2025屆高考數(shù)學基礎總復習提升之統(tǒng)計（含解析）

統(tǒng)計

學問列表

高考要求

本講模塊回考考點

了解理解駕馭

頻率估計概率A

古典概型互斥事務與對立事務C

古典概型C

長度型幾何概型B

幾何概型面積型幾何概型C

體積型幾何概型B

回來直線B

獨立性檢驗C

統(tǒng)計

離散型隨機變量的分布列及期望

C

方差

二.基礎學問：

古典概型

1.頻率和概率

⑴在相同條件S下重復“次試驗，視察某一事務A是否出現(xiàn)，則〃次試驗中事務A出現(xiàn)的

rn

次數(shù)根為事務A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事務A出現(xiàn)的比例力(A)=-為事務A出現(xiàn)的頻率；

n

(2)假如隨著試驗次數(shù)的增加，事務A發(fā)生的頻率力(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記

為尸(A),稱為事務A的概率.簡稱為A的概率；

(3)頻率和概率有本質(zhì)區(qū)分，頻率隨試驗次數(shù)的變更而變更，概率卻是一個常數(shù)；對于給定

的事務A,由于事務A發(fā)生的頻率力(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以

用頻率力(A)來估計概率P(A).概率的取值范圍：O<P(A)<1

2.互斥事務：假如A6為不行能事務A5=。，則稱事務A與事務3互斥，即事務A與

事務6在任何一次試驗中不會同時發(fā)生.互斥事務的概率加法公式:

P(AIJB)=P(A+B)=P(A)+P(B)

P(AA4)=P(A)+P(4)++P(An)

3.對立事務：若A8為不行能事務，而A8為必定事務，那么事務A與事務3互為對

立事務，其含義是事務A與事務B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生.

對立事務的概率：P(A)=1-P(A)

4.古典概型

(1)基本領件：在一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果稱為基本領件.

基本領件的特點：

①任何兩個基本領件是互斥.

②任何事務都可以表示成基本領件的和.

(2)古典概型的兩大特點：

①試驗中全部可能出現(xiàn)的基本領件只有有限個；

②每個基本領件出現(xiàn)的可能性相等.

5.古典概型的概率計算公式：

尸⑷/眈黑(，為總的基本領件個數(shù),加為事務A的結(jié)果數(shù)).

6.幾何概型

(1)幾何概型的概念

假如每個事務發(fā)生的概率只與構成該事務區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率

模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

(2)幾何概型的概率公式

zX構成事件朗勺區(qū)域長度(面積或體積)

(J一試驗的全部結(jié)果所構成的的區(qū)域的長度(面積或體積)

7.統(tǒng)計

1.抽樣方法

(1)抽樣要具有隨機性、等可能性，這樣才能通過對樣本的分析和探討更精確的反映總體的

狀況，常用的抽樣方法有簡潔隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣.

(2)簡潔隨機抽樣是指一個總體的個數(shù)為國(較小的有限數(shù))，通過逐個抽取一個樣本，且每

次抽取時每個個體被抽取的概率相等.簡潔隨機抽樣的兩種常用方法為抽簽法和隨機數(shù)表

法.

(3)分層抽樣是總體由差異明顯的幾部分組成，常將總體按差異分成幾個部分，然后按各部

分所占比例抽樣，其中所分成的各部分叫做層.

(4)系統(tǒng)抽樣是當總體中的個數(shù)較多時，將總體均分成幾部分，按事先按確定的在各部分抽

取.

2.總體分布的估計

(1)作頻率分布直方圖的步驟：

①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)

②確定組距與組數(shù)

③將數(shù)據(jù)分組

④列頻率分布表(下圖)

分組頻數(shù)頻率累計頻率

H)工

伍，功A工+&

???.?????.??

rk4工十力十+A=1

⑤畫頻率分布直方圖，將區(qū)間［a,3標在橫軸上，縱軸表示頻率與組距的比值，以每個組

距為底，以各頻率除以組距的商為高，分別畫矩形，共得女個矩形，這樣得到的圖形叫頻率

分布直方圖.

頻率分布直方圖的性質(zhì)：①第，個矩形的面積等于樣本值落入?yún)^(qū)間ZT，G的頻率；②由于

力+力十十九=1，所以全部小矩形的面積的和為1.

(2)連接頻率分布直方圖中各小長方形上邊的中點，就得到頻率分布折線圖，隨著樣本容量

的增加，折線圖會越來越近似于一條光滑曲線，稱之為總體密度曲線.

(3)統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫莖葉圖，莖是中格中間的一列數(shù)，葉是從莖旁邊

長出來的一列數(shù).

用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個突出的優(yōu)點：一是從統(tǒng)計圖上沒有原始信息的損失，全部的數(shù)據(jù)信

息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖可以在競賽時隨時記錄，便利記錄與表示.

3.平均數(shù)和方差的計算

-1

(1)假如有〃個數(shù)據(jù)看，4,…，X“，則X=—(X]+X'++X”)

n

1___

叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，S2=—[(%；-%)2+(%-%)2++(X“-X)2]

n2

叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而s叫做標準差.

1—2

(2)公式s?=—[(xj+x：++x^)-nx]

n

(3)當一組數(shù)據(jù)孫/，…，當中各數(shù)較大時，可以將各數(shù)據(jù)減去一個適當?shù)某?shù)。，得到

x^=x-a,x2'=x2~a,???,xn'=xn—a,貝!J卡=L[(xJ+x2'2++x^)-nx'}

‘'n'

4.利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征

(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應當相等，由此可以

估計中位數(shù)值.

(2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標之和.

(3)眾數(shù)：最高的矩形的中點的橫坐標.

(4)極差=最大數(shù)一最小的數(shù).

5.兩個變量的相關關系

(1)假如兩個變量之間沒有函數(shù)關系所具有的確定性，它們的關系帶有隨機性，則稱這兩個

變量具有相關關系.

(2)有相關關系的兩個變量，若一個變量的值由小到大時，另一個變量的值也是由小到大，

這種相關稱為正相關；反之，一個變量的值由小到大，另一個變量的值由大到小，這種相關

稱為負相關.

(3)假如散點圖中，具有相關關系的兩個變量全部視察值的數(shù)據(jù)點，分布在一條直線旁邊，

則稱這兩個變量具有線性相關關系，這條直線叫做回來直線，方程為)=:式+且

,灰?區(qū)

其中B=得-----------a=y-bx

f⑴2

Z=1

(4)樣本的相關系數(shù)

Y.x^-nx-y

廠—________(^1_______________________

回)2

Vi=li=l

當廠＞0時，表示兩個變量正相關，當廠＜0時，表示兩個變量負相關，|廠|越接近于1,

表明兩個變量的線性相關性越強；|廠|越接近于0,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關

關系.通常當|川＞0,75時，認為兩個變量有很強的線性相關關系.

6.獨立性檢驗

⑴分類變量

用變量的不同“值”，表示個體所屬的不同類別，這種變量稱為分類變量.例如：是否

吸煙，宗教信仰，國籍等.

(2)列聯(lián)表：即列出兩個分類變量的頻數(shù)表：一般地，假設有兩個分類變量輸和亍，它們的

值域分別為｛七,馬｝和兇1，%｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2義2列聯(lián)表)為:

合計

Yiy2

再aba+b

x2Cdc+d

合計a+cb+dn

其中n=a+b+c+d為樣本容量.

(3)可以利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關系，并且能較為精確地給出這種

n(ad-bc)2

推斷的牢靠程度，具體做法是：依據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算由公式K2二

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

所給出的檢驗隨機變量的觀測值鼠并且上的值越大，說明“X與F有關系”成立的可能

性越大，同時可以利用以下數(shù)據(jù)來確定“X與F有關系”的可信程度.

這種利用隨機變量K2來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”的方法

稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.

3.典例分析

例1.經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應的概率如下：

排隊人數(shù)012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少;

(2)至少3人排隊等候的概率是多少.

【答案】C

【解析】記“無人排隊等候”為事務A,“1人排隊等候”為事務3,“2人排隊等候”為事

務C,“3人排隊等候”為事務。，“4人排隊等候”為事務E,“5人及5人以上排隊等候”

為事務口，則事務4民。,￡>，瓦/互斥.

(1)記“至多2人排隊等候”為事務G,則G=A+6+C,所以

P(G)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)方法一：記''至少3人排隊等候”為事務則5=。+石+尸，所以

P(H)=P(￡>)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二：記“至少3人排隊等候”為事務X,則其對立事務為事務G,所以

P(H)=1-P(G)=1-0.56=0.44.

練習1.在12件瓷器中，有10件一級品，2件二級品，從中任取3件.

(1)“3件都是二級品”是什么事務？

(2)”3件都是一級品”是什么事務？

(3)“至少有一件是一級品”是什么事務？

【答案】(1)不行能事務(2)隨機事務(3)必定事務

【解析】(1)因為12件瓷器中，只有2件二級品，取出3件都是二級品是不行能發(fā)生的，

故是不行能事務.

(2)“3件都是一級品”在題設條件下是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的，故是隨機事務.

(3)“至少有一件是一級品”是必定事務，因為12件瓷器中只有2件二級品，取三件必有

一級品.

練習2.盒中僅有4只白球5只黑球，從中隨意取出一只球.

(1)“取出的球是黃球”是什么事務？它的概率是多少？

(2)”取出的球是白球”是什么事務？它的概率是多少？

(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事務？它的概率是多少？

4

【答案】(1)0,(2)-(3)1

9

【解析】11)“取出的球是黃球”在題設條件下根本不可能發(fā)生，因此它是不可能事件，其概率為0.

(2)“取出的球是白球”是隨機事件，它的概率是

(3)“取出的球是白球或黑球”在題設條件下必然要發(fā)生，因此它是必然事件，它的概率是1.

例2.已知a,4c為集合A={1,2,3,4,5,6}中三個不同的數(shù)，通過右邊框圖給出的一個算法

輸出一個整數(shù)”，則輸出的數(shù)a=5的概率是（）

1

D.

5

【答案】A

【解析】依據(jù)框圖推斷,本框圖輸出的a為輸入的三個數(shù)a,b,c中的最大值

最大值是3的狀況，輸入的三個數(shù)為1,2,3,1種狀況

最大值是4的狀況，輸入的三個數(shù)為1,2,3里兩個以及4,3種狀況

最大值是5的狀況，輸入的三個數(shù)為1,2,3,4里兩個數(shù)以及5,6種狀況

最大值是6的狀況，輸入的三個數(shù)為1,2,3,4,5里兩個數(shù)及6,10種狀況

2

a=5的概率=

5

2

故答案為

5

練習L五個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，全部人同時翻轉(zhuǎn)自己

的硬幣.若硬幣正面朝上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人接著坐著.那么,

沒有相鄰的兩個人站起來的概率為

【答案】C

【解析】五個人的編號為1234,5

由題意，所有事件共有=32種，沒有相鄰的兩個人站起來的基本事件有

(1),(2),(3),(4),(5),(1,3),(1,4),(2,4),再加上(25),(3,5)

沒有人站起來的可能有1種，共11種情況，

所以沒有相鄰的兩個人站起來的概率為—

32

故答案選。

練習2.一鮮花店一個月（30天）某種鮮花的日銷售量與銷售天數(shù)統(tǒng)計如下:

日銷售量

0?4950?99100—149150—199200?250

（枝）

銷售天數(shù)

3天3天15天6天3天

（天）

將日銷售量落入各組區(qū)間的頻率視為概率.

（1）試求這30天中日銷售量低于100枝的概率;

（2）若此花店在日銷售量低于100枝的6天中選擇2天作促銷活動，求這2天的日銷售量

都低于50枝的概率（不須要枚舉基本領件）.

【答案】（1）-;（2）-

55

3131

【解析】(1)設日銷售量為無，則P(04x<49)=3=—,p(50<%<100)=—=—

'73010v73010

由互斥事務的概率加法公式,

111

P(0<x<100)=P(0<%<49)+P(50<%<100)=--1--——.

10105

3+31

注：干脆依據(jù)古典概型的計算公式，得尸（04x<100）同樣給分.

305

（2）日銷售量低于100枝共有6天，從中任選兩天促銷共有”=15種狀況；日銷售量低于

50枝共有3天，從中任選兩天促銷共有機=3種狀況.

31

由古典概型的概率計算公式，所求概率尸=2=—.

155

【防陷阱措施】求古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本領件的總數(shù)和事務A包含的基本領

件的個數(shù)，這就須要正確列出基本領件，基本領件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法,

具體應用時可依據(jù)須要敏捷選擇.

例3.在區(qū)間[0,4]上隨機地選擇一個數(shù)p,則方程/—內(nèi)+30-8=0有兩個正根的概率

為（）

A.-B.-C.-D.-

3324

【答案】0

A>0

【解析】方程好一如+3。—8=0有兩個正根，則有卜1+々〉0，即解得p28或

玉元2〉0

Q

又,€[0,4],由幾何概型概率公式可得方程f-px+3°-8=0有兩個正根

“8

4—]

的概率為口=—3=_,故選⑷

4-03

練習1.在棱長為a的正方體中隨機地取一點P,則點P與正方體各表面的距離都大于色的

3

概率為（）

A.—B.—C.-D.一

271693

【答案】A

【解析】符合條件的點戶落在棱長為色的正方體內(nèi),

3

3

_率—6

1

a27

練習2.正方體A3CD-44G。中，點。在4。上運動（包括端點），則與所成

角的取值范圍是（）

7171717171717171

A.B.C.D.

426263

【答案】D

【解析】以點D為原點，DA、DC、DDi分別為x、y、z建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1,設點

尸坐標為(尢1一%乃，貝U族=(x-L-x"),而'=(-LOJ)設加瓦的夾角為a,所以

BRBC,

r=1=___________1___________=—,所以當工=:時，cosa取最大值

一四|屬「并不F7x后州3

出71

a=—,

26

171

當x=l時，cosa取最小值一,(z=—.

23

因為BG//AA.

故選D.

例4.太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圖形圖案，它形象化地表達了陰陽輪轉(zhuǎn)，相反相成

是萬物生成變更根源的哲理，呈現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的形式美.依據(jù)太極圖的構圖

方法，在平面直角坐標系中，圓。被y=3sintx的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案，其中

小圓的半徑均為1,現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為()

【答案】B

T-10

【解析】設大圓的半徑為R,則：R=-=-x—=6,

22至

%

2

則大圓面積為：1="斤=36萬，小圓面積為：S2=^X1X2=2^-,

則滿足題意的概率值為：p=」=一.本題選擇B選項.

36乃18

練習1.北宋歐陽修在《賣油翁》中寫道：“(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓

酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，因曰：“我亦無他，唯手熟爾.”可見技能都能通過反復苦

練而達至熟能生巧之境地.若銅錢是半徑為1.2所的圓，中間有邊長為0.4cm的正方形孔，

你隨機向銅錢上滴一滴油,則油滴(油滴的大小忽視不計)正好落入孔中的概率為(

A.±B.±51

C.D.——

9萬9〃6兀6兀

【答案】B

0.42

【解析】概率為幾何概型,測度為面積,概率=—----，選B.

1.2927T971

練習2.甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機地

到達，則這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必需等待的概率是()

917

A.—B.-C.——

162160-1

【答案】@

【解析】設甲到達的時刻為乙到達的時刻為y,則所有基本事件構成的平面區(qū)域為

Q={(x10VxW24,0WyW24},設“這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必須等待”為事件幺，則

事件，包含的基本事件構成的平面區(qū)域為0WxM么0Wy424：,一引W6},如圖中陰影部分

所示.

乙

船

到

達

時

間

I

S陰影一］18>187

由幾何概型概率公式得P(A)==—，即這兩艘船中至少有一艘在?？?/p>

Sc一一24x2416

泊位時必需等待的概率為工，選目

16

【防陷阱措施】求解幾何概型的概率問題，肯定要正確確定試驗的全部結(jié)果構成的區(qū)域，從

而正確選擇合理的測度，進而利用概率公式求解.

幾何概型應留意：

(1)求與長度有關的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的長度，然后

求解；

(2)依據(jù)幾何概型的特點推斷基本領件應從“等可能”的角度入手，選擇恰當合理的視察角

度；

(3)求與角度有關的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化成角度，然后求解.

例5.雙十一網(wǎng)購狂歡，快遞業(yè)務量猛增.甲、乙兩位快遞員n月12日到18日每天送件數(shù)

量的莖葉圖如圖所示.

(I)依據(jù)莖葉圖推斷哪個快遞員的平均送件數(shù)量較多(寫出結(jié)論即可)；

(II)求甲送件數(shù)量的平均數(shù)；

(III)從乙送件數(shù)量中隨機抽取2個，求至少有一個送件數(shù)量超過甲的平均送件數(shù)量的概率.

甲乙

64245

4312326

8226359

27

20

【答案】(I)乙快遞員的平均送件數(shù)量較多(II)元=254(III)—

21

【解析】(I)由莖葉圖知甲快遞員n月12日至打8日每天送件數(shù)量相對乙來說位于莖葉圖

的左上方偏多,

乙快遞員的平均送件數(shù)量較多.

(II)甲送件數(shù)量的平均數(shù):

x=~(244+246+251+253+254+262+268)=254

(III)從乙送件數(shù)量中隨機抽取2個，基本事件總數(shù)〃=21，

至少有一個送件數(shù)量超過甲的平均送件數(shù)量的對立事件是抽取的2個送件量都不大于254,

至少有一個送件數(shù)量超過甲的平均送件數(shù)量的概率：

,120

p=1——=—,

2121

練習1.在某公司的職工食堂中，食堂每天以3元/個的價格從面包店購進面包，然后以5元

1個的價格出售.假如當天賣不完，剩下的面包以1元/個的價格賣給飼料加工廠.依據(jù)以往

統(tǒng)計資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如圖所示.食堂某天購進了90個面

包，以x(個)(其中60WxWn0)表示面包的需求量，T(元)表示利潤.

(1)依據(jù)直方圖計算需求量的中位數(shù)；

(2)估計利潤T不少于100元的概率；

【答案】⑴85個;⑵0.75;(3)142.

【解析】(1)需求量的中位數(shù)吧產(chǎn)=85(個其它解法也給分)

2

(2)由題意，當60WXW90時，利潤T=5X+l-(90-X)-3x90=4X-180,

當90<XW110時，利潤7=5x90-3x90=180,

4X-180(60<X<90)

即T={,'、J

180(90<X<110)

設利潤T不少于100元為事務A,利潤T不少于100元時，即4X—1802100,

X>70,即70WXWHO,由直方圖可知，當70WXW110時，

所求概率：P(A)=1-P(A)=1-0.025x(70-60)=0.75

練習2.2017年“十一”期間，高速馬路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務區(qū)從七座以下小型

汽車中按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調(diào)

查，將他們在某段高速馬路的車速(板〃)分成六段：[60,65),[65,70),[70,75),

[75,80),[80,85),[85,90),后得到如圖的頻率分布直方圖.

(1)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值;

(2)若從車速在［60,70)的車輛中任抽取2輛，求車速在［65,70)的車輛恰有一輛的概率.

Q

【答案】(1)77.5,77.5.(2)P=—.

15

【解析】眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點，即眾數(shù)的估計值等于77.5,

設圖中虛線所對應的車速為X,則中位數(shù)的估計值為：

0.01X5+0.02X5+0.04X5+0.06x(x-75)=0.5,解得77.5.

即中位數(shù)的估計值為773.

⑵從圖中可知，車速在［60,65)的車輛數(shù)為：叫=0.01x5x40=2(輛)，

車速在［65,70)的車輛數(shù)為：色=0.02x5x40=4(輛)，

設車速在［60,65)的車輛設為a,b,車速在［65,70)的車輛設為c,d,e,/,則

全部基本領件有：(a,A),(a,d),(a,e),(?,/),伍,d),,

Rj)，(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(ej)共15種,

其中車速在［65,70)的車輛恰有一輛的事務有：(a,d),(a,e),(a,/)，

Q

9,d),伍,e),伍")共8種.所以，車速在［65,70)的車輛恰有一輛的概率為尸=宜.

例6.某媒體為調(diào)查寵愛消遣節(jié)目A是否與觀眾性別有關，隨機抽取了30名男性和30名女

性觀眾，抽查結(jié)果用等高條形圖表示如圖：

9

OC

7

6

5

4

3

-、

1

O

(1)依據(jù)該等高條形圖，完成下列2x2列聯(lián)表，并用獨立性檢驗的方法分析，能否在犯錯

誤的概率不超過0.05的前提下認為寵愛消遣節(jié)目A與觀眾性別有關？

喜歡節(jié)目A不喜歡節(jié)目A總計

男性觀眾

女性觀眾

總計60

(2)從性觀眾中按寵愛節(jié)目A與否，用分層抽樣的方法抽取5名做進一步調(diào)查.從這5名

中任選2名，求恰有1名寵愛節(jié)目A和1名不寵愛節(jié)目A的概率.

附：

P[K2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

K?n(ad-be)

(o+b)(c+d)(o+c)(b+d)

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為寵愛消遣節(jié)目A

2

與觀眾性別有關；(2)—.

5

【解析】(1)由題意得2x2列聯(lián)表如表:

寵愛節(jié)目A不寵愛節(jié)目A總計

男性觀眾24630

女性觀眾151530

總計392160

假設H。：寵愛消遣節(jié)目A與觀眾性別無關,

,60(24x15-15x6?540

則K2的觀測值k=二-------------L=—?5.934>3.841,

39x21x30x3091

所以能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為寵愛消遣節(jié)目A與觀眾性別有關.

(2)利用分層抽樣在男性觀眾30名中抽取5名，其中寵愛消遣節(jié)目A的人數(shù)為

24x2=4,不寵愛節(jié)目A的人數(shù)為6x2=l.

3030

被抽取的寵愛消遣節(jié)目A的4名分別記為a,b,c,d；不寵愛節(jié)目A的1名記為3.

則從5名中任選2人的全部可能的結(jié)果為：{a,b},{a,c},{a,d},{a,B},\b,c},

{b,d},{b,B},{c,d},{b,c},{d,3}共有10種,其中恰有1名寵愛節(jié)目A和1

名不寵愛節(jié)目A的有{a,8},{b,B},{b,c},{d,母共4種，

42

所以所抽取的觀眾中恰有1名寵愛節(jié)目A和1名不寵愛節(jié)目A的觀眾的概率是一=一.

105

練習1.假設某種設備運用的年限x(年)與所支出的修理費用y(萬元)有以下統(tǒng)計資料:

運用年限X23456

修理費用y24567

若由資料知y對無呈線性相關關系.試求:

(1)求京y；(2)線性回來方程y=Z?x+a；(3)估計運用10年時，修理費用是多少？

附：利用“最小二乘法”計算。力的值時，可依據(jù)以下公式：

,2菁％一灰?區(qū)

b=V-------------a=y-bx

f⑴2

Z=1

【答案】(1)元=4,y=4.8(2)y=L2x(3)修理費用為12萬元

A

【解析】試題分析：(1)利用京歹的計算公式即可得出；(2)利用匕的計算公式得出結(jié)果,

A

再求a；

(3)利用第(2)問得出的回來方程，計算x=10時的結(jié)果.

試題解析:

/、_24-3+4+5+6，一2+4+5+64-7/°

(1)x=----------=4,y=-----------=4.8

<2)

=2x2+3x4+4x5+5x6+6x7=108>=5x4x4.8=96>

i-l

VX/=22+32+42+52+62=90，w^=5x42=80.\&=------=1.2

白1:90-80

?=y-k=4.8-1.2x4=0,所以，線性回歸方程為y=L2x.

(3)當x=10時，y=12,所以該設備運用10年，修理費用為12萬元.

練習2..在西非肆虐的“埃博拉病毒”的傳播速度很快，這已經(jīng)成為全球性的威逼，為了

考察某種埃博拉病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機抽取100只小鼠進行試驗，得到如下聯(lián)表：

感染未感染總計

服用104050

未服用203050

總計3070100

on(ad-bcY

參考公式：K2=(-xL)(J)(j

p(Q>@0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參照附表，在犯錯誤的概率最多不超過(填百分比)的前提下，可認為“該種疫

苗由預防埃博拉病毒感染的效果”.

【答案】5%

,100x(10x30-20x40?

【解析】由題意可得，k1=---------------------L?4.762>3,841,參照附表，可得:

50x50x30x70

在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“小動物是否被感染與有沒有服用疫苗有關”，

【方法點睛】本題主要考查獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.獨立性檢驗的一般步驟：（1）

n(ad-be?

依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表；（2）依據(jù)公式K2=計算K2

(o+b)(o+d)(a+c)(Z?+d)

的值；（3）查表比較K2與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計推斷.（留意：在實際問題中，獨立

性檢驗的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學關系，得到的結(jié)論也可能犯錯誤.）

【防陷阱措施】1.頻率分布直方圖的有關特征數(shù)問題，利用眾數(shù)是最高矩形的底邊中點；中

位數(shù)是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值;平均數(shù)等于各個小矩形的面積乘以對應的矩

形的底邊中點的和等學問.把統(tǒng)計和概率結(jié)合在一起，比較新奇，也是高考的方向，應引起

重視.

2.求解回來方程問題的三個易誤點：

①易混淆相關關系與函數(shù)關系，兩者的區(qū)分是函數(shù)關系是一種確定的關系，而相關關系是

一種非確定的關系，函數(shù)關系是一種因果關系，而相關關系不肯定是因果關系，也可能是伴

隨關系.

②回來分析中易誤認為樣本數(shù)據(jù)必在回來直線上，實質(zhì)上回來直線必過丘,亍）點，可能全

部的樣本數(shù)據(jù)點都不在直線上.

③利用回來方程分析問題時，所得的數(shù)據(jù)易誤認為精確值，而實質(zhì)上是預料值（期望值）.

類型7.兩點分布

1,正面向上.、

例7.拋擲一枚硬幣，記X={L=?，則E（x）=（）

-1,反面向上''

[AOI回2_亙|￡）._

2

【答案】0

【解析】E（X）=lx|+（-l）x1=O，選⑷

練習1.設某項試驗的勝利率是失敗率的0倍，用隨機變量區(qū)描述1次試驗的勝利次數(shù)，則岡的

值可以是.

【答案】回

【解析】這里“勝利率是失敗率的0倍”是干擾條件，對1次試驗的勝利次數(shù)沒有影響，

故因可能取值有兩種，即境.

練習2.籃球競賽中每次罰球命中得1分，不中的0分.已知某運動員罰球命中率為0.7,求

他一次罰球得分的分布列及均值.

【答案】

P

【解析】

001

00.30.7

E(X)=0x03+1x0.7=0.7

類型8超幾何分布

一般地，若離散型隨機變量X的分布列為

???…

X*x2Xn

PP1Pl???Pi???Pn

則稱

E(X)=X]Pi+x2P2+…+xipi+,+xnpn

為隨機變量X的均值或數(shù)學期望.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.

若其中。力為常數(shù)，則y也是隨機變量，因為

P(Y=axi=P(X=xz),z=1,2,,n

所以，y的分布列為

??????

Yaxx+bax2+baxt+baxn+b

PPlPl???Pi???Pn

于是

(時+口++。(%+

E(K)=b)(ax2+/Op2+??Z?)p,+?…+a(xn+b)pn

+x

=a(XiPi+x2P2+iPi+-+x?Pn)+b(pl+p2+-+pi+.+pn)

=aE(X)+b

方差DX=￡(￡—EX)2p「

i=l

方差刻畫了離散型隨機變量與均值的平均偏離程度.

離散型隨機變量分布列的性質(zhì)：（1）620（1=1,2,3,……“）；（2）￡《=1.

/=1

一般地，在含有"件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則

P(X")=C乏4，4=0,1,2,m,

其中m=min{M,〃},豆n<N,MWN,N,M,neN*,假如隨機變量具有:

X01m

000〃一0「tn^n-m

?^N-M

p

品

則稱隨機變量X聽從超幾何分布.

例&一個攤主在一旅游景點設攤，在不透亮口袋中裝入除顏色外無差別的2個白球和3個

紅球.游客向攤主付2元進行1次嬉戲.嬉戲規(guī)則為：游客從口袋中隨機摸出2個小球，若摸

出的小球同色，則游客獲得3元嘉獎；若異色則游客獲得1元嘉獎.則攤主從每次嬉戲中獲

得的利潤（單位:元）的期望值是（）

|4O2||B.O3||C.0.4||D0.5|

【答案】0

C2+C22

【解析】游客摸出的2個小球同色的概率為上一=—,所以攤主從每次嬉戲中獲得的

c；5

利潤分布列為,

X-11

23

p

55

23

因此EX=-lx—+lx—=0.2

55

練習L某人寵愛玩有三個關卡的通關嬉戲，依據(jù)他的嬉戲閱歷，每次開啟一個新的嬉戲,

這三個關卡他能夠通關的概率分別為工」,工（這個嬉戲的嬉戲規(guī)則是：假如玩者沒有通過

234

上一個關卡，他照樣可以玩下一個關卡，但玩該嬉戲的得分會有影響），則此人在開啟一個

這種新的嬉戲時，他能夠通過兩個關卡的概率為,設X表示他能夠通過此嬉戲

的關卡的個數(shù)，則隨機變量X的數(shù)學期望為—

113

【答案】--.

412

【解析】隨機變量X的全部可能取值為踵21

又P（X=2）=（1—；111111

X—X—+—XX-----1-----X—X

3424234

p（x=i）=；xyT+Lxmx/：xK，

八

P（X=3）=—1x—1x—1=—1.

'723424

所以，隨機變量X的分布列為

X0123

j_11￡1

P

424424

隨機變量X的數(shù)學期望E（X）=0x：+lx導2x；+3$*.

練習2.一廠家向用戶供應的一箱產(chǎn)品共10件，其中有1件次品.用戶先對產(chǎn)品進行隨機

抽檢以確定是否接受.抽檢規(guī)則如下：至多抽檢3次，每次抽檢一件產(chǎn)品（抽檢后不放回），

只要檢驗到次品就停止接著抽檢，并拒收這箱產(chǎn)品；若3次都沒有檢驗到次品，則接受這箱

產(chǎn)品，按上述規(guī)則，該用戶抽檢次數(shù)的數(shù)學期望是.

27

【答案】—

10

【解析】依據(jù)題意用戶抽檢次數(shù)的可能取值為1，2,3|,那么可知

（），（）

PJ=1=:PJ=2=