2022年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：點和圓、直線和圓的位置關(guān)系

第1頁/共1頁2022北京初三一模數(shù)學(xué)匯編點和圓、直線和圓的位置關(guān)系一、填空題1．（2022·北京朝陽·一模）如圖，是的弦，是的切線，若，則_________．2．（2022·北京石景山·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC，PD分別與⊙O相切于點C，D，若∠CPA=40°，則∠CAD的度數(shù)為______°．3．（2022·北京海淀·一模）如圖，PA，PB是的切線，A，B為切點．若，則的大小為______．4．（2022·北京通州·一模）如圖，PA，PB是的切線，切點分別為A，B，連接OB，AB．如果，那么∠P的度數(shù)為______．二、解答題5．（2022·北京房山·一模）已知：如圖，點M為銳角∠APB的邊PA上一點．求作：∠AMD，使得點D在邊PB上，且∠AMD＝2∠P．作法：①以點M為圓心，MP長為半徑畫圓，交PA于另一點C，交PB于點D點；②作射線MD．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵P、C、D都在⊙M上，∠P為弧CD所對的圓周角，∠CMD為弧CD所對的圓心角，∴∠P＝∠CMD（

）（填推理依據(jù)）．∴∠AMD＝2∠P．6．（2022·北京平谷·一模）有趣的倍圓問題：校園里有個圓形花壇，春季改造，負(fù)責(zé)該片花園維護(hù)的某班同學(xué)經(jīng)過協(xié)商，想把該花壇的面積擴(kuò)大一倍．他們在圖紙上設(shè)計了以下施工方案：①在⊙O中作直徑AB，分別以A、B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，兩弧在直徑AB上方交于點C，作射線OC交⊙O于點D；②連接BD，以O(shè)為圓心BD長為半徑畫圓；③大⊙O即為所求作．(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成如下證明：證明：連接CA、CB在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中點，∴CO⊥AB（）（填推理的依據(jù)）設(shè)小O半徑長為r∵OB＝OD，∠DOB＝90°∴BD＝r∴S大⊙O＝π（r）2＝S小⊙O．7．（2022·北京順義·一模）已知：如圖，和射線PN．求作：射線PM，使得．作法：①在射線OB上任取一點C，以點C為圓心，OC的長為半徑畫弧，交OA于點D；②以點P為圓心，OC的長為半徑畫圓，交射線PN的反向延長線于點E；③以點E為圓心，OD的長為半徑畫弧，在射線PN上方，交OP于點M；④作射線PM．所以射線PM就是所求作的射線．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接CD，EM．∵PM=PE=CD=CO，EM=OD，∴（_________）（填推理依據(jù)）．∴．又∵（________）（填推理依據(jù)）．∴．8．（2022·北京通州·一模）如圖1，AB是的直徑，點C是上不同于A，B的點，過點C作的切線為BA的延長線交于點D，連接AC，BC．(1)求證：；(2)如圖2，過點C作于點E，交于點F，F(xiàn)O的延長線交CB于點G．若的直徑為4，，求線段FG的長．9．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為r，對于平面上任一點P，我們定義：若在⊙O上存在一點A，使得點P關(guān)于點A的對稱點點B在⊙O內(nèi)，我們就稱點P為⊙O的友好點．(1)如圖1，若r為1．①已知點P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好點的是；②若點P（t，0）為⊙O的友好點，求t的取值范圍；(2)已知M（0，3），N（3，0），線段MN上所有的點都是⊙O的友好點，求r取值范圍．10．（2022·北京順義·一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，AB為的直徑，點D為的中點，對角線AC，BD交于點E，的切線AF交BD的延長線于點F，切點為A．(1)求證：AE=AF；(2)若AF=6，BF=10，求BE的長．11．（2022·北京豐臺·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，T（0，t）為y軸上一點，P為平面上一點．給出如下定義：若在⊙O上存在一點Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，則稱點P為⊙O的“等直點”，△TQP為⊙O的“等直三角形”．如圖，點A，B，C，D的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．(1)當(dāng)t＝2時，在點A，B，C，D中，⊙O的“等直點”是；(2)當(dāng)t＝3時，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且點P，Q都在第一象限，求的值．12．（2022·北京大興·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，的半徑為1，已知點A，過點A作直線MN．對于點A和直線MN，給出如下定義：若將直線MN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，直線MN與有兩個交點時，則稱MN是的“雙關(guān)聯(lián)直線”，與有一個交點P時，則稱MN是的“單關(guān)聯(lián)直線”，AP是的“單關(guān)聯(lián)線段”．(1)如圖1，，當(dāng)MN與y軸重合時，設(shè)MN與交于C，D兩點．則MN是的“______關(guān)聯(lián)直線”（填“雙”或“單”）；的值為______；(2)如圖2，點A為直線上一動點，AP是的“單關(guān)聯(lián)線段”．①求OA的最小值；②直接寫出△APO面積的最小值．13．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P不在坐標(biāo)軸上，點P關(guān)于x軸的對稱點為P1，點P關(guān)于y軸的對稱點為P2，稱△P1PP2為點P的“關(guān)聯(lián)三角形”．(1)已知點A(1，2)，求點A的“關(guān)聯(lián)三角形”的面積；(2)如圖，已知點B(m，n)，⊙T的圓心為T(2，2)，半徑為2．若點B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點，直接寫出m的取值范圍；(3)已知⊙O的半徑為r，OP=2r，若點P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個公共點，直接寫出∠PP1P2的取值范圍．14．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于△ABC與⊙O，給出如下定義：若△ABC與⊙O有且只有兩個公共點，其中一個公共點為點A，另一個公共點在邊BC上（不與點B，C重合），則稱△ABC為⊙O的“點A關(guān)聯(lián)三角形”．(1)如圖，⊙O的半徑為1，點．△AOC為⊙O的“點A關(guān)聯(lián)三角形”．①在，這兩個點中，點A可以與點______重合；②點A的橫坐標(biāo)的最小值為_______；(2)⊙O的半徑為1，點，點B是y軸負(fù)半軸上的一個動點，點C在x軸下方，△ABC是等邊三角形，且△ABC為⊙O的“點A關(guān)聯(lián)三角形”．設(shè)點C的橫坐標(biāo)為m，求m的取值范圍；(3)⊙O的半徑為r，直線與⊙O在第一象限的交點為A，點．若平面直角坐標(biāo)系xOy中存在點B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC為⊙O的“點A關(guān)聯(lián)三角形”，直接寫出r的取值范圍．

參考答案1．60【分析】因為是的切線，由切線的性質(zhì)得出PA⊥OA，PB⊥OB，得出∠PAO=∠PBO=90°，由圓周角定理可得∠AOB=2∠C=120o．，再由四邊形內(nèi)角和等于360°，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接OA，OB，∵是的切線，∴PA⊥OA，PB⊥OB∴∠PAO=∠PBO=90°∵，∴∠AOB=2∠C=120o，∵四邊形內(nèi)角和等于360o．∴在四邊形AOBP中，∠P=360o-90o-90o-120o=60o．故答案為：60．【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及四邊形內(nèi)角和定理；解題的關(guān)鍵是利用切線的性質(zhì)和圓周角定理結(jié)合四邊形內(nèi)角和等于360o求角．2．50【分析】連接OC、OD，利用切線的性質(zhì)得到OC⊥CP，OD⊥DP，利用四邊形內(nèi)角和定理得到∠COD，根據(jù)圓周角定理即可求得到∠CAD．【詳解】解：連接OC、OD，如圖，∵PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D，∴OC⊥CP，OD⊥DP，∵OP=OP，OC=OD，∴△POC≌△POD(HL)，∴∠CPO=∠DPO，∵∠CPA=40°，∴∠CPD=80°，∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，∵∠CAD=∠COD=50°，故答案為：50．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，四邊形內(nèi)角和定理，熟練掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．3．60°##60度【分析】先由切線的性質(zhì)及切線長定理求出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解即可．【詳解】PA，PB是的切線，A，B為切點故答案為：60°．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)及切線長定理、直角三角形兩銳角互余，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．4．40°【分析】由PA與PB都為圓O的切線得OB⊥BP，PA=PB，從而求得∠ABP=70°，再根據(jù)內(nèi)角和定理即可求出∠P的度數(shù)．【詳解】解：∵PA、PB是⊙O的切線，∴OB⊥BP，PA=PB，∴∠OBP=90°，∵，∴∠ABP=70°，∵PA=PB，，∴∠BAP=∠ABP=70°，∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=180°-70°-70°=40°，故答案為：40°【點睛】此題考查了切線長定理及等腰三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．5．（1）見詳解；（2）在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半.【分析】（1）由題意根據(jù)題干中要求的作法進(jìn)行作圖即可補(bǔ)全圖形；（2）由題意根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半即可完成證明．【詳解】解：（1）如圖，即為補(bǔ)全的圖形，（2）證明：∵P、C、D都在⊙M上，∠P為弧CD所對的圓周角，∠CMD為弧CD所對的圓心角，∴∠P=∠CMD（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半），∴∠AMD=2∠P．故答案為：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理．6．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）按照題意作圖即可；（2）先根據(jù)三線合一定理得到CO⊥AB，然后證明BD＝r即可得到S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O．（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：連接CA、CB在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中點，∴CO⊥AB（三線合一定理）（填推理的依據(jù)）設(shè)小O半徑長為r∵OB＝OD，∠DOB＝90°∴BD＝r∴S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與尺規(guī)作圖，三線合一定理，勾股定理，圓的尺規(guī)作圖等等，正確理解題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)SSS；同弧所對的圓心角等于它所對圓周角的2倍．【分析】（1）根據(jù)作圖過程即可補(bǔ)全圖形；（2）根據(jù)作圖過程可得PM=PE=CD=CO，EM=OD，即可證明，可得，再根據(jù)圓周角定理進(jìn)而可以完成證明．（1）如圖所示，（2）證明：連接CD，EM．∵PM=PE=CD=CO，EM=OD，∴（__SSS__）．∴．又∵（同弧所對的圓心角等于它所對圓周角的2倍）．∴．故答案為：SSS；同弧所對的圓心角等于它所對圓周角的2倍．【點睛】本題主要考查了復(fù)雜作圖以及圓周角定理，靈活掌握圓周角定理是本題的關(guān)鍵．8．(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)和直徑所對的圓周角是直角，即可求解；（2）根據(jù)垂徑定理和圓的切線，可證∠OGC=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知OG=OE，根據(jù)30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半可求OG，即可求解．（1）解：連接OC，∵CD是圓的切線∴∠OCD=90°∴∠DCA+∠ACO=90°∵AB是圓的直徑∴∠ACB=90°∴∠B+∠CAO=90°∵∠CAO=∠ACO∴∠DCA=∠B．（2）解：連接OC，∵CD是圓的切線∴∠OCD=90°∵∠D=30°∴∠COD=60°∴∠B=∠BCO=∵CE⊥AB，OC=OF∴∠EOF=∠COE=60°，∠OCE=30°∴∠COG=60°∴∠OGC=90°∴OE=OG=∴FG=OF+OG=3．【點睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)、垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握這性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．(1)①；②或(2)【分析】（1）由⊙O友好點的定義可判段出結(jié)果；點P應(yīng)在半徑為的圓環(huán)內(nèi)．（2）根據(jù)定義可列出不等式組，解出可得到結(jié)果．（1）①由題意知：當(dāng)時，P為⊙O的友好點．∴⊙O的友好點是．②根據(jù)友好點的定義，只要點在半徑圓環(huán)內(nèi)都是⊙O的友好點，或．（2）∵M(jìn)（0，3），N（3，0），∴圓心O到線段MN的距離為∴在x軸上點N到⊙O最左側(cè)的距離為∴根據(jù)題意可列不等式組得解得∴不等式組解集為：∴r的取值范圍為：【點睛】本題考查圓綜合題，中心對稱，列不等式組等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用特殊點，特殊位置解決問題．10．(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)同弧或等弧所對應(yīng)的圓周角相等得出，根據(jù)直徑對應(yīng)的圓周角是直角及切線的性質(zhì)即可得出，再根據(jù)等角或同角的余角相等即可得出，最后根據(jù)等角對等邊即可得證；（2）根據(jù)同弧或等弧所對應(yīng)的圓周角相等得出，根據(jù)直徑對應(yīng)的圓周角是直角及切線的性質(zhì)即可得出，再根據(jù)等角或同角的余角相等即可得出，利用ASA證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及勾股定理得出，根據(jù)三角形的面積公式及勾股定理得出BE的值．（1）證明：∵點D為弧的中點∴，∵為的直徑，為的切線∴，∴，∴；（2）∵是的直徑，∴，由（1），在中，，∴，∵，∴，∴∴【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，同弧或等弧所對的圓周角相等，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)定理．11．(1)A、B、D(2)【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)的特點及“等直三角形”的定義作圖即可判斷；（2）根據(jù)題意作圖，設(shè)Q（x，y），求出P點坐標(biāo)，進(jìn)而求出CP、OQ，故可求解．（1）如圖，△AQ1T，△BQ2T，△DQ3T是等腰直角三角形，Q1Q2Q3在⊙O上，故為等直點”故答案為：A、B、D；（2）如圖，依題意作⊙O的“等直三角形”△TQP∴TQ=PQ，∠TQP=90°過Q點作MHx軸，交y軸于M點，過點P作PH⊥MH于H點∴∠TMQ=∠QHP=90°∴∠TQM+∠MTQ=∠TQM+∠HQP=90°∴∠MTQ=∠HQP∴△TMQ≌△QHP（AAS）∴TM=QH，MQ=HP設(shè)Q（x，y）∴HM=MQ+QH=MQ+TM=x+3-y，PH=MQ=x∴P（x-y+3，x+y）∵C（3，0）∴PC=∵OQ=∴=．【點睛】此題主要考查直角坐標(biāo)系、圓與全等三角形綜合，解題的關(guān)鍵是熟知等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用．12．(1)雙，或(2)①；②【分析】（1）根據(jù)“雙關(guān)聯(lián)直線”定義即可判斷，需要利用分類討論的思想求解；（2）①過作直線的垂線交于點，明白此時的為最小值，利用等面積法求解；②當(dāng)與直線垂直時，AP是的“單關(guān)聯(lián)線段”即AP是的切線時，面積最小，因為有條直角邊為1，當(dāng)斜邊最短時，面積最?。?）解：當(dāng)與軸重合時，與有兩個交點，由“雙關(guān)聯(lián)直線”定義知，是的“雙關(guān)聯(lián)直線”，設(shè)MN與交于C，D兩點，當(dāng)點在軸正半軸時，，，當(dāng)點在軸負(fù)半軸時，，，故答案為：雙，或；（2）解：①過作直線的垂線交于點，即可得到的最小值；當(dāng)，當(dāng)，，由勾股定理得：，解得：；②當(dāng)與直線垂直時，AP是的“單關(guān)聯(lián)線段”即AP是的切線時，面積最小，因為有條直角邊為1，當(dāng)斜邊最短時，面積最小，如下圖：，．【點睛】本題考查了新定義問題，垂線段距離最短、一次函數(shù)與幾何問題、切線的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的知識，利用分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．13．(1)4(2)0<m≤4(3)0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)三角形”的定義求得A1(1，-2)，A2(-1，2)，利用三角形的面積公式求解即可；（2）找到四邊形OADC是⊙T的外接四邊形，且D(2，2)，畫出圖形，利用“關(guān)聯(lián)三角形”的定義、數(shù)形結(jié)合即可求解；（3）分兩種情況，當(dāng)PP2與⊙O相切時，PP1與⊙O相切時，利用“關(guān)聯(lián)三角形”的定義、數(shù)形結(jié)合即可求解．（1）解：∵點A(1，2)關(guān)于x軸的對稱點為A1(1，-2)，點A關(guān)于y軸的對稱點為A2(-1，2)，∴S△AA1A2的面積=×2×4=4；（2）解：∵⊙T的圓心為T(2，2)，半徑為2．∴四邊形OADC是⊙T的外接四邊形，∴D(2，2)，∵點B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點，且點B(m，n)，∴0<m≤4；（3）解：當(dāng)PP2與⊙O相切于點E時，如圖：∵OE=r，OP=2r，∴∠OPE=30°，∴∠OPP1=∠OP1P=60°，∴當(dāng)60°<∠OP1P<90°時，點P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個公共點；當(dāng)PP1與⊙O相切于點F時，如圖：∵OF=r，OP=2r，∴∠OPE=∠OP1P=30°，∴當(dāng)0°<∠OP1P<30°時，點P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個公共點；綜上，點P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個公共點，∠PP1P2的取值范圍為：0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．14．(1)①，②(2)m的取值范圍為1≤m＜；(3)<r≤或r>4．【分析】（1）根據(jù)“點A的關(guān)聯(lián)三角形”的定義，只有除OC與⊙O有一個交點外，線段AC與⊙O也只有一個交點，所以當(dāng)過點C作⊙O的切線時，點A應(yīng)在弧MN上，求出M點的坐標(biāo)，即可知點A的橫坐標(biāo)為，即可判斷點A應(yīng)與重合，點A的橫坐標(biāo)的最小值為；（2）先求出B'C'=，過點C'作C'G⊥y軸于G，構(gòu)造直角三角形，表示出GM=B'G，BM=2B'G，進(jìn)而用勾股定理求出B'G，即可求出答案；（3）符合△ABC等腰直角三角形的B點有6個，當(dāng)r較小時，沒有符合題意的B點，隨著r增大，當(dāng)AB1與圓O有交點，直到B1落在圓O上，r=，此時仍不滿足題意，當(dāng)r>時，符合，直至下圖的臨界位置：AC與圓O相切，B1與O重合，此時r==，分①r>，②<r≤4，③r>4，進(jìn)行討論，即可求解．【詳解】（1）解：①當(dāng)點A與點重合時，連接與圓相交，而OC也與圓相交，這樣△AOC就與圓有三個交點，所以不符合“點A關(guān)聯(lián)三角形”的定義；過C作⊙O的切線CM，交⊙O于M，連接OM，如圖，∴OC=2，OM=1，∴設(shè)M（x，y），則解得或當(dāng)時，線段CM與⊙O有唯一交點，∵∴當(dāng)點A與重合時，△AOC與⊙O是“點A的關(guān)聯(lián)三角形”；②由①得，∴點A的橫坐標(biāo)的最小值為；（2）解：如圖，∵△ABC為⊙O的“點A關(guān)聯(lián)三角形”，∴線段AC和AB除過點A外，不能與⊙O有交點，當(dāng)線段AC除點A外不與⊙O有交點，當(dāng)AC與⊙O相切時，∴AC⊥x軸，此時，點A的橫坐標(biāo)為1，∴點C的橫坐標(biāo)為1，即m=1，∴時，線段AC除點A外不與⊙O有交點，當(dāng)線段AB除點A外不與⊙O有交點，即點B在（-1，0）處，記作點B'，∴OB'=1，∵A（1，0），∴OA=1，∴OA=OB'，∴∠OB'A=45°，∵△ABC為等邊三角形，∴B'C'=AB'，∠AB'C'=60°，在Rt△A'OB'中，AB'=，∴B'C'=，過點C'作C'G⊥y軸于G，∴∠B'GC'=90°，∠C'B'G=180°-45°-60°=75°，∴∠B'C'G=15°，在C'G上取一點M，連接B'M，使B'M=C'M，∴∠B'MG=