2024年江西省三校生對(duì)口升學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷真題（含答案解析）

第1頁(yè)/共1頁(yè)江西省2024年“三校生”對(duì)口升學(xué)考試試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，這出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本卷無(wú)效.3．考試結(jié)來(lái)后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題共70分）一、是非選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.對(duì)每小題的命題做出判斷.1.（）2.已知集合，則（）3.與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的斜率為．（）4.解集為．（）5.若橢圓的離心率為，則其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．（）6.i是虛數(shù)單位，則．（）7.“且”是“”的必要不充分條件（）8.函數(shù)的最大值等于2．（）9.正四面體相鄰兩個(gè)面的夾角是．（）10.若A，B，C不共線(xiàn)，且．則（）二、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.11.在平行四邊形ABCD中．已知點(diǎn)A坐標(biāo)為1,2．向量，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.12.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.30 B.28 C.40 D.4213.將4個(gè)人分成A、B兩組，每組2人，不同的分法共有（）A.3種 B.6種 C.8種 D.12種14.若圓與x軸、y軸都有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.15.為了解某職業(yè)學(xué)校師資情況，將全校教師按年齡段分成4組：，得到頻數(shù)分布表如下：年齡段教師人數(shù)15201510現(xiàn)采用分層抽樣的方式抽取若干人進(jìn)行周查，若在兩個(gè)年齡段中共抽取了6人，則在中抽取了（）A1人 B.2人 C.3人 D.4人16.已知二項(xiàng)式，展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C. D.17.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.18.《九章算術(shù)》是我國(guó)數(shù)學(xué)歷史上的經(jīng)典名著，書(shū)中記載了底面為梯形的直棱柱體積的算法：并上下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺．即：將直棱柱底面梯形上下底（古謂“上下廣”）和的一半乘以高，再乘以縱向長(zhǎng)度（古謂“家”），即為所求直棱柱的體積．若一個(gè)底面為等腰梯形的直棱柱形城墻，梯形的下底長(zhǎng)4丈，上底長(zhǎng)2丈，縱向長(zhǎng)126丈5尺（注：1丈等于10尺），該城墻的體積為1897500立方尺，則該城墻的高為（）A.2.5丈 B.4丈 C.5丈 D.6丈第Ⅱ卷（非選擇題共80分）三、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.19._______20.如圖為圓柱與圓錐的組合體，已知圓柱與圓錐的底面半徑都為1，高分別為2和，則此組合體的表面積為_(kāi)________．21.設(shè)雙曲線(xiàn)的焦距為12，則此雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)________．22.若函數(shù)值域?yàn)椋畡t實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)________．23.諾沃爾在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年、……人類(lèi)都可以看到這顆彗星，即該彗星每隔83年出現(xiàn)一次．則從2024年到3000年之間人類(lèi)可以看到這顆彗星的次數(shù)為_(kāi)________次．24.某年級(jí)共有4個(gè)班，每個(gè)班男女比例均為，現(xiàn)從每個(gè)班隨機(jī)抽取一位同學(xué)參加座談會(huì)，則抽到的4位同學(xué)中，恰好為兩男兩女的概率是_________．四、解答題：本大題共6小題，25-28小題每小題8分，29~30小題每小題9分，共50分．解答應(yīng)寫(xiě)出過(guò)程或步驟．25.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求；（2）求AB邊上的高．26.已知函數(shù)．（1）求；（2）解不等式．27.在國(guó)際志愿者日（12月5日）即將到來(lái)之際，某校于11月5日舉辦“志愿者活動(dòng)月”啟動(dòng)儀式．高一年級(jí)200名學(xué)生積極響應(yīng)學(xué)校倡議，利用課余及節(jié)假日時(shí)間參加志愿者活動(dòng)，他們這一個(gè)月參加志愿者活動(dòng)次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．（1）求該校高一年級(jí)學(xué)生參加志愿者活動(dòng)的平均次數(shù)；（2）在這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求他們參加志愿者活動(dòng)次數(shù)恰好相差1次的概率．28.已知數(shù)列為等比數(shù)列，．（1）求值；（2）求．29.已知正方體棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為和的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)C到平面的距離．30.已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為.（1）求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線(xiàn)C上異于O的一點(diǎn)，直線(xiàn)AO與準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線(xiàn)交C于點(diǎn)B，證明：A、F、B三點(diǎn)共線(xiàn).第I卷（選擇題共70分）一、是非選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.對(duì)每小題的命題做出判斷.1.（）【答案】錯(cuò)誤【解析】【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，結(jié)合特殊角的三函數(shù)值即可得解.【詳解】因?yàn)椋藻e(cuò)誤.故答案為：錯(cuò)誤.2.已知集合，則（）【答案】正確【解析】【分析】先根據(jù)求解不等式求出集合A與集合B，然后根據(jù)交集的定義求出，即可求解【詳解】在集合A中，，解得，在集合B中，，解得x>1，故集合A與集合B的交集為.故答案為：正確.3.與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的斜率為．（）【答案】錯(cuò)誤【解析】【分析】先將已知直線(xiàn)方程轉(zhuǎn)化為斜截式，再利用兩條直線(xiàn)垂直的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)可化為，則其斜率為，所以與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的斜率為.故答案為：錯(cuò)誤.4.的解集為．（）【答案】正確【解析】【分析】利用絕對(duì)值不等式的解法求解即可.【詳解】因?yàn)椋曰?，解得或，所以解集?故答案為：正確.5.若橢圓的離心率為，則其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．（）【答案】正確【解析】【分析】根據(jù)離心率與橢圓的性質(zhì)求得與的值，進(jìn)而求長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】根據(jù)橢圓的離心率為，可得，則①，因?yàn)樵跈E圓中，，即②，根據(jù)①②兩式解得：，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故答案：正確.6.i是虛數(shù)單位，則．（）【答案】錯(cuò)誤【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算分析即可.【詳解】.故答案為：錯(cuò)誤.7.“且”是“”的必要不充分條件（）【答案】錯(cuò)誤【解析】【分析】根據(jù)必要條件、充分條件的概念分析即可.【詳解】若“且”，可得出“”，故充分性成立，若“”，有可能，，或，，故必要性不成立，故“且”是“”的充分不必要條件．故答案為：錯(cuò)誤．8.函數(shù)的最大值等于2．（）【答案】錯(cuò)誤【解析】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)?，故函?shù)的最大值為2.故答案為：錯(cuò)誤.9.正四面體相鄰的兩個(gè)面的夾角是．（）【答案】錯(cuò)誤【解析】【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)求解二面角分析答案即可.【詳解】如圖，四面體為正四面體，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，過(guò)P作面ABC，則O為底面三角形中心，連接CO并延長(zhǎng)，交AB于E，連接PE，則，為二面角的平面角，，，在中，，所以正四面體相鄰的兩個(gè)面的夾角不是．故答案為：錯(cuò)誤.10.若A，B，C不共線(xiàn)，且．則（）【答案】正確【解析】【分析】由模長(zhǎng)計(jì)算出，即可得到.【詳解】，，因?yàn)?，所以，即，所?故答案為：正確.二、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.11.在平行四邊形ABCD中．已知點(diǎn)A坐標(biāo)為1,2．向量，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，列式求解點(diǎn)D的坐標(biāo)即可.【詳解】設(shè)，∵在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)A坐標(biāo)為，向量，∴，即，∴，解得，．故選：A．12.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.30 B.28 C.40 D.42【答案】C【解析】【分析】由數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)與的關(guān)系,進(jìn)而求的值.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，又根據(jù)，可得,，解得，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)公式可得：.故選：C.13.將4個(gè)人分成A、B兩組，每組2人，不同的分法共有（）A.3種 B.6種 C.8種 D.12種【答案】A【解析】【分析】由分組的組合數(shù)計(jì)算即可.【詳解】將個(gè)人分成兩組，每組人，有種不同的分法.故選：.14.若圓與x軸、y軸都有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系列式計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，又圓與x軸、y軸都有公共點(diǎn)，所以，則.故選：A15.為了解某職業(yè)學(xué)校師資情況，將全校教師按年齡段分成4組：，得到頻數(shù)分布表如下：年齡段教師人數(shù)15201510現(xiàn)采用分層抽樣的方式抽取若干人進(jìn)行周查，若在兩個(gè)年齡段中共抽取了6人，則在中抽取了（）A.1人 B.2人 C.3人 D.4人【答案】B【解析】【分析】由題意可得，先求出抽取比例，再由的人數(shù)即可求出抽取的人數(shù).【詳解】由題意可得，全校教師人數(shù)為人，再根據(jù)在兩個(gè)年齡段中共抽取了6人，可得抽取比例為，故在中抽取了人.故選：B.16.已知二項(xiàng)式，展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出二項(xiàng)式的展開(kāi)通項(xiàng)公式，再由的冪指數(shù)為確定項(xiàng)數(shù)，從而得解.【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，當(dāng)，即時(shí)，，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是.故選：D.17.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由根號(hào)的性質(zhì)得到，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可得解.【詳解】要使有意義，則，即，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得，所以的定義域?yàn)?故選：A.18.《九章算術(shù)》是我國(guó)數(shù)學(xué)歷史上的經(jīng)典名著，書(shū)中記載了底面為梯形的直棱柱體積的算法：并上下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺．即：將直棱柱底面梯形上下底（古謂“上下廣”）和的一半乘以高，再乘以縱向長(zhǎng)度（古謂“家”），即為所求直棱柱的體積．若一個(gè)底面為等腰梯形的直棱柱形城墻，梯形的下底長(zhǎng)4丈，上底長(zhǎng)2丈，縱向長(zhǎng)126丈5尺（注：1丈等于10尺），該城墻的體積為1897500立方尺，則該城墻的高為（）A.2.5丈 B.4丈 C.5丈 D.6丈【答案】C【解析】【分析】根題題意，結(jié)合丈尺的轉(zhuǎn)化得到關(guān)于該城墻的高的方程，解之即可得解.【詳解】依題意，設(shè)該城墻的高為，又4丈等于40尺，2丈等于20尺，126丈5尺等于1265尺，所以該城墻的體積為，解得尺，即5丈.故選：C.第Ⅱ卷（非選擇題共80分）三、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.19._______【答案】【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式計(jì)算求解.【詳解】.故答案為：.20.如圖為圓柱與圓錐的組合體，已知圓柱與圓錐的底面半徑都為1，高分別為2和，則此組合體的表面積為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】利用圓柱與圓錐的表面積公式即可得解.【詳解】依題意，設(shè)圓柱與圓錐的母線(xiàn)分別為，高分別為，半徑為，則，，，所以該組合體的表面積為.故答案為：.21.設(shè)雙曲線(xiàn)的焦距為12，則此雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】先利用雙曲線(xiàn)的關(guān)系與焦距求得，進(jìn)而得到該雙曲線(xiàn)的離心率，從而得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的焦距為12，所以，則，又，所以，解得，則，得，所以此雙曲線(xiàn)的離心率為.故答案為：.22.若函數(shù)值域?yàn)椋畡t實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】分析二次函數(shù)的大致圖象，再數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，又，，令，得，解得或，所以的大致圖象如圖，結(jié)合圖象可知，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.23.諾沃爾在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年、……人類(lèi)都可以看到這顆彗星，即該彗星每隔83年出現(xiàn)一次．則從2024年到3000年之間人類(lèi)可以看到這顆彗星的次數(shù)為_(kāi)________次．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)題意，得出一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列求解次數(shù)即可.【詳解】由題意可知：彗星出現(xiàn)的年份構(gòu)成一個(gè)公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，令，即，解得，又，所以，所以從2024年開(kāi)始到年，人類(lèi)可以看到這顆彗星的次數(shù)為次.故答案為：.24.某年級(jí)共有4個(gè)班，每個(gè)班男女比例均為，現(xiàn)從每個(gè)班隨機(jī)抽取一位同學(xué)參加座談會(huì)，則抽到的4位同學(xué)中，恰好為兩男兩女的概率是_________．【答案】【解析】【分析】先求得每班抽取一位同學(xué)，該同學(xué)為男同學(xué)的概率，假設(shè)4個(gè)班抽到的男同學(xué)個(gè)數(shù)為，判斷得，從而利用二項(xiàng)分布的概率公式即可得解.【詳解】因?yàn)槊總€(gè)班男女比例均為，所以每班抽取一位同學(xué)，該同學(xué)為男同學(xué)的概率為，為女同學(xué)的概率為，設(shè)從每個(gè)班隨機(jī)抽取一位同學(xué)，4個(gè)班抽到的男同學(xué)個(gè)數(shù)為，則，所以抽到的4位同學(xué)中，恰好為兩男兩女的概率.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，25-28小題每小題8分，29~30小題每小題9分，共50分．解答應(yīng)寫(xiě)出過(guò)程或步驟．25.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求；（2）求AB邊上的高．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角形面積公式代入計(jì)算即可.（2）先由余弦定理求解邊c，再由面積相等即可求解高.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】由余弦定理可得，，所以,設(shè)邊上的高為則：，解得，即：邊上的高是.26.已知函數(shù)．（1）求；（2）解不等式．【答案】（1）19（2）【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)解析式求解即可.（2）先判斷出的單調(diào)性，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，令，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以函?shù)在內(nèi)為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，即，所以，解得或，因?yàn)?，所以，即解得，所以不等式的解集?27.在國(guó)際志愿者日（12月5日）即將到來(lái)之際，某校于11月5日舉辦“志愿者活動(dòng)月”啟動(dòng)儀式．高一年級(jí)200名學(xué)生積極響應(yīng)學(xué)校倡議，利用課余及節(jié)假日時(shí)間參加志愿者活動(dòng)，他們這一個(gè)月參加志愿者活動(dòng)次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．（1）求該校高一年級(jí)學(xué)生參加志愿者活動(dòng)的平均次數(shù)；（2）在這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求他們參加志愿者活動(dòng)次數(shù)恰好相差1次的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖中的數(shù)據(jù)，根據(jù)平均數(shù)的求法，計(jì)算即可.（2）先求出其中名學(xué)生參加次，另一名參加次的事件數(shù)；再求出其中名學(xué)生參加次，另一名參加次的事件數(shù)；最后由古典概型的概率公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由圖中數(shù)據(jù)可知，參加活動(dòng)次、次和次的學(xué)生人數(shù)分別是；所以該校高一年級(jí)學(xué)生參加志愿者活動(dòng)的平均次數(shù)為【小問(wèn)2詳解】在這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，他們參加志愿者活動(dòng)次數(shù)恰好相差1次；即抽出的2名學(xué)生其中名學(xué)生參加次，另一名參加次；或抽出的2名學(xué)生其中名學(xué)生參加次，另一名參加次；其中名學(xué)生參加次，另一名參加次的事件數(shù)為，其中名學(xué)生參加次，另一名參加次的事件數(shù)為，所以他們參加志愿者活動(dòng)次數(shù)恰好相差1次的概率.28.已知數(shù)列為等比數(shù)列，．（1）求的值；（2）求．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解；（2）利用（1）中結(jié)論得到，，分類(lèi)討論的值，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，，設(shè)其公比為，則，則，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.