專題09 全等三角形的判定與性質(zhì) 帶解析

2022-2023學(xué)年北師大七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題09全等三角形的判定與性質(zhì)一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝2BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面積為21，則△FAC與△BDE的面積之和是（）A．6 B．7 C．8 D．9解：∵∠1＝∠ABE+∠BAE，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE+∠BAE，∵∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠ABE＝∠FAC，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠CFA，在△ABE和△FAC中，，∴△ABE≌△FAC（AAS），∴S△ABE＝S△FAC，∴△ACF與△BDE的面積之和＝S△FAC+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD，∵CD＝2BD，△ABC的面積為21，∴．故選：B．2．（2分）（2022春?通川區(qū)期末）如圖，AD?是△ABC?的中線，CE∥AB?交AD?的延長線于點(diǎn)E，AB＝5，AC＝7?，則AD?的取值可能是（）?A．3 B．6 C．8 D．12解：∵AD?是△ABC?的中線，∴CD＝BD，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠DBA，在△CDE和△BDA中，，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC＝AB＝5，∵7﹣5＜AE＜7+5，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6，故選：A．3．（2分）（2022春?蘭州期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD、BD、CD，且BD交AC于點(diǎn)O，在BD上取一點(diǎn)E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．56° B．60° C．62° D．64°解：∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即：∠BAE＝∠CAD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABD＝∠ACD，∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ABC＝∠ACB＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴∠BDC＝∠BAC＝56°，故選：A．4．（2分）（2022春?平陰縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．下列結(jié)論：①∠DEC＝∠BDA；②若AD＝DE，則BD＝CE；③當(dāng)DE⊥AC時(shí)，則D為BC中點(diǎn)；④當(dāng)△ADE為等腰三角形時(shí)，∠BAD＝40°．其中正確的有（）個(gè)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴由三角形內(nèi)角和定理知：∠DEC＝∠BDA．故①正確；②∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，由①知：∠DEC＝∠BDA．∵AD＝DE．∴△ABD≌△DCE．∴BD＝CE，故②正確；③∵D為BC中點(diǎn)，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故③正確；④∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE為等腰三角形，∴AE＝DE或AD＝DE，當(dāng)AE＝DE時(shí)，∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，故④不正確．故選：C．5．（2分）（2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D為AC上的點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)E在△ABC外，連接AE，BE，使得CD＝BE，∠ABE＝∠C，過點(diǎn)B作BF⊥AC交AC點(diǎn)F．若∠BAE＝21°，∠C＝28°，則∠FBD＝（）A．49° B．59° C．41° D．51°解：在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BAE＝∠CBD，∵∠BAE＝21°，∠C＝28°，∴∠CBD＝21°，∴∠BDF＝∠CBD+∠C＝21°+28°＝49°，∵BF⊥AC，∴∠BFD＝90°，∴∠FBD＝90°﹣∠BDF＝90°﹣49°＝41°．故選：C．6．（2分）（2022春?泰安期末）如圖，Rt△ABC中，CD⊥AB于D，E在AC上，過E作EF⊥AB于F，且EF＝EC，連接BE交CD于G．結(jié)論：①∠CEB＝∠BEF②CG＝EF③∠BGC＝∠AEB④∠AEF＝2∠ABE以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵AC⊥BC，EF⊥AB，EF＝EC，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠EFB＝∠ECB＝90°，∴∠FEB＝∠CEB，故①正確；或者：在Rt△BEC和Rt△BEF中，，∴Rt△BEC≌Rt△BEF（HL），∴∠FEB＝∠CEB，故①正確；∵∠FEB＝∠CEB＝90°﹣∠EBF，∠BGD＝∠CGE＝90°﹣∠GBD，∴∠CEB＝∠CGE，∴CE＝CG，∵EF＝EC，∴CG＝EF，故②正確；∵∠BGC＝180°﹣∠CGE，∠AEB＝180°﹣∠CEG，∠CEG＝∠CGE，∴∠BGC＝∠AEB，故③正確；∵∠AEF＝90°﹣∠A，∠ABC＝90°﹣∠A，∴∠AEF＝∠ABC，∵∠ABC＝2∠ABE，∴∠AEF＝2∠ABE，故④正確．綜上所述：正確的結(jié)論有①②③④，共4個(gè)，故選：D．7．（2分）（2022春?濟(jì)南期中）如圖，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，AD平分∠CAB，CD⊥AD于點(diǎn)D，連接DB，若△ADB的面積為3cm2，則△ABC的面積為（）A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2解：延長CD交AB于E，∵AD平分∠CAB，CD⊥AD于點(diǎn)D，∴∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADC與△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（ASA），∴CD＝DE，∴S△ACD＝S△ADE，S△BCD＝S△BDE，∴S△ABC＝2S△ADB，∵△ADB的面積為3cm2，∴△ABC的面積為6cm2，故選：B．8．（2分）（2021秋?濮陽期末）如圖，在△ABC與△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于點(diǎn)D，連接EB．下列結(jié)論：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正確的個(gè)數(shù)為（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4解：在△AEF和△ABC中，，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，故②正確∴∠EAB＝∠FAC＝40°，故①正確，∴∠C＝∠AFC＝∠AFE＝70°，∴∠EFB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故⑤正確，∵AE＝AB，∠EAB＝40°，∴∠AEB＝∠ABE＝70°，若∠EBC＝110°，則∠ABC＝40°＝∠EAB，∴∠EAB＝∠ABC，∴AE∥BC，顯然與題目條件不符，故③錯(cuò)誤，若AD＝AC，則∠ADF＝∠AFD＝70°，∴∠DAF＝40°，這個(gè)顯然與條件不符，故④錯(cuò)誤．故選：C．9．（2分）（2022春?歷城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，E為BC上一點(diǎn)，連接AE，∠CAD＝2∠BAE，連接DE，下列結(jié)論中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正確的有（）A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④解：如圖，延長EB至G，使BE＝BG，設(shè)AC與DE交于點(diǎn)M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC與△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正確的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正確；∴AE平分∠BED，當(dāng)∠BAE＝∠EAC時(shí)，∠AME＝∠ABE＝90°，則AC⊥DE，當(dāng)∠BAE≠∠EAC時(shí)，∠AME≠∠ABE，則無法說明AC⊥DE，故②是不正確的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，故④是正確的，綜上所述：其中正確的有①③④．故選：D．10．（2分）（2019秋?新洲區(qū)期末）如圖，∠ACB＝90°，AC＝CD，過點(diǎn)D作AB的垂線交AB的延長線于點(diǎn)E．若AB＝2DE，則∠BAC的度數(shù)為（）A．45° B．30° C．22.5° D．15°解：連接AD，延長AC、DE交于M，∵∠ACB＝90°，AC＝CD，∴∠DAC＝∠ADC＝45°，∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠ACB＝∠DCM，∵∠ABC＝∠DBE，∴由三角形內(nèi)角和定理得：∠CAB＝∠CDM，在△ACB和△DCM中∴△ACB≌△DCM（ASA），∴AB＝DM，∵AB＝2DE，∴DM＝2DE，∴DE＝EM，∵DE⊥AB，∴AD＝AM，∴∠BAC＝∠DAE＝∠DAC＝＝22.5°，故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?北京期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，高AD，CE交于點(diǎn)H．若AB＝15，CE＝9，則CH＝3．解：∵∠BAC＝45°，CE⊥AB，∴CE＝AE＝9，∵∠BCE+∠CHD＝90°，∠EAH+∠AHF＝90°，∠AHE＝∠CHD，∴∠BCE＝∠EAH，在△BCE和△HAE中，，∴△BCE≌△HAE（ASA），∴BE＝EH，∵BE+AE＝AB＝15，∴BE＝EH＝6，∴CH＝CE﹣HE＝9﹣6＝3，故答案為：3．12．（2分）（2022春?綠園區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D，E是BC邊上的兩點(diǎn)，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，則∠BAC的度數(shù)為80°．解：∵AD＝AE，∴∠ADC＝∠AEB，在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴AC＝AB，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠B＝∠C，∵∠C＝∠1﹣∠CAD＝110°﹣60°＝50°，∴∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故答案為：80°．13．（2分）（2022春?錦州期末）如圖，CA⊥AB于點(diǎn)A，AB＝4，AC＝2，射線BM⊥AB于點(diǎn)B，一動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以2個(gè)單位/秒的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，E為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持ED＝BC，若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)t秒（t＞0），△EDB與△BCA全等，則t的值為1或3或4．解：∵CA⊥AB，BM⊥AB，∴∠CAB＝∠DBE＝90°，又∵ED＝BC，∴△EDB與△BCA全等，分情況討論：∵點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)t秒（t＞0），當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，可得2t＝4，解得t＝2，此時(shí)不能構(gòu)成△BDE，故t≠2，①△ABC≌△BED，則BD＝AC，∵AB＝4，AC＝2，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，BD＝4﹣2t，∴4﹣2t＝2，解得t＝1，當(dāng)t＞2時(shí)，BD＝2t﹣4，∴2t﹣4＝2，解得t＝3；②△ABC≌△BDE，則BD＝AB，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，4﹣2t＝4，解得t＝0（舍），當(dāng)t＞2時(shí)，2t﹣4＝4，解得t＝4，綜上，滿足條件的t＝1或3或4，故答案為：1或3或4．14．（2分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝110°，延長BC至點(diǎn)D使CD＝AB，過點(diǎn)C作CE∥AB且使CE＝BC，連接DE并延長DE交AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)H．若∠D＝20°，則∠CFE的度數(shù)為30度．解：∵CE∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△ABC與△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D＝20°，∵∠B＝110°，∴∠ACB＝180°﹣∠B+∠A＝50°，∴∠DEC＝∠ACB＝50°，∵CE∥AB，∴∠BHF＝∠DEC＝50°，∴∠CFE＝∠AFH＝∠BHF﹣∠A＝50°﹣20°＝30°．故答案為：30．15．（2分）（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），在AB的上方分別作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于點(diǎn)P．有下列結(jié)論：①AE＝DB；②∠APB＝2∠ADC；③當(dāng)AC＝BC時(shí)，PC⊥AB；④PC平分∠APB．其中正確的是①②③④．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝DB，故①正確；∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠ACD＝∠CDB+∠CBD，∴∠ACD＝∠CAE+∠CBD，∵∠CAE+∠CBD+∠APB＝180°，∴∠ACD+∠APB＝180°，∵AC＝DC，∴∠CAD＝∠ADC，∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠ACD+2∠ADC＝180°，∴∠APB＝2∠ADC，故②正確；∵AC＝BC，AC＝DC，BC＝EC，∴AC＝BC＝DC＝EC，∴∠CAE＝∠CBD，∴PA＝PB，∵AC＝BC，∴PC⊥AB，故③正確；如圖，連接PC，過點(diǎn)C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，∵△ACE≌△DCB，∴S△ACE＝S△DCB，AE＝BD，∴×AE×CG＝×DB×CH，∴CG＝CH，∵CG⊥AE，CH⊥BD，∴PC平分∠APB，故④正確，故答案為：①②③④．16．（2分）（2022春?市中區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，D為△ABC邊AC上一點(diǎn)，BC＝CD，點(diǎn)M在BC的延長線上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．連接BE交AC于F，G為邊CE上一點(diǎn)，滿足CG＝CF，連接DG交BE于H．以下結(jié)論：①△ABC≌△EDC；②∠DHF＝60°；③若∠A＝60°，則AB∥CE；④若BE平分∠ABC中，則EB平分∠DEC．正確的有①②③④．（只填序號(hào)）解：∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝180°﹣∠ACB＝120°，∵CE平分∠ACM，∴∠ACE＝∠MCE＝∠ACM＝60°，∴∠ACB＝∠ACE．在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．∴①的結(jié)論正確；在△BCF和△DCG中，，∴△BCF≌△DCG（SAS）．∴∠CBF＝∠CDG．∵∠ECM＝∠CBF+∠BEC＝60°，∴∠CDG+∠CEB＝60°．∵∠DCE+∠CDE+∠CED＝180°，∠DCE＝60°，∴∠CDE+∠CED＝120°，∴∠HDE+∠HED＝60°，∴∠DHF＝∠HDE+∠HED＝60°．∴②的結(jié)論正確；∵∠A＝60°，∠ACE＝60°，∴∠A＝∠ACE，∴AB∥CE，∴③的結(jié)論正確；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵△BCF≌△DCG，∴∠CBE＝∠CDG．∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE．∵△ABC≌△EDC，∴∠ABC＝∠CDE，∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE＝∠EDG．∵∠ECM＝∠CBF+∠BEC＝60°，∠DHF＝∠EDG+∠DEB＝60°，∴∠CBF+∠BEC＝∠EDG+∠DEB，∴∠BEC＝∠DEB．即EB平分∠DEC．∴④的結(jié)論正確．綜上，正確的結(jié)論有：①②③④，故答案為：①②③④．17．（2分）（2022春?香坊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，BE、CF分別是AC、AB邊上的高，在BE上取點(diǎn)D，使BD＝CA，在射線CF上取點(diǎn)G，使CG＝BA，連接AD、AG，若∠DAE＝38°，∠EBC＝20°，則∠GAB＝58°．解：∵BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，∴∠BEA＝∠CFA＝90°，∴∠ABE+∠BAC＝90°，∠ACF+∠BAC＝90°，∴∠ABE＝∠ACF，在△ABD和△GCA中，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴∠AGC＝∠BAD，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠EBC＝20°，∵∠AGF+∠GAF＝90°，∠ABE+∠BAD+∠DAE＝90°，∴∠GAF＝∠ABD+∠DAE＝20°+38°＝58°，即∠GAB＝58°，故答案為：58．18．（2分）如圖，在△DCA與△DEB中，有以下四個(gè)等式①DE＝DC；②DA＝DB；③∠C＝∠E；④AC＝BE，請(qǐng)以其中三個(gè)等式作條件，余下一個(gè)作結(jié)論，寫出一個(gè)正確判斷①②④?③或①④③?②．（用?????形式表示）解：如①②④?③．證明如下：∵DE＝DC，DA＝DB，AC＝BE∴△DCA≌△DEB（SSS）∴∠C＝∠E（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）答案不唯一．故填①②④?③，①④③?②．19．（2分）（2021?開福區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，AB⊥BC于點(diǎn)B，DC⊥BC于點(diǎn)C，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為線段CD延長線上一點(diǎn)，∠BAF＝∠EDF，則下列結(jié)論正確的是①②③（填序號(hào)）．①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F；④若CD＝DF，則DE＝AF．解：∵AB⊥BC于點(diǎn)B，DC⊥BC于點(diǎn)C，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，故①正確；∵AB∥CD，∴∠AFD+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝∠EDF，∴∠AFD+∠EDF＝180°，∴AF∥DE，故②正確；∴∠DAF＝∠ADE，∵DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，∴∠ADE＝∠CDE，∵AF∥DE，∴∠F＝∠CDE，∴∠DAF＝∠F，故③正確；∵CD＝DF，無法得出DE＝AF，故④錯(cuò)誤；∴結(jié)論正確的是①②③．故答案為：①②③．20．（2分）（2022秋?東西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分線AE交CD于E，連接BE，且BE邊平分∠ABC，得到如下結(jié)論：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，則BE的取值范圍為0＜BE＜x，那么以上結(jié)論正確的是①②⑤．（填序號(hào)）解：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AE、BE分別是∠BAD與∠ABC的平分線，∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAD+∠ABC）＝90°，∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，故①小題正確；如圖，延長AE交BC延長線于F，∵∠AEB＝90°，∴BE⊥AF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，在△ABE與△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AB＝BF，AE＝FE，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠F，在△ADE與△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AD＝CF，∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD，故②小題正確；∵△ADE≌△FCE，∴CE＝DE，即點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，∵BE與CE不一定相等∴BE與CD不一定相等，故③小題錯(cuò)誤；若AD＝BC，則CE是Rt△BEF斜邊上的中線，則BC＝CE，∵AD與BC不一定相等，∴BC與CE不一定相等，故④小題錯(cuò)誤；∵BF＝AB＝x，BE⊥EF，∴BE的取值范圍為0＜BE＜x，故⑤小題正確．綜上所述，正確的有①②⑤．故答案為：①②⑤．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?北京期末）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，且滿足AD＝AE．（1）求證：∠ABE＝∠ACD；（2）連接AO，試判斷AO與BC的位置關(guān)系，并證明．（1）證明：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD．（2）解：連接AO，AO⊥BC，證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABE＝∠ACD，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACD，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴∠BAO＝∠CAO，∴AO⊥BC．22．（8分）（2022秋?襄州區(qū)期末）已知BD、CE是△ABC的高，點(diǎn)P在BD的延長線上，BP＝AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ＝AB．判斷線段AP和AQ的關(guān)系，并證明．解：AP⊥AQ且AP＝AQ．理由如下：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴∠1+∠BAC＝90°，∠2+∠BAC＝90°，∴∠1＝∠2．在△ABP與△QCA中，，∴△ABP≌△QCA（SAS），∴AP＝AQ，∠P＝∠QAC，又∵∠P+∠PAD＝90°，∴∠QAC+∠PAD＝90°，即AP⊥AQ，∴AP⊥AQ且AP＝AQ．23．（8分）（2022秋?江北區(qū)校級(jí)月考）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝90°，DE⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)F，且BC＝DE．（1）求證：AC＝BE；（2）如圖2，連接AD交BE于點(diǎn)G，在CB的延長線上截取BH＝CD，連接HG，求證：∠H＝∠C．（1）證明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，BE⊥AC，∴∠ABE+∠EBD＝90°，∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠BAC＝∠DBE，在△ABC與△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（ASA），∴AC＝BE；（2）證明：由（1）可知△ABC≌△BDE，∴∠ACB＝∠BED，∠BAC＝∠DBE，AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝45°，BH＝CD，∵∠H+∠HGB＝∠GBD，∴∠DAC+∠C＝∠ADB＝45°，∵∠DAC＝∠HGB，∠ADB＝∠GBD＝45°，∴∠H＝∠C．24．（8分）（2021秋?梁溪區(qū)校級(jí)期末）問題情境：如圖1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)E、F，PE與PF相等嗎？請(qǐng)你給出證明；變式拓展：如圖2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，∠EPF＝60°，PE邊與OA邊相交于點(diǎn)E，PF邊與射線OB的反向延長線相交于點(diǎn)F．試解決下列問題：①PE與PF還相等嗎？為什么？②試判斷OE、OF、OP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．問題情境：證明：過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，∵∠MPN＝∠EPF＝90°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；變式拓展：①解：結(jié)論：PE＝PF．理由：過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，∵∠MPN＝∠EPF＝60°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；②解：結(jié)論：OE﹣OF＝OP．理由：在△OPM和△OPN中，，∴△POM≌△PON（AAS），∴OM＝ON，∵△PMF≌△PNE（ASA），∴FM＝EN，∴OE﹣OF＝EN+ON﹣（FM﹣OM）＝2OM，在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，，∴∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，∴OE﹣OF＝OP．25．（10分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，延長BD交AC于E，G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）當(dāng)∠A＝80°時(shí)，求∠EDC的度數(shù)；（2）求證：CF＝FG+CE．（1）解：方法一：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵BE平分∠ABC、CD平分∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝50°，∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝50°；方法二：如圖，在BC上取點(diǎn)M，使CM＝CE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△CDE和△CDM中，，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，∵GD＝DE，∴GD＝MD，∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，∴∠AEB＝∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，∴∠BDM＝180°﹣ABC﹣∠DMB＝180°﹣ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，∴∠EDM＝100°，∴∠EDC＝50°；（2）證明：∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDM＝2∠BDF，∴∠FDM＝∠BDF，在△DGF和△DMF中，，∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF＝MF，∴CF＝CM+FM＝CE+GF．∴CF＝FG+CE．26．（10分）（2021秋?敘州區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．證明：（1）延長BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥