橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）選擇性必修第一冊

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期秋季課題3.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)目標(biāo)1.讓學(xué)生認(rèn)識橢圓的定義，體會從具體情境中抽象出橢圓的過程，并學(xué)會建立適當(dāng)坐標(biāo)系，利用定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2.讓學(xué)生體會橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的簡單運(yùn)用，能根據(jù)簡單的信息求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：1.橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

2.會用定義法、待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

教學(xué)難點(diǎn)：1.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

2.用橢圓的定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。教學(xué)過程一．引入同學(xué)們，我們今天就進(jìn)入章節(jié)：《圓錐曲線與方程》了。早在公元前4世紀(jì)，古希臘的數(shù)學(xué)家便發(fā)現(xiàn)用平面去截圓錐面，可以得到不同的曲線：用不經(jīng)過點(diǎn)的平面截圓錐面，設(shè)平面與軸所成角為，軸與母線所成角為.當(dāng)時(shí),截線為圓；當(dāng)時(shí)，截線為橢圓；當(dāng)時(shí)，截線為拋物線；當(dāng)時(shí)，截線為雙曲線。古希臘先賢們將它們統(tǒng)稱為圓錐曲線。這節(jié)課，讓我們從橢圓開始，翻開這一數(shù)學(xué)世界中的宏偉篇章。二．橢圓的定義.想研究橢圓，讓我們先回顧一下圓的形成過程。我們知道，將一根定長的細(xì)繩一端固定，則另一端可以畫出一個(gè)圓。類比圓的形成方式，我們能否用類似的方法來形成一個(gè)橢圓呢？取一條定長的細(xì)繩，用兩個(gè)圖釘把細(xì)繩兩端分別固定在圖板的兩點(diǎn)處，用鉛筆繃緊細(xì)繩，也即是視頻中藍(lán)色的線，然后我們移動(dòng)筆尖。我們發(fā)現(xiàn)，筆尖的移動(dòng)過程中，畫出了一條光滑的閉合曲線。這種曲線就叫橢圓。問題1：在筆尖的移動(dòng)過程中，有什么量保持不變呢？自答：我們不難發(fā)現(xiàn)，筆尖到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和始終等于繩長，保持不變。問題2：改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？自答：此時(shí)細(xì)繩被完全拉直，形成線段.問題3：繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？自答：此時(shí)無法使得細(xì)繩一端固定到定點(diǎn)時(shí)另一端達(dá)到.綜合問題1-3，我們不難總結(jié)出，要想畫出橢圓，細(xì)繩的長度需要大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離.下面，我們可以給出橢圓的完整定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距.過渡語言：我們知道，橢圓可以通過用平面截圓錐面得到，它是一種圓錐曲線。下面我們根據(jù)橢圓的幾何特征，選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系來求橢圓的方程。問題4：如何建立坐標(biāo)系？自答：考慮到，在橢圓定義中為定點(diǎn)，所以我們以所在直線為軸，又考慮到兩點(diǎn)具有明顯的對稱性，以的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)橢圓的焦距，則的坐標(biāo)分別為.我們知道，求曲線的方程即是尋求曲線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)所滿足的數(shù)量關(guān)系，所以我們設(shè)點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn).下面來尋找等量關(guān)系。根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)在橢圓上的充要條件為.利用兩點(diǎn)之間的距離坐標(biāo)公式代入，即問題4：如何化簡這個(gè)方程？自答：由于式子中局部含有根式，我們勢必要通過平方來消除根號。如果直接平方，得到式子整理難度仍然很大。而如果我們先通過移項(xiàng)得到式子，再將它平方則會得到展開觀察：此時(shí)方程中有若干項(xiàng)都可消掉，整理得對式子再平方，整理后可得到這就是橢圓的方程。不難發(fā)現(xiàn)，橢圓的方程是一個(gè)二元二次方程。我們希望將方程寫成更簡單的形式，關(guān)注到橢圓的定義，我們有，即，所以，設(shè)，則，再把式子兩邊同時(shí)除以，得，這個(gè)方程稱為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓焦點(diǎn)在軸上。焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：問題5：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能否得到橢圓上的特殊點(diǎn)的坐標(biāo)？由該式，我們很容易得出時(shí)，，時(shí).這說明橢圓與軸的交點(diǎn)為以及，與軸的交點(diǎn)為以及.問題6：類比焦點(diǎn)在軸上的情況，若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)落在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對稱，我們能否得到它的方程？自答：此時(shí)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，設(shè)，由，可得，對該式我們可以直接化簡，但考慮到我們已經(jīng)化簡了焦點(diǎn)在軸上的情形，我直接將兩種情形進(jìn)行類比，則此方程可化簡為，這就是焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中.現(xiàn)在我們已經(jīng)認(rèn)識了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么問題7：對于一個(gè)確定的橢圓方程，我們能否判斷其焦點(diǎn)是在軸還是軸呢？自答：注意到，焦點(diǎn)在軸時(shí)，所對應(yīng)的分母為，而焦點(diǎn)在軸時(shí)，所對應(yīng)的分母為。也就是說，只需比較和所對應(yīng)的分母，誰的分母更大，焦點(diǎn)就在其對應(yīng)的坐標(biāo)軸上。也就是說：對于橢圓，時(shí)，其焦點(diǎn)在軸上，時(shí)，其焦點(diǎn)在軸上.過渡語：現(xiàn)在，我們已經(jīng)掌握了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的知識，下面讓我們小試牛刀，用兩個(gè)例題來鞏固我們對知識的理解。例1：求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和：（1）；（2）（3）（1）已知方程是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由可知,這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以.因此，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.（2）已知方程是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由可知，這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以.因此，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.注意到方程不是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，（3）先化為標(biāo)準(zhǔn)方程：.由可知，該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以.因此，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.例2：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為10.（2）焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且經(jīng)過點(diǎn).（1）關(guān)注到橢圓的焦點(diǎn)在軸上,故可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知,所以.又因?yàn)?所以.因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）關(guān)注到橢圓的焦點(diǎn)在軸上,故可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為已知焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上一點(diǎn),由橢圓的定義可知因此.又因?yàn)?所以.因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為也可以利用方程思想解決本問題：故可設(shè)橢圓方程為，將代入即可解得，故所求方程為