2025年高考數(shù)學一輪復習專練：拓展之基本不等式（原卷版）

第06講：拓展一：基本不等式

目錄

法

方

一直接法...........................................3

法

方

二湊配法...........................................3

法

方

三分離法...........................................4

法

方

四

法

方

五

法常數(shù)代換的代換..............................

方

六“1”5

法

七

方消元法...........................................7

對鉤函數(shù).........................................7

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）

①如果a>0,b>0,，萬〈竺也，當且僅當a=b時，等號成立.

2

②其中J法叫做正數(shù)。，。的幾何平均數(shù)；號叫做正數(shù)。，。的算數(shù)平均數(shù).

2、兩個重要的不等式

①々2+〃22"（a,bwR）當且僅當a=沙時，等號成立.

②abW（彳Y（a,beR）當且僅當a=b時，等號成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知x,y是正數(shù)，如果積孫等于定值尸，那么當且僅當x=y時，和x+y有最小

值2/；

②已知x,y是正數(shù)，如果和x+y等于定值s,那么當且僅當％=丁時，積孫有最大

值2；

4

4、對鉤函數(shù)：

b

對鉤函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù),是形如：/（x）=奴+—（a>0力>0）

x

的函數(shù).由圖象得名，又被稱為：“雙勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”、“耐克函數(shù)''等.

b?？紝︺^函

/(x)=ax+—(a>0,b>0)/(x)=x+—(〃>0)

函數(shù)X數(shù)X

定義域(—8,0)U(0,+8)定義域S,o)U(o,y)

值域(-GO,-2A/^F]U[2y[ab,+8)值域(f,—2]U[2,y)

奇偶性奇函數(shù)奇偶性奇函數(shù)

%）=Q%+一在/（犬）=%+'在（_8,—6）,

單調(diào)性X單調(diào)性X

（一雙一、p），（P，+8）上單（、份,+8）上單調(diào)遞增；在

VaVa

（-J7,0）,（0,6）單調(diào)遞減

調(diào)遞增;在（―J2,o）,（0*）

VaVa

單調(diào)遞減

5、常用技巧

利用基本不等式求最值的變形技巧—湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低

于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.

①湊：湊項，例：xd——--=x-a-\——-——\-a>2+a=3（x>aI;

x-ax-a

湊系數(shù)，例：x（l-2x）=~2x（l-2x）<~[2X+^2X^=1[0<x<5］；

G+匚/ri冗2%之—4+4-44.

②拆：例：----=---------=X+2H----------x-2-\------1-4>：2〃+4=8（X〉2）；

x—2x—2x—2x—3

2x2

③除：例：工1"〉0）；

XH--

X

④1的代入：例：已知。>0力>0,。+匕=1,求工+工的最小值.

ab

解析：—I——（—1—）3+Z?）=2-1--1—N4.

ababab

⑤整體解：例：已知。，。是正數(shù)，且〃b=Q+b+3,求a+Z?的最小值.

解析：?a+b+3,即，a+?2—（“+3—3?0,解得

a+b>6（^a+b<-2舍去）.

基本不等式高頻考點方法

方法一：直接法

典型例題

例題1.（2024上,山西長治?高一校聯(lián)考期末）當XW0時，爐+4的最小值為（）

X

A.gB.1C.2D.2A/2

例題2.（2024上?陜西商洛?高一統(tǒng)考期末）若正數(shù)x,y滿足肛=100,則x+y的最小值

是（）

A.10B.20C.100D.200

練透核心考點

1.（2024上?湖南長沙?高一?？计谀┤粲?gt;0,則x+工的最小值為（）

X

L3

A.—2B.—2^2C.——D.2

2.（2024上?貴州六盤水?高一統(tǒng)考期末）已知a>0力>0,々+b=3,則次?的最大值為.

方法二：湊配法

典型例題

4

例題1.（2024下?河南?高三校聯(lián)考開學考試）已知。>0力>。，則a+2b+一丁7的最小

a+2b+l

值為（）

A.6B.5C.4D.3

例題2.（2024上?黑龍江哈爾濱?高一統(tǒng)考期末）已知實數(shù)x>l,則2-尤-一、■的（）

X-1

A.最小值為1B.最大值為1C.最小值為-1D.最大值為-1

g

例題3.（2024上?江蘇南通?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)〃司=4工+—1,的最小值

為（）

A.6B.8C.10D.12

練透核心考點

1.（2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末）已知了＞1,則x+丁二的最小值為__________

22元-1

9

2.（2024上?福建莆田?高一莆田一中校考期末）已知x＞2,則x+—^的最小值為____.

x-2

3.（2024上?福建寧德?高一統(tǒng)考期末）Vxe（2,+oo）,無+」—＞加+3〃?恒成立，則實數(shù)加

x-2

的取值范圍是.

方法三：分離法

典型例題

例題1.（2024?全國?高三專題練習）函數(shù)4'+川16/+1

的最大值是（）

八）一4f+l

753

A.2B.一C.一D.-

444

例題2.（2024?全國?高三專題練習）函數(shù)［=一+尤+3口＞2）的最小值為

x—2

練透核心考點

函數(shù)?。?二+（—0）的最小值是（）

1.（2023?全國一*專題練習）X3

A.-1B.3C.6D.12

2x2+x+3

2.（2024?全國?高三專題練習）函數(shù)/(%)=（x＜0）的最大值為.

x

方法四：換元法

典型例題

例題1.（2023?全國?高一專題練習）函數(shù)y=±±±允（尤＞2）的最小值為_____

x—2

例題2.（2023?全國?高三專題練習）求下列函數(shù)的最小值

%2+X+1

(1)y=(%>0)；

X

x2+2x+6

(2)

y二(x>1).

x-1

練透核心考點

1.（2023上?江西南昌?高一南昌二中?？茧A段練習）求函數(shù)y=、（x>-1）的最小

值.

2.（2023?全國,高一專題練習）求下列函數(shù)的最小值

X2+X+1/

⑴y=--------(x>0)；

x

尸舄…；

(2)

x2+2x+6.八

(3)y=--------：-(%〉］).

X-1

方法五：常數(shù)代換“1”的代換

典型例題

31

例題1.（2024上?浙江杭州,高一浙江省杭州第二中學?？计谀┮阎獂>0,y>0,且一+—=1,

%y

JQ

則2x+y+一的最小值為（）

y

A.9B.10C.12D.13

例題2.（多選）（2024下?吉林通化?高三梅河口市第五中學校考開學考試）已知，>04>0,

若a+26=l,貝U()

,71

A.a+b>一B.a+b<l

2

c-仍的最大值為:D.女2+；1的最小值為8

ab

例題3.（2024下?全國?高一專題練習）如圖所示，在AABC中，點。為8C邊上一點，且

BD^lDC，過點。的直線E尸與直線AB相交于E點，與直線AC相交于下點（E,F交

兩點不重合）.右AD=wiAB+〃AC，則fli"=,^AE=AAB,AF=juAC,貝IJ2+〃的

最小值為.

練透核心考點

1.（多選）（2024下?湖北?高一湖北省漢川市第一高級中學校聯(lián)考開學考試）已知正實數(shù)%

>滿足x+2y=l,則()

1

A.xy<-B.Vx+72^-^2C.y+2x>9xyD.x2+y2<}

8

2.（多選）（2024上?云南昭通?高一昭通市第一中學校聯(lián)考期末）若相>0,H>0,且機+2〃=1,

則（

1

A.mn<—B.y[m+y/2n>\/2

8

C.以9D.m2+4n2<—

mn2

41

3.（2024上?江西?高一校聯(lián)考期末）若存在正實數(shù)％，V滿足一+—=1,且使不等式

y%

T<43〃7有解，則實數(shù)機的取值范圍是

方法六：消元法

典型例題

例題1.（2024上?安徽亳州?高一亳州二中?？计谀┮阎?gt;0?>0,2》+，=沖，貝|2x+y

的最小值為（）

A.8B.4C.80D.4加

41

例題2.（2024上?四川眉山?高一統(tǒng)考期末）己知a>0,b>0,且。+4=。匕，則一+；—的

ab-1

最小值為.

練透核心考點

1.（2024上?安徽蕪湖?高一統(tǒng)考期末）若實數(shù)%，滿足孫=1,則Y+2J的最小值為（）

A.1B.72C.2D.2-72

2.（2023上?廣東東莞?高一統(tǒng)考期末）若無>0、y>0,M-+y=l,則上的最大值

XX

為.

方法七：對鉤函數(shù)

典型例題

例題1.（2022上?全國?高一校聯(lián)考階段練習）函數(shù)>=尤+,（%22）的最小值為（）

X

57

A.2B.-