北師大版八年級數(shù)學(xué)核心知識點與常見題型通關(guān)講解練第08講二次根式(8種題型)(原卷版+解析)

第08講二次根式（8種題型）【知識梳理】一．二次根式的定義二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”稱為二次根號②a（a≥0）是一個非負數(shù)；學(xué)習(xí)要求：理解被開方數(shù)是非負數(shù)，給出一個式子能準確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開方數(shù)中的字母取值范圍．二．二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．（3）二次根式具有非負性．（a≥0）是一個非負數(shù)．學(xué)習(xí)要求：能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負性解決相關(guān)問題．【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．三．二次根式的性質(zhì)與化簡（1）二次根式的基本性質(zhì)：①≥0；a≥0（雙重非負性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．③＝|a|＝（算術(shù)平方根的意義）（2）二次根式的化簡：①利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡．＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法1．常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合．2．解題方法：（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡．（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果．（3）檢驗結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．四．最簡二次根式最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．五．二次根式的乘除法（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運算也是如此．六．二次根式的加減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．（2）步驟：①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡．③合并被開方數(shù)相同的二次根式．（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進行合并．合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．七．二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運算應(yīng)注意以下幾點：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．（2）二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式．（3）在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．八．二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．九．二次根式的應(yīng)用把二次根式的運算與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運算的方法．【考點剖析】一．二次根式的定義（共4小題）1．（2023春?廬陽區(qū)校級期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．2．（2023春?大石橋市期中）下列各式是二次根式的有（）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3．（2022秋?門頭溝區(qū)期末）下列代數(shù)式能作為二次根式被開方數(shù)的是（）A．x B．3.14﹣π C．x2+1 D．x2﹣14．（2022秋?寧德期末）已知a是正整數(shù)，是整數(shù)，則a的最小值是2．那么若b是正整數(shù)，是大于1的整數(shù)，則b的最大值與最小值的差是．二．二次根式有意義的條件（共3小題）5．（2023春?江夏區(qū)校級期末）若使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤36．（2022秋?寶山區(qū)期末）如果y＝，則x+y的值為（）A． B．1 C． D．07．（2023春?東港區(qū)校級月考）已知x，y為實數(shù)，且，則x﹣y＝（）A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．1或﹣7三．二次根式的性質(zhì)與化簡（共4小題）8．（2023春?合川區(qū)期末）實數(shù)m對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡的結(jié)果為（）A．2m﹣9 B．﹣5 C．5 D．9﹣2m9．（2023春?泰山區(qū)校級期中）把根號外的因式移入根號內(nèi)，化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．10．（2023?婁底二模）如果＝2﹣x，那么x取值范圍是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞211．（2023春?莘縣期末）若2＜a＜3，則等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1四．最簡二次根式（共2小題）12．（2022秋?平度市期末）下列各式：①，②，③，④，最簡二次根式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個13．（2023春?南京期末）下列二次根式中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．五．二次根式的乘除法（共6小題）14．（2023春?仙游縣期中）下列運算正確的是（）A．?＝ B．9×＝ C．×＝12 D．?＝615．（2021秋?古冶區(qū)期末）計算：（1）；（2）．16．（2023春?興縣期中）若成立，則（）A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜617．（2023春?蓬萊區(qū)期中）已知＝a，＝b，則＝（）A． B． C． D．18．（2023春?密云區(qū)期末）計算：2．19．（2022春?湟中區(qū)校級月考）3×2．六．二次根式的加減法（共5小題）20．（2022秋?道外區(qū)期末）下列計算正確的是（）A． B． C． D．21．（2022秋?渠縣校級期末）計算的結(jié)果是（）A． B．﹣1 C． D．22．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）規(guī)定用符號[m]表示一個實數(shù)m的整數(shù)部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此規(guī)定[7﹣]的值為．23．（2023?松北區(qū)三模）計算﹣3的結(jié)果是．24．（2023春?涪城區(qū)期中）已知實數(shù)m、n、p滿足等式?＝+，則p＝．七．二次根式的混合運算（共3小題）25．（2023春?宿城區(qū)期末）計算：．26．（2023春?金川區(qū)校級期中）計算：（1）；（2）；（3）；（4）．27．（2023春?潘集區(qū)期末）計算：（1）；（2）．八．二次根式的化簡求值（共4小題）28．（2023春?福清市期中）已知x＝+，y＝﹣，求x2+xy+y2的值．29．（2023春?泰安期中）（1）當(dāng)時，求代數(shù)式的值．（2）當(dāng)，，求代數(shù)式a2﹣3ab+b2的值．30．（2023春?虹口區(qū)期末）已知：a+b＝﹣2，ab＝1，求：的值．31．（2022秋?羅湖區(qū)校級期末）小明在解決問題：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是這樣分析與解答的：∵a＝．∴a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：（1）計算：＝；（2）計算：+…+；（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．

【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·浙江寧波·八年級寧波市第十五中學(xué)?？计谥校┤舾接幸饬x，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）下列二次根式為最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣東惠州·八年級校考期中）已知：是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)為（）A．2 B．4 C．5 D．204．（2023春·河北廊坊·八年級統(tǒng)考期末）下列各式計算正確的是（

）A． B．C． D．5．（2023春·安徽淮南·八年級統(tǒng)考期末）若，則p的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2023春·北京海淀·八年級中關(guān)村中學(xué)校考期中）下列二次根式中，與能合并的是（）A． B． C． D．7．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）已知，則的值為（

）A． B．4 C． D．8．（2023春·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）若最簡二次根式與能夠合并，則a的值是（）A． B．0 C．1 D．29．（2023春·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期末）下列根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．10．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）下列式子一定是二次根式是（）A． B．π C． D．二、填空題11．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知n是一個正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是_________．12．（2023春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期中）計算：_____．13．（2023春·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）當(dāng)時，二次根式的值為______．14．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級河南師大附中?？计谀┯嬎悖篲_____．15．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）計算：________．16．（2023春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）計算：___________．三、解答題17．（2023春·北京東城·八年級期末）已知，求代數(shù)式的值．18．（2023春·廣東江門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，從正方形中載去兩個面積分別為和的正方形和，求留下部分的總面積．

19．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）閱讀材料，并解決問題：定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化．如：將分母有理化，解：原式==（）．運用以上方法解決問題：(1)將分母有理化；(2)比較大小：（在橫線上填“”、“”或“”）①__________；②__________（，且為整數(shù)）；(3)化簡：．20．（2023春·北京西城·八年級?？计谥校┮阎蟮闹担?1．（2023春·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期末）計算：．22．（2023春·北京東城·八年級期末）計算：(1)；(2)．23．（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）計算：．24．（2023春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）計算：．25．（2023春·北京海淀·八年級中關(guān)村中學(xué)校考期中）計算：．26．（2023春·全國·八年級期中）像，……這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進行化簡，如：；再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：(1)請你嘗試化簡：①______；②______．(2)若，且，，為正整數(shù)，求的值．27．（2023春·河南許昌·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，是高，，，．

(1)求的周長；(2)求的長度．28．（2023春·北京海淀·八年級中關(guān)村中學(xué)?？计谥校┌迅竭M行化簡，若能找到兩個數(shù)、，使且，則把變成，然后開方，從而使得化簡．例如：化簡．解：∵，∴．利用上述方法完成下列各題（結(jié)果要化為最簡形式）：(1)___________；(2)___________；(3)當(dāng)時，化簡．

第08講二次根式（8種題型）【知識梳理】一．二次根式的定義二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”稱為二次根號②a（a≥0）是一個非負數(shù)；學(xué)習(xí)要求：理解被開方數(shù)是非負數(shù)，給出一個式子能準確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開方數(shù)中的字母取值范圍．二．二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．（3）二次根式具有非負性．（a≥0）是一個非負數(shù)．學(xué)習(xí)要求：能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負性解決相關(guān)問題．【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．三．二次根式的性質(zhì)與化簡（1）二次根式的基本性質(zhì)：①≥0；a≥0（雙重非負性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．③＝|a|＝（算術(shù)平方根的意義）（2）二次根式的化簡：①利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡．＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法1．常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合．2．解題方法：（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡．（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果．（3）檢驗結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．四．最簡二次根式最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．五．二次根式的乘除法（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運算也是如此．六．二次根式的加減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．（2）步驟：①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡．③合并被開方數(shù)相同的二次根式．（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進行合并．合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．七．二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運算應(yīng)注意以下幾點：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．（2）二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式．（3）在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．八．二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．九．二次根式的應(yīng)用把二次根式的運算與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運算的方法．【考點剖析】一．二次根式的定義（共4小題）1．（2023春?廬陽區(qū)校級期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】形如（a≥0）的式子即為二次根式，據(jù)此進行判斷即可．【解答】解：不符合二次根式定義，則A不符合題意；＝2，符合二次根式的定義，則B符合題意；不符合二次根式定義，則C不符合題意；當(dāng)a＜0時，不符合二次根式定義，則D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查二次根式的定義，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．2．（2023春?大石橋市期中）下列各式是二次根式的有（）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據(jù)形如（a≥0）的式子是二次根式，可得答案．【解答】解：二次根式有（1），（3），故選：C．【點評】本題考查了二次根式，二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．3．（2022秋?門頭溝區(qū)期末）下列代數(shù)式能作為二次根式被開方數(shù)的是（）A．x B．3.14﹣π C．x2+1 D．x2﹣1【分析】根據(jù)二次根式的定義解答即可．【解答】解：∵x2+1＞0，∴x2+1能作為二次根式被開方數(shù)．故選：C．【點評】本題考查的是二次根式的定義，一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?寧德期末）已知a是正整數(shù)，是整數(shù)，則a的最小值是2．那么若b是正整數(shù)，是大于1的整數(shù)，則b的最大值與最小值的差是45．【分析】由，結(jié)合b是正整數(shù)，是大于1的整數(shù)，可得b是15的倍數(shù)，從而可得答案．【解答】解：∵，又∵b是正整數(shù)且是大于1的整數(shù)，∴當(dāng)b＝15時，的整數(shù)值最大為4，此時b的值最小，當(dāng)b＝60時，的整數(shù)值最小為2，此時b的值最大，∴b的最大值與最小值的差是60﹣15＝45．故答案為：45．【點評】本題考查的是算術(shù)平方根的含義與估算，理解題意是解本題的關(guān)鍵．二．二次根式有意義的條件（共3小題）5．（2023春?江夏區(qū)校級期末）若使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤3【分析】直接利用二次根式有意義的條件，被開方數(shù)是非負數(shù)，進而得出答案．【解答】解：若使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則﹣3+x≥0，解得：x≥3．故選：A．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．6．（2022秋?寶山區(qū)期末）如果y＝，則x+y的值為（）A． B．1 C． D．0【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出x，y的值，進而得出答案．【解答】解：∵3﹣2x≥0，2x﹣3≥0，則x≥，x≤，解得：x＝，故y＝0，則x+y＝+0＝．故選：A．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出x，y的值是解題關(guān)鍵．7．（2023春?東港區(qū)校級月考）已知x，y為實數(shù)，且，則x﹣y＝（）A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．1或﹣7【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)得出x，y的值，然后討論進而得出答案．【解答】解：∵．∴x2＝9，y＝4，∴x＝±3，當(dāng)x＝3，y＝4時，x﹣y＝3﹣4＝﹣1；當(dāng)x＝﹣3，y＝4時，x﹣y＝﹣3﹣4＝﹣7；∴x﹣y＝﹣1或﹣7．故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出x的值是解題關(guān)鍵．三．二次根式的性質(zhì)與化簡（共4小題）8．（2023春?合川區(qū)期末）實數(shù)m對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡的結(jié)果為（）A．2m﹣9 B．﹣5 C．5 D．9﹣2m【分析】由數(shù)軸可得3＜m＜4，然后根據(jù)＝|a|＝進行化簡即可．【解答】解：由數(shù)軸可得3＜m＜4，那么m﹣2＞0，m﹣7＜0，原式＝|m﹣2|+|m﹣7|＝m﹣2+7﹣m＝5，故選：C．【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)，利用數(shù)軸判斷出m﹣2＞0，m﹣7＜0是解題的關(guān)鍵．9．（2023春?泰山區(qū)校級期中）把根號外的因式移入根號內(nèi)，化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】由于被開方數(shù)為非負數(shù)，可確定x﹣1的取值范圍，然后再按二次根式的乘除法法則計算即可．【解答】解：由已知可得，x﹣1＜0，即1﹣x＞0，所以，＝﹣＝﹣．故選：D．【點評】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，由已知得出x﹣1的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．10．（2023?婁底二模）如果＝2﹣x，那么x取值范圍是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是一個≥0的數(shù)，可得不等式，解即可．【解答】解：∵＝2﹣x，∴x﹣2≤0，解得x≤2．故選：A．【點評】本題考查了二次根式的化簡與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是要注意被開方數(shù)的取值范圍．11．（2023春?莘縣期末）若2＜a＜3，則等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1【分析】先根據(jù)2＜a＜3把二次根式開方，得到a﹣2﹣（3﹣a），再計算結(jié)果即可．【解答】解：∵2＜a＜3，∴＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5．故選：C．【點評】本題考查了二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．四．最簡二次根式（共2小題）12．（2022秋?平度市期末）下列各式：①，②，③，④，最簡二次根式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【解答】解：①＝，不是最簡二次根式；②，是最簡二次根式；③＝3，不是最簡二次根式；④＝，不是最簡二次根式，最簡二次根式有②；故選：A．【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，滿足以下兩個條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式．13．（2023春?南京期末）下列二次根式中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、＝2，故A不符合題意；B、是最簡二次根式，故B符合題意；C、＝x，故C不符合題意；D、＝，故D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．五．二次根式的乘除法（共6小題）14．（2023春?仙游縣期中）下列運算正確的是（）A．?＝ B．9×＝ C．×＝12 D．?＝6【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則分別化簡得出答案．【解答】解：A、?＝，故此選項錯誤；B、9×＝9＝9×＝3，故此選項錯誤；C、×＝2，故此選項錯誤；D、?＝＝6，故此選項正確；故選：D．【點評】此題主要考查了二次根式的乘除法，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．15．（2021秋?古冶區(qū)期末）計算：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法運算即可求得；（2）根據(jù)二次根式的乘法運算即可求得．【解答】解：（1）原式＝＝＝6；（2）原式＝＝＝3．【點評】本題考查了二次根式的乘法運算，化簡二次根式，熟練運用運算法則是解決本題的關(guān)鍵．16．（2023春?興縣期中）若成立，則（）A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜6【分析】根據(jù)分式和二次根式有意義的條件進行解答即可．【解答】解：要使成立，則，解得：0≤x＜6，故D正確．故選：D．【點評】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的被開方數(shù)大于等于0，分式的分母不等于0．17．（2023春?蓬萊區(qū)期中）已知＝a，＝b，則＝（）A． B． C． D．【分析】把0.063寫成分數(shù)的形式，化簡后再利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，寫成含ab的形式．【解答】解：＝＝＝∵＝a，＝b，∴原式＝．故選：D．【點評】本題考查了二次根式的化簡及積的算術(shù)平方根的性質(zhì)．積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）18．（2023春?密云區(qū)期末）計算：2．【分析】根據(jù)二次根式的乘除法法則計算即可．【解答】解：原式＝2××＝××＝6．【點評】本題考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．19．（2022春?湟中區(qū)校級月考）3×2．【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則求解．【解答】解：原式＝6＝30．【點評】本題考查了二次根式的乘除法，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法法則．六．二次根式的加減法（共5小題）20．（2022秋?道外區(qū)期末）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的運算法則，依次計算各個選項，即可進行解答．【解答】解：A、，故A不正確，不符合題意；B、，故B不正確，不符合題意；C、，故C不正確，不符合題意；D、，故D正確，符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查了二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的運算法則．21．（2022秋?渠縣校級期末）計算的結(jié)果是（）A． B．﹣1 C． D．【分析】直接化簡二次根式，進而合并二次根式得出答案．【解答】解：原式＝2﹣3＝﹣．故選：D．【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．22．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）規(guī)定用符號[m]表示一個實數(shù)m的整數(shù)部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此規(guī)定[7﹣]的值為4．【分析】直接估算的取值范圍，進而結(jié)合符號[m]表示一個實數(shù)m的整數(shù)部分，進而得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴[7﹣]＝4．故答案為：4．【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確估算無理數(shù)的大小是解題關(guān)鍵．23．（2023?松北區(qū)三模）計算﹣3的結(jié)果是2．【分析】先把各二次根式化為最減二次根式，再合并同類項即可．【解答】解：原式＝3﹣＝2．故答案為：2．【點評】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解答此題的關(guān)鍵．24．（2023春?涪城區(qū)期中）已知實數(shù)m、n、p滿足等式?＝+，則p＝5．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式求出m+n的值，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程組，然后求解即可．【解答】解：由題意得，m﹣3+n≥0且3﹣m﹣n≥0，解得m+n≥3且m+n≤3，所以m+n＝3，所以，等式可化為＝0，由非負數(shù)的性質(zhì)得，，解得，故p的值為5．故答案為：5．【點評】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，二元一次方程組的解法，難點在于求出m+n＝3并整理等式．七．二次根式的混合運算（共3小題）25．（2023春?宿城區(qū)期末）計算：．【分析】先進行乘法的運算，化簡運算，再進行加減運算即可．【解答】解：＝2+﹣4×＝4+﹣2＝4﹣．【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．26．（2023春?金川區(qū)校級期中）計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）（2）先化簡二次根式，再根據(jù)二次根式的加減計算法則求解即可；（3）根據(jù)二次根式的混合計算法則求解即可；（4）根據(jù)平方差公式和完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝；（3）原式＝＝＝；（4）原式＝＝＝．【點評】本題主要考查了二次根式的加減計算，二次根式的混合計算，完全平方公式和平方差公式，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．27．（2023春?潘集區(qū)期末）計算：（1）；（2）．【分析】（1）先化簡二次根式，再合并即可；（2）先利用平方差公式和完全平方公式化簡二次根式，再合并即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣4+×＝3﹣4+2＝；（2）原式＝（2）2﹣（5）2﹣（）2+2××﹣（）2＝20﹣50﹣5+2﹣2；＝2﹣37．【點評】本題考查的是二次根式的混合運算，在進行此類運算時，一般先把二次根式化為最簡二次根式的形式后再運算．八．二次根式的化簡求值（共4小題）28．（2023春?福清市期中）已知x＝+，y＝﹣，求x2+xy+y2的值．【分析】根據(jù)二次根式的加法法則、乘方法則分別求出x+y、xy，根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計算即可．【解答】解：∵x＝+，y＝﹣，∴x+y＝（+）+（﹣）＝2，xy＝（+）（﹣）＝5﹣3＝2，∴x2+xy+y2＝x2+2xy+y2﹣xy＝（x+y）2﹣xy＝（2）2﹣2＝20﹣2＝18．【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的加法法則、乘方法則、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．29．（2023春?泰安期中）（1）當(dāng)時，求代數(shù)式的值．（2）當(dāng)，，求代數(shù)式a2﹣3ab+b2的值．【分析】（1）先判斷出a﹣3的符號，再把二次根式進行化簡即可；（2）把原式化為（a﹣b）2﹣ab的形式，再把a，b的值代入進行計算即可．【解答】解：（1）∵a＝3﹣2，∴a﹣3＝3﹣2﹣3＝﹣2＜0，∴＝a+2＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a，＝6﹣（3﹣2）＝6﹣3+2＝3+2；（2）∵，，∴a﹣b＝3+2﹣3+2＝4，ab＝（3+2）（3﹣2）＝1∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab＝（4）2﹣1＝32﹣1＝31．【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，熟知二次根式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．30．（2023春?虹口區(qū)期末）已知：a+b＝﹣2，ab＝1，求：的值．【分析】根據(jù)a+b＝﹣2，ab＝1可知a，b互為倒數(shù)，且a＜0，b＜0，再把代數(shù)式進行化簡，進而可得出結(jié)論．【解答】解：∵a+b＝﹣2，ab＝1，∴a，b互為倒數(shù)，且a＜0，b＜0，∴原式＝﹣﹣＝﹣﹣＝﹣﹣＝﹣b2﹣a2＝﹣（a2+b2）＝﹣（a+b）2﹣2ab＝﹣4﹣2＝﹣6．【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，根據(jù)題意得出a＜0，b＜0是解題的關(guān)鍵．31．（2022秋?羅湖區(qū)校級期末）小明在解決問題：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是這樣分析與解答的：∵a＝．∴a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：（1）計算：＝﹣1；（2）計算：+…+；（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．【分析】（1）根據(jù)小明的解答過程即可進行計算；（2）結(jié)合（1）進行分母有理化，再合并即可得結(jié)果；（3）根據(jù)平方差公式，可分母有理化，根據(jù)整體代入，可得答案．【解答】解：（1）＝＝﹣1，故答案為：；（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1＝；（3）∵a＝+2，∴a﹣2＝．∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．∴a2﹣4a＝1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（1）+1＝3．答：2a2﹣8a+1的值為3．【點評】本題考查了分母有理化的應(yīng)用，能求出a的值和正確變形是解此題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·浙江寧波·八年級寧波市第十五中學(xué)校考期中）若根式有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列不等式求解即可．【詳解】解：由題意得，，解得．故選：D．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．2．（2023春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）下列二次根式為最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷．【詳解】解：A、，故不是最簡二次根式，不合題意；B、，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，不合題意；C、是最簡二次根式，符合題意；D、，被開方數(shù)含能開得盡方的數(shù)，不是最簡二次根式，不合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是最簡二次根式的概念，掌握被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式是最簡二次根式是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東惠州·八年級校考期中）已知：是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)為（）A．2 B．4 C．5 D．20【答案】C【分析】將化簡為，要是一個數(shù)開平方后為整數(shù)，那么這個數(shù)一定是完全平方數(shù)，即可解答．【詳解】解：，是整數(shù)，滿足條件的最小正整數(shù)為5，故選：C．【點睛】本題考查了求二次根式中參數(shù)的值，熟知二次根式的計算結(jié)果是整數(shù)的情況是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·河北廊坊·八年級統(tǒng)考期末）下列各式計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的加法，乘法法則依次判斷即可．【詳解】解：A、不能再計算，錯誤，故不符合題意；B、，錯誤，故不符合題意；C、，正確，符合題意；D、，錯誤，故不符合題意；故選：C．【點睛】此題考查了二次根式的計算，正確掌握二次根式的加法和乘法法則是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·安徽淮南·八年級統(tǒng)考期末）若，則p的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的混合運算法則可進行求解．【詳解】解：，∵，∴；故選A．【點睛】本題主要考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式的乘除運算是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·北京海淀·八年級中關(guān)村中學(xué)校考期中）下列二次根式中，與能合并的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡二次根式，找出與是同類二次根式的即可．【詳解】解：A、，不能與合并，則此項不符合題意；B、，不能與合并，則此項不符合題意；C、，不能與合并，則此項不符合題意；D、，能與合并，則此項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的化簡、同類二次根式，熟練掌握二次根式的化簡方法是解題關(guān)鍵．7．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）已知，則的值為（

）A． B．4 C． D．【答案】B【分析】將化為，將，代入值進行計算即可得到答案．【詳解】解：，，，故選：B．【點睛】本題主要考查求代數(shù)式的值，將式子進行配方以及采用整體代入法是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）若最簡二次根式與能夠合并，則a的值是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)最簡同類二次根式可以合并，即被開方數(shù)相同即可求解．【詳解】解：∵最簡二次根式與能夠合并，∴，解得：．故選C．【點睛】本題考查最簡二次根式的定義，同類二次根式的定義．解題的關(guān)鍵是熟知同類最簡二次根式的被開方數(shù)相同．9．（2023春·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期末）下列根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)二次根式滿足：①被開方數(shù)不含開的盡方的數(shù)或式；②根號內(nèi)面沒有分母．即為最簡二次根式，由此即可求解．【詳解】解：A、，不是二次根式，故本選項不符合題意；B、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；C、是最簡二次根式，故本選項符合題意；D、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了最簡二次根式，解題關(guān)鍵在于掌握最簡二次根式的定義．10．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）下列式子一定是二次根式是（）A． B．π C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的概念進行判斷即可．【詳解】解：A、該代數(shù)式無意義，不符合題意；B、π是無理數(shù)，不是二次根式，故此選項不合題意；C、該代數(shù)式是三次根式，故此選項不合題意；D、是二次根式，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查二次根式的概念，確定被開方數(shù)恒為非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知n是一個正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是_________．【答案】3【分析】直接化簡二次根式，再利用二次根式的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵，∴n的最小正整數(shù)值是：3．故答案為：3．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與定義，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．12．（2023春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期中）計算：_____．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，加減運算方法即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查二次根式的加減運算，掌握二次根式的性質(zhì)進行二次根式的加減運算法則是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）當(dāng)時，二次根式的值為______．【答案】1【分析】直接把代入中進行求解即可．【詳解】解：把代入中得：，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了求代數(shù)式的值，求算術(shù)平方根，正確計算是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級河南師大附中校考期末）計算：______．【答案】/【分析】先利用二次根式的性質(zhì)化簡，再合并即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的減法，二次根式的性質(zhì)化簡，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．15．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）計算：________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義求出，再代入求值即可．【詳解】∵，∴，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查二次根式有意義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式被開方數(shù)非負這一隱藏條件求出．16．（2023春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）計算：___________．【答案】【分析】根據(jù)乘法公式、實數(shù)的運算法則進行求解即可．【詳解】原式故答案為：．【點睛】本題考查實數(shù)的運算；靈活對運算式變形，采用合適的乘法公式進行巧算是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2023春·北京東城·八年級期末）已知，求代數(shù)式的值．【答案】5【分析】利用完全平方公式，將變式為，再代入數(shù)值解題．【詳解】解：當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，涉及完全平方公式、二次根式的性質(zhì)，是重要考點，掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．18．（2023春·廣東江門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，從正方形中載去兩個面積分別為和的正方形和，求留下部分的總面積．

【答案】【分析】先得出小正方形的邊長，從而求出大正方形的邊長，從而計算面積．【詳解】解：從一個大正方形中裁去面積為和的兩個小正方形，∴兩個小正方形的邊長分別為和，∴大正方形的邊長是，∴留下部分的總面積為．【點睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出大正方形的邊長．19．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）閱讀材料，并解決問題：定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化．如：將分母有理化，解：原式==（）．運用以上方法解決問題：