滬教版九年級數(shù)學(xué)核心知識點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練第26章二次函數(shù)全章復(fù)習(xí)與測試(原卷版+解析)

第26章二次函數(shù)全章復(fù)習(xí)與測試【知識梳理】1.二次函數(shù)的概念解析式形如的函數(shù)；它的定義域為一切實數(shù)；2.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)對稱軸頂點(diǎn)開口方向變化情況直線時，開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)；時，開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)；當(dāng)時，拋物線在對稱軸（直線）左側(cè)的部分下降，在右側(cè)上升；時，在對稱軸左側(cè)上升，在對稱軸右側(cè)下降.直線直線直線直線【考點(diǎn)剖析】一．二次函數(shù)的定義（共3小題）1．（2023?楊浦區(qū)一模）下列函數(shù)中，二次函數(shù)是（）A．y＝x+1 B．y＝x（x+1） C．y＝（x+1）2﹣x2 D．2．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）如果函數(shù)y＝（m+1）x+2是二次函數(shù)，那么m＝．3．（2022秋?黃浦區(qū)校級月考）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3，當(dāng)x＝2時，y＝3．則這個二次函數(shù)的表達(dá)式是．二．二次函數(shù)的圖象（共2小題）4．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖所示的拋物線y＝x2﹣bx+b2﹣9的圖象，那么b的值是．5．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）如果二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2（a≠0）的圖象在它的對稱軸右側(cè)部分是上升的，那么a的取值范圍是．三．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共7小題）6．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么（）A．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0 C．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0 D．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜07．（2022秋?金山區(qū)校級期末）如果拋物線y＝（k﹣2）x2的開口向上，那么k的取值范圍是．8．（2023?普陀區(qū)一模）如果二次函數(shù)y＝（x﹣m）2+k的圖象如圖所示，那么下列說法中正確的是（）A．m＞0，k＞0 B．m＞0，k＜0 C．m＜0，k＞0 D．m＜0，k＜09．（2023?虹口區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么下列四個結(jié)論中，錯誤的是（）A．a(chǎn)＜0 B．b＜0 C．c＞0 D．a(chǎn)bc＜010．（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）如果拋物線y＝（a+2）x2+a的開口向下，那么a的取值范圍是．11．（2023?徐匯區(qū)一模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，點(diǎn)P在x軸的正半軸上，且OP＝1，下列選項中正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．c＜0 C．a(chǎn)+b+c＞0 D．b＜012．（2023?楊浦區(qū)一模）已知拋物線y＝ax2在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，那么a的取值范圍是．四．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共13小題）13．（2023?普陀區(qū)一模）下列函數(shù)圖象中，與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1）的是（）A．y＝2x B．y＝2x﹣1 C．y＝2x2+1 D．y＝2（x+1）214．（2023?長寧區(qū)一模）某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象時，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算錯了其中的一個y值，那么這個錯誤的數(shù)值是（）A．﹣3 B．﹣4 C．0 D．﹣115．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）下列各點(diǎn)中，在二次函數(shù)y＝x2﹣8x﹣9圖象上的點(diǎn)是（）A．（1，﹣16） B．（﹣1，﹣16） C．（﹣3，﹣8） D．（3，24）16．（2023?徐匯區(qū)一模）已知點(diǎn)A（﹣3，m）、B（﹣2，n）在拋物線y＝﹣x2﹣2x+4上，則mn（填“＞”、“＝”或“＜”）．17．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）已知點(diǎn)A（0，y1）、B（﹣1，y2）在拋物線y＝x2﹣2x+c（c為常數(shù)）上，則y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．18．（2022秋?金山區(qū)校級期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…m﹣3﹣2﹣3﹣6…那么m的值為．19．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）已知y是關(guān)于x的函數(shù)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（t，﹣t），則稱點(diǎn)P為函數(shù)圖象上的“相反點(diǎn)”，例如：直線y＝2x﹣3上存在“相反點(diǎn)”P（1，﹣1）．若二次函數(shù)y＝x2+2mx+m+2的圖象上存在唯一“相反點(diǎn)”，則m＝．20．（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）如果二次函數(shù)y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的圖象過原點(diǎn)，那么m＝．21．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）函數(shù)y＝2x2+4x﹣5的圖象與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為．22．（2023?青浦區(qū)二模）已知點(diǎn)M（﹣1，2）和點(diǎn)N都在拋物線y＝x2﹣2x+c上，如果MN∥x軸，那么點(diǎn)N的坐標(biāo)為．23．（2023?崇明區(qū)一模）已知點(diǎn)A（2，y1），B（﹣3，y2）為二次函數(shù)y＝（x+1）2圖象上的兩點(diǎn)，那么y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．24．（2023?長寧區(qū)一模）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，y1），（2，y2），試比較y1和y2的大?。簓1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．25．（2023?靜安區(qū)校級一模）拋物線y＝（x+1）2﹣2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．五．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共6小題）26．（2023?虹口區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y＝x2+2x沿著y軸向下平移2個單位，所得到的新拋物線的表達(dá)式為．27．（2023?金山區(qū)一模）將拋物線y＝2（x+4）2向右平移3個單位，得到新拋物線的表達(dá)式是．28．（2023?松江區(qū)一模）把拋物線y＝x2+1向左平移2個單位，所得新拋物線的表達(dá)式是．29．（2023?寶山區(qū)一模）將拋物線y＝x2+3向右平移3個單位長度，平移后拋物線的表達(dá)式為（）A．y＝x2 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+330．（2022秋?金山區(qū)校級期末）若將拋物線y＝2（x﹣1）2+3向下平移3個單位，則所得到的新拋物線表達(dá)式為．31．（2023?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y＝x+6與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段AB上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線M：y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）求b，c的值；（3）平移拋物線M至N，點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，聯(lián)結(jié)CD，且CD∥x軸，如果點(diǎn)P在x軸上，且新拋物線過點(diǎn)B，求拋物線N的函數(shù)解析式．六．二次函數(shù)綜合題（共9小題）32．（2023?靜安區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣4x+c（a≠0）與x軸分別交于點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)BC，點(diǎn)P在線段BC上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求直線BC的表達(dá)式；（2）如果以P為頂點(diǎn)的新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且與x軸的另一個交點(diǎn)為D；①求新拋物線的表達(dá)式（用含m的式子表示），并寫出m的取值范圍；②過點(diǎn)P向x軸作垂線，交原拋物線于點(diǎn)E，當(dāng)四邊形AEDP是一個軸對稱圖形時，求新拋物線的表達(dá)式．33．（2023?長寧區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+2x+6與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)O右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）如圖1，點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，直線BD恰好平分△ABC的面積，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，﹣2），在拋物線上存在點(diǎn)P，滿足∠OBP＝2∠OBE，請直接寫出直線BP的表達(dá)式．34．（2023?奉賢區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的表達(dá)式和對稱軸；（2）聯(lián)結(jié)AC、BC，D為x軸上方拋物線上一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合），如果△ABD的面積與△ABC的面積相等，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P（m，4）（m＞0），點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上（點(diǎn)E在頂點(diǎn)上方），當(dāng)∠APE＝90°，且＝時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．35．（2023?楊浦區(qū)三模）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是線段AB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)E，如果PE＝PB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，點(diǎn)F在y軸上，且點(diǎn)F到直線EC、ED的距離相等，求線段EF的長．36．（2023?虹口區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3的頂點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)B，異于頂點(diǎn)A的點(diǎn)C（2，n）在該拋物線上．（1）如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1）．①求點(diǎn)A的坐標(biāo)和n的值；②將拋物線向上平移后的新拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為D，頂點(diǎn)A移至點(diǎn)A1，如果四邊形DCAA1為平行四邊形，求平移后新拋物線的表達(dá)式；（2）直線AC與y軸相交于點(diǎn)E，如果BC∥AO且點(diǎn)B在線段OE上，求m的值．37．（2023?崇明區(qū)二模）如圖．在直角坐標(biāo)平面xOy中，直線y＝﹣x+5分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為C，點(diǎn)在拋物線對稱軸左側(cè)的圖象上，將拋物線向上平移m個單位（m＞0），使點(diǎn)M落在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；（3）對稱軸與直線AB交于點(diǎn)E，P是線段AB上的一個動點(diǎn)（P不與E重合），過P作y軸的平行線交原拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)PE＝QD時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．38．（2023?浦東新區(qū)模擬）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），且OA＝2OC．（1）求這條拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）求tan∠MAC的值；（3）如果點(diǎn)D在這條拋物線的對稱軸上，且∠CAD＝45°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．39．（2023?普陀區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求拋物線的表達(dá)式，并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）將直線BC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，交y軸于點(diǎn)E．此時旋轉(zhuǎn)角∠EBC等于∠ABD．①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②二次函數(shù)y＝x2+2bx+b2﹣1的圖象始終有一．部分落在△ECB的內(nèi)部，求實數(shù)b的取值范圍．40．（2023?青浦區(qū)二模）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（6，0）和C（0，3），與x軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)A．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）將該拋物線向右平移m個單位（m＞0），點(diǎn)C移到點(diǎn)D，點(diǎn)A移到點(diǎn)E，若∠DEC＝90°，求m的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為G，新拋物線在對稱軸右側(cè)的部分與x軸交于點(diǎn)F，求點(diǎn)C到直線GF的距離．

【過關(guān)檢測】一．選擇題（共6小題）1．拋物線y＝﹣x2+2x﹣4一定經(jīng)過點(diǎn)（）A．（2，﹣4） B．（1，2） C．（﹣4，0） D．（3，2）2．在同一坐標(biāo)系中，作y＝x2，y＝﹣x2，y＝x2的圖象，它們的共同特點(diǎn)是（）A．拋物線的開口方向向上 B．都是關(guān)于x軸對稱的拋物線，且y隨x的增大而增大 C．都是關(guān)于y軸對稱的拋物線，且y隨x的增大而減小 D．都是關(guān)于y軸對稱的拋物線，有公共的頂點(diǎn)3．下列二次函數(shù)中，如果圖象能與y軸交于點(diǎn)A（0，1），那么這個函數(shù)是（）A．y＝3x2 B．y＝3x2+1 C．y＝3（x+1）2 D．y＝3x2﹣x4．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）如圖所示，那么a、b、c的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜0、b＞0、c＞0 B．a(chǎn)＜0、b＜0、c＞0 C．a(chǎn)＜0、b＞0、c＜0 D．a(chǎn)＜0、b＜0、c＜05．將二次函數(shù)y＝2（x﹣2）2的圖象向左平移1個單位，再向下平移3個單位后所得圖象的函數(shù)解析式為（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4 B．y＝2（x﹣1）2+3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2x2﹣36．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1，有以下結(jié)論：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4ac﹣b2＜8a；④3a+c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共12小題）7．如果拋物線y＝ax2+2經(jīng)過點(diǎn)（1，0），那么a的值為．8．如果函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，那么k的值是．9．如果拋物線y＝﹣2x2+bx+c的對稱軸在y軸的左側(cè)，那么b0（填入“＜”或“＞”）．10．將拋物線y＝2x2+4繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為．11．若拋物線y＝ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c滿足a﹣b+c＝0，則這條拋物線必經(jīng)過點(diǎn)．12．如果拋物線y＝（k﹣1）x2+9在y軸左側(cè)的部分是上升的，那么k的取值范圍是．13．將拋物線y＝2（x+2）2+2經(jīng)過適當(dāng)?shù)膸缀巫儞Q得到拋物線y＝2x2﹣2，請寫出一種滿足條件的變換方法．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣mx+4與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)B，點(diǎn)A在拋物線上，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)D恰好落在x軸負(fù)半軸上，過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E．若點(diǎn)A、D的橫坐標(biāo)分別為1、﹣1，則線段AE與線段CB的長度和為．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝a（x+1）2+b與y＝a（x﹣2）2+b+1交于點(diǎn)A．過點(diǎn)A作y軸的垂線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B、C（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè)），則線段BC的長為．16．已知二次函數(shù)y1＝x2+2x﹣3的圖象如圖所示．將此函數(shù)圖象向右平移2個單位得拋物線y2的圖象，則陰影部分的面積為．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是邊長為2的正方形ABCD的中心．函數(shù)y＝（x﹣h）2的圖象與正方形ABCD有公共點(diǎn)，則h的取值范圍是．18．如圖，正方形OABC和矩形CDEF在平面直角坐標(biāo)系中，CD＝2DE，點(diǎn)O、C、F在y軸上，點(diǎn)A在x軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為線段OC的中點(diǎn)，若拋物線y＝ax2+b經(jīng)過M、B、E三點(diǎn)，則的值等于．三．解答題（共7小題）19．已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．（1）在網(wǎng)格中，畫出該函數(shù)的圖象．（2）（1）中圖象與x軸的交點(diǎn)記為A，B，若該圖象上存在一點(diǎn)C，且△ABC的面積為3，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．20．將拋物線y＝先向上平移2個單位，再向左平移m（m＞0）個單位，所得新拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，4），求新拋物線的表達(dá)式及新拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．21．拋物線y＝x2﹣2x+c經(jīng)過點(diǎn)（2，1）．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將拋物線y＝x2﹣2x+c沿y軸向下平移后，所得新拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，如果AB＝2，求新拋物線的表達(dá)式．22．拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2個單位得到拋物線y＝a（x﹣3）2﹣1，且平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）．（1）求平移后拋物線的解析式；（2）設(shè)原拋物線與y軸的交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)為P，平移后拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，求△BPM的面積．23．我們定義兩個不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離為這兩個函數(shù)的“和諧值”．（1）求拋物線y＝x2﹣2x+2與x軸的“和諧值”；（2）求拋物線y＝x2﹣2x+2與直線y＝x﹣1的“和諧值”．（3）求拋物線y＝x2﹣2x+2在拋物線y＝x2+c的上方，且兩條拋物線的“和諧值”為2，求c的值．24．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y＝x2+（3﹣m）x經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）．（1）求拋物線C的表達(dá)式；（2）將拋物線C沿直線y＝1翻折，得到的新拋物線記為C1，求拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將拋物線C沿直線y＝n翻折，得到的圖象記為C2，設(shè)C與C2圍成的封閉圖形為M，在圖形M上內(nèi)接一個面積為4的正方形（四個頂點(diǎn)均在M上），且這個正方形的邊分別與坐標(biāo)軸平行．求n的值．25．小明在課外學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求y＝﹣x2+3x﹣2函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．小明是這樣思考的：由y＝﹣x2+3x﹣2函數(shù)可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根據(jù)a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2，b2，c2，就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請參考小明的方法解決下面的問題：（1）寫出函數(shù)y＝﹣x2+3x﹣2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；（2）若函數(shù)y1＝x2﹣x+n與y2＝﹣x2+mx﹣3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（m+n）2016的值；（3）已知函數(shù)y＝（x﹣1）（x+4）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是A1、B1、C1，試證明經(jīng)過點(diǎn)A1、B1、C1的二次函數(shù)與函數(shù)y＝（x﹣1）（x+4）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

第26章二次函數(shù)全章復(fù)習(xí)與測試【知識梳理】1.二次函數(shù)的概念解析式形如的函數(shù)；它的定義域為一切實數(shù)；2.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)對稱軸頂點(diǎn)開口方向變化情況直線時，開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)；時，開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)；當(dāng)時，拋物線在對稱軸（直線）左側(cè)的部分下降，在右側(cè)上升；時，在對稱軸左側(cè)上升，在對稱軸右側(cè)下降.直線直線直線直線【考點(diǎn)剖析】一．二次函數(shù)的定義（共3小題）1．（2023?楊浦區(qū)一模）下列函數(shù)中，二次函數(shù)是（）A．y＝x+1 B．y＝x（x+1） C．y＝（x+1）2﹣x2 D．【分析】利用二次函數(shù)定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：A、y＝x+1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項不合題意；B、y＝x（x+1）是二次函數(shù)，故此選項符合題意；C、y＝（x+1）2﹣x2可化為y＝2x+1，不是二次函數(shù)，故此選項不合題意；D、y＝不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義，一次函數(shù)、反比例函數(shù)定義．2．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）如果函數(shù)y＝（m+1）x+2是二次函數(shù)，那么m＝2．【分析】直接利用二次函數(shù)的定義得出m的值．【解答】解：∵函數(shù)y＝（m+1）x+2是二次函數(shù)，∴m2﹣m＝2，（m﹣2）（m+1）＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，故m＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，正確得出m的方程是解題關(guān)鍵．3．（2022秋?黃浦區(qū)校級月考）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3，當(dāng)x＝2時，y＝3．則這個二次函數(shù)的表達(dá)式是y＝﹣x2+2x+3．【分析】根據(jù)當(dāng)x＝2時，y＝3，直接代入函數(shù)解析式，得出b的值，即可得出答案．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3，當(dāng)x＝2時，y＝3，∴3＝﹣22+2b+3，解得：b＝2，∴這個二次函數(shù)的表達(dá)式是：y＝﹣x2+2x+3．故答案為：y＝﹣x2+2x+3．【點(diǎn)評】此題主要考查了代數(shù)式求值，得出b的值是解題關(guān)鍵．二．二次函數(shù)的圖象（共2小題）4．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖所示的拋物線y＝x2﹣bx+b2﹣9的圖象，那么b的值是3．【分析】把原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式計算即可求出b的值，再根據(jù)拋物線的對稱軸在y軸的右邊判斷出b的正負(fù)情況，然后即可得解．【解答】解：由圖可知，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），所以，02﹣b×0+b2﹣9＝0，解得b＝±3，∵拋物線的對稱軸在y軸的右邊，∴﹣＞0，∴b＞0，∴b＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，準(zhǔn)確識圖判斷出函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)坐標(biāo)是解題的解，要注意利用對稱軸判斷出b是負(fù)數(shù)．5．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）如果二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2（a≠0）的圖象在它的對稱軸右側(cè)部分是上升的，那么a的取值范圍是a＞0．【分析】由于二次函數(shù)的圖象在對稱軸x＝2的右側(cè)部分是上升的，由此可以確定二次函數(shù)的二次項系數(shù)為正數(shù)．【解答】解：∵二次函數(shù)的圖象在對稱軸x＝1的右側(cè)部分是上升的，∴這個二次函數(shù)的二次項系數(shù)為正數(shù)，∴a＞0，故答案為a＞0．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是要熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．三．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共7小題）6．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么（）A．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0 C．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0 D．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0【分析】利用拋物線開口方向確定a的符號，利用對稱軸方程可確定b的符號，利用拋物線與y軸的交點(diǎn)位置可確定c的符號．【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，∴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴c＞0．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)由△決定：Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．7．（2022秋?金山區(qū)校級期末）如果拋物線y＝（k﹣2）x2的開口向上，那么k的取值范圍是k＞2．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由題意可知：k﹣2＞0，∴k＞2，故答案為：k＞2．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．8．（2023?普陀區(qū)一模）如果二次函數(shù)y＝（x﹣m）2+k的圖象如圖所示，那么下列說法中正確的是（）A．m＞0，k＞0 B．m＞0，k＜0 C．m＜0，k＞0 D．m＜0，k＜0【分析】根據(jù)解析式知，m，k是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)圖象得出結(jié)論．【解答】解：∵y＝（x﹣m）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，k），由圖象可得，m＞0，k＜0，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象和系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)圖象找出二次函數(shù)的頂點(diǎn)存在的特點(diǎn)、性質(zhì)．9．（2023?虹口區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么下列四個結(jié)論中，錯誤的是（）A．a(chǎn)＜0 B．b＜0 C．c＞0 D．a(chǎn)bc＜0【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向可以得到a的正負(fù)，再根據(jù)左同右異，可以得到b的正負(fù)，然后根據(jù)拋物線與y的軸的交點(diǎn)位置，可以得到c的正負(fù)，從而可以得到abc的正負(fù)，本題得以解決．【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，故選項A正確，不符合題意；∵拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，a＜0，∴b＞0，故選項B錯誤，符合題意；∵拋物線交y軸于正半軸，∴c＞0，故選項C正確，不符合題意；∴abc＜0，故選項D正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵判斷出a、b、c的正負(fù)．10．（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）如果拋物線y＝（a+2）x2+a的開口向下，那么a的取值范圍是a＜﹣2．【分析】根據(jù)拋物線y＝（a+2）x2+a的開口向下，可得a+2＜0，從而可以得到a的取值范圍．【解答】解：∵拋物線y＝（a+2）x2+x﹣1的開口向下，∴a+2＜0，得a＜﹣2，故答案為：a＜﹣2．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和定義，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的開口向下，則二次項系數(shù)就小于0．11．（2023?徐匯區(qū)一模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，點(diǎn)P在x軸的正半軸上，且OP＝1，下列選項中正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．c＜0 C．a(chǎn)+b+c＞0 D．b＜0【分析】由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可判斷．【解答】解：A、二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向下，a＜0，故A不符合題意；B、當(dāng)x＝0時，y＝c＞0，故B不符合題意；C、當(dāng)x＝1時y＝a+b+c＜0，故C不符合題意；D、拋物線的對稱軸是直線x＝﹣＜0，由a＜0，得到b＜0，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握：二次函數(shù)的性質(zhì)．12．（2023?楊浦區(qū)一模）已知拋物線y＝ax2在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，那么a的取值范圍是a＞0．【分析】由題意可得拋物線開口向上，進(jìn)而求解．【解答】解：∵拋物線y＝ax2在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，∴拋物線開口向上，∴a＞0，故答案為：a＞0．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．四．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共13小題）13．（2023?普陀區(qū)一模）下列函數(shù)圖象中，與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1）的是（）A．y＝2x B．y＝2x﹣1 C．y＝2x2+1 D．y＝2（x+1）2【分析】把（0，1）代入解析式，解答即可．【解答】解：A．當(dāng)x＝0時，y＝2×0＝0≠1，不符合題意；B．當(dāng)x＝0時，y＝2×0﹣1＝﹣1≠1，不符合題意；C．當(dāng)x＝0時，y＝2×0+1＝1，符合題意；D．當(dāng)x＝0時，y＝2×（0+1）2＝2≠1，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在該函數(shù)的圖象上．14．（2023?長寧區(qū)一模）某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象時，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算錯了其中的一個y值，那么這個錯誤的數(shù)值是（）A．﹣3 B．﹣4 C．0 D．﹣1【分析】假設(shè)三點(diǎn)（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函數(shù)圖象上，利用待定系數(shù)法求得解析式，然后判斷其他兩點(diǎn)可得答案．【解答】解：假設(shè)三點(diǎn)（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函數(shù)圖象上，把（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）代入函數(shù)解析式得：，解得，函數(shù)解析式為y＝x2﹣2x﹣3，當(dāng)x＝﹣1時，y＝0，當(dāng)x＝﹣2時，y＝5，故選：D．方法二：解：假設(shè)函數(shù)經(jīng)過（0，﹣3），（2，﹣3），則對稱軸為直線x＝1，此時y＝﹣4，函數(shù)值最小，∴函數(shù)開口向上，∴當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減小，而表格中，x＝﹣2時，y＝﹣1，由題意不符，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求是二次函數(shù)的解析式解題關(guān)鍵．15．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）下列各點(diǎn)中，在二次函數(shù)y＝x2﹣8x﹣9圖象上的點(diǎn)是（）A．（1，﹣16） B．（﹣1，﹣16） C．（﹣3，﹣8） D．（3，24）【分析】分別計算自變量為1、﹣1、﹣3、3所對應(yīng)的函數(shù)值，然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行判斷．【解答】解：當(dāng)x＝1時，y＝x2﹣8x﹣9＝﹣16；當(dāng)x＝﹣1時，y＝x2﹣8x﹣9＝0；當(dāng)x＝﹣3時，y＝x2﹣8x﹣9＝24；當(dāng)x＝3時，y＝x2﹣8x﹣9＝﹣24；所以點(diǎn)（1，﹣16）在二次函數(shù)y＝x2﹣8x﹣9的圖象上．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．16．（2023?徐匯區(qū)一模）已知點(diǎn)A（﹣3，m）、B（﹣2，n）在拋物線y＝﹣x2﹣2x+4上，則m＜n（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】由開口向下的拋物線的性質(zhì)：拋物線在對稱軸左側(cè)時，圖象上升，y隨x的增大而增大，即可判斷．【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+4的對稱軸是直線x＝﹣＝﹣1，a＝﹣1＜0，∴拋物線在對稱軸是直線x＝﹣1左側(cè)時，圖象上升，y隨x的增大而增大，∵﹣3＜﹣2＜﹣1，∴m＜n．故答案為：＜．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是掌握：二次函數(shù)的性質(zhì)．17．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）已知點(diǎn)A（0，y1）、B（﹣1，y2）在拋物線y＝x2﹣2x+c（c為常數(shù)）上，則y1＜y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】根據(jù)拋物線的表達(dá)式，求出對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，對稱性和增減性進(jìn)行分析即可．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+c，∴拋物線的對稱軸為直線，∵a＝1＞0，∴拋物線開口向上，則當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減小，∵﹣1＜0＜1，∴y1＜y2，故答案為：＜．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握當(dāng)拋物線開口方向向上，對稱軸左邊y隨x的增大而減小，對稱軸右邊，y隨x的增大而增大性質(zhì)，是關(guān)鍵．18．（2022秋?金山區(qū)校級期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…m﹣3﹣2﹣3﹣6…那么m的值為﹣6．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性解答即可．【解答】解：∵x＝﹣3、x＝﹣1時的函數(shù)值都是﹣3，相等，∴函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝﹣2，∵x＝﹣4和x＝0關(guān)于直線x＝﹣2對稱，∴m＝﹣6，故答案為：﹣6．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟記二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）已知y是關(guān)于x的函數(shù)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（t，﹣t），則稱點(diǎn)P為函數(shù)圖象上的“相反點(diǎn)”，例如：直線y＝2x﹣3上存在“相反點(diǎn)”P（1，﹣1）．若二次函數(shù)y＝x2+2mx+m+2的圖象上存在唯一“相反點(diǎn)”，則m＝．【分析】將P（t，﹣t）代入y＝x2+2mx+m+2中得t2+2mt+m+2＝﹣t，即t2+（2m+1）t+m+2＝0，將二次函數(shù)y＝x2+2mx+m+2的圖象上存在唯一“相反點(diǎn)”，轉(zhuǎn)化為方程有兩個相等的實數(shù)根，Δ＝0，求解即可．【解答】解：將P（t，﹣t）代入y＝x2+2mx+m+2中，得t2+2mt+m+2＝﹣t，即t2+（2m+1）t+m+2＝0，∵二次函數(shù)y＝x2+2mx+m+2的圖象上存在唯一“相反點(diǎn)”，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m+2）＝0，解得，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)、一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題．20．（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）如果二次函數(shù)y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的圖象過原點(diǎn)，那么m＝﹣1．【分析】將原點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）代入二次函數(shù)解析式，列方程求m，注意二次項系數(shù)m﹣1≠0．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的圖象過原點(diǎn)，∴m2﹣1＝0，解得m＝±1，又二次項系數(shù)m﹣1≠0，∴m＝﹣1．故本題答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)與解析式的關(guān)系，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式是解題的關(guān)鍵，判斷二次項系數(shù)不為0是難點(diǎn)．21．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）函數(shù)y＝2x2+4x﹣5的圖象與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣5）．【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，令x＝0，求出相應(yīng)的y的值，即可解答本題．【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣5，∴當(dāng)x＝0時，y＝﹣5，故答案為：（0，﹣5）．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，知道拋物線與y軸的交點(diǎn)，橫坐標(biāo)為0．22．（2023?青浦區(qū)二模）已知點(diǎn)M（﹣1，2）和點(diǎn)N都在拋物線y＝x2﹣2x+c上，如果MN∥x軸，那么點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，2）．【分析】根據(jù)拋物線的對稱性即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x+c，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，∵點(diǎn)M（﹣1，2）和點(diǎn)N都在拋物線y＝x2﹣2x+c上，且MN∥x軸，∴M、N關(guān)于直線x＝1對稱，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，2）．故答案為：（3，2）．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行線的性質(zhì)，明確M、N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱是解題的關(guān)鍵．23．（2023?崇明區(qū)一模）已知點(diǎn)A（2，y1），B（﹣3，y2）為二次函數(shù)y＝（x+1）2圖象上的兩點(diǎn)，那么y1＞y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，進(jìn)而求解．【解答】解：∵y＝（x+1）2，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），∴y1＞y2．故答案為：＞．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．24．（2023?長寧區(qū)一模）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，y1），（2，y2），試比較y1和y2的大?。簓1＞y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】由a＞0可得拋物線開口方向，由二次函數(shù)解析式可得拋物線的對稱軸，進(jìn)而求解．【解答】解：∵a＞0，∴拋物線開口向上，∵y＝ax2﹣2ax+2，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，∵1﹣（﹣1）＞2﹣1，∴y1＞y2，故答案為：＞．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．25．（2023?靜安區(qū)校級一模）拋物線y＝（x+1）2﹣2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣1）．【分析】把x＝0代入函數(shù)解析式求解．【解答】解：把x＝0代入y＝（x+1）2﹣2得y＝1﹣2＝﹣1，∴拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1）．故答案為：（0，﹣1）．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0是解題的關(guān)鍵．五．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共6小題）26．（2023?虹口區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y＝x2+2x沿著y軸向下平移2個單位，所得到的新拋物線的表達(dá)式為y＝（x+1）2﹣3．【分析】根據(jù)平移規(guī)律“左加右減，上加下減”解答．【解答】解：將拋物線y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1沿著y軸向下平移2個單位得函數(shù)解析式為y＝（x+1）2﹣3，故答案為：y＝（x+1）2﹣3．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．27．（2023?金山區(qū)一模）將拋物線y＝2（x+4）2向右平移3個單位，得到新拋物線的表達(dá)式是y＝2（x+1）2．【分析】先求出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式解析式寫出即可．【解答】解：y＝2（x+4）2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），∵向右平移3個單位，∴平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），∴所得到的新拋物線的表達(dá)式是y＝2（x+1）2．故答案為：y＝2（x+1）2．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，此類題目，利用頂點(diǎn)的變化求解更簡便．28．（2023?松江區(qū)一模）把拋物線y＝x2+1向左平移2個單位，所得新拋物線的表達(dá)式是y＝（x+2）2+1．【分析】已知拋物線解析式為頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1），由拋物線的頂點(diǎn)式可求平移后的拋物線解析式．【解答】解：∵y＝x2+1頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），∴向左平移2個單位后頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1），∴所得新拋物線的表達(dá)式為y＝（x+2）2+1．故答案為：y＝（x+2）2+1．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．關(guān)鍵是把拋物線的平移理解為頂點(diǎn)的平移，根據(jù)頂點(diǎn)式求拋物線解析式．29．（2023?寶山區(qū)一模）將拋物線y＝x2+3向右平移3個單位長度，平移后拋物線的表達(dá)式為（）A．y＝x2 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+3【分析】根據(jù)左加右減的平移規(guī)律求解即可．【解答】解：將拋物線y＝x2+3向右平移3個單位長度，平移后拋物線的表達(dá)式為y＝（x﹣3）2+3，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．30．（2022秋?金山區(qū)校級期末）若將拋物線y＝2（x﹣1）2+3向下平移3個單位，則所得到的新拋物線表達(dá)式為y＝2（x﹣2）2．．【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：由“左加右減、上加下減”的原則可知，把拋物線y＝2（x﹣1）2+3向下平移3個單位，所得到的新拋物線表達(dá)式為y＝2（x﹣1）2，故答案為：y＝2（x﹣2）2．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．31．（2023?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y＝x+6與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段AB上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線M：y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）求b，c的值；（3）平移拋物線M至N，點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，聯(lián)結(jié)CD，且CD∥x軸，如果點(diǎn)P在x軸上，且新拋物線過點(diǎn)B，求拋物線N的函數(shù)解析式．【分析】（1）根據(jù)題意，分別將x＝0，y＝0代入直線即可求得；（2）設(shè)，得到拋物線的頂點(diǎn)式為，將B（0，6）代入可求得，進(jìn)而可得到拋物線解析式為，即可求得b，c；（3）根據(jù)題意，設(shè)P（p，0），，根據(jù)平移的性質(zhì)可得點(diǎn)B，點(diǎn)C向下平移的距離相同，列式求得m＝﹣4，，然后得到拋物線N解析式為：，將B（0，6）代入可得，即可得到答案．【解答】解：（1）在中，令x＝0得：y＝6，∴B（0，6），令y＝0得：x＝﹣8，∴A（﹣8，0）；（2）設(shè)，設(shè)拋物線的解析式為：，∵拋物線M經(jīng)過點(diǎn)B，∴將B（0，6）代入得：，∵m≠0，∴，即，將代入y＝a（x﹣m）2+3m+6，整理得：，∴，c＝6；（3）如圖：∵CD∥x軸，點(diǎn)P在x軸上，∴設(shè)P（p，0），，∵點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，∴點(diǎn)B，點(diǎn)C向下平移的距離相同，∴，解得：m＝﹣4，由（2）知，∴，∴拋物線N的函數(shù)解析式為：，將B（0，6）代入可得：，∴拋物線N的函數(shù)解析式為：或．【點(diǎn)評】本題考查了求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求拋物線的解析式，涉及平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)的平移性質(zhì)求出m和a的值．六．二次函數(shù)綜合題（共9小題）32．（2023?靜安區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣4x+c（a≠0）與x軸分別交于點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)BC，點(diǎn)P在線段BC上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求直線BC的表達(dá)式；（2）如果以P為頂點(diǎn)的新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且與x軸的另一個交點(diǎn)為D；①求新拋物線的表達(dá)式（用含m的式子表示），并寫出m的取值范圍；②過點(diǎn)P向x軸作垂線，交原拋物線于點(diǎn)E，當(dāng)四邊形AEDP是一個軸對稱圖形時，求新拋物線的表達(dá)式．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）①設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m+3）（0＜m＜3），設(shè)新拋物線的表達(dá)式為：y＝t（x﹣m）2﹣m+3，再用待定系數(shù)法即可求解；②當(dāng)點(diǎn)D在y軸左側(cè)時，此時，點(diǎn)P不可能在BC上，故點(diǎn)D只能在y軸右側(cè)，當(dāng)PE垂直平分AD時，則m﹣1＝2m﹣m，即可求解；當(dāng)AD垂直平分PE時，則yP＝|yE|，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），則﹣4a＝﹣4，則a＝1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3，則點(diǎn)C（0，3），設(shè)直線BC的表達(dá)式為：y＝kx+3，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，即直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3；（2）①設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m+3）（0＜m＜3），則設(shè)新拋物線的表達(dá)式為：y＝t（x﹣m）2﹣m+3，將點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0）代入上式得：0＝t（0﹣m）2﹣m+3，解得：t＝，則新拋物線的表達(dá)式為：y＝（x﹣m）2﹣m+3，（0＜m＜3）；②當(dāng)點(diǎn)D在y軸左側(cè)時，此時，點(diǎn)P不可能在BC上，故點(diǎn)D只能在y軸右側(cè)，由新拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為x＝m，則點(diǎn)D（2m，0），當(dāng)PE垂直平分AD時，則m﹣1＝2m﹣m，此方程無解，即此種情況不存在；當(dāng)AD垂直平分PE時，則yP＝|yE|，即﹣m+3＝﹣（m2﹣4m+3），解得：m＝3（舍去）或2，故新拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣2）2+1．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)求函數(shù)解析式、垂直平分線的性質(zhì)、圖象的平移等，有一定的綜合性，難度適中．33．（2023?長寧區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+2x+6與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)O右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）如圖1，點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，直線BD恰好平分△ABC的面積，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，﹣2），在拋物線上存在點(diǎn)P，滿足∠OBP＝2∠OBE，請直接寫出直線BP的表達(dá)式．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）記直線BD交AC于點(diǎn)G，由直線BD恰好平分△ABC的面積，那么點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)G、D分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)N、T，設(shè)D（t，﹣+2t+6），故DT＝﹣t2+2t+6，OT＝﹣t，得出，解方程求出t的值即可；（3）分點(diǎn)P在x軸上方、點(diǎn)P在x軸下方兩種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）由題意可知C（0，6），∵OB＝OC＝6，∴B（6，0），∴36a+12+6＝0，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+2x+6；（2）由（1）知拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+6，故令y＝0得：0＝﹣x2+2x+6，解得：x＝﹣2，x2＝6，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）．即OA＝2，記直線BD交AC于點(diǎn)G，由直線BD恰好平分△ABC的面積，那么點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)G、D分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)N、T，在△OCA中，GN∥CO，故由三角形中位線定理可得：GN＝3，ON＝1，故在Rt△BGN中，tan∠GBN＝，設(shè)D（t，﹣+2t+6），故DT＝﹣t2+2t+6，OT＝﹣t，在Rt△BDT中，tan∠DBT＝＝，∵tan∠DBT＝tan∠GBN，∴，解得：t1＝﹣，t2＝6（舍），∴D（﹣，）；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，在y軸上取點(diǎn)G（0，2），連接BG，則∠OBG＝∠OBE，過點(diǎn)B作直線PB交拋物線于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)M，使∠GBM＝∠GBO，則∠OBP＝2∠OBE，過點(diǎn)G作GH⊥BM，∵E（0，﹣2），∴OE＝OG＝GH＝2，設(shè)MH＝x，則MG＝，在Rt△OBM中，OB2+OM2＝MB2，∴（+2）2+62＝（x+6）2，解得：x＝，故MG＝＝，∴OM＝OG+MG＝2+＝，∴點(diǎn)M（0，），將點(diǎn)B（6，0）、M（0，）的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝mx+n，，解得：，∴直線BP的表達(dá)式為：y＝﹣x+；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，作點(diǎn)M（0，）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N（0，﹣），求得直線BN的解析式為y＝x﹣，綜上所述，直線BP的表達(dá)式為y＝﹣x+或y＝x﹣．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，三角形面積，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題．34．（2023?奉賢區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的表達(dá)式和對稱軸；（2）聯(lián)結(jié)AC、BC，D為x軸上方拋物線上一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合），如果△ABD的面積與△ABC的面積相等，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P（m，4）（m＞0），點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上（點(diǎn)E在頂點(diǎn)上方），當(dāng)∠APE＝90°，且＝時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【分析】（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0＝﹣1+b+3，解得：b＝﹣2，即可求解；（2）D為x軸上方拋物線上一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合），△ABD的面積與△ABC的面積相等，則yD＝y(tǒng)C＝3，進(jìn)而求解；（3）證明△EMP∽△PNA，得到，即可求解．【解答】解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0＝﹣1+b+3，解得：b＝﹣2，則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3，則拋物線的對稱軸為x＝﹣＝﹣1；（2）∵D為x軸上方拋物線上一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合），△ABD的面積與△ABC的面積相等，則yD＝y(tǒng)C＝3，則點(diǎn)C、D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，故點(diǎn)D（﹣2，3）；（3）設(shè)點(diǎn)E（﹣1，t），過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)N，交過點(diǎn)E和x軸的平行線于點(diǎn)M，∵∠APE＝90°，則∠EPM+∠APN＝90°，∵∠PAN+∠APN＝90°，∴∠EPM＝∠PAN，∵∠EMP＝∠PNA＝90°，∴△EMP∽△PNA，∴，則，解得：t＝，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（﹣1，）．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形相似、面積的計算等，有一定的綜合性，難度適中．35．（2023?楊浦區(qū)三模）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是線段AB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)E，如果PE＝PB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，點(diǎn)F在y軸上，且點(diǎn)F到直線EC、ED的距離相等，求線段EF的長．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可知頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）令y＝0，求得B（﹣1，0），設(shè)P（n，0），則E（n，﹣n2+n+2），根據(jù)已知條件得出﹣n2+n+2＝1+n，解方程即可求得E的坐標(biāo)；（3）求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線ED的表達(dá)式，可得直線ED與y軸的交點(diǎn)為H（0，3），則EC＝EH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），∴，解得，∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+2，由y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2+，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）；（2）如圖，設(shè)P（n，0），則E（n，﹣n2+n+2），∵PE＝PB，∴﹣n2+n+2＝1+n，解得n1＝，n2＝1（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；（3）如圖1，設(shè)直線DE與y軸交于H，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），∴E（，），∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），設(shè)直線ED的表達(dá)式為y＝kx+m，∴，解得，∴直線ED的表達(dá)式為y＝﹣x+3，∴H（0，3），∵C（0，2），E（，），∴EC＝EH，∵點(diǎn)F到直線EC、ED的距離相等，∴點(diǎn)F在∠CEH的角平分線上，∴EF⊥y軸，∴EF＝．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．36．（2023?虹口區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3的頂點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)B，異于頂點(diǎn)A的點(diǎn)C（2，n）在該拋物線上．（1）如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1）．①求點(diǎn)A的坐標(biāo)和n的值；②將拋物線向上平移后的新拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為D，頂點(diǎn)A移至點(diǎn)A1，如果四邊形DCAA1為平行四邊形，求平移后新拋物線的表達(dá)式；（2）直線AC與y軸相交于點(diǎn)E，如果BC∥AO且點(diǎn)B在線段OE上，求m的值．【分析】（1）①將B（0，1）代入y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3，得2m﹣3＝1，則m＝2，由y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8，得A（3，﹣8）；將C（2，n）代入y＝x2﹣6x+1，可求得n＝﹣7；②由平行四邊形的性質(zhì)得DC∥AA1，DC＝AA1，因為AA1⊥x軸，所以DC⊥x軸，則AA1＝DC＝7，可知拋物線y＝（x﹣3）2﹣8向上平移了7個單位，所以平移后新拋物線的表達(dá)式為y＝（x﹣3）2﹣1；（2）先求得B（0，2m﹣3），C（2，﹣2m﹣3），A（m+1，﹣m2﹣4），可求得直線AC的表達(dá)式為y＝（1﹣m）x﹣5，則E（0，﹣5）；設(shè)直線OA的表達(dá)式為y＝px，則﹣m2﹣4＝p（m+1），得p＝；設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝qx+r，則，得，由BC∥AO得﹣2m＝，即可求得符合題意的m值為﹣1+．【解答】解：（1）①∵點(diǎn)B（0，1）在拋物線y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3上，∴2m﹣3＝1，解得m＝2，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣6x+1，∵y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8，點(diǎn)A是該拋物線的頂點(diǎn)，∴A（3，﹣8）；∵點(diǎn)C（2，n）在拋物線y＝x2﹣6x+1上，∴n＝22﹣6×2+1＝﹣7．②如圖1，∵四邊形DCAA1為平行四邊形，∴DC∥AA1，DC＝AA1，∵將拋物線向上平移，∴AA1⊥x軸，∴DC⊥x軸，∵C（2，﹣7），∴AA1＝DC＝7，∴拋物線y＝（x﹣3）2﹣8向上平移7個單位，∵﹣8+7＝﹣1，∴平移后新拋物線的表達(dá)式為y＝（x﹣3）2﹣1．（2）如圖2，拋物線y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3，當(dāng)x＝0時，y＝2m﹣3；當(dāng)x＝2時，y＝﹣2m﹣3，∴B（0，2m﹣3），C（2，﹣2m﹣3）；∵y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3＝（x﹣m﹣1）2﹣m2﹣4，∴A（m+1，﹣m2﹣4），設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝sx+t，則，∴，∴y＝（1﹣m）x﹣5，當(dāng)x＝0時，y＝﹣5，∴E（0，﹣5）；設(shè)直線OA的表達(dá)式為y＝px，則﹣m2﹣4＝p（m+1），∴p＝；直線BC的表達(dá)式為y＝qx+r，則，∴，∵BC∥OA，∴q＝p，∴﹣2m＝，解得m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣，當(dāng)m＝﹣1+時，則2m﹣3＝2（﹣1+）﹣3＝﹣5+2，∴B（0，﹣5+2）在線段OE上；當(dāng)m＝﹣1﹣時，則2m﹣3＝2（﹣1﹣）﹣3＝﹣5﹣2，∴B（0，﹣5﹣2）不在線段OE上，∴m2＝﹣1﹣不符合題意，舍去，∴m的值為﹣1+．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．37．（2023?崇明區(qū)二模）如圖．在直角坐標(biāo)平面xOy中，直線y＝﹣x+5分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為C，點(diǎn)在拋物線對稱軸左側(cè)的圖象上，將拋物線向上平移m個單位（m＞0），使點(diǎn)M落在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；（3）對稱軸與直線AB交于點(diǎn)E，P是線段AB上的一個動點(diǎn)（P不與E重合），過P作y軸的平行線交原拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)PE＝QD時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【分析】（1）由直線y＝﹣x+5分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，求得A（5，0），B（0，5），再將A（5，0），B（0，5）代入y＝x2+bx+c，列方程組并且解該方程組，即可求得拋物線的解析式為y＝x2﹣6x+5，再將該解析式配方成頂點(diǎn)式，可求得拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，﹣4）；（2）拋物線的對稱軸為直線x＝3，則a＜3，將（a，﹣）代入y＝x2﹣6x+5，得﹣＝a2﹣6a+5，求得符合題意的a值為，則M（，﹣），過點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，則F（，0），直線y＝﹣x+5，當(dāng)x＝時，y＝，則G（，），由拋物線向上平移m個單位，點(diǎn)M落在△ABC內(nèi)，得0＜﹣+m＜，即可求得m的取值范圍是得＜m＜；（3）作PH⊥DE于點(diǎn)H，QL⊥DE于點(diǎn)L，可求得E（3，2），則DE＝2+4＝6，設(shè)Q（x，x2﹣6x+5），則P（x，﹣x+5），所以PQ＝﹣x2+5x，當(dāng)點(diǎn)P在直線DE的左側(cè)，可證明Rt△PHE≌Rt△QLD，得∠PEH＝∠QDL，則PE∥QD，所以四邊形PQDE是平行四邊形，則PQ＝DE＝6，于是得﹣x2+5x＝6，求得符合題意的得x值為2，則Q（2，﹣3）；當(dāng)點(diǎn)P在直線DE的右側(cè)，可證明∠HPE＝∠HEP＝45°，則EH＝DL＝PH＝x﹣3，所以PQ＝6﹣2（x﹣3）＝12﹣2x，于是得﹣x2+5x＝12﹣2x，求得符合題意的x值為4，則Q（4，﹣3）．【解答】解：（1）直線y＝﹣x+5，當(dāng)x＝0時，y＝5；當(dāng)y＝0時，則0＝﹣x+5，解得x＝5，∴A（5，0），B（0，5），∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣6x+5；∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，﹣4）．（2）∵拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，﹣4），∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，∵M(jìn)（a，﹣）在拋物線對稱軸左側(cè)的圖象上，∴a＜3，將（a，﹣）代入y＝x2﹣6x+5，得﹣＝a2﹣6a+5，解得a1＝，a2＝（不符合題意，舍去），∴M（，﹣），如圖1，過點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，則F（，0），直線y＝﹣x+5，當(dāng)x＝時，y＝﹣+5＝，∴G（，），∵點(diǎn)C與點(diǎn)A（5，0）關(guān)于直線x＝3對稱，∴C（1，0），∵拋物線向上平移m個單位（m＞0），點(diǎn)M落在△ABC內(nèi)，∴0＜﹣+m＜，解得＜m＜，∴m的取值范圍是得＜m＜．（3）作PH⊥DE于點(diǎn)H，QL⊥DE于點(diǎn)L，直線y＝﹣x+5，當(dāng)x＝3時，y＝2，∴E（3，2），∴DE＝2+4＝6，設(shè)Q（x，x2﹣6x+5），則P（x，﹣x+5），∴PQ＝﹣x+5﹣（x2﹣6x+5）＝﹣x2+5x，當(dāng)點(diǎn)P在直線DE的左側(cè)，如圖2，∵PQ∥DE，∴PH＝QL，∵∠PHE＝∠QLD＝90°，PE＝QD，∴Rt△PHE≌Rt△QLD（HL），∴∠PEH＝∠QDL，∴PE∥QD，∴四邊形PQDE是平行四邊形，∴PQ＝DE＝6，∴﹣x2+5x＝6，解得x1＝2，x2＝3（不符合題意，舍去），∴Q（2，﹣3）；當(dāng)點(diǎn)P在直線DE的右側(cè)，如圖3，∵∠PHE＝∠QLD＝90°，PE＝QD，PH＝QL，∴Rt△PHE≌Rt△QLD（HL），∴EH＝DL，∵OA＝OB＝5，∠AOB＝90°，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠HEP＝∠OBA＝45°，∴∠HPE＝∠HEP＝45°，∴EH＝DL＝PH＝x﹣3，∴PQ＝6﹣2（x﹣3）＝12﹣2x，∴﹣x2+5x＝12﹣2x，解得x1＝4，x2＝3（不符合題意，舍去），∴Q（4，﹣3），綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（4，﹣3）．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．38．（2023?浦東新區(qū)模擬）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），且OA＝2OC．（1）求這條拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）求tan∠MAC的值；（3）如果點(diǎn)D在這條拋物線的對稱軸上，且∠CAD＝45°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，﹣3）就可以求出OC的值及c的值，進(jìn)而求出OA的值及A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出b的值而求出解析式及定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NE⊥AM于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)E．在Rt△AHM中，HM＝AH＝4，就可以求出AM的值，再由待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，就可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出MN的值，由勾股定理就可以求出ME及NE的值，從而求出AE的值就可以得出結(jié)論；（3）如圖2，分類討論，當(dāng)D點(diǎn)在AC上方時，根據(jù)角之間的關(guān)系就可以求出∠D1AH＝∠CAM，當(dāng)D點(diǎn)在AC下方時，∠MAC＝∠AD2M就可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），∴OC＝3．y＝x2+bx﹣3．∵OA＝2OC，∴OA＝6．∵a＝＞0，點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)，拋物線與y軸交點(diǎn)C（0，﹣3）．∴A（6，0）．∴0＝36+6b﹣3，∴b＝﹣1．∴y＝x2﹣x﹣3，∴y＝（x﹣2）2﹣4，∴M（2，﹣4）．答：拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣3，M的坐標(biāo)為（2，﹣4）；（2）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NE⊥AM于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)E．∴∠AHM＝∠NEM＝90°．在Rt△AHM中，HM＝AH＝4，由勾股定理，得AM＝4，∴∠AMH＝∠HAM＝45°．設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，由題意，得，解得：，∴直線AC的表達(dá)式為y＝x﹣3．當(dāng)x＝2時，y＝﹣2，∴N（2，﹣2）．∴MN＝2．∵∠NEM＝90°，∠NME＝45°，∴∠MNE＝∠NME＝45°，∴NE＝ME．在Rt△MNE中，∴NE2+ME2＝NM2，∴ME＝NE＝．∴AE＝AM﹣ME＝3在Rt△AEN中，tan∠MAC＝．答：tan∠MAC＝；（3）如圖2，①當(dāng)D點(diǎn)在AC上方時，∵∠CAD1＝∠D1AH+∠HAC＝45°，且∠HAM＝∠HAC+∠CAM＝45°，∴∠D1AH＝∠CAM，∴tan∠D1AH＝tan∠MAC＝．∵點(diǎn)D1在拋物線的對稱軸直線x＝2上，∴D1H⊥AH，∴AH＝4．在Rt△AHD1中，D1H＝AH?tan∠D1AH＝4×＝．∴D1（2，）；②當(dāng)D點(diǎn)在AC下方時，∵∠D2AC＝∠D2AM+∠MAC＝45°，且∠AMH＝∠D2AM+∠AD2M＝45°，∴∠MAC＝∠AD2M．∴tan∠AD2H＝tan∠MAC＝．在Rt△D2AH中，D2H＝．∴D2（2，﹣12）．綜上所述：D1（2，）；D2（2，﹣12）．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)求解是難點(diǎn)．39．（2023?普陀區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求拋物線的表達(dá)式，并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）將直線BC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，交y軸于點(diǎn)E．此時旋轉(zhuǎn)角∠EBC等于∠ABD．①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②二次函數(shù)y＝x2+2bx+b2﹣1的圖象始終有一．部分落在△ECB的內(nèi)部，求實數(shù)b的取值范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的表達(dá)式，配成頂點(diǎn)式可得D的坐標(biāo)；（2）由①∠EBC＝∠ABD，得∠EBO＝∠CBD，根據(jù)C（0，﹣3），B（3，0），D（1，﹣4），得tan∠CBD＝＝，即可得＝，OE＝1，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）；②將所給的拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，可得：y＝（x+b）2﹣1，由于b值不確定，因此該函數(shù)的頂點(diǎn)在直線y＝﹣1上左右移動；圖象始終有一部分落在△ECB的內(nèi)部可考慮兩種情況：①當(dāng)對稱軸右側(cè)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)E時，求出b的值；②當(dāng)對稱軸左側(cè)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時，求出b的值；根據(jù)上述兩種情況下b的取值即可求得實數(shù)b的取值范圍．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣2x+c得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，﹣4）；（2）①如圖：∵∠EBC＝∠ABD，∴∠EBO＝∠CBD，在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），D（1，﹣4），∴BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠CBD＝＝＝，∴tan∠EBO＝，∴＝，∵OB＝3，∴OE＝1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）；②∵y＝x2+2bx+b2﹣1＝（x+b）2﹣1，∴二次函數(shù)y＝x2+2bx+b2﹣1圖象的頂點(diǎn)為（﹣b，﹣1），∴二次函數(shù)y＝x2+2bx+b2﹣1圖象的頂點(diǎn)在直線y＝﹣1上左右移動，如圖：當(dāng)對稱軸右側(cè)的拋物線過E（0，1）時，b2﹣1＝1，解得：b＝﹣（舍去）或b＝；當(dāng)對稱軸左側(cè)的拋物線過B（3，0）時，（3+b）2﹣1＝0，解得：b＝﹣4或b＝﹣2（舍去），由圖象可得，當(dāng)﹣4＜b＜時，二次函數(shù)y＝x2+2bx+b2﹣1的圖象始終有一部分落在△ECB的內(nèi)部．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，旋轉(zhuǎn)變換，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合數(shù)形的應(yīng)用．40．（2023?青浦區(qū)二模）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（6，0）和C（0，3），與x軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)A．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）將該拋物線向右平移m個單位（m＞0），點(diǎn)C移到點(diǎn)D，點(diǎn)A移到點(diǎn)E，若∠DEC＝90°，求m的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為G，新拋物線在對稱軸右側(cè)的部分與x軸交于點(diǎn)F，求點(diǎn)C到直線GF的距離．【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3；令y＝0可解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）；（2）由平移得AC∥DE，平移距離m＝AE，證明∠CAO＝∠OCE，可得，故，即可得；（3）過點(diǎn)C作CH⊥GF，垂足為點(diǎn)H，過點(diǎn)G作GP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，設(shè)直線GF與y軸交于點(diǎn)M，將拋物線y＝﹣x2+x+3向右平移得到新拋物線y＝﹣（x﹣）2+4，得G（，4），P（，0），令y＝0得F（，0），從而PG＝PF，△GPF是等腰直角三角形，可得△MOF是等腰直角三角形，△CMH是等腰直角三角形，可求得CH＝＝，即點(diǎn)C到直線GF的距離是．【解答】解：（1）將B（6，0）、C（0，3）代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3；令y＝0得0＝﹣x2+x+3，解得：x＝6或x＝﹣2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）；（2）如圖：由平移得AC∥DE，平移距離m＝AE，∴∠ACE＝∠DEC＝90°，∵∠ACO+∠OCE＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠CAO＝∠OCE，∴tan∠CAO＝tan∠OCE，在Rt△ACO中，；在Rt△ECO中，，∴，解得，∴，∴；（3）過點(diǎn)C作CH⊥GF，垂足為點(diǎn)H，過點(diǎn)G作GP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，設(shè)直線GF與y軸交于點(diǎn)M，如圖：∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴將拋物線y＝﹣x2+x+3向右平移得到新拋物線y＝﹣（x﹣）2+4，∴G（，4），P（，0），∴PG＝4，在y＝﹣（x﹣）2+4中，令y＝0得x＝或x＝，∴F（，0），∴PF＝4，OF＝，∴PG＝PF，∴△GPF是等腰直角三角形，∴∠GFP＝45°，∴△MOF是等腰直角三角形，∴∠CMH＝45°，OM＝OF＝，∴△CMH是等腰直角三角形，CM＝OF﹣OC＝﹣3＝，∴CH＝＝，∴點(diǎn)C到直線GF的距離是．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，平移變換，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形解決問題．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共6小題）1．拋物線y＝﹣x2+2x﹣4一定經(jīng)過點(diǎn)（）A．（2，﹣4） B．（1，2） C．（﹣4，0） D．（3，2）【分析】分別將各點(diǎn)代入解析式，使解析式成立者即為正確答案．【解答】解：A、將（2，﹣4）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，﹣4＝﹣4+4﹣4，等式成立，故本選項正確；B、將（1，2）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，2≠﹣1+2﹣4，等式不成立，故本選項錯誤；C、將（﹣4，0）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，0≠﹣16﹣8﹣4，等式不成立，故本選項錯誤；D、將（3，2）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，2≠﹣9+6﹣4，等式不成立，故本選項錯誤．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要知道函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)符合函數(shù)的解析式．2．在同一坐標(biāo)系中，作y＝x2，y＝﹣x2，y＝x2的圖象，它們的共同特點(diǎn)是（）A．拋物線的開口方向向上 B．都是關(guān)于x軸對稱的拋物線，且y隨x的增大而增大 C．都是關(guān)于y軸對稱的拋物線，且y隨x的增大而減小 D．都是關(guān)于y軸對稱的拋物線，有公共的頂點(diǎn)【分析】本題的三個拋物線解析式都符合y＝ax2形式，可以從頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸找相同點(diǎn)．【解答】解：因為y＝ax2形式的二次函數(shù)對稱軸都是y軸，且頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，所以它們的共同特點(diǎn)是：關(guān)于y軸對稱的拋物線，有公共的頂點(diǎn)．故選：D．【點(diǎn)評】要掌握y＝ax2形式的二次函數(shù)對稱軸都是y軸，且頂點(diǎn)都在原點(diǎn)．3．下列二次函數(shù)中，如果圖象能與y軸交于點(diǎn)A（0，1），那么這個函數(shù)是（）A．y＝3x2 B．y＝3x2+1 C．y＝3（x+1）2 D．y＝3x2﹣x【分析】根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，分別計算出x＝0時四個函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值，然后根據(jù)函數(shù)值是否為1來判斷圖象能否與y軸交于點(diǎn)A（0，1）．【解答】解：當(dāng)x＝0時，y＝3x2＝0；當(dāng)x＝0時，y＝3x2+1＝1；當(dāng)x＝0時，y＝3（x+1）2＝3；當(dāng)x＝0時，y＝3x2﹣x＝0，所以拋物線y＝3x2+1與y軸交于點(diǎn)（0，1）．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．4．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）如圖所示，那么a、b、c的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜0、b＞0、c＞0 B．a(chǎn)＜0、b＜0、c＞0 C．a(chǎn)＜0、b＞0、c＜0 D．a(chǎn)＜0、b＜0、c＜0【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由圖象開口可知：a＜0，由圖象與y軸交點(diǎn)可知：c＜0，由對稱軸可知：＜