2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第6講-雙曲線

第6講雙曲線考向預(yù)測核心素養(yǎng)考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，雙曲線的離心率和漸近線是高考命題熱點(diǎn)；直線與雙曲線是高考新的命題點(diǎn).直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算[學(xué)生用書P231]一、知識(shí)梳理1．雙曲線的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．(2)符號(hào)表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常數(shù))(0<2a<|F1F2|)．(3)焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2．(4)焦距：兩焦點(diǎn)間的距離，表示為|F1F2|.2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)性質(zhì)圖形焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b；實(shí)半軸長：a，虛半軸長：b離心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c關(guān)系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝eq\r(2).常用結(jié)論1．雙曲線中的幾個(gè)常用結(jié)論(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦)，其長為eq\f(2b2,a)，異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長為2a.(4)設(shè)P，A，B是雙曲線上的三個(gè)不同的點(diǎn)，其中A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為eq\f(b2,a2).2．巧設(shè)雙曲線方程(1)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．(2)過已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為mx2＋ny2＝1(mn<0)．二、教材衍化1．(人A選擇性必修第一冊P120例1改編)已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(－5，0)，B(5，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|－|MB|＝6，則點(diǎn)M的軌跡方程是()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x≥4)C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)解析：選D.由雙曲線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支，故排除A，C.又由題意可知焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5，a＝3，所以b＝eq\r(c2－a2)＝4，故點(diǎn)M的軌跡方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)．2．(人A選擇性必修第一冊P127習(xí)題3.2T6改編)經(jīng)過點(diǎn)A(4，1)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝±1(a>0)，把點(diǎn)A(4，1)代入，得a2＝15(舍負(fù))，故所求方程為eq\f(x2,15)－eq\f(y2,15)＝1.答案：eq\f(x2,15)－eq\f(y2,15)＝13．(人A選擇性必修第一冊P120例1改編)以橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為________．解析：設(shè)要求的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得焦點(diǎn)為(－1，0)，(1，0)，頂點(diǎn)為(－2，0)，(2，0)．所以雙曲線的頂點(diǎn)為(－1，0)，(1，0)，焦點(diǎn)為(－2，0)，(2，0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.答案：x2－eq\f(y2,3)＝1一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．()(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．()(3)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與eq\f(x2,b2)－eq\f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝1.()答案：(1)×(2)×(3)√二、易錯(cuò)糾偏1．(多選)(曲線方程中參數(shù)意義不明致誤)若方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1所表示的曲線為C，則下面四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是()A．若C為橢圓，則1<t<3B．若C為雙曲線，則t>3或t<1C．曲線C可能是圓D．若C為橢圓，且長軸在y軸上，則1<t<2解析：選AD.若t>3，則方程可變形為eq\f(y2,t－1)－eq\f(x2,t－3)＝1，它表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；若t<1，則方程可變形為eq\f(x2,3－t)－eq\f(y2,1－t)＝1，它表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；若2<t<3，則0<3－t<t－1，故方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；若1<t<2，則0<t－1<3－t，故方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；若t＝2，方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1即為x2＋y2＝1，它表示圓，綜上，選AD.2．(忽視雙曲線上的點(diǎn)的特征致誤)已知雙曲線x2－eq\f(y2,16)＝1上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4，那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于________．解析：設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，|PF1|＝4，則||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為c－a＝eq\r(17)－1，故|PF2|＝6.答案：63．(忽視焦點(diǎn)的位置致誤)坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線的一條漸近線的斜率為eq\r(3)，則雙曲線的離心率為________．解析：若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，有eq\f(b,a)＝eq\r(3)，則c＝2a，此時(shí)e＝2.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，有eq\f(a,b)＝eq\r(3)，則c＝eq\f(2\r(3),3)a，此時(shí)e＝eq\f(2\r(3),3).綜上，e＝2或e＝eq\f(2\r(3),3).答案：2或eq\f(2\r(3),3)[學(xué)生用書P232]考點(diǎn)一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解雙曲線的定義及幾何圖形；會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解兩種類型的標(biāo)準(zhǔn)方程的差異．角度1雙曲線的定義(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1) D.x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為________．【解析】(1)設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，由動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C1(－3，0)和C2(3，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且2a＝2，a＝1，c＝3，則b2＝c2－a2＝8，所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．(2)不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2)，所以|PF1|·|PF2|＝8，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝2eq\r(3).【答案】(1)C(2)2eq\r(3)在本例(2)中，若將“∠F1PF2＝60°”改為“eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0”，則△F1PF2的面積為________．解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，因?yàn)閑q\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝2.答案：2雙曲線定義的應(yīng)用(1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程．(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立|PF1|與|PF2|的關(guān)系．[注意]在應(yīng)用雙曲線定義時(shí)，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．角度2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(一題多解)已知雙曲線過點(diǎn)(2，3)，漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(7x2,16)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(y2,3)－eq\f(x2,2)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(3y2,23)－eq\f(x2,23)＝1【解析】方法一：若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)，))所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1；若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，則由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，,\f(a,b)＝\r(3)，))該方程組無解．綜上，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.方法二：設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)，則由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,m)－\f(9,n)＝1，,\r(\f(n,m))＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3，))所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.方法三：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，所以可設(shè)雙曲線的方程為3x2－y2＝λ(λ≠0)，則由雙曲線過點(diǎn)(2，3)，可得λ＝3×22－32＝3，故雙曲線的方程為3x2－y2＝3，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.【答案】C若本例中“雙曲線過點(diǎn)(2，3)”變?yōu)椤敖咕酁?”，其他條件不變，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：由例題方法三知所求雙曲線方程可設(shè)為3x2－y2＝λ(λ≠0)即eq\f(x2,\f(λ,3))－eq\f(y2,λ)＝1.又雙曲線焦距為2，所以c＝1.若λ>0，方程化為eq\f(x2,\f(λ,3))－eq\f(y2,λ)＝1，所以eq\f(λ,3)＋λ＝1，所以λ＝eq\f(3,4).此時(shí)方程為eq\f(x2,\f(1,4))－eq\f(y2,\f(3,4))＝1；若λ<0，方程化為eq\f(y2,－λ)－eq\f(x2,－\f(λ,3))＝1，所以－λ－eq\f(λ,3)＝1，所以λ＝－eq\f(3,4).此時(shí)方程為eq\f(y2,\f(3,4))－eq\f(x2,\f(1,4))＝1.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f(1,4))－eq\f(y2,\f(3,4))＝1或eq\f(y2,\f(3,4))－eq\f(x2,\f(1,4))＝1.答案：eq\f(x2,\f(1,4))－eq\f(y2,\f(3,4))＝1或eq\f(y2,\f(3,4))－eq\f(x2,\f(1,4))＝1求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出雙曲線方程．(2)待定系數(shù)法：先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根據(jù)條件求解．(3)常用設(shè)法：①與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共漸近線的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；②若雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，則雙曲線的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．|跟蹤訓(xùn)練|1．(多選)(2022·山東濱州期末)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，則能使雙曲線C的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的條件是()A．雙曲線的離心率為eq\f(5,4)B．雙曲線過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))C．雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0D．雙曲線的實(shí)軸長為4解析：選ABC.由題意可得焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5，A選項(xiàng)，若雙曲線的離心率為eq\f(5,4)，則a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此時(shí)雙曲線的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故A正確；B選項(xiàng)，若雙曲線過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(25,a2)－\f(\f(81,16),b2)＝1，,a2＋b2＝25，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝16，,b2＝9，))此時(shí)雙曲線的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故B正確；C選項(xiàng)，若雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，可設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝m(m>0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，所以此時(shí)雙曲線的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故C正確；D選項(xiàng)，若雙曲線的實(shí)軸長為4，則a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此時(shí)雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,21)＝1，故D錯(cuò)誤．故選ABC.2．經(jīng)過點(diǎn)P(3，2eq\r(7))，Q(－6eq\r(2)，7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過點(diǎn)P(3，2eq\r(7))，Q(－6eq\r(2)，7)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25).))故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.答案：eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解雙曲線的幾何性質(zhì)．角度1漸近線和離心率(1)(2021·高考全國卷甲)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A.eq\f(\r(7),2) B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7) D.eq\r(13)(2)(2021·高考全國卷乙)已知雙曲線C：eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的一條漸近線為eq\r(3)x＋my＝0，則C的焦距為________．【解析】(1)設(shè)|PF2|＝m，|PF1|＝3m，則|F1F2|＝eq\r(m2＋9m2－2×3m×m×cos60°)＝eq\r(7)m，所以C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(\r(7)m,2m)＝eq\f(\r(7),2).(2)雙曲線eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的漸近線為y＝±eq\f(1,\r(m))x，即x±eq\r(m)y＝0，又雙曲線的一條漸近線為eq\r(3)x＋my＝0，即x＋eq\f(m,\r(3))y＝0，聯(lián)立兩式可得，m＝3.設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則有a2＝m＝3，b2＝1，所以雙曲線的焦距2c＝2eq\r(a2＋b2)＝4.【答案】(1)A(2)4角度2雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用(1)(2022·濰坊模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線的左支交于點(diǎn)A，與右支交于點(diǎn)B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝eq\f(2π,3)，則eq\f(S△AF1F2,S△ABF2)＝()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)(2)(2022·合肥市名校聯(lián)考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3)C.2 D.eq\f(7,3)(3)設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2 D.eq\r(5)【解析】(1)如圖所示，由雙曲線定義可知|AF2|－|AF1|＝2a.又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因?yàn)椤螰1AF2＝eq\f(2,3)π，所以S△AF1F2＝eq\f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝eq\f(1,2)×2a×4a×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)a2.由雙曲線定義可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以△BAF2為等邊三角形，邊長為4a，所以S△ABF2＝eq\f(\r(3),4)|AB|2＝eq\f(\r(3),4)×(4a)2＝4eq\r(3)a2，所以eq\f(S△AF1F2,S△ABF2)＝eq\f(2\r(3)a2,4\r(3)a2)＝eq\f(1,2).故選B.(2)設(shè)P(xP，yP)，則雙曲線的焦半徑|PF1|＝exP＋a，|PF2|＝exP－a，由|PF1|＝4|PF2|可得exP＋a＝4(exP－a)，即3exP＝5a，所以xP＝eq\f(5a,3e).由于點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則xP＝eq\f(5a,3e)≥a，從而e≤eq\f(5,3)，即此雙曲線的離心率e的最大值為eq\f(5,3).(3)依題意，記F(c，0)，則以O(shè)F為直徑的圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)，將圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)與圓x2＋y2＝a2的方程相減得cx＝a2，即x＝eq\f(a2,c)，所以點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)均為eq\f(a2,c).由于PQ是圓x2＋y2＝a2的一條弦，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PQ|,2)))eq\s\up12(2)＝a2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，即eq\f(c2,4)＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2,c2)))＝eq\f(a2b2,c2)，所以c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的離心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，故選A.【答案】(1)B(2)B(3)A雙曲線的幾何性質(zhì)(1)求雙曲線的漸近線或離心率的方法：①求出a，b，c直接求離心率e，寫漸近線方程．②列出a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．(2)雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用要充分注意與平面幾何知識(shí)的聯(lián)系，善于發(fā)現(xiàn)條件中的相等或不等關(guān)系．|跟蹤訓(xùn)練|1．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距為4eq\r(2)，且兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的實(shí)軸長為()A．2 B.4C．6 D.8解析：選B.因?yàn)殡p曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線為y＝±eq\f(b,a)x，兩條漸近線互相垂直，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)＝－1，得a＝b.因?yàn)殡p曲線的焦距為4eq\r(2)，所以c＝2eq\r(2)，由c2＝a2＋b2可知2a2＝8，所以a＝2，所以實(shí)軸長2a＝4.故選B.2．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|＝4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2 D.eq\r(5)解析：選D.由題意，可得F(1，0)，直線l的方程為x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.將x＝－1代入y＝±eq\f(b,a)x，得y＝±eq\f(b,a)，所以點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均為eq\f(b,a).由|AB|＝4|OF|可得eq\f(2b,a)＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(5).3．(2022·濟(jì)寧模擬)過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)F為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：因?yàn)闈u近線y＝eq\f(b,a)x與直線x＝a交于點(diǎn)A(a，b)，c＝4且eq\r(（4－a）2＋b2)＝4，又a2＋b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1考點(diǎn)三直線與雙曲線(綜合研析)(2021·新高考卷Ⅰ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1(－eq\r(17)，0)，F(xiàn)2(eq\r(17)，0)，點(diǎn)M滿足|MF1|－|MF2|＝2.記M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x＝eq\f(1,2)上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和．【解】(1)因?yàn)閨MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2eq\r(17)，所以點(diǎn)M的軌跡C是以F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支．設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，半焦距為c，則2a＝2，c＝eq\r(17)，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為x2－eq\f(y2,16)＝1(x≥1)．(2)設(shè)Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，t))，由題意可知直線AB，PQ的斜率均存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為y－t＝k1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))(k1≠0)，直線PQ的方程為y－t＝k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))(k2≠0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－t＝k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，,x2－\f(y2,16)＝1，))得(16－keq\o\al(2,1))x2－2k1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))eq\s\up12(2)－16＝0.設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，易知16－keq\o\al(2,1)≠0，則xAxB＝eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－keq\o\al(2,1))，xA＋xB＝eq\f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2))),16－keq\o\al(2,1))，所以|TA|＝eq\r(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))＝eq\r(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))，|TB|＝eq\r(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))＝eq\r(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))，則|TA|·|TB|＝(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))＝(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xAxB－\f(1,2)（xA＋xB）＋\f(1,4)))＝(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－keq\o\al(2,1))－\f(1,2)·\f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2))),16－keq\o\al(2,1))＋\f(1,4)))＝eq\f(（1＋keq\o\al(2,1)）（t2＋12）,keq\o\al(2,1)－16).同理得|TP|·|TQ|＝eq\f(（1＋keq\o\al(2,2)）（t2＋12）,keq\o\al(2,2)－16).因?yàn)閨TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以eq\f(（1＋keq\o\al(2,1)）（t2＋12）,keq\o\al(2,1)－16)＝eq\f(（1＋keq\o\al(2,2)）（t2＋12）,keq\o\al(2,2)－16)，所以keq\o\al(2,2)－16＋keq\o\al(2,1)keq\o\al(2,2)－16keq\o\al(2,1)＝keq\o\al(2,1)－16＋keq\o\al(2,1)keq\o\al(2,2)－16keq\o\al(2,2)，即keq\o\al(2,1)＝keq\o\al(2,2)，又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.(1)判斷直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關(guān)于x或y的一元二次方程．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，直線與雙曲線相交于某支上一點(diǎn)，這時(shí)直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，用判別式Δ來判定．(2)弦長公式設(shè)直線y＝kx＋b與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2).|跟蹤訓(xùn)練|已知雙曲線C1：x2－eq\f(y2,4)＝1.(1)求與雙曲線C1有相同的焦點(diǎn)且過點(diǎn)P(4，eq\r(3))的雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l：y＝x＋m分別交雙曲線C1的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝3時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．解：(1)雙曲線C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\r(5)，0)，(－eq\r(5)，0)，設(shè)雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝5，,\f(16,a2)－\f(3,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1，))所以雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.(2)雙曲線C1的漸近線方程為y＝2x，y＝－2x，設(shè)A(x1，2x1)，B(x2，－2x2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,4)＝0，,y＝x＋m，))消去y化簡得3x2－2mx－m2＝0.由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2＞0，得m≠0.因?yàn)閤1x2＝－eq\f(m2,3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋(2x1)·(－2x2)＝－3x1x2，所以m2＝3，即m＝±eq\r(3).[學(xué)生用書P367(單獨(dú)成冊)][A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．若雙曲線E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|＝()A．11 B.9C.5 D.3解析：選B.根據(jù)雙曲線的定義，得||PF2|－|PF1||＝2×3＝6，所以||PF2|－3|＝6，所以|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)．2．已知雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m＋6)＝1(m>0)的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1解析：選D.由題意，得2eq\r(m)＝eq\r(m＋6)，解得m＝2，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1.故選D.3．設(shè)雙曲線x2－eq\f(y2,8)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，則△PF1F2的面積為()A．10eq\r(3) B.8eq\r(3)C.8eq\r(5) D.16eq\r(5)解析：選C.依題意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因?yàn)閨PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)×8×eq\r(62－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))\s\up12(2))＝8eq\r(5).4．(2022·長春市質(zhì)量監(jiān)測)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為雙曲線上除A，B外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A，B連線的斜率分別為k1，k2，若k1k2＝3，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±x B.y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D.y＝±2x解析：選C.設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由題意知k1·k2＝eq\f(y,x－a)·eq\f(y,x＋a)＝eq\f(y2,x2－a2)＝eq\f(y2,\f(a2y2,b2))＝eq\f(b2,a2)＝3，所以其漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，故選C.5．(2020·高考天津卷)設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B.x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1 D.x2－y2＝1解析：選D.方法一：由題知y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，則過焦點(diǎn)和點(diǎn)(0，b)的直線方程為x＋eq\f(y,b)＝1，而eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝0和eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝0，由l與一條漸近線平行，與另一條漸近線垂直，得a＝1，b＝1，故選D.方法二：由題知雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，則a＝b，即漸近線方程為x±y＝0，排除B，C.又知y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，l過點(diǎn)(1，0)，(0，b)，所以eq\f(b－0,0－1)＝－1，b＝1，故選D.6．已知離心率為eq\f(\r(5),2)的雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且OM⊥MF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若S△OMF2＝16，則雙曲線的實(shí)軸長是()A．32 B.16C.84 D.4解析：選B.由題意知F2(c，0)，不妨令點(diǎn)M在漸近線y＝eq\f(b,a)x上，由題意可知|F2M|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，所以|OM|＝eq\r(c2－b2)＝a.由S△OMF2＝16，可得eq\f(1,2)ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，所以a＝8，b＝4，c＝4eq\r(5)，所以雙曲線C的實(shí)軸長為16.故選B.7．(多選)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲線C：mx2＋ny2＝1.()A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為eq\r(n)C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±eq\r(－\f(m,n))xD．若m＝0，n>0，則C是兩條直線解析：選ACD.對(duì)于A，若m＞n＞0，則mx2＋ny2＝1可化為eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，因?yàn)閙>n>0，所以0<eq\f(1,m)＜eq\f(1,n)，即曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于B，若m＝n>0，則mx2＋ny2＝1可化為x2＋y2＝eq\f(1,n)，此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為eq\f(\r(n),n)的圓，故B不正確；對(duì)于C，若mn<0，則mx2＋ny2＝1可化為eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，此時(shí)曲線C表示雙曲線．由mx2＋ny2＝0可得y＝±eq\r(－\f(m,n))x，故C正確；對(duì)于D，若m＝0，n>0，則mx2＋ny2＝1可化為y2＝eq\f(1,n)，y＝±eq\f(\r(n),n)，此時(shí)曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確．故選ACD.8．(2021·高考全國卷乙)雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的右焦點(diǎn)到直線x＋2y－8＝0的距離為________．解析：由雙曲線的性質(zhì)知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，則c＝3，雙曲線右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，所以雙曲線的右焦點(diǎn)到直線x＋2y－8＝0的距離d＝eq\f(|3－8|,\r(12＋22))＝eq\r(5).答案：eq\r(5)9．已知左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2的雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線l：x－2y＝0相互垂直，點(diǎn)P在雙曲線C上，且|PF1|－|PF2|＝3，則雙曲線C的焦距為________．解析：雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線為y＝±eq\f(b,a)x，一條漸近線與直線l：x－2y＝0相互垂直，可得eq\f(b,a)＝2，即b＝2a，由雙曲線的定義可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，可得a＝eq\f(3,2)，b＝3，即有c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(\f(9,4)＋9)＝eq\f(3\r(5),2)，即焦距為2c＝3eq\r(5).答案：3eq\r(5)10．已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)．若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，則y0的取值范圍是________．解析：由題意知a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3)，設(shè)F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，則eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(eq\r(3)－x0，－y0)．因?yàn)閑q\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，所以(－eq\r(3)－x0)(eq\r(3)－x0)＋yeq\o\al(2,0)<0，即xeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)<0.因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線C上，所以eq\f(xeq\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，即xeq\o\al(2,0)＝2＋2yeq\o\al(2,0)，所以2＋2yeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)<0，所以－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))[B綜合應(yīng)用]11．(多選)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：y2－x2＝1的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)P是其中一條漸近線上的一點(diǎn)，且以線段F1F2為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P，則()A．雙曲線C的漸近線方程為y＝±xB．以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1C．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±1D．△PF1F2的面積為eq\r(2)解析：選ACD.等軸雙曲線C：y2－x2＝1的漸近線方程為y＝±x，故A正確；由雙曲線的方程可知|F1F2|＝2eq\r(2)，所以以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝2，故B錯(cuò)誤；點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2＋y2＝2上，不妨設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)在直線y＝x上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2，,y0＝x0，))解得|x0|＝1，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±1，故C正確；由上述分析可得S△PF1F2＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2)，故D正確．故選ACD.12.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若直線y＝x與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且四邊形PF1QF2為矩形，則雙曲線的離心率為________．解析：由題意可得，矩形的對(duì)角線長相等，將直線y＝x代入雙曲線C的方程，可得x＝±eq\r(\f(a2b2,b2－a2))，所以eq\r(2)·eq\r(\f(a2b2,b2－a2))＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因?yàn)閑>1，所以e2＝2＋eq\r(2)，所以e＝eq\r(2＋\r(2)).答案：eq\r(2＋\r(2))13．(2022·陜西榆林二模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為B，且直線AB的斜率為eq\f(1,2)，則C的離心率為________．解析：把x＝c代入雙曲線：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)得y＝eq\f(b2,a)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，又A(－a，0)，直線AB的斜率為eq\f(1,2)，所以eq\f(\f(b2,a),a＋c)＝eq\f(1,2)，可得a2＋ac＝2c2－2a2，即2c2－3a2－ac＝0，即2e2－3－e＝0，因?yàn)閑>1，所以e＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)14．(2022·臨川一中模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是虛軸的上端點(diǎn)．若在線段BF上(不含端點(diǎn))存在不同的兩點(diǎn)Pi(i＝1，2)，使得eq\o(PiA1,\s\up6(→))·eq\o(PiA2,\s\up6(→))＝0，則雙曲線離心率的取值范圍是________．解析：設(shè)c為半焦距，則F(c，0)，又B(0，b)，所以BF：bx＋cy－bc＝0，以A1A2為直徑的圓的方程為⊙O：x2＋y2＝a2，因?yàn)閑q\o(PiA1,\s\up6(→))·eq\o(PiA2,\s\up6(→))＝0，i＝1，2，所以⊙O與線段BF有兩個(gè)交點(diǎn)(不含端點(diǎn))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(bc,\r(b2＋c2))<a，,b>a，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c4－3a2c2＋a4<0，,c2>2a2，))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e4－3e2＋1<0，,e2>2，))解得eq\r(2)<e<eq\f(\r(5)＋1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(\r(5)＋1,2)))[C素養(yǎng)提升]15．(2022·安徽皖南名校聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其右支上存在一點(diǎn)M，使得eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，直線MF2平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2 D.eq\r(5)解析：選D.由eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，得MF1⊥MF2.不妨設(shè)直線MF2平行于雙曲線的漸近線l：bx＋ay＝0，如圖所示，從而得l是線段MF1的垂直平分線，且直線MF1