專題訓(xùn)練：角平分線中相關(guān)輔助線問題（解析版）

專題訓(xùn)練：角平分線中相關(guān)輔助線問題知識框架角平分線中常見輔助線總結(jié)分類講解角平分線中常見輔助線總結(jié)方法1：角平分線上的點向兩邊作垂線方法：利用角平分線性質(zhì)，取角平分線上一點，向被平分的角的兩邊作垂線注：銳角三角形的垂線在中線線段上；鈍角三角形的垂線在中線線段的延長線上。目的：構(gòu)造一組全等三角形1．（2021·安徽安慶市·八年級期末）如圖，是等腰三角形底邊上的中線，平分，交于點，，，則的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF＝DE＝2，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：作EF⊥BC于F，∵AC＝BC＝6，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴△BCE的面積＝×BC×EF＝6，故選：B．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．2．（2021·黑龍江大慶市·七年級期末）如圖，已知，、分別平分和且度，則______度．【答案】60【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，根據(jù)角平分線的定義可得∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，然后整理得到∠BEC=∠BAC，過點E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延長線于H，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得EF=EG=EH，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出AE平分∠CAH，然后列式計算即可得解．【詳解】解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，∴∠BEC+∠EBC=（∠BAC+∠ABC），∴∠BEC=∠BAC，∵∠BEC=30°，∴∠BAC=60°，過點E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延長線于H，

∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACD，∴EF=EH，EF=EG，∴EF=EG=EH，∴AE平分∠CAH，∴∠EAC=（180°∠BAC）=（180°60°）=60°．故答案為：60°．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2021·鹽城市鹽都區(qū)八年級月考）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)SAS證△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，結(jié)合∠BCD＝∠BDC可得①②正確；根據(jù)角的和差以及三角形外角的性質(zhì)可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正確；過E作EG⊥BC于G點，證明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用線段和差即可得到④正確．【詳解】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正確；②∵BD為△ABC的角平分線，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正確；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE為等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE．③正確；④過E作EG⊥BC于G點，∵E是∠ABC的角平分線BD上的點，且EF⊥AB，∴EF＝EG（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等），∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG?CG＝BF＋BG＝2BF，④正確．故選D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和熟練運用全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2020·廣西南寧市·八年級期末）已知點C是∠MAN平分線上一點，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當(dāng)點E在線段AB上時，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當(dāng)點E在線段AB的延長線上時，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點F，交AC于點O，連接DO并延長交AB于點G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．【答案】（1）見解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由見解析；（3）3．【分析】（1）過點C作CF⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE＝CF，證明△BCE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）過點C作CF⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE＝CF，AE＝AF，證明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，結(jié)合圖形解答即可；（3）在BD上截取BH＝BG，連接OH，證明△OBH≌△OBG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OHB＝∠OGB，根據(jù)角平分線的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，證明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，計算即可．【詳解】（1）證明：如圖1，過點C作CF⊥AD，垂足為F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；（2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如圖2，過點C作CF⊥AD，垂足為F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE，∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；（3）解：如圖3，在BD上截取BH＝BG，連接OH，∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB在△OBH和△OBG中，，∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB，∵AO是∠MAN的平分線，BO是∠ABD的平分線，∴點O到AD，AB，BD的距離相等，∴∠ODH＝∠ODF，∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°，∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF（ASA），∴DH＝DF，∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是依照基礎(chǔ)示例引出正確輔助線．5．（2020·遼寧鞍山市·八年級期中）在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分線，點E和點F分別在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F（如圖（1）），則可以得到以下兩個結(jié)論：①∠AED+∠AFD＝180°；②DE＝DF．那么在△ABC中，仍然有條件“AD是∠BAC的角平分線，點E和點F，分別在AB和AC上”，請?zhí)骄恳韵聝蓚€問題：（1）若∠AED+∠AFD＝180°（如圖（2）），則DE與DF是否仍相等？若仍相等，請證明；否則請舉出反例．（2）若DE＝DF，則∠AED+∠AFD＝180°是否成立？（只寫出結(jié)論，不證明）【答案】（1）DE＝DF，理由見解析；（2）不一定成立【分析】（1）過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，DM＝DN，△DME≌△DNF，DE＝DF；（2）如圖，若DE、DF在點D到角的兩邊的垂線段與頂點A的同側(cè)則一定不成立；【詳解】（1）DE＝DF．理由如下：過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DFN＝180°，∴∠DFN＝∠AED，∴△DME≌△DNF（AAS），∴DE＝DF；（2）不一定成立．如圖，若DE、DF在點D到角的兩邊的垂線段與頂點A的同側(cè)則一定不成立，經(jīng)過（1）的證明，若在垂線段上或兩側(cè)則成立，所以不一定成立．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，難點在于熟練和靈活的應(yīng)用角平分線要點；6．（2020·武漢市六中位育中學(xué)八年級）如圖，中，于點，，點在上，，連接．（1）求證：；（2）延長交于點，連接，求的度數(shù)；（3）過點作，，連接交于點，若，，直接寫出的面積．【答案】（1）見解析；（2）∠CFD=135°；（3）△NBC的面積為21．【分析】（1）由“SAS”可證△BDE≌△CDA，可得BE=CA；（2）過點D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，由全等三角形的性質(zhì)可得∠DBE=∠ACD，S△BDE=S△ADC，由面積關(guān)系可求DH=DG，由角平分線的性質(zhì)可得∠DFG=∠DFH=45°，即可求解；（3）在CD上截取DE=AD=5，連接BE，延長BE交AC于F，由△BEN≌△MCN，可得EN=CN，由三角形的面積公式可求解．【詳解】證明（1）在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE=CA；（2）如圖2，過點D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，∵△BDE≌△CDA，∴∠DBE=∠DCA，S△BDE=S△ADC，∵∠DBE+∠A=∠ACD+∠A=90°，∴∠AFB=∠CFB=90°，∵S△BDE=S△ADC，∴，∴DH=DG，又∵DG⊥AC，DH⊥BF，∴∠DFG=∠DFH=45°，∴∠CFD=135°；（3）如圖3，在CD上截取DE=AD=5，連接BE，延長BE交AC于F，由（1）、（2）可得BE=AC，BF⊥AC，BD=CD=12，∵CM⊥CA，∴BF∥CM，∴∠M=∠FBN，∵CM=CA，∴CM=BE，在△BEN和△MCN中，，∴△BEN≌△MCN（AAS），∴EN=CN，∵EC=CD-DE=12-5=7，∴，∴△NBC的面積，故△NBC的面積為21．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．7．（2020·江西南昌市·八年級期中）如圖，在中，已知：是它的角平分線，且．（1）求的面積；（2）在解完（1）問后，小智經(jīng)過反思后發(fā)現(xiàn)，小慧發(fā)現(xiàn)，請判斷小智和小慧的發(fā)現(xiàn)是否正確?若正確，請寫出證明過程，若錯誤，請說明理由．【答案】（1）36，（2）都正確，證明見詳解【分析】（1）過點D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分線，利用角平分線性質(zhì)有DF=DE，分別求S△ABD和S△ACD，則S△ABC=S△ABD+S△ACD計算即可（2）都正確AD是它的角平分線，，DF⊥AB，則DE=DF，由（1）知S△ABD=，S△ACD=，求兩個三角形面積之比，過A作AG⊥BC于G，AG是△ABD的高，也是△ACD的高，分別求出利用高表示的三角形的面積，，再求求兩個三角形面積之比即可．【詳解】（1）過點D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分線，，DF=DE=4，S△ABD=，S△ACD=，S△ABC=S△ABD+S△ACD=20+16=36，（2）都正確，AD是它的角平分線，，DF⊥AB，則DE=DF，S△ABD=，S△ACD=，，過A作AG⊥BC于G，，，，由，，小智和小慧的發(fā)現(xiàn)都正確．【點睛】本題考查三角形的面積與角平分線定理，掌握三角形的面積與角平分線定理，會求三角形的面積，會用面積證明角分線分得的兩線段的比是解題關(guān)鍵．方法2過邊上的點向角平分線作垂線方法：取被平分角邊上一點，向角平分線作垂線，并延長至與另一個邊相交適用條件：往往題干中已有線段與角平分線垂直，只需延長垂線段即可目的：構(gòu)造一組關(guān)于角平分線對稱的全等直角三角形1．（2020·重慶市松樹橋中學(xué)校八年級月考）如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為______cm2．【答案】4.5【分析】根據(jù)已知條件證得△ABP≌△EBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出，代入求出即可．【詳解】解：延長AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=PE，∴∴cm2，故答案為4.5．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，注意：等底等高的三角形的面積相等．2．（2020·河南九年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AM平分∠BAC，CM⊥AM于點M，N為BC的中點，連結(jié)MN，則MN的長為______.【答案】1【分析】延長CM交AB于H，證明△AMH≌△AMC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH＝AC＝6，CM＝MH，根據(jù)三角形中位線定理解答.【詳解】解：延長CM交AB于H，∵AM平分∠BAC，∴在△AMH和△AMC中，，∴△AMH≌△AMC(ASA)∴AH＝AC＝6，CM＝MH，∴BH＝AB﹣AH＝2，∵CM＝MH，CN＝BN，∴MN＝BH＝1，故答案為：1.【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．3．（2020·江蘇省灌云高級中學(xué)城西分校八年級月考）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點D，CE⊥BD，交BD的延長線于點E，若BD＝4，則CE＝________．【答案】2【分析】根據(jù)題意延長BA、CE相交于點F，利用“角邊角”證明△BCE和△BFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=EF，根據(jù)等角的余角相等求出∠ABD=∠ACF，然后利用“角邊角”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=CF，然后求解即可．【詳解】解：如圖，延長BA、CE相交于點F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案為：2．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)和等角的余角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并得到與BD相等的線段CF．4．（2021·四川眉山市·八年級期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點D．（1）如圖1，點F為BC上一點，連接AF交BD于點E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，點F為BC上一點，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點M．直接寫出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）BD=2CE，理由見解析；（3）FM=2CE．【分析】(1)由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可證△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；（2）延長CE，交BA的延長線于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可證△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可證△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．【詳解】證明(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°，∴BD垂直平分AF．（2）BD=2CE，理由如下：延長CE，交BA的延長線于G，∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，

（3）FM=2CE，理由如下：作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH，∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．

【點睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線，三角形外角性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線是解題關(guān)鍵．5．（2021·湖北八年級月考）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一點，AE⊥BD交BD的延長線于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求證：CD=DF【答案】見解析【分析】延長AE、BC交于點F．根據(jù)同角的余角相等，得∠DBC=∠FAC；由ASA證明△BCD≌△ACF，得出AF=BD，AE=AF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB=BF，再根據(jù)等腰三角形的三線合一得出BD是∠ABC的角平分線，由角平分線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．【解析】證明：延長AE、BC交于點F.如圖所示：∵AE⊥BE，∴∠BEA=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DBC=∠FAC，在△ACF和△BCD中,，∴△ACF≌△BCD(ASA)，∴AF=BD.又AE=BD，∴AE=AF，即點E是AF的中點，∴AB=BF，∴BD是∠ABC的角平分線，∵∠C=90°，DF⊥AB于F，∴CD=DF.【點睛】此題考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理和作輔助線.6．（2020·全國八年級課時練習(xí)）如圖，在中，是的中點，平分，于點，延長交于點．已知，求的周長．【答案】46【分析】先證明，得到AD=AB，BN=DN，再利用點M是BC的中點證得CD=2MN，BC=2BM，由此即可求出△ABC的周長.【詳解】∵平分，∴，，在和中，∴，∴．∵是的中點，，∴，，∴的周長為．【點睛】此題考查三角形全等的判定定理及性質(zhì)定理，三角形的中位線的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵，由此不僅得到AD=AB，還證得BN=DN，由此利用點M是BC的中點求出CD的長.7．（2020·四川省初一期末）如圖1，點是直線上一點，點是直線上一點，且MN//PQ．和的平分線交于點．（1）求證：；（2）過點作直線交于點（不與點重合），交于點E,①若點在點的右側(cè)，如圖2，求證：；②若點在點的左側(cè)，則線段、、有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不說理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】(1)由平行線性質(zhì)可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分線定義可得,再利用三角形內(nèi)角和定理即可得∠C=90°,即可證明BC⊥AC;(2)①延長AC交PQ點F，先證明AC=FC,再證明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB;②方法與①相同．【解析】解：（1）∵M(jìn)N∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ∴∴∠BAC+∠ABC==90°在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-90°=90°∴BC⊥AC;（2）①延長AC交PQ于點F∵BC⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC≌△FBC∴AC=CF，AB=BF∵M(jìn)N∥BQ∴∠DAC=∠EFC∵∠ACD=∠FCE∴△ACD≌△FCE∴AD=EF∴AB=BF=BE+EF=BE+AD即：AB=AD+BE②線段AD，BE，AB數(shù)量關(guān)系是：AD+AB=BE如圖3，延長AC交PQ點F,∵M(jìn)N//PQ．∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC∵AC平分∠NAB∴∠BAF=∠FAN∴∠BAF=∠AFB∴AB=FB∵BC⊥AC∴C是AF的中點∴AC=FC在△ACD與△FCE中∴∴AD=EF∵AB=FB=BE-EF∴AD+AB=BE【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)判定，等腰三角形性質(zhì)等，解題關(guān)鍵正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形．方法3過平分線上的點作一條邊平行線構(gòu)造等腰三角形方法：=1\*GB3①有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。如下圖1=2\*GB3②通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如下2圖掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．1.（2020·山東八年級期末）如圖、∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分線CF相交于點F.過F作DF∥BC，交AB于D,交AC于E，若BD＝8，DE＝3，則CE的長度為________；【答案】5【分析】根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)可得，由等角對等邊可得，所以.【詳解】解：BF平分∠ABC，CF平分∠ACG.故答案為：5【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，靈活利用角平分線及平行線的性質(zhì)判證明角相等是解題的關(guān)鍵.2．如圖5，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的角平分線相交于F，經(jīng)過F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，若BD+CE=9，則線段DE的長為____________【答案】9分析：本題主要利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等，角平分線的定義以及三角形中等角對等邊的性質(zhì)進(jìn)行做題．【解析】∵∠B和∠C的平分線相交于點F，∴∠DBF=∠FBC，∠BCF=∠ECF；∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC=∠FBD，∠EFC=∠FCB=∠ECF，∴DF=DB，EF=EC，即DE=DF+FE=DB+EC=9．3．（2019·云南昆明三中八年級期末）（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC的平分線BF交AC于F，過點F作DF∥BC，求證：BD=DF．（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與∠ACB的平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，交直線AB于點D，交直線AC于點E．那么BD，CE，DE之間存在什么關(guān)系？并證明這種關(guān)系．（3）如圖3，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，交直線AB于點D，交直線AC于點E．那么BD，CE，DE之間存在什么關(guān)系？請寫出你的猜想．（不需證明）【答案】（1）見詳解；（2）BD+CE＝DE，證明過程見詳解；（3）BD﹣CE＝DE，證明過程見詳解【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義得出∠DFB＝∠CBF，∠ABF＝∠CBF，推出∠DFB＝∠DBF，根據(jù)等角對等邊推出即可；（2）與（1）證明過程類似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出結(jié)論；（3）與（1）證明過程類似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DFB＝∠DBF，∴BD＝DF；（2）BD+CE＝DE，理由是：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DFB＝∠DBF，∴BD＝DF；同理可證：CE＝EF，∵DE＝DF+EF，∴BD+CE＝DE；（3）BD﹣CE＝DE．理由是：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DFB＝∠DBF，∴BD＝DF；同理可證：CE＝EF，∵DE＝DF﹣EF，∴BD﹣CE＝DE．【點睛】本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點，本題具有一定的代表性，三個問題證明過程類似．4．（2020·江陰市云亭中學(xué)八年級月考）如圖，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB，AC于E，F(xiàn)．（1）如圖①，當(dāng)AB=AC時圖中有個等腰三角形．（2）如圖②，寫出EF與BE、CF之間關(guān)系式，并說明理由．（3）如圖③，若△ABC中∠ABC的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由．【答案】（1）5；（2）EF=BE+CF，理由見解析；（3）EF=BE-CF，理由見解析【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根據(jù)EF∥BC，可得∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF都是等腰三角形；

（2）由EF∥BC，可得∠2=∠3，又∠1=∠2，根據(jù)等量代換得到∠1=∠3，所以O(shè)E=BE，在△CFO中，同理可證OF=CF，繼而可證得EF=BE+CF；

（3）由于OE∥BC，可得∠5=∠6，又∠4=∠5，根據(jù)等量代換得到∠4=∠6，所以O(shè)E=BE，在△CFO中，同理可證OF=CF，繼而可證得EF=BE-CF．【詳解】解：（1）當(dāng)AB=AC時，圖中有5個等腰三角形．如圖1，由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，

又∵OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB，

根據(jù)EF∥BC，可得∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO，

由此可得出△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF都是等腰三角形．故答案為：5；

（2）關(guān)系式：EF=BE+CF如圖，∵EF∥BC，∴∠2=∠3，

又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴OE=BE，在△CFO中，同理可證OF=CF，

∵EF=EO+FO，∴EF=BE+CF；

（3）關(guān)系式：EF=BE-CF如圖，∵OE∥BC，∴∠5=∠6，

又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴OE=BE，

在△CFO中，同理可證OF=CF，∵EF=EO-FO，∴EF=BE-CF．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵靈活運用等腰三角形的性質(zhì)．解題時注意：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．5．（2020·沈陽市第一二七中學(xué)八年級期中）已知：如圖，∠ACD是△ABC的一個外角，CE、CF分別平分∠ACB、∠ACD，EF∥BC，分別交AC、CF于點H、F求證：EH=HF【答案】見解析【分析】由角平分線的定義可得∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，由平行線的性質(zhì)可得∠BCE＝∠CEF，∠CFE＝∠DCF，利用等量代換可得∠ACE＝∠CEF，∠CFE＝∠ACF，根據(jù)等角對等邊即可求得EH=CH=HF，進(jìn)而求得EH=HF．【詳解】∵CE、CF分別平分∠ACB、∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠CEF，∠CFE＝∠DCF，∴∠ACE＝∠CEF，∠CFE＝∠ACF，∴EH＝CH，CH=HF，∴EH＝HF.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等角對等邊求解是解題關(guān)鍵.方法4利用角平分線的性質(zhì)，在角兩邊截長補(bǔ)短方法：在角的兩邊上實施截長或補(bǔ)短目的：構(gòu)造出已角平分線為對稱軸的全等三角形1．（2021·安徽合肥市·八年級期末）如圖，在中，，平分．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，若，求證：．【答案】（1）見詳解；（2）108°；（3）見詳解【分析】（1）如圖1，過D作DM⊥AB于M，由CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝AM，于是得到結(jié)論；（2）如圖2，設(shè)∠ACB＝α，則∠CAB＝∠CBA＝90°?α，在AB上截取AK＝AC，連結(jié)DK，根據(jù)角平分線的定義得到∠CAD＝∠KAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACD＝∠AKD＝α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（3）如圖3，在AB上截取AH＝AD，連接DH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根據(jù)角平分線的定義得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，連接DK，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DH＝BH，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，過D作DM⊥AB于M，∴在中，，∴∠ABC＝45°，∵∠ACB＝90°，AD是角平分線，∴CD＝MD，∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD，在RT△ADC和RT△ADM中，，∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD；（2）設(shè)∠ACB＝α，則∠CAB＝∠CBA＝90°?α，在AB上截取AK＝AC，連結(jié)DK，如圖2，∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK∴BK＝BD，∵AD是角平分線，∴∠CAD＝∠KAD，在△CAD和△KAD中，∴△CAD≌△KAD（SAS），∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°?α，∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°?α，∴在△BDK中，180°?α＋180°?α＋90°?α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB＝108°；（3）如圖3，在AB上截取AH＝AD，連接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∵AD是角平分線，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，連接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD，∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK-∠CBA=40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2020·太原市晉澤中學(xué)校初二月考）在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如圖①，當(dāng)∠C=90°，AD為∠ABC的角平分線時，在AB上截取AE=AC，連接DE，易證AB=AC+CD．請證明AB=AC+CD；（2）①如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論，不要求證明；②如圖③，當(dāng)∠C≠90°，AD為△ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明．【答案】（1）證明見解析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，證明見解析．【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，進(jìn)而得出答案；（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，進(jìn)而得出答案；②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，進(jìn)而得出答案．【解析】解：（1）∵AD為∠ABC的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；（2）①AB=AC+CD．理由：在AB上截取AE=AC，連接DE，∵AD為∠ABC的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；②AC+AB=CD．理由：在射線BA上截取AE=AC，連接DE，∵AD為∠EAC的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴設(shè)∠B=x，則∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)等知識，利用已知得出△AED≌△ACD是解題關(guān)鍵．3．（2021·湖北武漢市·八年級期末）如圖1，在中，，分別是和的角平分線，和相交于點．（1）求證：平分；（2）如圖2，過作于點，連接，若，，求證：；（3）如圖3，若，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）過D點分別作三邊的垂線，垂足分別為G、H、K，根據(jù)角平分線的定義可證得DG=DH=DK，從而根據(jù)角平分線的判定定理可證得結(jié)論；（2）作，，在上取一點，使，通過證明和得到，從而根據(jù)等角對等邊判斷即可；（3）延長至，使，連接，通過證明得到，再結(jié)合即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖所示，過D點分別作三邊的垂線，垂足分別為G、H、K，∵，分別是和的角平分線，∴，∴平分；（2）證明：如圖，作，，在上取一點，使．∵平分，∴，∵，，∴，在四邊形中，，又∵，∴，在和中，∴，∴，在和中∴，∴又∵，，∴，∴；（3）證明：延長至，使，連接．∵，分別是和的角平分線，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)與判斷，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活結(jié)合角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線是解題關(guān)鍵．4．（2021·北京順義區(qū)·八年級期末）已知：如圖，，，分別平分和，點E在上．用等式表示線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】AB=AC+BD，證明見詳解．【分析】延長AE，交BD的延長線于點F，先證明AB=BF，進(jìn)而證明△ACE≌△FDE，得到AC=DF，問題得證．【詳解】解：延長AE，交BD的延長線于點F，∵，∴∠F=∠CAF，∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∵平分，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△A