滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練重難點(diǎn)專項(xiàng)突破03相似三角形中的“母子”型(原卷版+解析)

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破03相似三角形中的“母子”型【知識(shí)梳理】“子母型”相似的圖形特點(diǎn)：有一個(gè)公共角，

一對(duì)完全重合的邊，

一對(duì)半重合的邊，

一對(duì)完全不重合的邊。子母型的結(jié)論：AB2=AD·AB

(重合邊的平方等半重合邊的乘積)

特殊的子母型（雙垂直型）【考點(diǎn)剖析】例1.如圖，中，，于點(diǎn)D．求證：．AABCD例2.如圖，，于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．AABCDE例3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．例4.已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．例5.如圖，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交邊AC于點(diǎn)D，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝BA，過(guò)點(diǎn)A作AG∥DE，分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，聯(lián)結(jié)FE．（1）求證：四邊形AFED是菱形；（2）求證：AB2＝BG?BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，聯(lián)結(jié)AE，求的值．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、填空題1．如圖，在中，點(diǎn)D在AB上，請(qǐng)?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使，那么可添加的條件是__________．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AD＝，那么BC＝_______．3．如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的長(zhǎng)為______．二、解答題4．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長(zhǎng)．5．如圖，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s，如果點(diǎn)P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，何時(shí)QBP與ABC相似？6．已知：如圖，在中，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，且∠ABD=∠ACB．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC的長(zhǎng).7．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長(zhǎng)．9．如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．11．如圖，已知中，P是AB上一點(diǎn)，連接CP，B=ACP，求證：．12．如圖，中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，與點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的大小；（3）若，求的面積．重難點(diǎn)專項(xiàng)突破03相似三角形中的“母子”型【知識(shí)梳理】“子母型”相似的圖形特點(diǎn)：有一個(gè)公共角，

一對(duì)完全重合的邊，

一對(duì)半重合的邊，

一對(duì)完全不重合的邊。子母型的結(jié)論：AB2=AD·AB

(重合邊的平方等半重合邊的乘積)

特殊的子母型（雙垂直型）【考點(diǎn)剖析】例1.如圖，中，，于點(diǎn)D．求證：．AABCD【解析】，． ．， ，．，． ．【總結(jié)】本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定等知識(shí)例2.如圖，，于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．AABCDE【答案】．【解析】，，，．根據(jù)面積法，可知，解得．又，，可得．，代入可得：．，，．代入得：．【總結(jié)】考查對(duì)于“子母三角形”的認(rèn)識(shí)，初步建立可將相似三角形中可將對(duì)應(yīng)邊之比轉(zhuǎn)化為 同一三角形中邊長(zhǎng)比的思想，實(shí)際上這個(gè)這個(gè)圖形中包含5個(gè)直角三角形，全部都是兩相似．例3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【分析】（1）由題意易得，則有，進(jìn)而問(wèn)題可求證；（2）由（1）及題意可知，然后可得，進(jìn)而可證，最后問(wèn)題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．例4.已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC?CD=MD?CN，而CD=AB，∴CM?AB=DM?CN．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形．在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．例5.如圖，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交邊AC于點(diǎn)D，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝BA，過(guò)點(diǎn)A作AG∥DE，分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，聯(lián)結(jié)FE．（1）求證：四邊形AFED是菱形；（2）求證：AB2＝BG?BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，聯(lián)結(jié)AE，求的值．【分析】（1）由題目條件可證得△ABF≌△EBF（SAS）及△ABD≌△EBD（SAS），進(jìn)而可推出AF＝FE＝ED＝DA，可得出四邊形AFED是菱形．（2）根據(jù)條件可證得△ABG∽△CBA，即可證明結(jié)論．（3）由條件可得△DAE∽△ABC，由相似比可得，由BE2＝EC?BC，得到點(diǎn)E是BC的黃金分割點(diǎn)，可得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵BA＝BE，BF＝BF，∴△ABF≌△EBF（SAS），∴AF＝EF，同理可得△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，∵AG∥DE，∴∠AFD＝∠EDF，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∴AF＝FE＝ED＝DA，∴四邊形AFED菱形．（2）證明：由（1）得：△ABF≌△EBF，∴∠BAG＝∠BEF，∵四邊形AFED是菱形，∴AD∥FE，∴∠BEF＝∠C，∴∠BAG＝∠C，∵∠ABG＝∠CBA，∴△ABG∽△CBA，∴，即AB2＝BG?BC．（3）解：如圖，∵AB＝AC，∴∠ABG＝∠C，∵∠BAG＝∠C，∴∠ABG＝∠BAG，∵∠AGC＝∠ABG＋∠BAG，∴∠AGC＝2∠BAG，∵BG＝CE，∴BE＝CG，∴CG＝CA，∴∠CAG＝∠CGA，∵∠CAG＝2∠DAE，∴∠DAE＝∠ABC，∴∠DEA＝∠ACB，∴△DAE∽△ABC，∴，∵AB2＝BG?BC，AB＝BE，∴BE2＝EC?BC，∴點(diǎn)E是BC黃金分割點(diǎn)，∴，∴，∵∠EAC＝∠C，∴CE＝AE，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定及黃金分割點(diǎn)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、填空題1．如圖，在中，點(diǎn)D在AB上，請(qǐng)?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使，那么可添加的條件是__________．【答案】（答案不唯一，也可以增加條件：或）．【分析】題目中相似的兩個(gè)三角形已經(jīng)有一個(gè)公共角，可以再增加一對(duì)相等的角，用兩組角相等判定兩三角形相似，也可以增加兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，利用兩組邊對(duì)應(yīng)成比例及夾角相等判定兩三角形相似．【詳解】若增加條件：∠ACD=∠ABC，∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，比較簡(jiǎn)單，熟練掌握相似三角形的三種判定方法是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AD＝，那么BC＝_______．【答案】【分析】證明△BCD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴,∵∴BC＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，牢記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．3．如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的長(zhǎng)為______．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，代入AC、AD的值可求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)BD=AB-AD即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴．∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．二、解答題4．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）AD=．【分析】（1）證明△ADC∽△ACB，即可得出結(jié)論；（2）證明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE?BC，求出BC，則可求出AD．【詳解】（1）證明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD?AB．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2=BE?BC，∴BC===，∴AD=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．5．如圖，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s，如果點(diǎn)P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，何時(shí)QBP與ABC相似？【答案】經(jīng)過(guò)4秒或1.6秒時(shí)，△QBC與△ABC相似【分析】由題意可得，，根據(jù)△QBC與△ABC相似，分情況列式計(jì)算即可．【詳解】解：由題意可得，∵∠PBQ=∠ABC，當(dāng)時(shí)，，即，解得：；當(dāng)時(shí)，，即，解得：；即經(jīng)過(guò)4秒或1.6秒時(shí)，△QBC與△ABC相似．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析題意列出方程求解．6．已知：如圖，在中，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，且∠ABD=∠ACB．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC的長(zhǎng).【答案】(1)見詳解；（2）【詳解】（1）證明：∵∠A=∠A,∠ABD=∠ACB,∴△ABD∽△ACB.（2）解:∵△ABD∽△ACB，∴，∴，∴7．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)AC=，CD＝4，BD＝2，可得，根據(jù)∠C=∠C，即可證明結(jié)論．【詳解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2∴，∴∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，結(jié)合∠DAE=∠CAD即可證出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長(zhǎng)，再結(jié)合AD=AB即可得出AB的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）證明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似”證出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，求出AD的長(zhǎng)．9．如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進(jìn)而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；（2）由可證，進(jìn)而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關(guān)系．【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相