，k（2）由題意可知：AB=6a?∴S∵k值一定，∴△OAB的面積一定，∴小明猜想不正確．題型四：與線段關(guān)系問(wèn)題大題典例1．（2023·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AC=BC，AB⊥x軸，垂足為A．反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．已知AB=8(1)若OA=9，求k的值；(2)連接OC，若BD=BC，求k的值．【答案】(1)k=24(2)k=36【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得出AE、BE，的長(zhǎng)，再利用勾股定理得出的長(zhǎng)，得出C點(diǎn)坐標(biāo)即可得到答案．（2）首先表示出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用反比例函數(shù)圖像上的性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用勾股定理可求得的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：（1）作CE⊥AB，垂足為E，∵AC=BC，AB=8，∴AE=BE=4．在Rt△BCE中，BC=5，∴CE=B∵OA=9，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為：(6,4)，∵反比例函數(shù)y=kx(x>0)∴k=6×4=24，（2）（2）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,0)，∵BD=BC=5，AB=8，∴AD=3，∵D，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：(m,3)，(m?3,4)．∵點(diǎn)C，D都在反比例函數(shù)y=k∴3m=4(m?3)，∴m=12，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為：(9,4)，∴k=9×4=36．2．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=mx的圖像相交于A?1,4

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Pn,0在x軸負(fù)半軸上，連接AP，過(guò)點(diǎn)B作BQ∥AP，交y=mx的圖像于點(diǎn)Q，連接PQ．當(dāng)BQ=AP【答案】(1)y=?4x(2)n=?【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)A?1,4，Ba,?1兩點(diǎn)，確定（2）根據(jù)平移思想，設(shè)解析式求解即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=mx的圖像相交于A?1,4∴m=?1×4=?4，故反比例函數(shù)的解析式為y=?4∴a=?4故B4,?1∴4k+b=?1?k+b=4解得k=?1b=3∴直線的解析式為y=?x+3．（2）∵A?1,4，B4,?1，Pn,0，BQ∴四邊形APQB是平行四邊形，∴點(diǎn)A到點(diǎn)P的平移規(guī)律是向左平移?1?n個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位，∴點(diǎn)B4,?1到點(diǎn)Q的平移規(guī)律也是向左平移?1?n故Q5+n,?5∵Q5+n,?5在y=?∴5+n=?4解得：n=?21∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,?21設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)C，連接PB，如圖所示：把y=0代入y=?x+3，解得：x=3，∴C3,0∴PC=3??∴S△APB∵四邊形APQB為平行四邊形，∴S四邊形∴當(dāng)n=?21【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，平移規(guī)律計(jì)算，熟練掌握規(guī)律是解題的關(guān)鍵．解法指導(dǎo)等量關(guān)系一般解題思路:利用反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)并用含同一字母的代數(shù)式表示，再利用線段等量關(guān)系得到關(guān)于該字母的方程，然后解方程即可得到這兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo):【補(bǔ)充】:①根據(jù)全等，求線段等量關(guān)系:②根據(jù)特殊角(30°，45°，60°)，求線段等量關(guān)系:③根據(jù)相似，求線段等量關(guān)系;④)根據(jù)三角函數(shù)，求線段等量關(guān)系;變式訓(xùn)練1．（2023·浙江金華·一模）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=3xx<0上一點(diǎn)，點(diǎn)B是反比例函數(shù)y=kxx>0上一點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且(1)若AO=BO，求k的值．(2)若AO=2BO，求k的值．【答案】(1)k=3(2)3【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：（1）根據(jù)題意可得點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)Am，3（2）分別過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D，證明△OAC∽△OBD，得到OCOD=ACBD=【詳解】（1）解：∵A、O、B三點(diǎn)共線，且AO=BO，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)Am，3把B?m，?3m（2）解：如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D，∴∠ACO=∠BDO=90°，又∵∠AOC=∠BOD，∴△OAC∽△OBD，∴OCOD設(shè)Am，3∴OD=?1∴B?把B?12m，題型五：最值問(wèn)題大題典例1．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C3，0，頂點(diǎn)A、B

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ABP周長(zhǎng)的值最?。舸嬖冢蟪鲎钚≈?；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=6x(2)在x軸上存在一點(diǎn)P5,0，使△ABP周長(zhǎng)的值最小,最小值是2【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，證明△ACE≌△CBDAAS，則CD=AE=3,BD=EC=m，由OE=3?m得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是3?m,3，由A、B6，m恰好落在反比例函數(shù)y=kx第一象限的圖象上得到33?m=6m，解得m=1，得到點(diǎn)（2）延長(zhǎng)AE至點(diǎn)A'，使得EA'=AE，連接A'B交x軸于點(diǎn)P，連接AP，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AP=A'P，A'2,?3，則AP+PB=A'【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠AEC=∠CDB=90°，

∵點(diǎn)C3，0∴OC=3,OD=6,BD=m，∴CD=OD?OC=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°,AC=BC，∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠CBD，∴△ACE≌△CBDAAS∴CD=AE=3,BD=EC=m，∴OE=OC?EC=3?m，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是3?m,3，∵A、B6，m∴33?m解得m=1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是2,3，點(diǎn)B的坐標(biāo)是6,1，∴k=6m=6，∴反比例函數(shù)的解析式是y=6設(shè)直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=px+q，把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得，2p+q=36p+q=1，解得p=?∴直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=?1（2）延長(zhǎng)AE至點(diǎn)A'，使得EA'=AE，連接A'B交

∴點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于x∴AP=A'P∵AP+PB=A∴AP+PB的最小值是A'∵AB=2?62+∴此時(shí)△ABP的周長(zhǎng)為AP+PB+AB=AB+A設(shè)直線A'B的解析式是則2n+t=?36n+t=1解得n=1t=?5∴直線A'B的解析式是當(dāng)y=0時(shí)，0=x?5，解得x=5，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是5,0，此時(shí)AP+PB+AB=AB+A綜上可知，在x軸上存在一點(diǎn)P5,0，使△ABP周長(zhǎng)的值最小，最小值是2【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理求兩點(diǎn)間距離、軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)A?3,0,B

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點(diǎn)Px0,y0，其中y(3)若點(diǎn)D，E分別是線段AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=2CD，求CE+2BD的最小值．【答案】(1)y=?1(2)?21(3)233．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）在Rt△AOC中，tan∠CAO=COAO=43（3）作∠EAG=∠BCD，證明△BCD∽△GAE且相似比為1:2，故當(dāng)C、E、G共線時(shí)，CE+2BD=CE+EG=CG為最小，進(jìn)而求解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x+3)(x?4)=a(x即?12a=4，則a=?1故拋物線的表達(dá)式為：y=?1（2）解：在Rt△AOC中，tan∵∠CAO+∠ABP=90°，則tan∠ABP=故設(shè)直線BP的表達(dá)式為：y=3聯(lián)立①②得：?1解得：x=?21（3）解：作∠EAG=∠BCD，

設(shè)AG=2BC=2×42∵AE=2CD，∴△BCD∽△GAE且相似比為1:2，則EG=2BD，故當(dāng)C、E、G共線時(shí)，CE+2BD=CE+EG=CG為最小，在△ABC中，設(shè)AC邊上的高為?，則S△ABC即5?=4×7，解得：?=28則sin∠ACD=則tan∠EAG=7過(guò)點(diǎn)G作GN⊥x軸于點(diǎn)N，則NG=AG?sin即點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為：?56同理可得，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為：?7即點(diǎn)G?由點(diǎn)C、G的坐標(biāo)得，CG=0+即CE+2BD的最小值為233．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．3．（2023·寧夏·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是?1,0

(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小．求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PA+PC的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，連接BC交MN于點(diǎn)Q．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)MQ+2CQ的值最大時(shí)，求點(diǎn)【答案】(1)3,0(2)點(diǎn)P1,2，PA+PC的最小值為(3)M【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得到PA+PC=PB+PC≥BC，得到當(dāng)P,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC的值最小，為BC的長(zhǎng)，求出直線BC的解析式，解析式與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P的坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式求出BC的長(zhǎng)，即為PA+PC的最小值；（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，設(shè)Mm,?m2+2m+3，得到Nm,0【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A?1,0關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線x=1∴點(diǎn)B為3,0；（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴C0,3連接BC，

∵B3,0∴BC=3∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，∴PA+PC=PB+PC≥BC，∴當(dāng)P,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC的值最小，為BC的長(zhǎng)，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+n，則：n=33k+n=0，解得：n=3∴y=?x+3，∵點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，∴P1,2∴點(diǎn)P1,2，PA+PC的最小值為3（3）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，連接BC交MN于點(diǎn)Q，如圖所示，

∵A?1,0設(shè)拋物線的解析式為：y=ax+1∵C0,3∴3=?3a，∴a=?1，∴y=?x+1設(shè)Mm,?m2由（2）知：直線BC：y=?x+3，∴Qm,?m+3∴MQ=?m∵C0,3∴OC=OB=3，BN=3?m，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NQB=∠OBC=45°，∴BQ=2∴CQ=BC?BQ=32∴MQ+2∴當(dāng)m=52時(shí)，MQ+2【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用拋物線的對(duì)稱性以及數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A?1,0、點(diǎn)B5,0

(1)求b，c的值．(2)點(diǎn)Px①當(dāng)x0取何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出△PBC②過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，交BC于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)P作PF∥x軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使△PEF為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)b=?4，c=?5(2)①當(dāng)x0=52時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為7?332,3?333【分析】（1）將將A?1,0、B5,0代入拋物線（2）①由（1）可知：y=x2?4x?5，得C0,?5，可求得BC的解析式為y=x?5，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)Q，易得PE=yE?y0=?x②由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為x對(duì)=??42×1=2，則xF=4?x0【詳解】（1）解：將A?1,0、B5,0代入拋物線可得：1?b+c=025+5b+c=0，解得：b=?4即：b=?4，c=?5；（2）①由（1）可知：y=x當(dāng)x=0時(shí)，y=?5，即C0,?5設(shè)BC的解析式為：y=kx+b，將B5,0，C0,?5代入可得5k+b=0b=?5，解得：k=1∴BC的解析式為：y=x?5，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)Q，

∵Px0,∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為x0，則縱坐標(biāo)為y∴PE=y△PBC的面積=====?5∵?5∴當(dāng)x0=52時(shí)，②存在，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為7?332,3?333理由如下：由①可知PE=?x由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為直線x對(duì)∵PF∥x軸，∴∠EPF=90°，x0+x當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，即0<x

PF=xF?x0即：?x02解得：x0=7?此時(shí)y0=x當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，即2<x

PF=x0?xF即：?x02解得：x0=4（此時(shí)：y0=4綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為7?332,3?333【點(diǎn)睛】本題二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行分類討論．解法指導(dǎo)一、面積最值問(wèn)題題目要求：在拋物線上的第一象限找一點(diǎn)P，使S△方法簡(jiǎn)介：方法一：S=12方法二：作l//BC，l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P，此時(shí)h最大，S△PBC面積最大，聯(lián)立l與拋物線，△二、線段最值問(wèn)題對(duì)于阿氏圓而言：當(dāng)系數(shù)k＜1的時(shí)候，一般情況下，考慮向內(nèi)構(gòu)造.當(dāng)系數(shù)k＞1的時(shí)候，一般情況下，考慮向外構(gòu)造.【注意事項(xiàng)】針對(duì)求PA+kPB的最小值問(wèn)題時(shí)，當(dāng)軌跡為直線時(shí)，運(yùn)用“胡不歸模型”求解；當(dāng)軌跡為圓形時(shí)，運(yùn)用“阿氏圓模型”求解.變式訓(xùn)練1．（2023·山東濟(jì)南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y=kxx>0經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，△ABC為直角三角形，AC∥x軸，AB(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M是y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接MB、MC；①求MB+MC的最小值；②點(diǎn)N是反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像上的一個(gè)點(diǎn)，若△CMN是以CN【答案】(1)y=20x(2)①6852；②N209，9【分析】本題考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，全等三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)稱變換等知識(shí)．（1）求出C(5，4)，用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=20x，令x=8得（2）①作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接BC'交y軸于M，此時(shí)MB+MC最小，由C(5，4)，B(8②設(shè)M(0，m)，N(n，20n)，分兩種情況：當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)C作TK∥y軸，過(guò)N作NT⊥TK于T，過(guò)M作MK⊥TK于K，由△CMN的等腰直角三角形，證明△CMK≌△NCT(AAS)，可得4?m=5?n5=20n?4，即可解得N(209，9)；當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)N作【詳解】（1）∵A(8，4)，∴C(5，將C(5，4)代入4=k解得k=20，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=20在y=20x中，令x=8得∴B的坐標(biāo)為(8，（2）①作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接BC'交y軸于M∵C，C'關(guān)于y∴MB+MC=MB+MC當(dāng)B，M，C'共線時(shí)，MB+MC'最小，即MB+MC由（1）知C(5，4)，∴C∴BC∴MB+MC的最小值是6852②設(shè)M(0，m)，當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)C作TK∥y軸，過(guò)N作NT⊥TK于T，過(guò)M作MK⊥TK于∵△CMN的等腰直角三角形，∴CM=CN，∠MCK=90°?∠NCT=∠CNT，∵∠K=90°=∠T，∴△CMK≌△NCT(AAS∴CK=NT，MK=CT，∴4?m=5?n5=解得n=20∴N(209，當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)N作RS⊥y軸于S，過(guò)C作CR⊥RS于R，如圖：同理可得SN=RC，SM=NR，∴n=20解得n=26?2或∴N(26?2，綜上所述，N的坐標(biāo)為(209，9)或(262．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=14x2?14x?3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且OC=OB，

(1)寫出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)剛好落在拋物線上時(shí)，求此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接BD、CE，當(dāng)CD=AE時(shí)，求BD+CE的最小值．【答案】(1)A?3,0，B4,0(2)?(3)97【分析】（1）根據(jù)題意y=14x2?14x?3y=0得x=4y=0，（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把A?3,0，C0,4分別代入解析式，確定直線的解析式，設(shè)點(diǎn)Dm,43（3）過(guò)點(diǎn)C作CP∥x軸，且使得CP=CA，連接PB,PD，利用三角形全等，把線段和最小值轉(zhuǎn)化為三角形不等式，解答即可．本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求解析式，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形不等式求最值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，特別是三角形不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）根據(jù)題意得y=1解得x=4y=0，x=?3∴A?3,0，B∴OB=4,∵OC=OB，∴C0,4（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把A?3,0，C?3k+b=0b=4故直線AC的解析式為y=4設(shè)點(diǎn)Dm,則其對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為D'代入拋物線解析式y(tǒng)=114整理，得3m解方程，得m=?4當(dāng)m=?43時(shí)，故D?（3）過(guò)點(diǎn)C作CP∥x軸，且使得CP=CA，連接PB,PD，

∵A?3,0，C∴AC=?3?0∴CP=CA=5，∴P?5,4∵B4,0∴PB=?5?4∵CP∥x軸，∴∠PCD=∠CAE，∵CP=CA，∵PC=CA∴△PCD≌△CAE∴PD=CE，∴BD+CE的最小值變成了BD+PD的最小值，∵BD+PD≥PB，故當(dāng)點(diǎn)P，D，B三點(diǎn)共線時(shí)，BD+PD取得最小值，且最小值為PB，∴BD+CE的最小值為97．3．（2023·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于C，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，M(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)如圖（1），P點(diǎn)為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA、PC、PO，PO交AC于點(diǎn)Q，若PO將△APC的面積分為1：2兩部分，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖（2），若點(diǎn)N是第三象限的拋物線上一點(diǎn)，連接NM，交直線AC于E，當(dāng)∠NEC=∠BCM時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若F是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出NF+10【答案】(1)拋物線的解析式為y=?x2?2x+3(2)?2,1或?1,2；(3)N?4,?5(4)210【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，能靈活應(yīng)用銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題．（1）求出C0,3，A?3,0，用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y=?x（2）作QH⊥x軸于H，求得∠OAC=∠OCA=45°，AC=32，分兩種情況：當(dāng)S△APQ：S△CPQ=1：2時(shí)，AQ：CQ=1：2，可得Q(?2,1)；當(dāng)S△APQ：S△CPQ=2：1（3）延長(zhǎng)BC交對(duì)稱軸于D，過(guò)N作對(duì)稱軸的垂線，垂足為K，設(shè)AC交對(duì)稱軸于G，由∠NEC=∠BCM，知∠MEC=∠MCD，求得∠CMG=45°=∠AGK，即可得∠EMG=∠MDC，故∠EMG=∠BCO，有NK：MK=1：3，設(shè)N(t,?t2?2t+3)，得?1?t（4）過(guò)N作NR⊥BC于R，NT⊥y軸于T，NR交y軸于F，可求得sin∠BCO=OBBC=110=1010，從而FR=1010CF，NF+10【詳解】（1）在直線y=x+3中，由x=0得y=3，∴C0,3由y=0得x+3=0，解得x=?3，∴A?3,0把A?3,0，C0,3分別代入?9?3b+c=0c=3解得：b=?2c=3∴拋物線的解析式為y=?x∵y=?x∴頂點(diǎn)M(?1,4（2）作QH⊥x軸于H，如圖：∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，AC=32當(dāng)S△APQ：S△CPQ=1：2時(shí)，AQ：CQ=1∴AQ=1∴AH=QH=1，∴OH=OA?AH=2，∴Q(?2,1當(dāng)S△APQ：S△CPQ=2：1時(shí)，AQ：CQ=2∴AQ=22∴AH=QH=2，∴OH=1，∴Q(?1,2綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為?2,1或?1,2；（3）延長(zhǎng)BC交對(duì)稱軸于D，過(guò)N作對(duì)稱軸的垂線，垂足為K，設(shè)AC交對(duì)稱軸于G，如圖：∵∠NEC=∠BCM，∴∠MEC=∠MCD，∵M(jìn)(?1,4)，∴∠CMG=45°，∵∠CAO=45°，∴∠AGK=45°，∴∠MEC+∠EMG=∠MCD+∠MDC=45°，∴∠EMG=∠MDC，∵∠MDC=∠BCO，∴∠EMG=∠BCO，∴tan∠EMG=tan∠BCO=OC：∴NK：MK=1：3，設(shè)N(t,?t∴?1?t解得：t=?4或t=?1(舍去)，∴N(?4,?5)；（4）過(guò)N作NR⊥BC于R，NT⊥y軸于T，NR交y軸于F，如圖：由y=?x2?2x+3∵B1,0，C∴BC=10∴sin∴FR∴FR=10∴NF+10∵NR⊥BC，∴此時(shí)NF+1010CF∵∠CFR=∠NFT，∠CRF=∠NTF=90°，∴∠FNT=∠BOC，∴tan∠FNT=tan∴FT∴FT=4∴F(0,?11∴NF=4103∴FR=10∴NR=NF+FR=4∴NF+1010CF4．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(?1,0)，B(5,0)兩點(diǎn)，C為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，連接AC，BC(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE交拋物線于點(diǎn)F，連接FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連接PB，求35【答案】(1)拋物線的解析式為y=?(2)①△BCF的面積的最大值為32；②35【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x?5)，可得對(duì)稱軸為直線x=2，由銳角三角函數(shù)可求點(diǎn)C坐標(biāo)，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直線BC解析式，設(shè)P(2,t)，可得點(diǎn)E(5?34t，t)，點(diǎn)F(5?②根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知∠ACD=∠BCD，AC=BC=5，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35PC+PB=PG+PB，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則PG+PB≥BH【詳解】（1）根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x?5)，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，∴D(2,0)，又∵tan∠CBD=∴CD=BD?tan即C(2,4)，代入拋物線的解析式，得4=a(2+1)(2?5)，解得a=?4∴二次函數(shù)的解析式為y=?4（2）①設(shè)P(2,t)，其中0<t<4，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∴0=5k+b,4=2k+b.解得k=?即直線BC的解析式為y=?4令y=t，得：x=5?3∴點(diǎn)E(5?34t把x=5?34t代入y=?即F(5?3∴EF=(2t?1∴△BCF的面積=1∴當(dāng)t=2時(shí)，△BCF的面積最大，且最大值為32②如圖，據(jù)圖形的對(duì)稱性可知∠ACD=∠BCD，AC=BC=5，∴sin∠ACD=過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AC于G，則在Rt△PCG中，PG=PC?∴35過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則PG+PB≥BH，∴線段BH的長(zhǎng)就是35∵SΔ又∵S△ABC∴52即BH=24∴35PC+PB的最小值為【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形面積公式，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?14x2+bx+3的對(duì)稱軸是直線x=2，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)M為第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)D，連接CM，當(dāng)線段CM=CD時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)以原點(diǎn)O為圓心，AO長(zhǎng)為半徑作⊙O，點(diǎn)P為⊙O上的一點(diǎn)，連接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．【答案】(1)y=?14(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為2(3)2PC+3PB的最小值為2【分析】（1）由x=2=?b2a=?b（2）當(dāng)線段CM=CD時(shí)，則點(diǎn)C在MD的中垂線上，即yC（3）先證明△POG∽△COP，然后利用當(dāng)B、P、G三點(diǎn)共線時(shí)，2PC+3PB最小，最小值為【詳解】（1）∵對(duì)稱軸是直線x=2，故x=2=?b2a=?b故拋物線的表達(dá)式為y=?1∴拋物線的頂點(diǎn)為2,4；（2）對(duì)于y=?14x解得x=6或?2，令x=0，則y=3，故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為?2，設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=mx+n，則0=6m+nn=3，解得m=?故直線BC的表達(dá)式y(tǒng)=?1設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為x,?14x當(dāng)線段CM=CD時(shí)，則點(diǎn)C在MD的中垂線上，即yC即3=1解得x=0（舍去）或2，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為2,（3）在OC上取點(diǎn)G，使OPOC=OGOP=23，即∵OPOC=OG∴△POG∽∴PGPC=OP則2PC+3PB=3PB+故當(dāng)B、P、G三點(diǎn)共線時(shí)，2PC+3PB最小，最小值為3BG，則2PC+3PB的最小值3BG=36【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)，會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)以及利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．.題型六：特殊四邊形存在性問(wèn)題大題典例1．（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:y=kx+2與x，y軸分別相交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)y=mxx>0的圖象相交于點(diǎn)C，已知OA=1(1)求k，m的值；(2)平行于y軸的