2025年高考數(shù)學專項復習：平面向量-解析版

專題03平面向量

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計

平面向量的線性運算2022?新高考I卷，3

高考對平面向量的考查，一^殳為平面向

2023?新高考I卷,3

量基本定理、坐標運算、平面向量數(shù)量平面向量垂直的坐標運算

2024?新高考I卷，3

積的運算、化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用

平面向量夾角的坐標運算2022?新高考II卷，4

問題，如平行、垂直、距離、夾角等問

2023?新高考n卷，13

題的計算，難度一般不高。平面向量數(shù)量積的綜合運算

2024?新高考II卷，3

’2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷和n卷都考查到了平面向量的垂直運算，n卷還結(jié)合了數(shù)量積的綜合運算。總體上

來說，平面向量知識點的考查難度依舊是較易的，掌握基本的知識點和擁有基本的運算能力即可。平面向

量考查應(yīng)關(guān)注：平面向量基本定理、向量的坐標運算、向量數(shù)量積、向量平行與垂直、向量模等知識點，

體會數(shù)形結(jié)合思想，強化運算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸能力。預計2025年高考還是主要考查向量的數(shù)量積運算、

向量的夾角、向量的模。

試題精講

一、單選題

1.(2024新高考I卷-3)已知向量1=(0,1)石=(2,X),若必甸,則尤=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可求x的值.

【詳解】因為必(鼠甸，所以",-甸=0,

所以12_41芯=0即4+--4X=0,故X=2,

故選：D.

2.(2024新高考II卷-3)已知向量2花滿足問=1巾+24=2,且倒-2Z)_L5,則忖=()

A.|B.—C.—D.1

222

【答案】B

【分析】由0-2可力得看=2屋g，結(jié)合同=申+2+2,得i+元.坂+店=1+67=4,由此即可得解.

【詳解】因為但-2可耳，所以(加-2°”=0,即片=27石,

又因為忖=1,|。+2*2,

所以1+4H+47=1+6尸=4>

從而w=q.

故選：B.

近年真題精選

一、單選題

1.(2022新高考I卷-3)在“8C中，點。在邊N2上，BD=2DA.記而=而，而=方，則而=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出.

【詳解】因為點D在邊AB上，BD=2DA,所以詼=2E，即麗-Q=2(B-而)，

所以赤=3函一2否=312而=-2玩+3加.

故選：B.

2.(2023新高考I卷3)已知向量￡=。,1)花=(1,-1),若夕+碼斗+悶,則()

A.4+〃=1B./1+//=-1

C.M=1D.=一1

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出3+與，2+而，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出.

【詳解】因為。=(1,1)花=(1,一1),所以a+與=(1+41-4),。+癡=(1+〃,1一〃)，

由(a+&)_L(a+可得，(〃+刀)(〃+=0,

即(1+4)(1+〃)+(1_冷(1_〃)=0,整理得:"/=-1.

故選：D.

3.(2022新IWJ考n卷?4)已知向量〃=(3,4)1=(l,0),c=〃+4，若<a,c>=<瓦c>,則，=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】c

【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得

【詳解】解：3=（3+訓,儂伍3〉=3他可,即^^=百,解得/=5,

故選：C

二、填空題

1.（2023新高考II卷T3）已知向量G,B滿足忖一4=G,歸+可=怩-可，則問=.

【答案】V3

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令1=萬-3,結(jié)合數(shù)量積的運算

律運算求解.

【詳解】法一：因為口+可=忻-可，即,+盯=儂-盯，

貝Ua+2a-b+b=4a—4a-b+b?整理得/-2屋3=0，

又因為歸_可=5即卜-盯=3,

則/一2二族+片=/=3,所以W=6.

法二：^.c=a-b>貝?。〩=/,a+^=c+2不,2a-各=2c+兀

由題意可得：（。+2否）=（2°+否）,則—+41.石+4卞=412+4之.3+1~,

整理得：了=片，即同=口=e.

故答案為：V3.

必備知識速記

一、向量的線性運算和向量共線定理

C1）向量的線性運算

運算定義法則（或幾何意義）運算律

二一①交換律

求兩個向量和的a+b=b+a

加法

運算aa②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=a+(b+c)

求G與B的相反

向量的和的

減法a-b=3+(-B)

運算叫做萬與Ba

的差三角形法則

(1)|旗|=|刈方|

2(//5)=(2//)3

求實數(shù)4與向量(2)當2〉0時，/IN與方的方向相同；當

數(shù)乘(4+jLi)a=45+〃方

a的積的運算幾＜0時，2a與G的方向相同；

A(a+b)=2a+2b

當4=0時，25=0

二、平面向量基本定理和性質(zhì)

1、共線向量基本定理

如果2=4(/leR),貝iU/區(qū)；反之，如果3/區(qū)且3*6,則一定存在唯一的實數(shù)X,使@=加(口訣:

數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘).

2、平面向量基本定理

如果自和［是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量3,都存在唯一的一對實數(shù)

4,4，使得)=40+^e2，我們把不共線向量6,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為｛-e?｝,

\ex+^e2叫做向量值關(guān)于基底,0｝的分解式.

3、線段定比分點的向量表達式

如圖所示，在△/5C中，若點。是邊5C上的點，&BD=ADC(4w-1)，則向量"在

1+幾

向量線性表示(運算)有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌

握.

平面內(nèi)三點B,C共線的充要條件是：存在實數(shù)4〃，使反=20+〃礪，其中2+〃=1,O為平面

內(nèi)一點.此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

/、B、C三點共線

o存在唯一的實數(shù)彳，使得就=彳刀；

。存在唯一的實數(shù)X,使得無=厲+幾方;

O存在唯一的實數(shù)X,使得方=(1-⑷厲+彳礪；

=存在2+〃=1,使得云=疝+〃礪.

5、中線向量定理

如圖所示，在△/BC中，若點。溟邊8c的中點，則中線向量近=；(次+X),反之亦正確.

三、平面向量的坐標表示及坐標運算

(1)平面向量的坐標表示.

在平面直角坐標中，分別取與'軸，y軸正半軸方向相同的兩個單位向量7作為基底，那么由平面向量基

本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量值，有且只有一對實數(shù)xj使2=后+引，我們把有序?qū)崝?shù)對(xj)叫做

向量彳的坐標，記作a=(x,y).

(2)向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是---對應(yīng)的，即有

向量(X/)、一對應(yīng)、向量OA、一對應(yīng):、點A(x,y).

(3)設(shè)萬=(再b=(x2,y2),則〃+石=(玉+%2,%+%)，a-b=(xx-x2,yl-y2),即兩個向量的和與差

的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差.

若N=(x,y),幾為實數(shù)，則然=(Ax,4y),即實數(shù)與向量的積的坐標，等于用該實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐

標.

(4)設(shè)4(演,必)，B(x2,y2),則45=05-。4=(%1-%2,必一歹2)，即一個向量的坐標等于該向量的有向線段

的終點的坐標減去始點坐標.

(5)平面向量的直角坐標運算

①已知點4(石，必)，B(X2,y2),則45=(工2-石，外-必)，|/箕|=J(>2—再了+>

②已知5=(和乂)，b=(x2,y2),貝!J1±B=(再±x2,yx±y2)，42=，

5

晨b=x{x2+必%'ll=舊+..

a//b<=>xxy2-x2yx=0,GJ_Boxxx2+yxy2=0

(5)/、P、5三點共線O麗=(1一。刀+￡礪?￡氏)，這是直線的向量式方程.

四、數(shù)量積的坐標運算

已知非零向量。=(再，必)，b=(x2,y2),6為向量〃、》的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標表示

模a\=yjaa|a|=Jx+y

數(shù)量積a'b=\a\\b\cos0ab=x1x2+yxy2

cosd=acos*,〃+產(chǎn)

夾角

〃的充要

ab=0xxx2+yxy2=0

條件

a〃辦的充要

a—%從w0)再%-x?必=0

條件

?川與|。||加|?-*|<|a||*|（當且僅

1天也+乂％氏舊+y；小;+y；

的關(guān)系當"〃Z>時等號成立）

【平面向量常用結(jié)論】

（1）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負、可為零，且孱石國磯店I.

（2）非零向量夾角為銳角（或鈍角）.當且僅當心3>0且）/4（彳>0）（或。石<0,且3H%（2<0））

（3）B在萬上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負，也可以等于0.

（4）數(shù)量積的運算要注意2=0時，a-b-0,但3?5=0時不能得至U3=6或5=0,因為時，也有

a-b=0.

（5）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：115AM，cose=&=萬/二。等，所以平面向量數(shù)量積

\a\\b\

可以用來解決有關(guān)長度、角度、垂直的問題.

一、單選題

1.2024?廣東深圳?三模）已知向量耳，耳是平面上兩個不共線的單位向量，且方=不+2當，灰?=-3耳+2瓦,

刀=3瓦-6瓦，則（）

A.A、B、C三點共線B.A、B、。三點共線

C.A、C、。三點共線D.B、C、。三點共線

【答案】C

【分析】根據(jù)向量共線則a=泥（XeR）判斷即可.

【詳解】對A,因為方=可+22，前=-3瓦+2瓦，不存在實數(shù)4使得方=4數(shù)，故A、B、C三點不共

線，故A錯誤；

對B,因為48=4+2瓦，DA=3^-6^,不存在實數(shù)幾使得9=九初i,故A、B、。三點不共線，故B

錯誤；

對C,因為就=在+就=-2耳+4卷,方3=3瓦-6瓦，貝！|%=-g方3,故A、C、。三點共線，故C正

確；

對D,因為灰~BD=-DA-AB=53=-3e,+6e2-e,-2e2=-4e,+4e2,不存在實數(shù)彳使得

BC=ABD,故8、C、。三點不共線，故D錯誤.

故選：C

2.(2024?廣西?三模)已知向量3=(-1,3)石，B,那么向量B可以是()

A.(1,3)B.1一1,￡|C.(3,-1)D.(3,1)

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標表示即可求解.

【詳解】對于A,因為(-1,3)-(1,3)=-1+9=8力0,所以萬萬不垂直，故A錯誤；

對于B,因為(-1,3)11,\=1+1=2*0,所以落B不垂直，故B錯誤；

對于C,因為(-1,3).(3,-1)=-3-3=-630,所以不垂直，故C錯誤；

對于D,因為(-1,3)-(3,1)=-3+3=0,所以故D正確.

故選：D

3.(2024?浙江?三模)已知向量￡=(%/)，3=(也-1),若3力與5垂直，則同等于()

A.V2B.V3C.3D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)3)-否與石垂直，可得(3°-q4=0,即可求出加，再根據(jù)模的坐標公式即可得解.

【詳解】3a-b=(2m,4),

因為3)-B與3垂直，

所以(3【5”=2/_4=0,解得加2=2,

所以'=slm2+1=y/3.

故選：B.

4.(2024?重慶?三模)已知向量3=(3,1),3=(-2,x),若3JLm+B),則仍h()

A.2B.3C.2#)D.

3

【答案】C

【分析】利用已知條件和向量的垂直關(guān)系求出未知量X即可求得B,進而得

【詳解】因為為1+X）,

所以。G+1）=3+（1+X）=0,nx=-4,故3=（-2,-4）,

所以W=J（-2了+（-4）2=26.

故選：C.

5.（2024?北京?三模）若|磯=1,后|=2,（2-而，2,則向量2與B的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】根據(jù)?-3），萬，得伍-5）與=0,結(jié)合數(shù)量積的運算律求出75,再根據(jù)向量的夾角公式即可得解.

【詳解】因為伍所以m-很）方=0,

即/_鼠刃=0,所以1石=/=1，

一[a-b1

所以『6=麗=萬,

又0°《扇74180°,

所以向量萬與3的夾角為60。.

故選：B.

6.（2024?甘肅蘭州?三模）已知向量，=（1,-2）3=（-1,-2）,設(shè)5與3的夾角為夕，貝ijsine=（）

3344

A.——B.-C.——D.-

5555

【答案】D

【分析】用夾角公式計算出余弦值后，再根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可算出正弦值.

【詳解】因為方=（1,一2）3=（-1,一2）,

所以〃%=—3,同

a-b3

所以c°s小麗一，

因為0為日與B的夾角，所以sind=Jl-cos??=g.

故選：D

7.（2024?河北衡水?三模）已知是單位向量，1￡=-；,則，+2■與I的夾角為（）

71712兀

A.B.一C—D.

64,3T

【答案】A

【分析】先計算向量1+2屆的模，再計算1+2］與I的數(shù)量積，進而可得夾角的余弦值，可得答案.

【詳解】(q+24)=e：+4弓?4+4才=1-2+4=3,故+1+2電卜百.

(,+2,)=q+24=—'+2=2，設(shè)q+26與4的夾角為8，

則36=上+22)二1="又。目0,兀］,故6.,

k+2ez|.同石26

故選：A.

8.(2024?浙江金華三模)已知同=4,忖=3,歸+*歸-.,則鼠()一到=()

A.-16B.16C.-9D.9

【答案】B

【分析】由已知可得/+2標+片=/-2會+片，可求得菽=0,進而計算可求

【詳解】由|。+,=|。-小兩邊平方可得7+2a￡+片=/一2京Z+7，

所以否.￡=0,所以("刃)=，-。；=42-0=16.

故選：B.

9.(2024?陜西榆林?三模)在A/8C中，E在邊2C上，且后。=382。是邊上任意一點，4E與CD交

于點P,若而=xE3+y而，則3x+4y=()

33

A.-B.——C.3D.-3

44

【答案】C

【分析】利用向量的線性運算，nCP=CE+EP=tCA+［^-^^CB，再利用平面向量基本定理，可得

33

x==9-0，然后就可得到結(jié)果.

44

【詳解】尸、E三點共線,設(shè)麗=畫0</<1),

貝!］岳=屋+而=1屈+必=\在+/叵_：可=總+］；_；］屈，

__kk_33

又?.?CP=xCA+yCB,所以％=￡/=:一:/,即3x+4y=3.

44

故選：C.

10.(2024?江蘇蘇州?三模)已知|1-彼|=|2)-B|=2,且2,-B在方方向上的投影向量為單位向量，貝1出|=

A.4B.2A/3C.4A/3D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，分別將|2"昨2與**2平方，然后作差可得3q=2/，再由條件可得

【詳解】由題意可得|23一印=2,所以（21日=4,即一4a%+/=4,

所以4忖-40%+忖=4①，

因為+2,所以R—可2=4,即/一273+片=4，

所以，|+=4②，

①-②可得3問2=22%,即￡%=羽2

又加-不在行方向上的投影向量為單位向量，

貝！|鼠族=342=6,代入②中可得4一2x6+p1=4,解得忖=26.

故選：B

11.。024?山西呂梁三模）已知等邊^(qū)ABC的邊長為1,點。,￡分別為“風加的中點，若麗=3而，則赤=

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

D.-AB+-AC

22

【答案】B

【分析】?。?，在｝為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.

【詳解】在“8C中，取｛就，下｝為基底，

A

則困=網(wǎng)=2,再，現(xiàn)=60°,

因為點￡>,￡分別為8c的中點，DF=3EF,

所以訪」歷」旅，

24

所以#=方+麗=；（而+碼+：元=g方+

故選：B.

12.（2023?黑龍江佳木斯?三模）已知非零向量I,B滿足（2@+3），（2）-彼），且向量7在向量B上的投影

向量是則3與B的夾角是（）

4

71c兀一兀c5兀

A.-B.-C.—D.——

6326

【答案】A

【分析】根據(jù)儂+6）乂2々-B）,可得（2G+孫（23-與=0,結(jié)合數(shù)量積的運算律可得。雨的關(guān)系，再根

據(jù)投影向量的公式即可得解.

【詳解】因為（20+山（2叫,

所以（23+孫（2力）=4/-7=0,

所以忖=2同,

因為向量］在向量B上的投影向量是立B,

即;cos點,，所以cos（a1）=V，

又因為?,書”［0,兀］,

所以3與B的夾角是J.

6

故選：A.

13.(2024?四川眉山?三模)已知向量萬五5滿足同=|可=1,同=6,且N+B+5=0，貝IJCOSR-33-，二

()

133637313

A.—B.2C.一二巳D.——

14141414

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律求出京石、a-c.be,即可求出伍-沙但-q、|?-c|,^-c\,再根據(jù)夾

角公式計算可得.

【詳解】由題意得3+否=_3,貝!|0+分)2=了2有E+2展B+E=(G)2,解得)石=；,

又由萬+5=-3,則(,+?)2=必有『+2,.己+(g)2=]2,解得].1=一5，

一3

同理可得6七=-5，

所以伍一司?伍―1)=小3―小1_3?1+12=￡,

\a-c\=>]a2-2a-c+c2=V7,

^b-c\=^b2-2b-c+c2=V7,

(fl-c)-(g-c)y_13

所以cos(,-乙

|5-c|.|^-c|一汨x汨一14

故選：A

二、多選題

14.(2024?安徽?三模)已知向量3=(1,2),3/=(3,1),則()

A.b=(-2,1)B.a//b

C.a±bD.)/在Z上的投影向量為Z

【答案】ACD

【分析】由向量的線性運算、平行以及垂直的坐標表示可判斷ABC,由投影向量的定義可判斷D.

【詳解】對于A,S=a-p-S)=(l,2)-(3,1)=(-2,1),故A正確;

對于BC,由于lxl-2x(-2)=5w0,lx(-2)+2x(-l)=0,故B錯誤，C正確；

//-?-\―\一（/—一、

\a-b]-a7\a-b\'a-5--

對于D,屋g在?上的投影向量為'?符=~■a^--a=a,故D正確.

IHJHIN,

故選：ACD.

15.（2024?福建廈門三模）已知等邊小8C的邊長為4,點￡>,￡滿足麗=2厲，BE=EC,AE與CD交

于點。，則（）

—.2—?1—?—._.

A.CD=-CA+-CBB.~BO.~BC=^

C.cd=2ODD.\OA+OB+OC\=43

【答案】ABD

【分析】根據(jù)向量的線性運算，向量共享定理的推論，得出。為4E中點，。為CD上靠近點。的四等分點，

對選項進行判斷，得出答案.

【詳解】

A

對于A選項，CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-（CB-CA^=-CA+-CB,故A正確；

對于B選項，因為。8C為等邊三角形，BE=EC,E為中點，所以/EL3C,

所以/0/8C,即而.於=0,所以而友=（詼+亞）及

=S4-5C+IO-5C=&4-5C=|A4||5C|COS60°=4X4X1=8,故B正確；

對于C選項，設(shè)的=4而，

由（1）^CD=-CA+-CB=-CA+-CE,所以。。=望0+彳國，

又。,4石三點共線，所以（+號=1,解得2=；,所以。為。上靠近點。的四等分點，故C錯誤;

—1―?1—13----1—.3

對于D,AE=-AC+-AB=-AC+-AD,設(shè)荏=前，貝!p/O=/C+Y。，

所以+又O,c,。三點共線，所以￡+*=1,解得”2,

2t2t2t2t

所以。為4E中點，所以厲+礪+或=次+（礪+灰）=厲+2無=無=3荏，故D正確，

故選：ABD.

16.（2024?河南?三模）已知平面向量G=（m,加+2）,加ER,B=（3,4）,則下列說法正確的有（）

A.瓦B一定可以作為一個基底

B.|同一定有最小值

C.一定存在一個實數(shù)他使得卜+可加_可

D.或B的夾角的取值范圍是［0,可

【答案】BC

【分析】對A：借助基底的定義與向量共線定理計算即可得；對B：借助模長定義計算即可得；對C：借

助模長與數(shù)量積的關(guān)系計算即可得；對D：找出反例即可得.

【詳解】對A：若1/區(qū)，即4加-3（〃7+2）=0,即加=6,此時不能作基底，故A錯誤；

對B：同=小〃2+（加+2）~=d2ml+4加+4=12（加+1『+32百，

故同有最小值百，故B正確；

對C：^\a+b\=\a-b\,貝情歸+可2=口_12

即|同"+|可+2ab=|a|2+|/）|-2ab,即3彼=0,即3機+4（加+2）=0,

解得加=［,即當加=［時，|萬+可=歸一可，故C正確；

對D：由A知，若方/石，貝！|加=6,即用日只能同向不能反向，

故仇行的夾角不可能為兀，故D錯誤.

故選：BC.

17.（2024?山西?三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是

平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的

蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口凡它的邊長為1,點P是△?？趦?nèi)部（包括邊界）的動點,

則（）

A.DE=AF--AD

2

B.AC-BD=-

4

C.若尸為E尸的中點，則而在反上的投影向量為-由就

D.|厚+而|的最大值為療

【答案】AD

【分析】對于A：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)結(jié)合向量的線性運算求解；對于C：根據(jù)昉結(jié)合投影向量的

定義分析判斷；對于BD：建系，根據(jù)向量的坐標運算求解.

【詳解】對于選項A：因為無=方-歷=萬一（而，故A正確；

對于選項C：由題意可知：CE1EF,

若P為EF的中點，所以屈在反上的投影向量為一反，故C錯誤;

對于選項BD：如圖，建立平面直角坐標系，

可得刀=',4],麗=（0,6）,所以就.麗=；,故B錯誤;

設(shè)P（x,y）,可知一W乎，

故選：AD.

18.（2024?吉林?二模）已知平面向量3,b,c,同=26，問=6,莉=18，且但一己彼一或=60°,則

（）

A.3與B的夾角為30°

B.伍-打,-刁的最大值為5

C.同的最小值為2

1F17

D.=xa+yb（x,yeR）,則+＞的取值范圍

【答案】ACD

【分析】利用平面向量的數(shù)量積公式求解選項A,設(shè)諼=°,OB=b，~0C=c，根據(jù)已知條件求出向量

OA,OB,建立直角坐標系，將他-己)-0-q轉(zhuǎn)化為瓦?赤即可求其最大值；根據(jù)圖形可知點C的軌跡,

利用幾何性質(zhì)即可求出同的最小值；設(shè)出點C的坐標，根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題求

解.

【詳解】對于A,由于同=26，同=6,展彼=18,貝!l2A/^x6xcos〈a1〉=18,

則cos&,母=［，由于向量夾角范圍為大于等于00小于等于180。，

故3與B的夾角為30。，則A正確；

對于B,設(shè)諼―，OB=b，而二，則第=￡4,CB=b-c,

不妨設(shè)況=（26,0）,AAOB=3G°,

由于昨癡-Bp=112-2x18+36=25即/B=26，

故△0/8為等腰三角形，貝!|/B/x=60°,故8(36,3),

因為〈…1d〉=60。,所以〈B,而〉=60。，

則點C在以N3為弦，且使得N/C3=60。的兩個優(yōu)弧上，如圖示：

故C點所在優(yōu)弧所在的圓的直徑為2r=任_=4,則其半徑為r=2,

sin60°

設(shè)該圓的方程為(X-。)2+(y-6)2=4,將43坐標代入,

（273-a）2+Z?2=4

a=2^/3a=3Vs

,解得b=2或

（373-a）'+（3-ft）2=46=1

則兩優(yōu)弧所在圓的圓心為。(26,2),O2(3A/3.1),且兩個圓心關(guān)于直線AB對稱,

設(shè)N8的中點為M,貝=5.而

=(2m)MW=|^_3,

而儀至!］弦AB的距離為d=J/_(與了=J^5=1,

故|右必|的最大值為r+l=3,則由2_3的最大值為6,

即.-3)?-q的最大值為6,則B錯誤；

對于C,同即為|反結(jié)合C點軌跡可知當C在圓Q上的那條優(yōu)弧上運動時,

國會取到最小值，由于。0=J(2道＞+2?=4,

故pq的最小值為4-廠=4-2=2,即同的最小值為2,則C正確；

對于D,結(jié)合以上分析可知之=(2^,0),B=(373,3)，

當C在圓J上的那條優(yōu)弧上時，圓的方程為(尤-2百尸+Q-2＞=4,

設(shè)C(26+2cos6?,2+2sin6>),其中。e[2,g]，

62

貝!I由己=歷+仍(WwR)可得(26+2cos6,2+2sin6)=x(2^/3,0)+J/(3A/3,3)，

6A?Q

x=——cosa-sin”

_1].(八兀2

解得：aBP-^+J=-sml6?+jl+y,

2.2

I33

所以;wgx+yWl,

當C在圓儀上的那條優(yōu)弧上時，圓的方程為(x-3后y+Q-Ip=4,

設(shè)C(3G+2cos4l+2sin0),其中

62

貝！]由3=+歷(x,yeR)可得(3百+2cos仇1+2sin=x(2百,0)+y。6,3),

x=—cos。-sin6+1

11.7l>5

解得：即Hn彳x+P=/sm^+―+—,

2-125\5Jo

I33

1171「17-

所以+綜上所述，—x+＞的取值范圍,則D正確;

22621_36_

故選：ACD.

【點睛】平面向量中的復雜問題，可以坐標化為純代數(shù)運算來求解.

三、填空題

19.(2024?四川?三模)若向量Z=(x,4)與向量「=(l,x)是共線向量,則實數(shù)x=

【答案】±2

【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示，列式計算，即得答案.

【詳解】因為Z與5共線，所以x?x=4xl,解得x=±2.

故答案為：±2

20.（2024?上海三模）已知向量。B滿足間=2,網(wǎng)=3,歸+*4,則鼠不=.

【答案】|3

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律計算即得.

【詳解】由同=2,|可=3,卜+可=4,得m+=片+廬+21.彼=4+9+2屐B=16,

所以小

故答案-為：j3

21.（2024?遼寧沈陽?三模）已知向量扇/滿足同=2,（碗+爐=4,則忸+可=.

【答案】2百

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律得到鉆石+廬=4,再由|23+.=,（23+5）計算可得.

【詳解】因為（41+孫14,所以4IZ+為=4,

又同=2,

所以恢+同=小儂+盯