2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù)（八大題型）（練習(xí)）（學(xué)生版+解析）

第03講復(fù)數(shù)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：復(fù)數(shù)的概念.............................................................2

題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.............................................................2

題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義.........................................................3

題型四：復(fù)數(shù)的相等與共柜復(fù)數(shù)...................................................3

題型五：復(fù)數(shù)的模...............................................................3

題型六：復(fù)數(shù)的三角形式.........................................................4

題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題...................................................4

題型八：復(fù)數(shù)方程...............................................................5

02重難創(chuàng)新練..................................................................5

03真題實(shí)戰(zhàn)練..................................................................6

題型一：復(fù)數(shù)的概念

1.（2。24?河南信陽?模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)2=己的虛部為（）

A1.

A.——iBC.1D.2

2-4

4—Y1

2.（2。24?陜西安康?模擬預(yù)測）若Z=K的虛部為2,則a<）

A.4B.-4C.8D.-8

7

3.（2024?甘肅張掖?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=-i,則一的虛部為（）

Z

A.-iB.1C.-1D.0

題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算

=

4.（多選題）（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)Z],z?,Z3湎足：|Zj|=|z212,z3=z1+z2=y/3+i,右Z|

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則以下結(jié)論正確的為（）

五=3_匕

A.|ZI-Z2|=GB.2zr+z2eRC.ZjZ2=2+2A/31D.

z222

5.（多選題）下列各式的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)的是（）

A.z=i(l-i)2B.z=(l+i)2

n8—6i

C.z=(l+i)(l+2i)(l+3i)D.z=-------

3+4i

已知復(fù)數(shù)z滿足Z=l-L則（

6.（多選題）（2024?福建泉州?一模）)

z

2z-z|=V3

A.z-z=lB.z=zC.z+z=—1D.

7.（2024?北京西城?三模）在復(fù)平面,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為則號=（）

A.iB.-iC.1-iD.1+i

8.（2024?高三?黑龍江綏化?期中）已知復(fù)數(shù)4=2-i和z?=l-2i（i是虛數(shù)單位），則五+三=

Z2Z1

題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義

9.（2024?陜西?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)Z1=“+i,z2=\-ai,aeR,zt-z2=2,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)

在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.（2024.青海海西.模擬預(yù)測）己知aeR,復(fù)數(shù)z=（l+i）（l-oi）,貝卜是“復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所

對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（i+l）z=2i,則復(fù)數(shù)I在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的

點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

12.（2024.高三.湖南岳陽.期中）已知復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為1且滿足2z+W=-3+i，貝口在復(fù)平面內(nèi)的對

應(yīng)點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

題型四：復(fù)數(shù)的相等與共輛復(fù)數(shù)

13.（2024?北京海淀?二模）若（x+i）2=2i（xeR）,則犬=.

14.（2024?重慶.模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)z滿足。-i）z=l+i（i為虛數(shù)單位），貝iJz-N=.

15.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=」-i（i為虛數(shù)單位），則彳的虛部為.

16.（2024?山東青島?二模）已知復(fù)數(shù)z滿足（z+2）i=2z-l,則復(fù)數(shù)2=.

題型五：復(fù)數(shù)的模

17.（2024?高三?上海?期中）已知復(fù)數(shù)z滿足z+2彳=9+4i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模等于

18.（2024.高三.上海嘉定?期中）若復(fù)數(shù)z=（3+4i>i（i為虛數(shù)單位），則目=.

19.（2024?高三?遼寧大連?期中）設(shè)復(fù)數(shù)Z1,z2滿足㈤=2憶|=2,z1+2z2=6+i,則忸-2zJ=.

20.若復(fù)數(shù)z滿足(l+2i)z=3+i,則|z|=

題型六：復(fù)數(shù)的三角形式

21.（2024?高三?遼寧?期中）歐拉公式e，i=cosx+isinx（其中i為虛數(shù)單位，xeR）,是由瑞士著名數(shù)學(xué)

家歐拉創(chuàng)立的，公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)的數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論

里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，e號的共輾復(fù)數(shù)為（）

A.1+fB.工一四

22

C.-；+冬

D-

22.（2024?全國?模擬預(yù)測）歐拉公式e2=cos6+isin。把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在

一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.已知實(shí)數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)同樣也適用于復(fù)數(shù)指數(shù)塞，貝”=（）

A.JB.e最C.e1D.b

23.復(fù)數(shù)一工+立i的三角形式是()

22

A.cos60+isin60B.-cos60+isin60

C.cosl20+isin60D.cosl20+isinl20

24.歐拉公式/=cos8+isine(。為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位)由瑞士數(shù)學(xué)家Euler(歐拉)首先發(fā)

現(xiàn).它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”，則下

列運(yùn)算一定正確的是()

A.(cos^+isin)(cos+isin^)=cos0xcos02-sin^sin^

B.(cos^+isinq)(cos2+ising)=cos(q0)+isin(q0)

C.(cosq+isin)(cos+isin^)=cos(0x+q)+isin(q+2)

D.(cos^+isin^)(cos^+isin^)=cos^cos^+sin^sin^

題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題

25.（2024.安徽.模擬預(yù)測）若zeC,i為虛數(shù)單位，|z+2i-l|=l,則|z-i|的最大值為（）

A.2B.V10-1C.4D.V10+1

26.（2024?遼寧?二模）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=l,則|z-也|的最小值為（）

A.6-1B.1C.6+1D.3

27.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）已知z滿足|z+i|=l,則忖的最大值為（）

A.1B.73C.漁D.2

2

28.（2024.山東濰坊.模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足：忖=1,則|z-l+i|的最大值為（）

A.2B.72+1

C.V2-1D.3

29.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=l（i為虛數(shù)單位），則Iz-3-2i|的最小值為（）

A.7B.6C.5D.4

30.已知復(fù)數(shù)z滿足|z+3i|=|z-i],則|z+l+2i|的最小值為（）

A.1B.3C.拒D.V5

題型八：復(fù)數(shù)方程

31.（2024?上海浦東新?二模）已知乙4為實(shí)數(shù)，1-i是關(guān)于x的方程/+px+4=0的一個根，其中i是虛

數(shù)單位，貝!]。+4=.

32.（2024?上海嘉定?二模）設(shè)zeC,z2+9=0,則|z—4|=.

33.復(fù)數(shù)8+6i（i為虛數(shù)單位）的平方根為

34.已知關(guān)于z的方程z?+5z+根=0的兩根為Z|、z2,滿足|Z|-Zzl=3,則實(shí)數(shù)加的值為

35.已知方程爐+0犬+4=0（內(nèi)&有兩個虛根%?，則M+/2的取值范圍是

1.（2024?西藏?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=2—i,貝U—=（）

z—Z

2.（2024?甘肅蘭州?三模）已知復(fù)數(shù)z=（2+i）（l-i）,則|z|=（）

12.（多選題）（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)2=，+歷，下列說法正確的是（）

A.若z為純虛數(shù)，則〃+人=0

B.若z是獸的共軌復(fù)數(shù)，則a+b=—

1-315

C.若z=（l+i/l-3i）,則〃+Z?=2

D.若|z-i|=l,則忖取最大值時，a+b=2

13.（2024?天津南開?二模）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)%?=________.

1-21

1-i

14.（2024?天津北辰?三模）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z=丁下的虛部為________.

3+41

;2024）

15.（2024?河南南陽?三模）若z=^——,則|z卜_________

1-i

16.（2024?上海?三模）已知關(guān)于尤的一元二次方程d+Ax+左左=0有兩個虛根為,三，且工；+考=3,則

實(shí)數(shù)上的值為.

17.（2024糊南衡陽?三模）已知1-2i是關(guān)于*的方程尤2+px+q=0（其中p、q為實(shí)數(shù)）的一個根，則。-4

的值為.

1.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,6），貝心的共朝復(fù)數(shù)了=（）

A.1+垂dB.l-73i

C.-1+后D.

2.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)2+i2+2i3=()

A.1B.2C.V5D.5

5(l+i3)

3.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）（）

A.-1B.1C.1-iD.1+i

4.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)aeR,(a+i)(l-ai)=2,,則”()

A.-1B.0?C.1D.2

5.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)2=1.2-，貝「=（）

l+1+i

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

1-i

6.（2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知Z=TK，則z-W=（）

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

7.（2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題）在復(fù)平面內(nèi)，（1+30（3-i）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知a,6eR,a+3i=S+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）

A.a=l,b=-3B.ci=-l,b=3C.a=—1,。=—3D.a=l,b=3

9.（2022年新高考全國H卷數(shù)學(xué)真題）（2+2i）（l-2i）=（）

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

10.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)（l+2i）a+/=2i,其中a,6為實(shí)數(shù)，則（）

A.a=l,Z>=-1B.a=l,b=lC.a=—l,b=1D.a=—i,b=-1

11.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）若z=l+i.貝Hiz+3源=（)

A.475B.4A/2C.2君D.2及

12.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若z=-l+Gi，則告=()

ZZ—1

A.-1+V3iB.-l-73iC.一■+烏D.」_烏

3333

13.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知z=l-2i,且z+aZ+b=0,其中a,b為實(shí)數(shù)，則（）

A.a=l9b=—2B,a=-l力=2C.a=l,b=2D.ci=—l,b=—2

14.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3-4i,則|z|=（）

A.1B.5C.7D.25

15.（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）若i（l-z）=l,貝|z+N=（）

A.-2B.-1C.1D.2

16.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）己知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（如+i）?（6-2i）=.

2

17.（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題（網(wǎng)絡(luò)回憶版））已知虛數(shù)z,其實(shí)部為1,且z+-=根（加eR）,則

Z

實(shí)數(shù)加為.

18.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡竽?的結(jié)果為_______.

2+31

19.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡H置-31i的結(jié)果為______

1+21

第03講復(fù)數(shù)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：復(fù)數(shù)的概念.............................................................2

題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.............................................................2

題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義.........................................................3

題型四：復(fù)數(shù)的相等與共聊復(fù)數(shù)...................................................3

題型五：復(fù)數(shù)的模...............................................................3

題型六：復(fù)數(shù)的三角形式.........................................................4

題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題...................................................4

題型八：復(fù)數(shù)方程...............................................................5

02重難創(chuàng)新練..................................................................5

03真題實(shí)戰(zhàn)練..................................................................6

梢陽建礎(chǔ)饗

//

題型一：復(fù)數(shù)的概念

1.（2024.河南信陽.模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)z=FL的虛部為（）

1-1

A.—iB.—C.1D.2

22

【答案】B

-i-i（l+i）111

【解析】因?yàn)閦=「=-1=7-所以復(fù)數(shù)z的虛部為-

1-1+222

故選：B

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）若z=47—衛(wèi)xi的虛部為2,則1=（）

1+1

A.4B.-4C.8D.-8

【答案】D

【解析】由題得z=("xi)(lf=4-x-(x+4)i,

22

故x=—8.

故選：D.

7*

3.（2024?甘肅張掖?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=-i,則一的虛部為（）

Z

A.-iB.1C.-1D.0

【答案】C

【解析】因?yàn)閦（l+i）=-i,

-i-(l-i)i-1-i--li

則島"=丁,所以z=一+

z_-l+i_1-i_(1-i)2_—2i

7~-1-i-l+i-(l+i)(l-i)-T-

7

所以復(fù)數(shù)一的虛部為-1.

2

故選：c.

題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算

4.（多選題）（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)4*223滿足：閔=閡=2,Z3=4+z?=^+i,若句

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則以下結(jié)論正確的為（）

A.|Zj—z21=-\/3B.2Z]+z?eRC.ZjZ2=2+2>/3iD.--=—^―—-i

【答案】BC

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)4，Z2，Z3在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1,Z2，Z3，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則復(fù)數(shù)4,々口在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為OZ”O(jiān)Z2,OZ3,且|oz；卜|oz；卜|OZ3|=2,

OZ]+oz2=0Z3,oz3=（Mi）,

jr

所以四邊形OZZsZ?為菱形，且/Z°Z3=g,

又NZQZ3=W，OZ3與X軸正半軸所成的角為m，

36

所以。4與X軸正半軸所成的角為2,所以4與Z3關(guān)于尤軸對稱，

所以馬=后一，則z?=2i,所以2zi+z2=2#eR,故B正確；

因?yàn)?—z?=?75—i—2i=3i,所以I—zj=+（-3）.=2y/3,故A錯誤；

z1z2=2i（V3-i）=2+273i,故C正確；

五=①=（石■一心i，故D錯誤.

z,2i2i222

5.（多選題）下列各式的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)的是（）

A.z=i（l-i）2B.z=（l+i）2

8-6i

C.z=(l+i)(l+2i)(l+3i)D.z二----

3+4i

【答案】AC

【解析】A項(xiàng)中，z=i(l-i)2=i(-2i)=-2i2=2,故A正確；

B項(xiàng)中，z=(l+i)2=2i,故B錯誤；

C項(xiàng)中，z=(l+i)(l+2i)(l+3i)=(-l+3i)(l+3i)=-10,故C正確;

D項(xiàng)中，zH=(8-6………故D錯誤.

3+4i2525

故選：AC.

6.(多選題)(2024?福建泉州?一模)已知復(fù)數(shù)z滿足z=l-則()

Z

A.z?z=lB.z2=zC.z+~z=~\D.\z—~z\=y/3

【答案】AD

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,(a,bwR),可得z?=/-/+2々歷

因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足z=l,可得z?=z—1，貝！J〃—匕2+2々歷=a+m—1,

z

可得=Q-1且2〃Z?=Z?,

由2ab=h時，可得〃=；或〃=0,

當(dāng)〃=彳時，可得萬=±3^,此時z=,土或4；

當(dāng)8=0時，方程/_〃+1=0,無解;

2222

對于A中，當(dāng)z=1+@i,可得遇半，可得Z-；

22

當(dāng)2=!—且i,可得胃=工+且i,可得zG=l，所以A正確;

2222

對于B中，當(dāng)2='+14,可得z-g+爭，且遇-小

22

貝1』2大』，所以B不正確；

對于C中，當(dāng)2=工+3i,可得1=1一3i,可得z+』=l，所以C不正確;

2222

對于D中，當(dāng)z」+且i,可得之」-立i,可得z-三后，則心目=道；

222211

當(dāng)z」一立i,可得立i,可得zq=-后，則心目=石，所以D正確.

222211

故選：AD.

7.(2024?北京西城?三模)在復(fù)平面，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為則三=()

A.iB.-iC.1—iD.1+i

【答案】B

【解析】z對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(1,7),所以z=l-i,

r-r-piz1—i(1—i)—2i.

所以幣=幣=07雙匚D=y=f

故選：B.

8.(2024?高三?黑龍江綏化?期中)己知復(fù)數(shù)4=2-i和z?=l-2i(i是虛數(shù)單位)則產(chǎn);

Q

【答案】|/1.6

z.2-i(2-i)(l+2i)4+3i

【解析】由題意,得寸一

(l-2i)(l+2i)5

z2_1-2i_(1-2i)(2+i)_4-3i

2-i-(2-i)(2+i)-5

4+3i4-3i8

則五十三=-----------1-----------

Z2Z1555

Q

故答案為：—.

題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義

9.(2024?陜西.模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)Z]=“+i,z2=l-ai,aeR,zcz2=2,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)

在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析]因?yàn)椤?a+i,z2=l-ai,

所以Z].z2=(a+i>(l-ai)=2o+(l-/)i=2,

[2a=2

則有?2-解得。=1，

1-a=0n

所以z】=l+i,復(fù)平面內(nèi)Z1對應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),在第一象限.

故選：A.

10.(2024.青海海西.模擬預(yù)測)已知aeR,復(fù)數(shù)z=(l+i)(l-ai),貝是“復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所

對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由z=（l+i/l-滴）=〃+1+（1-a）i,若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，

\a+\>0,

則】八可得—Ivavl，

故是“復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”的充要條件.

故選：C.

11.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（i+l）z=2i,則復(fù)數(shù)1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的

點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】因?yàn)椋╥+l）z=2i,

2i

所以Z”

則］=i-「則1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第四象限.

故選：D.

12.（2024?高三?湖南岳陽?期中）已知復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為1，且滿足2z+W=-3+i，貝/在復(fù)平面內(nèi)的對

應(yīng)點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】設(shè)2=。+歷（a,beR）,則一歷，

代入2z+z=-3+i，得2（a+Z?i）+a—bi=3a+bi=-3+i,

a=—l,b=l.

z——1+i?

??.z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-1,1）,位于第二象限.

故選:B.

題型四：復(fù)數(shù)的相等與共輸復(fù)數(shù)

13.（2024?北京海淀?二模）若（x+i>=2i（xwR）,則工=.

【答案】1

【解析】因?yàn)椋▁+i>=2i,

所以尤2+2T+i2=2i,即f-i+2；d=2i,

（九2_i_Q

所以c1，解得x=L

[2尤=2

故答案為：L

14.（2024.重慶.模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)z滿足（l-i）z=l+i（i為虛數(shù)單位），貝iJz-N=.

【答案】1

【解析】依題意，（>i）z=l+i,所以z=.、=?=i,

（1T）（1+1）2

所以z=-i,z.z=ix（-i）=l.

故答案為：1

15.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)2=工-i（i為虛數(shù)單位），則N的虛部為_____.

1-1

【答案】1/0.5

[角軍]z=------i=----------------i=-------i,

“用午優(yōu)/I—（l—i）（l+i）22'

-11

所以z=5+*

則I的虛部為，

故答案為：3

16.（2024?山東青島?二模）已知復(fù)數(shù)z滿足（z+2）i=2z—1,則復(fù)數(shù)N=.

【答案】-i

l+2i（l+2i）（2+i）；；5i

【解析易知

1z=2-i（2-i）（2+i）-J所以三=-i.

故答案為：-i.

題型五：復(fù)數(shù)的模

17.（2024?高三?上海?期中）已知復(fù)數(shù)z滿足z+2彳=9+4i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模等于

【答案】5

【解析】設(shè)z=a+6iN=a—6i,a,6eR,

由z+2z=9+4i可得a+bi+2(Q—Z?i)=3ct—bi=9+4i,

[3。=9

則「j解得：。=3力=-4,故z=3-4i,

[b=-4

所以復(fù)數(shù)z的模等于"+(-4)2=5.

故答案為：5.

18.(2024.高三.上海嘉定?期中)若復(fù)數(shù)z=(3+4i>i(i為虛數(shù)單位)，則目=.

【答案】5

【解析】z=(3+4i)-i=3i+4i2=-4+3i,

M=J(-4『+3?=5,

故答案為：5

19.(2024?高三?遼寧大連?期中)設(shè)復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足㈤=2|z/=2,Z1+2z2=73+1,則匕-2馬|=.

【答案】273

【解析】由題意設(shè)：Zi=a+bi,z2=c+di,a,b,c,deR,

所以得：yja2+b~=2y1c2+d2=2>化簡得：a2+b2-4,c2+d2=1,

Z]+2z?=(a+2c)+(Z?+2d)i=+i,化簡得：a+2c=-\/3?b+2t7=1,

所以得：歸-222「=卜_2c)+(%_2d川2

—a2+/+4c2+4d2—4QC—4bd

=cr+b-+4c2+4筋-[3-(/+4c2+4/)]

=2(a2+&2)+8(c2+6Z2)-4=12,

所以得：匕-2zz|=2港.

故答案為：2g.

20.若復(fù)數(shù)z滿足(l+2i)z=3+i,則|z|=

【答案】V2

【解析】(l+2i)z=3+i,貝”=言=^^^=?=1一"故[z|=#7F=Q.

1+21(1+21)(1-21)511

故答案為：血.

題型六：復(fù)數(shù)的三角形式

21.（2024.高三.遼寧?期中）歐拉公式e"1=cosx+isinx（其中i為虛數(shù)單位，x&R）,是由瑞士著名數(shù)學(xué)

家歐拉創(chuàng)立的，公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)的數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論

里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，e得的共輾復(fù)數(shù)為（）

C.--+—iD.二一四

2222

【答案】A

【解析】z=e3=cosf-->l+isinf--=---i,Sfcz=-+—i.

k3jI2222

故選：A.

22.（2024?全國?模擬預(yù)測）歐拉公式即=cos6+isin。把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在

一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.已知實(shí)數(shù)指數(shù)暴的運(yùn)算性質(zhì)同樣也適用于復(fù)數(shù)指數(shù)嘉，則F=（）

71-7t

A.JB.￡C.eD.e

【答案】B

【解析】因?yàn)閕=cos5+isin]=e",所以，f"二e1立二e―

故選：B.

23.復(fù)數(shù)-L+"i的三角形式是（）

22

A.cos60+isin60B.-cos60+isin60

C.cosl20+isin60D.cosl20+isinl20

【答案】D

【解析】依題意，令2=-；+￥4=r（cose+isin6）（r〉0,00《6<360°）,

因?yàn)?°?6<360°,所以6=120°,

所以二+的三角形式是cos1200+isinl20°.

22

故選：D.

24.歐拉公式〃=cose+isin。（e為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位）由瑞士數(shù)學(xué)家Euler（歐拉）首先發(fā)

現(xiàn).它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”，則下

列運(yùn)算一定正確的是（）

A.(cos^+isinq)(cosa+isina)=cosqcos2-sin^sin

B.(cosq+isin^)(cos6,+isin6,)=cos(^0)+isin(q-&)

C.(cosq+isin^)(cosfi,+isin6,)=cos(^+0,)+isin(^+6,)

D.(cos^+isin^)(cos6,+isin)=cos0xcos+sinsin02

【答案】C

16112

【解析】(cos4+isin0})(cos6)2+isin)=e1-e?=8佃+幻=cos(6*+O2)+ism{Ol+2).

故選：C.

題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題

25.（2024?安徽?模擬預(yù)測）若2eC,i為虛數(shù)單位，|z+2i-l|=l,則|z-i|的最大值為（）

A.2B.710-1C.4D.710+1

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)（1,-2）為圓心，1為半徑的圓，

所求式子|z-i|的幾何意義表示點(diǎn)（0,1）到圓上點(diǎn)的距離的最大值，

如圖所示，最大值為“1-0『+（-2-+1=屈+1.

26.（2024?遼寧?二模）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z—i卜1,貝|卜-百|(zhì)的最小值為（）

A.73-1B.1C.73+1D.3

【答案】B

【解析】|z-i|=l的幾何意義是復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)4（0,1）的距離為1,

即點(diǎn)Z在以點(diǎn)4（0,1）為圓心，1為半徑的圓上，

|z-Q|的幾何意義是點(diǎn)Z到點(diǎn)8（班,0）的距離.

如圖所示，故|z-石1mhi=|如=|明-1=2-1=1.

故選：B.

27.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）已知z滿足|z+i|=l,則目的最大值為（）

A.1B.&C.逅D.2

2

【答案】D

【解析】設(shè)2=°+歷，則|z+i|=|a+（6+l）i卜[a2+（b+1?-1,

即/+（》+1）2=1,由于"NO,^i-（fo+l）2>0,解得—246V0,

則目=yja2+b2=^-（b+lf+b2=y[^be[0,2],

故選：D

28.（2024.山東濰坊.模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|=l,則|z-l+i|的最大值為（）

A.2B.72+1

C.V2-1D.3

【答案】B

【解析】設(shè)2=“+為，其中。,6eR,貝Ijz—l+i=（a—l）+0+l）i,

v|z|=1,

.-.a2+b2=l,即點(diǎn)（a/）的軌跡是以（0,0）為圓心，1為半徑的圓，

.?.|z-l+i|=J（a-iy+他+1『即為圓上動點(diǎn)到定點(diǎn)（1,一1）的距離，

.?.|z-l+i|的最大值為J（0-廳+（0+1>+i=0+i.

故選：B.

29.（2024.全國?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=l（i為虛數(shù)單位），則Iz-3-2i|的最小值為（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【解析】\^z=x+y\{x,y&W）,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,

由|z+2i|=l,得|x+(y+2)i|=l,即尤2+(y+2)2=l,

因此點(diǎn)尸(無,>)在圓C:/+(y+2)2=l上運(yùn)動，圓心C的坐標(biāo)為(0,-2),半徑r=1,

又|z-3-2iH(x-3)+(y-2)i|=J(x-3)2+(y-2)2,

于是|z-3-2i|可以看成是點(diǎn)尸(x,y)到點(diǎn)A(3,2)的距離，顯然此點(diǎn)在圓C外，

所以|z-3-2i|疝?=|尸41mhi=|AC—=j32+(2+2尸—1=4

故選：D

30.已知復(fù)數(shù)z滿足|z+3i|=|z-i],則|z+l+2i|的最小值為()

A.1B.3C.招D.6

【答案】A

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z,

因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足|z+3i|=|z-i|,

所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)Z到點(diǎn)(0,-3)和(0,1)的距離相等，

所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z的軌跡為V=T,

又|z+1+2i|表示點(diǎn)Z到點(diǎn)(一1,—2)的距離，

所以問題轉(zhuǎn)化為y=T上的動點(diǎn)Z到定點(diǎn)(-L-2)距離的最小值，

當(dāng)Z為時，到定點(diǎn)(-1,-2)的距離最小，最小值為1,

所以|z+l+2i|的最小值為1,

故選：A.

題型八：復(fù)數(shù)方程

31.(2024?上海浦東新?二模)已知乙4為實(shí)數(shù)，l-i是關(guān)于x的方程/+px+4=0的一個根，其中i是虛

數(shù)單位，貝!)0+4=.

【答案】0

【解析】-i是關(guān)于龍的方程x2+px+4=0的一個根，

r.l+i是關(guān)于x的方程V+Q:+g=。的另一個根，

則-p=(l-i)+(l+i)=2,即p=—2,

^=(l-i)(l+i)=l-i2=2,

：.p+q=0.

故答案為：。

32.(2024?上海嘉定?二模)設(shè)zeC,z2+9=0,則|z-4|=.

【答案】5.

【解析】由z?+9=0=z=±3i,貝！J|z-4|=|±3i—4|=5.

故答案為：5

33.復(fù)數(shù)8+6i（i為虛數(shù)單位）的平方根為

【答案】±（3+，）

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)8+6,（，為虛數(shù)單位）的平方根為Q+初，則（a+0i）2=8+6i,a1-b2+2abi=^6i,所

a=3、Q=-3

以/-6?=8,2"=6,解得5=1或

b=-l

所以。+瓦=3+%或。+瓦=-3一i,

故答案為：3+i或-37

34.已知關(guān)于z的方程z?+5z+m=0的兩根為Z］、z2,滿足|z「Z2l=3,則實(shí)數(shù)加的值為.

【答案】4或三17

【解析】A=25-4/M,

若加《工，則方程d+5z+m=0的兩根為實(shí)數(shù)，且|4-Z2|=H*=3,解得加=4.

25

若心彳，則方程z—z+.H的兩根為虛數(shù)，該方程可化簡為:

故兩根分別為4=-g+I25.5!25.

4