2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)檢測(cè)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（提升篇）

專題檢測(cè)一（分值：150分）

?學(xué)生用書P147

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（2024北京平谷模擬）下列函數(shù)中,在區(qū)間（0,+oo）內(nèi)單調(diào)遞減的是（）

A，Xx）=-logixB.y（x）=-|x-l|

2

C.f（x）=2'xD.fix）=-x1-^x

答案C

解析函數(shù)fix）=-iogix在區(qū)間（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞增,A不符合題意；

2

函數(shù)4工）=巾-1|=｛［；1［j1'在（0,1］上單調(diào)遞增,B不符合題意;

函數(shù)於）=2"在（0,+oo）內(nèi)單調(diào)遞減,C符合題意；

函數(shù)4x）=4+x在［0,|上單調(diào)遞增,D不符合題意.故選C.

2.（2024北京東城一模）設(shè)函數(shù)加）=2+1,則)

A〃)+膜)=2B￡x)/，i=2

C?/(i)=2D?=2^(i)

答案A

-1

解析函數(shù)人?=嬴+1的定義域?yàn)?0,1)U(l,+00),

11111

對(duì)于A?+/(-)=-ll=-+京+2=2,故A正確；

人lll?V++]n+111>A>ILL人

對(duì)于B於)拮)=2+1-：1=9—；=4故B錯(cuò)誤；

“八％InxInx-InxInx

x

i11

對(duì)于C,D,當(dāng);c=e時(shí)於)甘+1=2/(辦U+l=0,故C,D錯(cuò)誤.

故選A.

nx+2~xx<3

3.(2024江蘇南通二模)已知函數(shù)加)=門與％>'3—'則川og29)=()

答案B

一（2X+2-x,x<3,1,。1110

lo23

解析|?久>3由于log29>3惻Xlogz9）=A-log29）=#log23）=2g+尹萌=3+百=y.

故選B.

4.（2024重慶南開中學(xué)模擬）已知函數(shù)式x）的部分圖象如圖所示，則式x）的解析式可能是（）

A.y（x）=xsin2xB=萍于

2X-12X-1

Cj（x）=^qycos尤D<x）=^psinx

答案C

解析由圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知9x）是奇函數(shù),而選項(xiàng)A中y（x）=xsin2x,定義域?yàn)镽,且_/（-x）=（-x>sin（-

2x）=xsin2%力（%），因此/（%）是偶函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;選項(xiàng)D中十%）二左五，sin無定義域?yàn)镽,且月-

是奇函數(shù),又由圖象可知函數(shù)在y軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)xo>l,且0<配-1<1,但對(duì)于選項(xiàng)

B次x）=黃提,配=兀畫-1=兀-1>1,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C於）二卷g-cosx的=緊0-1=/1<1,故C選項(xiàng)

正確，故選C.

5.（2024廣東佛山二模）若函數(shù)段）=alnx+g+攝（存0）既有極大值也有極小值，則下列結(jié)論一定正確的

是（）

A.a<0B力<0

C.ab>-1D.Q+0>0

答案B

解析函數(shù)加）的定義域?yàn)椋?,+oo）政）=?-^-||=竺43,

又函數(shù)段）既有極大值也有極小值，所以函數(shù)下⑴在（0,+00）上有兩個(gè)零點(diǎn)，

由〃邦，所以關(guān)于％的方程ax2-4x-2Z?=0有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根孫孫

〃=（-4）2-4a（-2h）>0,

4

+%2=->0,

X1X2一丁>°，

即。/7>-2,〃>0力<0.故選B.

12

6.（2024遼寧一模）設(shè)〃=7觸=2-啟0="3則（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

答案B

解析對(duì)于函數(shù)危尸e，-x-l7(x)=eM,令/(x)<0,得x<0,令人x)>0,得x>0,

所以函數(shù)加0在(-8,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，所以y(X)min=/(0)=0,則/^)>0,即e^>X+l.所以

6=2-圭2-[1+1)=^,c=l-e^<l-\-|+1)=|.

211221I1_2、1

由e2<8,得e3<83=2,所以03<-yJ'Jl+e-3=l+-^>27=口〉e3,

e3e3

21

所以l-e?<2-e3即c<b.所以c<6<a故選B.

7.(2024北京海淀一模)函數(shù)式x)是定義在(-4,4)內(nèi)的偶函數(shù)，其圖象如圖所示<3)=0.設(shè)/(x)是式x)的導(dǎo)

函數(shù),則關(guān)于x的不等式式x+l)：/V)K)的解集是()

爭(zhēng)

A.[0,2]B.[-3,0]U[3,4)

C.(-5,0]U[2,4)D.(-4,0JU[2,3)

答案D

解析由式3)=0,且兀r)為偶函數(shù)，故於3)=0,

由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合題圖可得當(dāng)xG(-4,0)時(shí)/(x)<0,

當(dāng)xd(0,4)時(shí)/(x)>0/(0)=0,

則由/(x+l)/(x)對(duì),有｛：：：：；<生

解得-4<x<3.

亦可得保UI"或篇SI：或加+1)=。，或….

由憂可喘或13或仁二「唧233.

由朦可得『渡二廠3,

即-4<x<0,由y(x+l)=0,可得尤+1=±3,即x=2或x=-4(舍去，不在定義域內(nèi))，由人工)=0,可得x=0.

綜上所述，關(guān)于x的不等式式x+l)/U)K)的解集為(-4,0]U[2,3).故選D.

8.(2024青海一模)我們把函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之積稱為該點(diǎn)的“積值”.設(shè)函數(shù)

4無)=卜￥；6萬14°，圖象上存在不同的三點(diǎn)A,B,C,其橫坐標(biāo)從左到右依次為孔尤2,孫且其縱坐標(biāo)

(e-_1,久>u

均相等，則48,C三點(diǎn)“積值”之和的最大值為()

A.51n6-30B.51n6-60

C.61n5-30D.61n5-60

答案A

解析依題意三點(diǎn)“積值”之和為(X1+%2+X3)y,y守E)可(%2)寸工3),

因?yàn)榘?)=卜：]?:°’可得兀0在Gs,-3)和(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，在(-3,0)內(nèi)單調(diào)遞減,

當(dāng)X1—8時(shí)次X)--8次-3)=14次-6)寸⑼=5;

當(dāng)Xr+00時(shí)次X)T+8,可畫出函數(shù)“X)的大致圖象如圖.

且有為<%2<孫使得?xi)習(xí)(%2)習(xí)(工3),那么必有xi[-6,-3),X2(-3,0],%3e[In6,In15),

且X1,X2關(guān)于x=-3對(duì)稱，即％1+X2=-64守8)寸(%2)=4%3),丁￡[5,14),

xi=-3-J14-y,X2=-3+J14-y/3=ln(l+y),

貝》A,B,C三點(diǎn)“積值”之和(%1+%2+%3));二貝11(1+丁)-6乂

令98)=yln(l+》)-6乂夕。)二.+了)"；：：)-"",々/z(y)=(l+y)ln(l+y)-5y-6〃h'(y)=ln(1+y)+1-5=ln(1+y)-4,

顯然"⑼在[5/4)內(nèi)單調(diào)遞增,/z0)<ln15-4<0,所以〃任)在[5,14)內(nèi)單調(diào)遞減,%0%^=61口6-31<0,所以

g)<0,所以9。)<0,夕白)在[5,14)內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)尸5時(shí)取最大值"(5)=51n6-30,故選A.

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.(2024湖南岳陽二模)已知函數(shù)段)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x,yGR都有2/(燮J(號(hào)i=#x)優(yōu)V),且

則下列說法正確的是()

B3(X+2)為奇函數(shù)

C於)十2田=0

D./l)+/(2)+A3)+...+A2025)-1

答案BCD

解析令x=y=l,則?1爪0)=/⑴t/U)=4：l),所以的)=1，

令*=_12=1,則次o*i)y-i)Mi)=w所以長(zhǎng)1)/1)=一1,故A錯(cuò)誤;

要證小+段為奇函數(shù),只需證尤+與仇%)=0,即危)"1.)=0,

“1、

令x=l,y=O則嗚心1寸⑴"0)=0,所以1=0,

令y=l-x,則加等)守3t/U-x)=0,故B正確；

令y=-x,則"：0求x)=Ax)t/(-x)="(x),所以犬x)=A-x),所以式x)為偶函數(shù)，由B可知<1.)=/>),所以--

尤)=/>)=次-尤),則有式2-*)=次1.)=;0:),故C正確；

由C可知式2-x)=/(x),又<X)為偶函數(shù),所以人2-x)=A-尤)，則危)的周期為2<1)=-1次2)=穴0)=1,所以

XD+/(2)+/(3)+...+/(2025)=1012x0-1=4,故D正確.故選BCD.

10.(2024河南開封二模)高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函

數(shù)為為0=田，田表示不超過x的最大整數(shù)，例如[-3.5]=-4,[2.1]=2.下列命題中正確的有()

A.3x^R^(x)=x-l

B.Vx￡R,n￡Z/(x+ri)=j(x)+n

C.V.x-,y>0/lgx)+/(lg>)=/(坨(孫))

D.3neN*/lg1)+Alg2)+/(lg3)+…t/(lg力=92

答案BD

解析對(duì)于A,當(dāng)xdZ時(shí)<x)=x，當(dāng)遇Z時(shí)<x)dZ,而x-HZ,

因此y(x)wx-1,A錯(cuò)誤；

對(duì)于15,\/苫6艮〃￡2,令式了)=7〃,則m<x<m+l,m+n<x+n<m+n+],

因itfix+ri)=m+n=j[x)+/z,B正確；

對(duì)于C,取尤=]=2,0<lg2<1,則/(lg|I=-l/lg2)=0/iIgiix2))=/(0)=0,

顯然大嗎)+Hg2)切l(wèi)g(Q)),C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,〃￡N*，當(dāng)l<n<9時(shí)<3〃)=0,當(dāng)10<n<99時(shí)次lg〃)=1,而/(lg100)=2,因此y(lgl)+/(lg2)+/(lg

3)+…"lg99)+/(lg100)=92,此時(shí)n=100,D正確.故選BD.

11.(2024海南?？谀M)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為八尤)，且母區(qū)位功=%<0)=-；,則()

A.A-l)>-2

B/1)>-1

C7(x)在(-oo,0)內(nèi)單調(diào)遞減

D./U)在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增

答案ABD

解析令g(x)=e27(x),可得g\x)=e2'[2/(x)+/(x)],因?yàn)??^(勸=%，所以g'^-e^x,當(dāng)x>0時(shí),g'(x)>0,g(x)

單調(diào)遞增;當(dāng)尤<0時(shí),gQ)<0,g(x)單調(diào)遞減，又因?yàn)閄0)=彳所以g(0)=e°/(0)=N，由g(-l)>g(0),即e2fi-

1111

1)>-7可得犬-1)>-共2>-2,所以A正確;又由g(l)>g(0),即e叭1)>-了,可得式所以B正確;因?yàn)?/p>

4444e“

g(x)=e%x),可得危尸警，可得戊0=如譽(yù)㈤，設(shè)/i(x)=g'(x)-2g(x),可得/z'(x)=(xe")'-2xe"=e2>0,所以

函數(shù)/z(x)為單調(diào)遞增函數(shù),又因?yàn)?z(0)=g'(0)-2g(0)=-2e°/(0)>0,所以/(x)>0,所以於)在(0,+8)上單調(diào)遞

增，所以D正確.故選ABD.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.(2024山西朔州一模)已知］=詈?sinx是偶函數(shù)，貝!Ja=.

答案0

解析由題意可得4-A2#),即葉-2且*2,則函數(shù)於)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱尸二士gsin(-

4-(-%)

x)=fix)=^^-sinx,^P^^-sinx=^^-sinxMX-〃=X+Q,即a=0.

13.(2024陜西安康模擬)已知函數(shù)於)=213-2加冗+皿加￡R),g(x)=-3x2,若關(guān)于x的不等式於)Sg(x)在區(qū)

間［1,+8)上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

答案［5,+8)

解析由題意，知2^3-2如+心-3N,即2x3+3x2<m(2x-1).

因?yàn)椋［l,+s),所以m瑞字在口,+8)上有解，只需相乂竽手，.設(shè)/7(%)=駕孚(后1),得

￡iX~J.\，min^x~±.

._8X3-6X_2x(2x+V3)(2x-V3)八

H.(X)=7=5>U,

(2x-l)z(2x-l)z

所以函數(shù)/l(X)在［l,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，所以/l(X)min=人(1)=5,所以m>5.

所以加的取值范圍是［5,+oo).

14.(2024浙江寧波高三模擬)若對(duì)任意的孫愈口1卻1<%2,皿"LisinX2<a恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小

值為.

答案cos1-sin1

解析因?yàn)閄1<%2J2sm久%2<〃,可得X2sin為-XiSinX2>〃(X1-X2)Q”生+巴>吧這+巴，構(gòu)造函數(shù)

x

%］-%2%1%1%22

g(x)=smr",因?yàn)橛?42,所以g(x)單調(diào)遞減，所以g'(x)wo,所以g'(X)=xc°sx；inx+a)w0,則電疣05X-sinX.

令h(x)=xcosx-sinx,則/z'(x)=-xsinx,因?yàn)閤G口半,所以"(x)=-尤sinx<0,所以/?(x)單調(diào)遞減，所以

/7(x)max=，7(l)=cos1-sin1,則位cos1-sin1,故a的最小值為cos1-sin1.

四'解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

15.(13分)(2024山東煙臺(tái)一模)已如曲線式》)=辦2+?21!1尤+僅0/61{)在x=2處的切線與直線

x+2y+l-Q垂直.

⑴求a的值；

⑵若五x)N0恒成立，求b的取值范圍.

解⑴由于x+2y+l=0的斜率為所以八2)=2,

271

又f(x)=2ax+1故八2)=4。+1-萬=2,解得4=］.

(2)由⑴知0=；,所以〃X)=x+l-2=立％=(x+2)(x?

ZXXX

故當(dāng)x>l時(shí)/(x)>O<x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<%<1時(shí)/(x)<0於)單調(diào)遞減，故當(dāng)x=l時(shí)段)取最小值41)苦+1+仇

要使危巨0恒成立，則人1)苦1+1+以)，解得&>-1Q,

故b的取值范圍為

16.(15分)(2024福建漳州模擬)已知函數(shù)1x)=ae*+x+l.

⑴討論小)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)尤>1時(shí)次x)>ln?+x,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解(1)函數(shù)定義域?yàn)镽,且/(x)=aex+l.

當(dāng)a>0時(shí)/(尤)>0,所以式x)在R上單調(diào)遞增.

當(dāng)a<0時(shí)，令八x)>0,可得令八x)<0,可得x>-ln(-〃),所以?x)在(-8,-ln(-〃))上單調(diào)遞增，在(-ln(-

〃),+oo)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)心0時(shí)次x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時(shí)次X)在(-oo,-ln(-4))上單調(diào)遞增，在(-ln(-q),+oo)上單調(diào)

遞減.

(2)不等式/(x)>lnU+x,即〃?*+%+1>111號(hào)+%所以加3+冗+1>111(冗-1)-111Q+X,因此e%+ln<z+lna+x>ln(x-

D+x-l,即ex+lnfl+x+ln〃>egT)+ln(x-l).

令/z(x)=e，+x,則有/z(x+ln〃)>/z(ln(x-l))對(duì)于%￡(l,+oo)恒成立.

因?yàn)?(x尸e]+l>0,

所以/z(x)在R上單調(diào)遞增，

故只需x+lna>ln(x-l),

即lna>ln(x-l)-x在(1,+8)上恒成立.

-12Y

令網(wǎng)x)=ln(x-l)-x,則少(%)=一；■-仁],令尸3=0,得x=2.

X-lX-1

當(dāng)xG(l,2)時(shí)尸(x)>0,當(dāng)xd(2,+oo)時(shí)尸(x)<0,所以尸(x)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2,+oo)上單調(diào)遞減，所以

F(x)妤⑵=2

因此In。>-2,所以。弓,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(J+00).

-1

17.(15分)(2024湖南益陽模擬)已知函數(shù)段)二加2㈤

(1)若函數(shù)八%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

⑵若〃=2e,證明次x)<xe，+l.

(1)解由已知得了(x^or-lnx-l.因?yàn)樨)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x>0時(shí)〃x)K),即a坐口恒成立.

令優(yōu)0=出產(chǎn)(x>0),則〃(x)=-答,所以當(dāng)04<1時(shí)，砥x)>0,當(dāng)x>l時(shí),/f(x)<0,即/z(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,

在(1,+8)上單調(diào)遞減，因此/l(X)max=%(l)=l,所以位1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是［1,+8).

(2)證明若〃=2e,要證月入)<矍*+1,只需證ex-lnxve1+j即匕*匕*<1!1%+/令*%)=ln工+中:>0),則/(%)二方，

所以當(dāng)0Vx<1時(shí)/(x)<0,當(dāng)x>\時(shí)/(x)>0,所以心)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,+oo)上單調(diào)遞增，則

1

*x)min=*l)=l，所以Inx+^Nl.令9。)=ex-ep〉。),則夕'(x)=e-e\所以當(dāng)0<x<l時(shí),夕'(%)>0,當(dāng)x>l

時(shí)加3<0,所以9a)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，則9(%)max=9(l)=0,所以ex-ex<0.

1

所以ex-er<lnx+-J［x)<xes+1得證.

18.(17分X2024安徽合肥模擬)已知函數(shù)1x)=alnx+x2,其中aeR.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)a=\時(shí),證明十x)Wx2+x-l;

⑶求證:對(duì)任意的wGN*且位2,都有［1+安］?1+玄］…［l+'j<e.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(1)解函數(shù)fix)的定義域?yàn)?0,+oo)/(X)=1+2x=a+；x,

①當(dāng)a>0時(shí)/(x)>0,所以式x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)。<0時(shí)，令/(x)=0,解得產(chǎn)

0<x<

當(dāng)時(shí)/(尤)<。5A%)在(。，j1)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)x>時(shí)/(x)>03A功在(jj,+oo)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)?shù)?時(shí),函數(shù)於)在(0,+8)上單調(diào)遞增;當(dāng)”0時(shí),函數(shù)危)在(0,/1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(J1+oo)上

單調(diào)遞增.

(2)證明當(dāng)時(shí)次x)=lnx+x2,要證明加產(chǎn)了2+冗_(dá)］,即證inxSx-1,即證lnx-x+130.設(shè)g(x)=lnx-x+l,則

g'(x)=/令g")=0,得尤=1.當(dāng)xd(0,l)時(shí),gQ)>O,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xd(l,+oo)時(shí),g<x)<O,g(x)單調(diào)遞減.

所以g(x)在冗=1處取得極大值，且極大值為最大值，所以g(x)Sg(l)=0和1nx-x+lS0.y(%)Sx2+x_i得證.

(3)證明由(2)ln它/1(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立)，令工=1+/,則1n(1+/)</，所以

?八1、